Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

8.2. ANALYTISCHE GRENZSCHICHTLÖSUNGEN FÜR DIE EBENE PLATTE 97
y
v
x
u
Abbildung 8.1: Koordinatensystem für die Grenzschichtströmung um ein Tragflächenprofil
Aus Gl. (8.3) folgt unmittelbar, dass der Außendruck ˜p(˜x, ∞) der (Potential-)Strömung sich der Grenzschicht
aufprägt,
˜p(˜x, ˜y) = ˜p(˜x, ∞),
oder
∂ ˜p
∂˜x ≡ ˜ dp
˜dx .
Anders formuliert: der Druck ˜p innerhalb der Geschwindigkeitsgrenzschicht δ bleibt längs y konstant. Die Umrisslinie
des umströmten Körpers nach Abb. 8.1 soll durch eine ” Konturfunktion“ K(˜x, ˜y) festgelegt sein; dann lässt sich das
Druckfeld p(x) bzw. ˜p(˜x) am Grenzschichtrand in sehr guter Näherung (keine Berücksichtigung der Verdrängungs-
wirkung von δ(x)) potentialtheoretisch lösen, ohne die Gleichungen (8.1), (8.2) und (8.4) einbeziehen zu müssen.
�(x)
N.B.: für die ebene Platte oder in guter Näherung z.B. für dünne Tragflügelprofile gilt ∂ ˜p/∂˜x = 0.
8.2 Analytische Grenzschichtlösungen für die ebene Platte
Als einfachster Modellfall wird die längsangeströmte ebene und isotherme (T (x, 0) = TW )
Platte untersucht (siehe Abb. 7.4). Hierbei ist der Druck p zusätzlich in x-Richtung konstant,
weshalb neben dem Gradienten ∂p/∂y auch noch ∂p/∂x entfällt (schon bei dünnen
Tragflügelprofilen gilt dies nicht mehr).
8.2.1 Ähnlichkeitslösung für das Geschwindigkeitsfeld
Betrachten wir die laminare Strömung über eine ebenen Platte, so stellen wir fest, dass
aufgrund der besonders einfachen Geometrie die Geschwindigkeitsprofile in verschiedenen
Abständen x von der Vorderkante zueinander ” affin“ oder ” (selbst-)ähnlich“ sein sollten.
Genauer: Geschwindigkeistprofile u(x, y) sollten sich für verschiedene Positionen x1, x2 zur
Deckung bringen lassen, wenn man jeweils einen geeigneten Maßstabsfaktor wählt um das
Profil zu strecken bzw. zu stauchen 2 .
2 Für die Existenz einer Ähnlichkeitslösung spricht auch folgende Beobachtung: Der parabolische Typ des
Differentialgleichungssystems impliziert, dass ein sog. ” Anfangswertproblem“ vorliegt, d.h. dass sich eine etwa
bei x = xk aufgetretene Störung - z.B. der Umschlag laminar/turbulent - nur stromabwärts ( im Bereich
x ≥ xk) auswirken kann. Setzt man xk = L, so kann die Strömung im Bereich x ≤ L auch nicht ” merken“,
dass die Platte bei L zu Ende ist !