Computeralgebra-Rundbrief - Fachgruppe Computeralgebra
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<strong>Computeralgebra</strong>: 16.-18.06.2005, Kassel<br />
Nach dem großen Erfolg der <strong>Computeralgebra</strong>-Tagung,<br />
welche im Mai 2003 in Kassel stattfand, plant die Fach-<br />
gruppe, in der Zeit vom 16.-18. Juni 2005 wieder eine<br />
derartige Tagung in Kassel durchzuführen. Genaueres<br />
zu dieser Tagung wird dann im Oktoberheft mitgeteilt<br />
werden.<br />
Themen und Anwendungen der <strong>Computeralgebra</strong><br />
Neue Entwicklungen in der algorithmischen<br />
Invariantentheorie<br />
Gregor Kemper (München)<br />
kemper@ma.tum.de<br />
Dieser Artikel soll über einige neuere Entwicklungen<br />
in der algorithmischen Invariantentheorie berichten, die<br />
sich nach Erscheinen des Buchs [4] ergeben haben. In<br />
erster Linie soll ein Algorithmus zum Berechnen von<br />
Invariantenringen reduktiver Gruppen in positiver Charakteristik<br />
vorgestellt werden.<br />
Der bisherige Stand. In der Invariantentheorie betrachtet<br />
man die folgende Situation: G ist eine lineare algebraische<br />
Gruppe über einem Körper K, den wir der Einfachheit<br />
halber als algebraisch abgeschlossen voraussetzen<br />
wollen. G operiert auf einer affinen K-Varietät<br />
X durch einen Morphismus G × X → X. Wenn wir<br />
den Ring der regulären Funktionen auf X mit K[X] bezeichnen,<br />
so ist der Invariantenring gegeben durch<br />
K[X] G := {f ∈ K[X] | f(g(x)) = f(x)<br />
für alle x ∈ X, g ∈ G}.<br />
Ein wichtiger Spezialfall (man könnte fast sagen: der<br />
Standardfall) ist der, dass X ein endlich-dimensionaler<br />
K-Vektorraum V und die G-Operation linear ist. Klassische<br />
Fragestellungen sind:<br />
1. Wann ist K[X] G endlich erzeugt als K-Algebra?<br />
2. Wie findet man Erzeuger von K[X] G ?<br />
3. Welche Punkte von X können durch Invarianten<br />
getrennt werden?<br />
Zur (auch nur ansatzweisen) Beantwortung dieser Fragen<br />
sollte man verschiedene Klassen von Gruppen betrachten.<br />
Als die wichtigste Klasse hat sich hierbei die<br />
Klasse der reduktiven Gruppen herausgestellt (siehe [4,<br />
7<br />
Abschnitt 2.2]). Es gilt nämlich nach Hilbert und Nagata,<br />
dass K[X] G immer endlich erzeugt ist, falls G reduktiv<br />
ist (siehe [4, Abschnitt 2.2]). Umgekehrt konnte<br />
Popov [9] zeigen, dass eine Gruppe G, bei der K[X] G<br />
für alle G-Varietäten X endlich erzeugt ist, reduktiv sein<br />
muss. Die reduktiven Gruppen sind also die ” richtige“<br />
Klasse für das Betreiben von Invariantentheorie (was Invariantentheoretiker<br />
allerdings nicht davon abhält, sich<br />
auch intensiv mit Invarianten nicht reduktiver Gruppen<br />
zu befassen). Wie sieht es aus mit der zweiten Fragestellung<br />
nach dem Finden von erzeugenden Invarianten?<br />
Hier lohnt es sich zwei Unterklassen der reduktiven<br />
Gruppen zu betrachten. Zum einen sind das die linear<br />
reduktiven Gruppen. Für diese wurde 1999 von Derksen<br />
ein Algorithmus zur Konstruktion von erzeugenden<br />
Invarianten gefunden (siehe [4, Abschnitt 4.1]). In Charakteristik<br />
0 ist jede reduktive Gruppe linear reduktiv,<br />
womit das Problem also in diesem Fall in befriedigender<br />
Allgemeinheit gelöst wäre. Als zweite wichtige Unterklasse<br />
betrachten wir die endlichen Gruppen, bei denen<br />
die Invariantentheorie vor allem im modularen Fall<br />
(d.h. |G| ist ein Vielfaches der Charakteristik von K)<br />
schwierig und damit interessant ist. Hier wurden nach<br />
Vorarbeiten von Sturmfels [10] Algorithmen durch den<br />
Autor gefunden (siehe [4, Abschnitte 3.3 und 3.5]), die<br />
den Fall linearer Operationen (X ein Vektorraum) abdecken.<br />
Soweit in groben Zügen der Stand der Dinge, wie er<br />
sich im Buch [4] darstellt. Wir haben also eine schmerzliche<br />
Lücke, nämlich das Fehlen eines Algorithmus<br />
zum Berechnen von Invarianten reduktiver Gruppen, die<br />
nicht linear reduktiv sind (was nur in positiver Charakteristik<br />
auftreten kann und auch häufig auftritt). Diese<br />
Lücke ist inzwischen für den Fall linearer Operationen