Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

100KAPITEL 8. IMPULS- UND WÄRMEÜBERTRAGUNG IN DER PLATTENGRENZSCHICHT
• H. Blasius entwickelte währen der Arbeit an seiner Dissertation (Göttingen, 1908) die
” Ähnlichkeitslösung“ (similarity solution) für die Plattengrenzschicht.
• Die Proportionalität δ(x) ∼ x/ √ Rex ∼ √ x (Parabelform der Grenzschicht) war bereits
Prandtl aus der Lösung für einen sehr einfachen Fall bekannt.
• f(γ) konnte erst nach mühsamer analytisch-numerischer Rechnung von Hand (!) gefunden
werden.
8.2.2 Temperaturfeld
1921 gelang es Polhausen unter Verwendung der von Blasius eingeführten Ähnlichkeitsvariable
γ = y/(x Re −1/2
x ) und der von diesem bereitgestellten Lösung f(γ) für die Stromfunktion die
folgende Differentialgleichung für das Temperaturfeld der laminar umströmten Platte mit
konstanter Wandtemperatur herzuleiten und zu integrieren:
˜T ′′ + Pr
2 f(γ) ˜ T ′ = 0.
Hierzu gehören die Randbedingungen ˜ T (˜x, 0) = 0, ˜ T (˜x, ∞) = 1. Das numerisch bestimmte
Ergebnis ˜ T (γ) ist in Abb. 8.3 für verschiedene Prandtl-Zahlen graphisch dargestellt. Für
Pr = 1 ist das Profil der Temperatur identisch mit dem der tangentialen Geschwindigkeitskomponente
(s.o.), für Pr < 1 ist die thermische Grenzschicht dicker als die hydrodynamische
(und umgekehrt).
γ = y/(x Re -1/2 )
γ = 5
8
6
4
2
x
Pr = 0.1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
10
100
T/(T W -T oo )
Abbildung 8.3: Temperaturverteilung in der laminaren Grenzschicht der längs angeströmten
beheizten Platte bei unterschiedlichen Prandtl-Zahlen.