J - Institut für Theoretische Physik II - Ruhr-Universität Bochum

Einleitung
I. Freiheitsgrade im Atomkern
Inhal tsverzeichnis
A. Grundlagen der Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung
B. Projektion auf nukleonische Freiheitsgrade
II. Feldtheoretische Beschreibung der Wechselwirkung
A. Lagrangedichten der Mesonenkopplungen
B. Hadronische Formfaktoren und Regularisierung
III. Impulsraumdarstellung der Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung
A. Allgemeine Operatorstruktur des Potentials
B. Das Ein-Boson-Austausch-Potential
IV. Zwei-Teilchen-Gleichungssysteme im Impulsraum
A. Die Deuteron-Gleichung
B. Die Streuprozeß-Gleichung
V. Numerische Berechnung der Observablen
A. Diskretisierung von Integralen
B. Numerische Lösung der Deuteron-Gleichung
C. Numerische Berechnung der Streuphasen
D. Soft- und Hardwaretechnische Realisierung
VI. Diskussion der Ergebnisse
VII. Zusammenfassung und Ausblick
Anhang
A. Definition der Notation
B. Matrixelemente der Potentialoperatoren
Li terat urverzeichnis
3
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69
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105

Einleitung
Durch die Entdeckung und Weiterentwicklung der Quantenfeldtheorie hat das Verständnis
der Materie und ihrer Wechselwirkungen beständig zugenommen. So geht
man heute davon aus, daß letztendlich nur drei Wechselwirkungen existieren, und
man versucht diese Theorien zu vereinheitlichen.
Zum einen tritt die Gravitation auf, die dem Menschen wohl am nächsten liegt,
da sie unser Leben unmittelbar beeinflußt. Eine Quantisierung der entsprechenden
Feldtheorie ist aber noch nicht befriedigend gelungen. Man vermutet, daß die die
Gravitation vermittelnden Teilchen Spin 2 Teilchen sind, die sogenannten Gravitonen.
Da die Gravitation sich aber hauptsächlich durch ihre statischen Felder bemerkbar
macht, hat man experimentell noch keine Aussagen machen können.
Als weitere Wechselwirkung hat man die elektromagnetische und schwache Wechselwirkung,
die man mittlerweile zur sogenannten elektroschwachen Wechselwirkung
zusammenfassen kann. Die elektromagnetische Wechselwirkung wird durch die Photonen
vermittelt, also masselosen Spin 1 Teilchen. Die Vereinheitlichung der elektromagnetischen
und der schwachen Wechselwirkung hat zur Entdeckung der massiven
Vektorbosonen geführt. Diese sind die Vermittler der schwachen Wechselwirkung.
Als dritte Kraft hat man die starke Wechselwirkung, welche für den Zusammenhalt
der Hadronensysteme verantwortlich ist. Ihre Beschreibung, in einem noch festzulegenden
Rahmen, soll Gegenstand dieser Arbeit sein.
Die durch die starke Wechselwirkung hauptsächlich zu beschreibenden Teilchen sind
die Bausteine der Kerne. Nach den Vorstellungen der klassischen Kernphysik besteht
ein Kern zuerst einmal aus Protonen und Neutronen. 1935 versuchte Yukawa , die
Wechselwirkung durch den Austausch eines virtuellen Teilchens zu beschreiben. Dies
führte zur Entdeckung der Mesonen. Somit erhält man neben den Protonen und
Neutronen als zusätzliche Freiheitsgrade im Kern eine unbestimmte Menge virtueller
Mesonen, die die Dynamik eines solchen System entscheidend mitbeeinflussen. Man
hat es also mit einem System zu tun, in dem die Teilchenzahl nicht bestimmt ist.
Um diese Wechselwirkung zu ordnen, hat man sich die Störungsrechnung zu Hilfe genommen.
Die erste Ordnung dieser Entwicklung betrachtet zu jedem Zeitpunkt nur
eine Wechselwirkung, das heißt, daß höchstens ein Meson zu den Nukleonen hinzukommt.
Diese Näherung nennt man Leiterapproximation oder Ein-Boson-Austausch­
Approximation (OBE). Als Referenzen nenne ich [Yuk 35], [Hol 75], [Ho176J , es gibt
aber noch eine Vielzahl anderer Arbeiten zu diesem Thema.
Dann kam man auf die Idee, daß sich auch die Nukleonen kurzzeitig in einem virtuellen
Zustand befinden könnten. Das bedeutet, daß sie sich als Anregungen zeigen
, die andere Quantenzahlen als die eigentlichen Neutronen und Protonen besitzen
können. Durch Streuexperimente kann man diese Anregungen als Resonanzen erkennen
und demnach in das Massenspektrum der Hadronen einordnen. Zum Beispiel
Einleitung Seite 3

