Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

Kapitel 9
Ähnlichkeitstheorie und
Kennzahlen
Der Begriff der Ähnlichkeit ist aus der Geometrie bekannt; man nennt zwei Körper einander
ähnlich, wenn entsprechende Strecken beider Körper in einem konstanten Zahlenverhältnis
zueinander stehen. Zum Beispiel sind eine reale Landschaft und die zugehörige Landkarte
einander ähnlich. Zwischen ähnlichen Objekten lassen sich Übertragungsregeln aufstellen, die
oftmals mit Hilfe von Kennzahlen formuliert werden – die Ausrichtung einer Magnetnadel
nach Norden entspricht z.B. der ”Windrose” auf der Landkarte, der Maßstab einer Landkarte
muss bekannt sein, um Abstände auf der Karte in reale Entfernungen umzurechnen.
Der für die Wärme- und Stoffübertragung und allgemein für die Naturwissenschaften ungeheuer
wichtige Begriff der ” physikalischen Ähnlichkeit“ verlangt neben der konstanten Proportionen
der Längen auch eine solche der Kräfte, Zeiten, Geschwindigkeiten, Temperaturen,
usw. Die konstanten Proportionen der relevanten physikalischen Größen manifestieren sich
dabei als Gleichheit der entsprechenden Kennzahlen.
Die Frage, wie man Ähnlichkeitsgesetze zu formulieren hat, was sie genau bedeuten und wie
man sie nutzbringend einsetzen kann, lässt sich nicht einfach beantworten, da ”sich unter dem
Oberbegriff der Ähnlichkeit sehr viele unterschiedliche Gesetzmäßigkeiten finden” [6]. Grob
zusammenfassend kann man sagen, dass Ähnlichkeitstheorie und dimensionslosen Kennzahlen
in Experiment und Theorie Folgendes leisten:
• Verringerung der Anzahl der ”Freiheitsgrade” eines Problems. Anstatt von vielen einzelnen
Parametern hängt die Lösung eines Problems von wenigen Parametergruppen – den
Kennzahlen – ab. Dies konnte z.B. schon bei der Diskussion des ”Kritischen Radius” bei
der Wärmedämmung von Zylinder oder Kugel (siehe Glchg. (3.7)), der Blockkapazität
bzw. des Thermometerfehlers der ersten Art (Abschnitte 4 und speziell 4.2) oder des
”Ideal gerührten Behälters mit Zu- und Ablauf” (Abschnitt 6.1) beobachtet werden.
• Die verringerte Anzahl der Freiheitsgrade führt zu einer entsprechenden Verringerung
der Anzahl von Messungen die nötig sind um ein Problem experimentell umfassend
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