Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

98KAPITEL 8. IMPULS- UND WÄRMEÜBERTRAGUNG IN DER PLATTENGRENZSCHICHT
Für die tangentiale Geschwindigkeitskomponente u bedeutet das
�
u(x, y) = u
y
yBez(x)
wobei yBez eine noch zu bestimmende Bezugslänge ist. Diese Bezugslänge ist allerdings a
priori nicht bekannt, sondern muss als Teil der Lösung des Problems bestimmt werden!
Skalierung der Grenzschichtdicke
Aus der geforderten Selbstähnlichkeit der Lösung darf ohne Kenntnis weiterer Details der
Schluss gezogen werden, dass yBez proportional zur Grenzschichtdicke δ sein muss. Eine
Größenordnungsvergleich der in der Grenzschicht relevanten Kräfte liefert dann das benötigte
Längenmaß. Dazu rufen wir in Erinnerung, dass in der Grenzschicht Reibungs- und Trägheitskräfte
von der gleichen Größenordnung sind. Ein Vergleich der Trägheits- und Reibungsterme
in der Impulserhaltungsgleichung (7.7) liefert die folgenden Abschätzungen:
�
,
Reibungskraft ∼ ν u∞
,
δ2 Trägheitskraft ∼ u2 ∞
x .
Das Zeichen ” ∼“ steht dabei für ” ist von der Größenordnung“ oder ” skaliert mit “. Es folgt
bzw.
δ 2 ∼
ν x
u∞
= x2
,
Rex
δ(x) ∼ x Re −1/2
x .
Dieses Ergebnis – die Dicke der laminaren Geschwindigkeitsgrenzschicht nimmt proportional
zur Wurzel das Abstandes von der Vorderkante zu – ist an sich schon bemerkenswert. Darüber
hinaus legt es folgende Definitionen für die Bezugslänge yBez und eine Ähnlichkeitsvariable γ
nahe:
Stromfunktion f
yBez ≡ x Re −1/2
x ,
γ ≡ y
yBez
= y
x Re1/2
x .
Das hydrodynamische Modell ” ebene Platte“ ergibt sich aus (8.1) und (8.2) mit ∂p/∂x = 0:
∂ũ ∂˜v
+
∂˜x ∂˜y
ũ ∂ũ ∂ũ
+ ˜v
∂˜x ∂˜y =
= 0 (Massenerhaltung), (8.5)
1
ReL
∂2ũ (x-Impuls). (8.6)
∂˜y 2