gibt es Arbeiten, die Formfaktoren und die Nukleon-Nukleon-Wechselwirkungen mit
Delta-Anregungen in den virtuellen Zuständen betrachten. Ausgangspunkt dieser
Ansätze ist der Fock-Raum aller möglichen Zustände des Nukleons. Diesen unterteilt
man in die Räume, die man betrachten will und in diejenigen, die man nur effektiv
berücksichtigen möchte. Auf diese Unterräume werden dann die Gleichungen und
Wellenfunktionen projeziert.
Die immer ausgefeilteren Meßtechniken der letzten Jahre haben bis jetzt so viele
Elementarteilchen zutage gefördert, daß man sich schließlich fragte, ob diese überhaupt
elementar sein können oder ob die klassische Kernphysik nicht überarbeitet
werden müsse. Geleitet ist man dabei von der Vorstellung, daß die Teilchen sich in
überschaubarer Weise ordnen lassen müßten.
Diese Fragestellung hat Anfang der sechziger Jahre dazu geführt, daß man versucht
hat alle Hadronen als Cluster elementarerer Teilchen zu beschreiben. Man entwickelte
die sogenannte Quanten-Chromo-Dynamik QCD, die die Hochenergieexperimente
recht gut beschreiben kann. Man stellt sich in dieser Theorie vor, daß die Bausteine
der Hadronen Spin! Teilchen sind, sogenannte Quarks, die über masselose
Vektorbosonen, die Gluonen, miteinander wechselwirken können.
Es wird vermutet, daß es insgesamt sechs verschiedene Quarks gibt, obwohl man erst
fünf von ihnen experimentell bestätigen konnte. Eine bedeutende Eigenschaft des
statischen Quarkmodells ist, daß es in der Lage ist, das Spektrum der Hadronen sehr
gut zu beschreiben. Allerdings kann es nur Aussagen über das Auftreten von Teilchen
und Anregungen machen, nicht aber über ihre Massen und Kopplungsstärken. Der
Übergang der QCD in das statische Quarkmodell ist jedoch keineswegs befriedigend
beschreibbar. Desweiteren hat die QCD zwei Eigenschaften, auf die noch näher
eingegangen werden soll.
Die eine ist die asymptotische Freiheit der Quarks, was bedeutet, daß mit ansteigendem
Impuls die Kopplungskonstante gegen Null geht. Dies ist der Grund, warum
gerade Hochenergieexperimente beschreibbar sind. Für kleine Kopplungskonstanten
kann man eine Störungsentwicklung in eben diesen Konstanten aufstellen und somit
eine Leiterapproximation rechnen, die die Experimente gut beschreibt, da höhere
Ordnungen in den Kopplungskonstanten kleiner sind.
Die zweite Eigenschaft ist der immer beobachtete Zusammenschluß von Quarks, auch
confinement genannt. Das bedeutet, daß man Quarks nicht einzeln beobachten kann.
In der Natur scheint es so zu sein, daß nur die Baryonensysteme aus drei Valenzquarks
und die Mesonensysteme aus einem Quark-Antiquark-Paar existieren. Das bedeutet
unter anderem, daß die Kopplungskonstante mit kleiner werdenden Impulsen, beziehungsweise
mit größer werdenden Abständen, größer und im Grenzwert unendlich
stark werden muß. Deshalb kann man für niedrige Energien keine Störungsentwicklung
aufstellen, denn abgesehen davon, daß höhere Ordnungen in den Kopplungskonstanten
nun nicht mehr klein sein würden, träten nun auch neben den Valenzquarks
Einleitung Seite 4

