Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

96KAPITEL 8. IMPULS- UND WÄRMEÜBERTRAGUNG IN DER PLATTENGRENZSCHICHT
Navier-Stokes- und Energiegleichungen (7.6) - (7.8) sowie (7.9) ein einfacherer1 Satz von
” Grenzschichtgleichungen“ .
Im Fall der Strömung bei großer Reynolds-Zahl ReL ≫ 1 über eine ebene Platte (siehe Bild
7.1) oder generell gesprochen einen stromlinienförmigen Körper führt Prandtls Ansatz auf die
folgenden Ungleichungen für die Geschwindigkeitsgrenzschicht δ:
δ(x) ≪ x,
∂u
∂y
u ≫ v,
∂u ∂v
≫ ,
∂x ∂y .
Ganz ähnlich gilt für die Temperaturgrenzschicht δt:
δt(x) ≪ x,
∂T
∂y
≫ ∂T
∂x .
Damit vereinfachen sich die im letzten Kapitel vorgestellten Erhaltungsgleichungen für Masse,
Impuls und Energie – Gleichungen (7.6) - (7.8) und (7.10) – zu den sog. Grenzschichtgleichungen
für zweidimensionale laminare Zwangskonvektion:
Die Randbedingungen lauten:
∂ũ ∂˜v
+
∂˜x ∂˜y
= 0, (8.1)
ũ ∂ũ ∂ũ
+ ˜v
∂˜x ∂˜y
=
∂ ˜p 1 ∂
− +
∂˜x ReL
2ũ ,
∂˜y 2 (8.2)
0 =
∂ ˜p
− ,
∂˜y
(8.3)
ũ ∂ ˜ T
∂˜x + ˜v ∂ ˜ T
∂˜y =
1
ReL Pr
ũ(˜x, 0) = 0 (Haftbedingung)
˜v(˜x, 0) = 0 (Wand massedicht)
ũ(˜x, ∞) = 1 (Freistromzustand)
˜T (˜x, ∞) = 1 (Freistromzustand)
˜T (˜x, 0) = 0 (Konstanz der Wandtemperatur)
∂2T˜ . (8.4)
∂˜y 2
Wegen der geringen Dicke der Grenzschicht (δ/L ≪ 1) lassen sich die Gleichungen, welche die Strömung innerhalb
der Grenzschicht über einen stromlinienförmigen Körper beschreiben, in einfacher Weise in einem Koordinatensystem
darstellen, in dem die x-Achse in Strömungsrichtung entlang der Oberfläche und die y-Achse normal dazu verläuft,
siehe Abb. 8.1. Es folgt, dass die für die ebene Platte hergeleiteten Grenzschichtgleichungen (8.1) - (8.4) auch auf
solche Geometrien übertragen werden können.
1 Mathematisch führt dies dazu, dass das ursprünglich zu lösende partielle Differentialgleichungssystem vom
elliptischen Typ in den wesentlich traktableren parabolischen übergeht.