Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

108 KAPITEL 9. ÄHNLICHKEITSTHEORIE UND KENNZAHLEN
zu untersuchen. Grundsätzlich liefern erst die Ähnlichkeitsgesetze Übertragungsregeln,
welche es erlauben, Messungen an einem Modell auf die reale Geometrie zu übertragen.
• Umgekehrt folgt, dass Ähnlichkeitsgesetze bei der Auslegung eines Experiments und bei
der Darstellung experimenteller Ergebnisse einzubeziehen sind.
• Bei der Suche nach analytischen Lösungen spielen oft sog. ” Ähnlichkeitsvariablen“ eine
wichtige Rolle, mit Hilfe der Ähnlichkeitsgesetze lassen sich spezielle Lösungen (meist
dimensionslos formuliert) auf konkrete Probemstellungen übertragen
• Ähnlichkeitsgesetze und Kennzahlen vermitteln oft einen Einblick in die typischen Eigenschaften
eines Problems und erlauben die Identifikation der wesentlichen Effekte
noch bevor explizite analytische oder numerische Lösungen oder umfassende Experimente
vorliegen.
In den folgenden Abschnitten werden diese unterschiedlichen Facetten der Ähnlichkeitsgesetze
anhand einiger Beispiele erläutert. Zuerst aber muss geklärt werden, wie die relevanten
Kennzahlen eines Problems bestimmt werden können.
9.1 Bestimmung von Kennzahlen – π-Theorem
Das Verständnis der wesentlichen physikalischen Zusammenhänge eines Problems in Kombination
mit ” Einheitenarithmetik“ ermöglicht oftmals die Identifikation der wichtigen dimensionslosen
Kennzahlen ohne weiteren Einsatz von mathematischen Hilfsmitteln. Das theoretische
Fundament dieser Methode ist das sog. π-Theorem von Buckingham (siehe z.B. [6]), die
praktische Anwendung wird im Folgenden anhand zweier uns bekannter Beispiele diskutiert.
9.1.1 Sprungabkühlung eines Körpers
Wir betrachten wie schon in Kapitel 4 die zeitliche Änderung der Temperatur eines wärmeleitenden
Festkörpers, welcher einer sprunghaften Änderung der Umgebungstemperatur ausgesetzt
ist. Der Einfachheit halber beschränken wir uns wieder auf effektiv 1-dimensionale
Geometrien (z.B. die ”ebene Platte”). Die Temperaturverteilung T (x, t) ist somit im Allgemeinen
eine Funktion der Ortes x und die Zeit t.
Eine phänomenologische Analyse dieses Problems führt – ganz ohne Differentialgleichungen
– zu dem Schluss, dass die folgenden Einflussgrößen für die Temperaturverteilung bei Sprungabkühlung
wesentlich sein sollten:
• Das Volumen V , welches die Wärmekapazität des Körpers mitbestimmt, die Oberfläche
A, die für den Wärmeübergang zur Verfügung steht, und eine Länge L, über die ein
Temperaturausgleich stattfinden muss. Da bei geometrisch ähnlichen Körpern – davon
gehen wir aus !! – V , A und L jeweils in bekannten Beziehungen zueinander stehen, sind
diese drei geometrischen Größen effektiv durch ein einziges Längemaß L erfasst.