Seequarks, also Quark-Antiquark-Paare auf, die den Rahmen jeder Rechnung sprengen
würden. Außerdem erwartet man nicht störungstheoretische Effekte, wie zum
Beispiel ein Gluonenkondensat, die sogenannten Glueballs.
Somit wird in der Nieder- und auch in der Mittelenergiephysik aus den Zweiteilchen­
Gleichungen für das Nukleon-Nukleon-System eine Vielteilchentheorie. Man muß
mindestens sechs Quarks plus Gluonen plus Seequarks berücksichtigen, so daß jeder
Lösungsversuch momentan noch zum Scheitern verurteilt ist.
Dies sind kurz zuammengefaßt die Gründe, warum unser Potentialmodell sich auf die
bekannten Quarkcluster , das heißt Baryonen und Mesonen bezieht.
Es gibt mittlerweile schon mehrere Versuche, die Mittelenergiephysik mittels eines
Mesonenaustausches zu beschreiben. Dabei geht man von verschiedenen Gleichungen,
die die Dynamik bestimmen, aus. Verschiedene Autoren beginnen mit einer
Bethe-Salpeter-Gleichung. [Gro 74J. Diese kann man aber nicht exakt lösen, und
die in der Regel gemachten Näherungen der Leiterapproximation führen zu einer
Schrödinger-Gleichung. Das Paris-Potential versucht teilweise die Beiträge über
Dispersions-Gleichungen miteinzubeziehen. Hiermit ergeben sich aber Schwierigkeiten,
falls man im Zwei-Boson-Austausch eine Photoreaktion konsistent berechnen
will. [Mau 79J. Wie also schon angedeutet, liegen auch Arbeiten vor, die über den
Ein-Boson-Austausch hinausgehen. Da man dort aber auf den statischen Limes angewiesen
ist, das heißt, das die Nukleonen in der Regel die Ruheenergie haben, ist
es fraglich, ob dies überhaupt die nächstgrößten Terme in der Störungsreihe sind.
[Mau 79], [Hol 81], [Nie 84J. Außerdem gibt es noch eine Menge phänomenologischer
Potentiale, welche durch geschickte Wahl der Potentialfunktionen die experimentellen
Daten zu reproduzieren versuchen. [Rei 68J. Diese Modelle haben aber
den Nachteil, daß man die Physik, die hinter den Wechselwirkungen steckt, nicht
erkennt. In dieser Arbeit wird ein Modell aufgestellt, welches das System mittels
einer Schrödinger-Gleichung beschreibt und das darin vorkommende Potential in der
Ein-Boson-Austausch-Approximation berücksichtigt.
In diesem Modell werden also die Nukleonen und Mesonen als elementare Teilchen betrachtet,
die mittels eines Bosonenaustausches miteinander wechselwirken. Dies kann
man mit der Quantenfeldtheorie darstellen. Dazu nimmt man Fermionenfelder für
die Nukleonen und Bosonfelder für die Mesonen und entwickelt ihre Wechselwirkung
in eine Störungsreihe nach den Kopplungskonstanten. Das Modell berücksichtigt
keine expliziten Nukleonanregungen , so daß nur ein Nukleonfeld benötigt wird. Bei
den Mesonen sieht dies anders aus, da die niedrigsten Mesonen verschiedener Quantenzahlen
ungefähr gleichgroße Effekte liefern. Letztendlich werden 18 verschiedene
Kopplungen und dementsprechend viele Mesonenfelder benötigt.
Betrachtet man die Fermionfelder einmal genauer, so erkennt man, daß sie Superpositionen
vollständiger Systeme sind. Das bedeutet insbesondere, daß sie Lösungen
negativer Energie beinhalten. Diese Arbeit versucht nun, genau diese Lösungen
Einleitung Seite 5

in die Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung miteinzubeziehen. In der Feldtheorie muß
man diese Lösungen gesondert behandeln, da man sonst keine stabilen Teilchen hätte,
denn diese könnten immer in niedrigere Zustände übergehen. Deshalb führt man eine
sogenannte Normalordnung ein, welche diese Zustände vollständig eliminiert. Allerdings
erhält man damit Antiteilchen mit positiver Energie. Experimentell sind diese
Teilchen schon lange bestätigt und unterstreichen die Gültigkeit der relativistischen
Feldtheorie. Somit könnte man versuchen, die Lösungen negativer Energie derart in
eine Wechselwirkung einzubeziehen, daß man zusätzliche Nukleon-Antinukleon-Paare
berücksi chtigt.
In dieser Arbeit wird aber ein anderer Weg eingeschlagen, der auch schon von F.Gross
begangen wurde. [Gro 74], [Gro 79], [Gro 86], [Gro 90]. Somit ist diese Arbeit unter
anderem als Test der von Gross beschriebenen Methode zu sehen. Wie sich später
zeigen wird, haben wir zu einigen Punkten seiner Arbeiten Verbesserungsvorschläge.
Die zugrundeliegende Idee ist, daß ein wechselwirkendes Nukleon in einem virtuellen
Zustand ist und deshalb als Superposition einer Feldlösung positiver Energie und
einer Lösung negativer Energie dargestellt werden kann.
In Kapitel I werden die Freiheitsgrade im Atomkern und die Zusammensetzung eines
Teilchens fern der Massenschale mit positiven und negativen Energiezuständen
noch einmal gen au dargestellt. Insbesondere wird gezeigt, wie man die einzelnen
Freiheitsgrade eliminiert, beziehungsweise voneinander trennt. Das heißt, daß man
Gleichungen bekommt, die die einzelnen Freiheitsgrade mittels Übergangspotentialen
aneinander koppeln. Am Schluß dieses Abschnitts stehen also die Bestimmungsgleichungen
für ein effektives Potential , welches zwischen den möglichen Zuständen
positiver und negativer Energie vermitteln kann.
Die feldtheoretische Beschreibung der Wechselwirkung wird in Kapitel II dargelegt.
Dort sind also zum einen alle Lagrangedichten der Mesonenkopplungen, zum anderen
aber auch die Mesonen mit ihren Massen aufgelistet. Desweiteren wird gezeigt, wie
man höhere Mesonenanregungen effektiv miteinbeziehen kann. ILB. geht dann auf die
Struktur der Nukleonen ein. Das bedeutet, daß die Formfaktoren angeben werden,
mit denen die Kopplungen modifiziert werden müssen, um punktförmige Teilchen
auszuschließen und die Gleichungen insgesammt zu regularisieren.
Im nächsten Kapitel wird eine Darstellung des Potentialoperators eingeführt. So
werden zuerst die allgemeinen Strukturen des Operators aufgrund von Symmetrien
beschrieben, um danach explizit im Impulsraum ausgerechnet zu werden. Zusätzlich
wird eine Basis angegeben, in der die Operatoren und die Wellenfunktion zu
entwickeln sind.
In Kapitel IV werden die Gleichungen hergeleitet, mit denen die verschiedenen Observablen
zu berechnen sind. Es zeigt sich, daß man zwischen gebundenen und ungebundenen
Systemen unterscheiden muß, da die gebundenen ein diskretes und die
Einleitung Seite 6

