Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM
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8.2. ANALYTISCHE GRENZSCHICHTLÖSUNGEN FÜR DIE EBENE PLATTE 97<br />
y<br />
v<br />
x<br />
u<br />
Abbildung 8.1: Koordinatensystem <strong>für</strong> die Grenzschichtströmung um ein Tragflächenprofil<br />
Aus Gl. (8.3) folgt unmittelbar, dass der Außendruck ˜p(˜x, ∞) der (Potential-)Strömung sich der Grenzschicht<br />
aufprägt,<br />
˜p(˜x, ˜y) = ˜p(˜x, ∞),<br />
oder<br />
∂ ˜p<br />
∂˜x ≡ ˜ dp<br />
˜dx .<br />
Anders formuliert: der Druck ˜p innerhalb der Geschwindigkeitsgrenzschicht δ bleibt längs y konstant. Die Umrisslinie<br />
des umströmten Körpers nach Abb. 8.1 soll durch eine ” Konturfunktion“ K(˜x, ˜y) festgelegt sein; dann lässt sich das<br />
Druckfeld p(x) bzw. ˜p(˜x) am Grenzschichtrand in sehr guter Näherung (keine Berücksichtigung der Verdrängungs-<br />
wirkung von δ(x)) potentialtheoretisch lösen, ohne die Gleichungen (8.1), (8.2) und (8.4) einbeziehen zu müssen.<br />
�(x)<br />
N.B.: <strong>für</strong> die ebene Platte oder in guter Näherung z.B. <strong>für</strong> dünne Tragflügelprofile gilt ∂ ˜p/∂˜x = 0.<br />
8.2 Analytische Grenzschichtlösungen <strong>für</strong> die ebene Platte<br />
Als einfachster Modellfall wird die längsangeströmte ebene und isotherme (T (x, 0) = TW )<br />
Platte untersucht (siehe Abb. 7.4). Hierbei ist der Druck p zusätzlich in x-Richtung konstant,<br />
weshalb neben dem Gradienten ∂p/∂y auch noch ∂p/∂x entfällt (schon bei dünnen<br />
Tragflügelprofilen gilt dies nicht mehr).<br />
8.2.1 Ähnlichkeitslösung <strong>für</strong> das Geschwindigkeitsfeld<br />
Betrachten wir die laminare Strömung über eine ebenen Platte, so stellen wir fest, dass<br />
aufgrund der besonders einfachen Geometrie die Geschwindigkeitsprofile in verschiedenen<br />
Abständen x von der Vorderkante zueinander ” affin“ oder ” (selbst-)ähnlich“ sein sollten.<br />
Genauer: Geschwindigkeistprofile u(x, y) sollten sich <strong>für</strong> verschiedene Positionen x1, x2 zur<br />
Deckung bringen lassen, wenn man jeweils einen geeigneten Maßstabsfaktor wählt um das<br />
Profil zu strecken bzw. zu stauchen 2 .<br />
2 Für die Existenz einer Ähnlichkeitslösung spricht auch folgende Beobachtung: Der parabolische Typ des<br />
Differentialgleichungssystems impliziert, dass ein sog. ” Anfangswertproblem“ vorliegt, d.h. dass sich eine etwa<br />
bei x = xk aufgetretene Störung - z.B. der Umschlag laminar/turbulent - nur stromabwärts ( im Bereich<br />
x ≥ xk) auswirken kann. Setzt man xk = L, so kann die Strömung im Bereich x ≤ L auch nicht ” merken“,<br />
dass die Platte bei L zu Ende ist !