ungebundenen ein kontinuierliches Energiespektrum aufweisen. Dabei wird auch auf
die Konvergenz der einzelnen Integrale eingegangen. Hierbei ergibt sich, daß für das
regularisierte Potential keine zusätzlichen Divergenzen in den Gleichungen auftreten.
Die numerische Aufarbeitung der Gleichungen wird in Kapitel V beschrieben. Es wird
dargelegt, wie die Gleichungen zu diskretisieren sind und das Potential an die experimentellen
Daten angepaßt werden kann. Desweiteren wird die Programmstruktur
und die Hardwareumgebung beschrieben.
In Kapitel VI werden die numerischen Ergebnisse ausgewertet. Es werden die experimentellen
Streuphasen und die Deuteron-Daten angegeben und mit den theoretischen
Vorhersagen der verschiedenen Modelle, die dort noch klassifiziert werden, verglichen.
Eine Zusammenfassung der Arbeit und ein Ausblick auf die offenstehenden Probleme
wird in Kapitel VII dargelegt.
Danach folgt noch der Anhang. Teil A stellt die verwendete Notation dar, Teil B
beinhaltet die Darstellungen der auftretenden Matrixelemente.
Die abschließende Liste führt die von mir verwendete Literatur auf.
Einleitung Seite 7

1. Freiheitsgrade im Atomkern
LA. Grundlagen der Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung
Wie in der Einleitung schon erwähnt wurde, wird in dieser Arbeit also der Atomkern
mit feldtheoretischen Methoden beschrieben, das heißt, daß die Kopplungen der starken
Wechselwirkung direkt aus den Lagrangedichten der beteiligten Felder entnommen
werden. Da der Kern im mittleren Energiebereich beschrieben werden soll,
das heißt, daß Streuexperimente bis zu 400 MeV berücksichtigt werden, muß man
also Lagrangedichten verwenden, welche die Baryonen und Mesonen enthalten. Der
Bereich, in dem man mit den Quarkfeldern rechnen könnte beginnt erst bei sehr
viel höheren Energien, bei denen die Quarks hauptsächlich durch ihre asymptotische
Freiheit bestimmt sind.
Ausgangspunkt unserer Beschreibung soll eine Schrödinger-Gleichung sein. Das bedeutet
also, daß wir einen noch herzuleitenden Energieoperator auf die Wellenfunktion
der Teilchen anwenden. Dieser Energieoperator besteht aus der freien Energie
der Teilchen (T oder Ho) und einer Wechselwirkungsenergie (V oder Hr), die wir
mittels Lagrangedichten bestimmen werden.
[T + VllcI» = E 1cI» (I.A.I)
Die eigentlichen Hadronen sind die Lösungen entsprechender wechselwirkungsfreier
Bewegungsgleichungen. Führt man aber die starke Wechselwirkung ein, so muß man
eigentlich alle hadronischen Felder mit sämtlichen Kopplungen in die Lagrangedichte
aufnehmen, denn die reinen Systeme sind zumindest über virtuelle Zustände in der
Lage, mit den anderen Feldern wechselwirken zu können. Ein Atomkern mit A Nukleonen
besteht dann nicht nur aus den freien Teilchenlösungen, sondern aus einem
Gemisch aller vorstellbaren Baryonen, beziehungsweise Mesonen.
1cI» = L a(i···,j···)IN1, ... ,NA,M1 ... ) (I.A.2)
Ni,Mj
Hierbei sind Ni die freien Baryonen- und Mi sind die freien Mesonenlösungen. Die
entsprechenden Kopplungen der Lagrangefunktion sind in der Art ausgewählt, daß
sich die starke Wechselwirkung durch den Austausch von Mesonen vermittelt.
Da man nun weiß, daß die Kerne hauptsächlich aus Nukleonen bestehen, die weiteren
Freiheitsgrade also nicht so stark beimischen, versuchen wir sie durch effektive
I.A. Grundlagen der Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung Seite 8

des Wasserstoffproblems angewendet, dargestellt wurde das zum Beispiel in der Referenz
[Bjo 64]. In dieser Arbeit sollen nun die Effekte untersucht werden, die durch
die explizite Hinzunahme der Lösungen negativer Frequenz auftreten. Im Wasserstoff
ist dies schon gerechnet worden, und man erhält dort neue Wellenfunktionsbeimischungen
für das Elektron. Die üblichen Wellenfunktionen haben eine definierte
Parität und werden ergänzt durch Beimischungen der entgegengesetzten Parität, da
die Zustände negativer Energie eine andere innere Parität haben, als die Zustände
positiver Energie. Dieser Sachverhalt wird in Kapitel lILA. genau hergeleitet.
I.A. Grundlagen der N ukleon-N ukleon-Wechselwirkung Seite 11

Man erhält also zwei neue Gleichungen, eine für die Zustände der klassischen Kernphysik
und eine für die baryonischen Beimischungen. Da man in der Regel an der
Lösung der ersten Gleichung interessiert ist, die Baryonen und Mesonen tragen zum
Kern ja nur wenig bei, reicht es aus, die erste Gleichung zu lösen. Denkt man zum
Beispiel an die Nukleon-Nukleon-Streuung, so hat man dabei freie Nukleonen, die nur
in einem beschränkten Bereich miteinander wechselwirken. Man mißt aber weit von
diesem Bereich entfernt und sieht somit nur freie Nukleonen. Also trägt die zweite
Gleichung nur im Wechselwirkungsbereich bei, und deren Lösungen sind deshalb
höchstens indirekt meßbar. Im Deuteron sieht dies anders aus. Dort wechselwirken
die Teilchen ständig miteinander, und dieses wechselwirkende System wird mit allen
Beimischungen direkt gemessen. Will man dort also genauer rechnen, so muß man
den zweiten Hilbertraum noch zusätzlich betrachten. Für die Näherung, in der nur
Deltas angeregt werden, ist dies zum Beispiel von G. Niephaus [Nie 77] berechnet
worden. Diese Arbeit vernachlässigt diese Systeme, es werden dagegen die in H1
noch vorhandenen Lösungen zu negativen Energien explizit betrachtet. Das bedeutet,
daß nach der Okubo Transformation die Gleichungen für die reinen Nukleonen
noch weiter aufgespalten werden müssen, um alle möglichen Zustände extrahieren zu
können.
Sei nun U t cI> = w, beziehungsweise cI> = Uw, so erhält man die Definitionsgleichung
für effektive Operatoren:
(LB.7)
(LB.8)
In diese Folgerung geht ein, daß die Lösung W2 Null gesetzt wird. Dies heißt unter
anderem, daß man bei den Streuexperimenten in Energiebereichen bleiben muß,
die keine Teilchenerzeugung zulassen, denn diese Systeme sind in dem Teilraum enthalten,
der hier eliminiert werden soll. Das leichteste hadronische Teilchen, welches
bekannt ist, ist das Pion mit einer Masse von 135 MeV. Das bedeutet, daß die Relativenergie
der kollidierenden Nukleonen unter 135 MeV bleiben sollte.
Man hat jetzt also das Problem darauf verlagert, die unitäre Transformation U zu
bestimmen. Definiert man nun einen neuen Operator F und wählt den folgenden
Ansatz,
(LB.9)
I.B. Projektion auf nukleon ische Freiheitsgrade Seite 14

so erhält man eine nichtlineare Gleichung für F, welche man in Potenzen des Hamilton-Operators
entwickeln kann.
Dazu definieren wir noch
)"(H + [H,P] - PHP)ry = 0 (LB.10)
00
(LB.ll)
so daß Fn maximal n-mal die Wechselwirkung enthält. Zusätzlich führen wir noch einen
Wechselwirkungsoperator Hf ein, welcher gerade den Austausch von n Mesonen
beinhalten soll, allerdings wird in dieser Artbeit nur die Ein-Boson-Austausch-Näherung
(OBE) berücksichtigt.
H = Ho +H/ (LB.12)
)..Hory =0 (LB.13)
Mit dieser Entwicklung wird aus der Bestimmungsgleichung (LB.11) eine Gleichung,
welche man nach den einzelnen Potenzen ordnen und dann direkt nach Fn auflösen
kann.
p 1 = 1
€ -Ho
1
pI = Hfry
€ -Ho
(LB.14)
(LB.15)
(LB.16)
I.B. Projektion auf nukleonische Freiheitsgrade Seite 15

(LB.18)
Sie beinhaltet implizit auch die Kopplungen der Freiheitsgrade, die zu negativen
Energien gehören, und somit haben die Wellenfunktionen noch mehr Informationen
als die der klassischen Kernphysik. Also trennt man nun den Hilbertraum H1, der ja
nur noch nukleonische Lösungen beinhaltet, weiter auf. Dies führt man völlig analog
der Aufspaltung hadronischer Freiheitsgrade durch. Der Hilbertraum besteht nun
aus drei Teilräumen, zu denen die Zweiteilchenlösungen je nach Anzahl der in ihnen
vorkommenden Einteilchenlösungen negativer Frequenz zugeordnet werden.
(LB.19)
Um es nocheinmal ganz klar zu sagen: Die N- bezeichnen formale Lösungen der
Dirac-Gleichung mit negativen Energien, und keine Antiteilchen N. ZU den Teilchendarstellungen
kommt man erst, wenn man die obigen Lösungen superpositioniert.
Dementsprechend berechnet diese Arbeit auch keine Paarerzeugung in Kernmaterie,
sondern eine korrekte Beschreibung von Teilchen fern der Massenschale.
Man hat also nun drei Teilräume, und die Operatoren 1]}, 1]2, 1]3 sollen auf diese Unterräume
projezieren. Ihre Eigenschaften sind denen in (LB.3) äquivalent. Um zu
übersichtlichen Gleichungen zu kommen, definiert man noch 1]i

Der Operator 'f/i T 'f/j, also die kinetische Energie, ist diagonal in den Unterräumen,
das heißt, daß ein Teilchen ohne Wechselwirkung nicht plötzlich durch eine Wellenfunktion
aus einem anderen Teilraum beschrieben wird. Übergänge zwischen den
Teilräumen werden nur durch das Potential vermittelt. Der Energieeigenwert Eist
ebenfalls diagonal, da er schließlich nur eine reelle Zahl ist. Mit diesen Überlegungen
und der Abkürzung Vij = 'f/iV'f/j wird aus Gleichung (I.B.20)
3
[E - Tl

.... ,
p
...
p
.... ,
-p
....
-p
D.flnltlon des SehverpunktsystmD8
Abbildung (I.B.l)
I.B. Projektion auf nukleonische Freiheitsgrade Seite 19

11. Feldtheoretische Beschreibung der Wechselwirkung
ILA. Lagrangedichten der Mesonenkopplungen
In dem letzten Kapitel ist ein Ausdruck für das Potential hergeleitet worden, Indem
ein Wechselwirkungsterm Hi eingeführt wurde. Dieser Hamilton-Operator steht
im Zusammenhang mit den aus der Feldtheorie bekannten Lagrangedichten. Dazu
schreibt man H i als Integral über die Hamiltondichte hi , welche sich mittels der
Lagrangedichte, den konjugierten Impulsen und Ableitungen auf die dazugehörigen
Felder darstellen läßt.
mit 7r s - zu

ist gerade die Ladungsunabhängigkeit der starken Wechselwirkung, welche in der
Natur approximativ erfüllt ist. Weiterhin betrachten wir in der Arbeit nur Mesonen
ohne Strangeness, da die Nukleonen, im Gegensatz zu höheren Anregungen, keine
Strangeness haben.
Die Mesonen unterscheiden sich durch ihre Quantenzahlen. Ein ausreichendes System
ist gerade durch den Spin J, die Parität P und den Isospin T gegeben, dementsprechend
lassen die Mesonen sich in den dazugehörigen Eigenräumen diagonalisieren.
Die zu betrachtenden Mesonen haben das folgende Spektrum.
J = 0,1 P=+,- T= 0,1 (ILA.4 )
Also benötigt man für jede mögliche Quantenzahlkonfiguration eine Lagrangedichte
und muß dann überprüfen, ob ein Meson mit diesen Quantenzahlen überhaupt bekannt
ist und welche Masse es gegebenenfalls besitzt. Die folgende Liste stellt die
von uns benutzten Dichten, geordnet nach Quantenzahlen, dar.
1. Skalare, isoskalare Mesonen J =0 ; P=+ ; T=O
0- Meson m6 = 983 Me V
2. Skalare, isovektorielle Mesonen J =0 ; P=+ ; T=l
€- Meson m E = 590 Me V
(II.A.5)
(II.A.6)
II.A. Lagrangedichten der Mesonenkopplungen Seite 21

3. Pseudoskalare, isoskalare Mesonen J =0 ; P=- ; T=O
'rJ- Meson m'l = 548.8 Me V
4. Pseudoskalare, isovektorielle Mesonen J=O ; P= - ; T=l
7r- Meson m7!' = 136.5 MeV
(II.A.7)
Diese Kopplung nimmt eine Ausnahmestellung ein, da das niedrigste Meson mit
entsprechenden Quantenzahlen das 7r-Meson ist. Dieses Meson hat aufgrund der
sehr geringen Masse die größte Reichweite und ist deshalb sehr gut beobachtbar.
Man hat hier also gewisse Chancen, zu entscheiden, welche Lagrangedichte die
richtige Beschreibung liefert. Zur Verfügung stehen zwei Kopplungen,
a) die sogenannte pseudoskalare Kopplung
b) und die sogenannte pseudovektorielle Kopplung
rpv .f,T. V,T'a.:r.
iv.t- ps = Z-'i!,5, 'i! v"i!i,
r
wobei r die Mesonenmasse darstellt.
Diese bei den Lagrangedichten liefern für Teilchen, die auf der Massenschale sind,
exakt die gleiche Kopplung, falls -i!n = ;. Für Teilchen, bei denen nicht p2 = m 2
zutrifft, kann man die Dirac-Gleichung nicht anwenden, und man erhält für die
Lösungen negativer Frequenz unterschiedliche Kopplungen. Die Erzeugung dieser
Zustände wird mit der pseudovektoriellen Kopplung um die Größenordnung
m 2 gegenüber der pseudoskalaren Kopplung unterdrückt. Die pseudovektorielle
Kopplung ist nicht renormierbar, wie man es eigentlich von einer Lagrangedichte
fordern sollte, aber da die Mesonen keine elementaren Teilchen sind, ist dies nicht
notwendig. Die übergreifende Theorie, die Quantenchromodynamik, ist renormierbar
und nach dem heutigen Verständnis ist dies auch zwingend notwendig,
da die Quarks und Gluonen für elementar gehalten werden.
II.A. Lagrangedichten der Mesonenkopplungen Seite 22

Damit sind alle Lagrangedichten, die benutzt werden, dargestellt und zu jedem Typ
das leichteste Meson angegeben. Eine Sonderstellung hat das €-Meson, da es eigentlich
nicht als Teilchen gemessen wurde. Bei Streuexperimenten mißt man in der
Partialwelle, die zu dem J=Oj P=+ jT=l Austausch gehört, eine sehr breite Resonanz,
die auf ein Teilchen hindeuten könnte. Wir haben in Anlehnung an andere
Potentialmodelle dieses Meson mit einer Masse von 590 Me V hinzugenommen. Die
Masse des Mesons spielt für die Reproduktion der experimentellen Daten keine große
Rolle. Alle anderen Mesonen sind mit den entsprechenden Massen gemessen worden.
Nun gibt es aber zu den gegebenen Quantenzahlen immer mehrere Mesonen, das
heißt höhere Anregungen, die natürlich auch zur starken Wechselwirkung beitragen.
Da man aber nicht alle Mesonen erfassen kann, das würde den Rahmen jeder Arbeit
sprengen, berücksichtigen wir sie durch effektive Terme.
Wenn man den Austausch von zwei unterschiedlichen Mesonen gleicher Quantenzahlen
hat, so unterscheiden sich die Ausdrücke im Potential nur durch die verschiedenen
Formfaktoren und Propagatoren.
mit a - alle Mesonen mit entsprechenden Quantenzahlen,
m Q - Massen,
ga - Kopplungskonstanten,
q2 _ ausgetauschter Viererimpuls,
F - Formfaktor.
(II.A.13)
Es ist nun aber so, daß die höheren Mesonen und Mesonenanregungen auch erheblich
höhere Massen besitzen. Somit ist die Impulsabhängigkeit der Propagatoren bei niedrigen
Impulsen sehr gering. Da die Formfaktoren die hohen Impulse unterdrücken,
kann man die Mesonenanregungen durch eine effektive Konstante berücksichtigen.
Das entspricht dann einer effektiven Kontaktwechselwirkung der Nukleonen.
Solch eine KonstanteL:a bekommt man für alle Mesonen, deren höhere Anregungen
man mitberücksichtigen will. Sie stehen mit den Kopplungskonstanten der einzelnen
Mesonen in keinem funktionalen Zusammenhang und müssen demnach den experimentellen
Daten angepaßt werden.
II.A. Lagrangedichten der Mesonenkopplungen Seite 25

H.B. Hadronische Formfaktoren und Regularisierung
Ohne die auf der vorherigen Seite schon erwähnten Formfaktoren stellt sich die Wechselwirkungen
dar, als ob die Hadronen punktförmige Teilchen wären. Wir haben also
die Nukleonen als Superposition von Lösungen der Dirac-Gleichung und die Mesonen
als Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung betrachtet. Nun steht aber spätestens seit
Entdeckung der Quarks fest, daß die Hadronen Struktur haben und daß man deshalb
nicht von Feldgleichungen für punktförmige Teilchen ausgehen darf. Als Beispiel für
die Diskrepanz der Beschreibung als punktförmige Teilchen und der experimentellen
Daten sei die Pionwechselwirkung genannt. Würde man mit den beschriebenen
Methoden das Potential ausrechnen und in den Ortsraum transformieren, so erhielte
man einen Kontaktterm der Form 8(r). Meson und Nukleon müßten sich also beliebig
nahe kommen, um etwas von der Wechselwirkung zu spüren.
Um diese Problematik zu lösen, ohne die Feldtheorie zu verlassen, kann man das
Potential mit Strukturfunktionen modifizieren. Diese Funktionen, auch Formfaktoren
genannt, kennt man aus der allgemeinen Herleitung des Nukleonstromes, der mit
dem elektromagnetischen Feld wechselwirkt. Würde man den Nukleonstrom direkt
aus der Dirac-Gleichung herleiten, so erhielte man für das Nukleon falsche magnetische
Momente.
Betrachtet man ganz allgemein die elektromagnetische Wechselwirkung eines Nukleons
mit einem anderen geladenen Teilchen, so muß man den Nukleonenstrom
nach allen möglichen Operatoren, welche die entsprechenden Invarianzforderungen
erfüllen, entwickeln. Fordern muß man zum Beispiel Lorentz-Invarianz, Stromerhaltung,
etc.. Die daraus folgenden Operatorstrukturen sind für die starke Wechselwirkung
identisch, da die Invarianzforderungen von der Wechselwirkung unabhängig
sind. Es bleiben nur die bei den Operatoren 'J.L und er J.LII' so daß man eine allgemeine
Entwicklung mit zwei von den übertragenen Impulsen abhängigen Funktionen
schreiben kann.
(ILB.2)
Die Entwicklungskoeffizienten stellen die erwähnten Formfaktoren dar und lassen sich
durch feldtheoretische Methoden bestimmen. Das ist in unserer Arbeitsgruppe in den
verschiedensten Näherungen durchgeführt worden.
Die entsprechenden Referenzen sind: [Dei 87] ;[Fle 90]; [Gar 84]; [Gar 85]; [Gar 86];
[Gar 90]; [Kau 78].
II.B. Hadronische Formfaktoren und Regularisierung Seite 26

Aufgrund unseres heutigen Verständnisses von Raum und Zeit scheint dies das richtige
Transfonnationsverhalten zu sein, aber in unserem Potentialmodell ist dies aus
technischen Gründen nicht durchführbar. Würde man die Schwerpuktsbewegung relativistisch
behandeln, so könnte man keine Partialwellenzerlegung durchführen, da
die Entwicklung in der üblichen Drehimpulsbasis nicht konvergieren würde. Deshalb
beschreibt man die Wechselwirkung im Schwerpunktsystem. Dies ist aber nur
möglich, wenn man Gallilei-Invarianz fordert.
Das bedeutet, daß die Impulse der beiden ein- beziehungsweise auslaufenden Teilchen
genau entgegengesetzt sind. Hiermit reduzieren sich die Impulsfreiheitsgrade von vier
auf zwei. Diese beiden Freiheitsgrade parametrisiert man derart, daß eine Variable
den überlaufenden Impuls darstellt, und die andere den Mittelwert der ein- und
auslaufenden Impulse.
-. ..... ....., ..... ....., ..... .....,
k = P - P = PI - PI = P2 - P2
(III.A.3)
Als Operatoren im Spinraum kormnen nur Kombinationen der Pauli-Spinmatritzen
und die Identität in Frage. Nimmt man 51 und 52 als die Operatoren, die auf den
Spin von Teilchen Eins beziehungsweise Teilchen Zwei wirken, so stellen sich die
Potentialfunktionen im Impuls- und Spinraum auf folgende Art und Weise dar:
(IILAA)
Die weiteren Bedingungen, die man aus den grundsätzlichen physikalischen Prinzipien
erhält, sind:
- Hermitezität
- Rotationsinvarinz
- Zeitumkehrinvarianz
- Teilchenvertauschungssymmetrie
- Paritätsinvarianz.
Hermitezität muß man für alle Operatoren fordern, die zu Observablen führen. Da
die Eigenwerte der Observablen Meßgrößen sind, müssen sie reell sein. Dies bedeutet,
daß der Operator hermitesch sein muß.
Da die Energie eines Systems und damit auch das Potential Skalare sind, das heißt,
daß sie keine Ausrichtung haben, muß man für den Potentialoperator Rotationsinvarianz
fordern.
III.A. Allgemeine Operatorstruktur des Potentials Seite 31

Die Zeitumkehrinvarianz wird als elementares Prinzip verstanden und ist in der klassischen
Physik eindeutig erfüllt. In der Quantenphysik ist dies nicht allgemein zu
beweisen, aber für die starke Wechselwirkung scheint sie erfüllt zu sein. In den Lagrangedichten
fließt sie mit ein.
Teilchenvertauschungssymmetrie setzt man voraus, da identische Teilchen beschrieben
werden. Im Isospinformalismus, welcher die Neutronen und die Protonen als
zwei verschiedenen Zustände derselben Teilchendarstellung beschreibt, ist es prinzipiell
nicht möglich, zwei Teilchen zu unterscheiden. Durch keine Messung kann man
demnach Informationen darüber erhalten, welches Teilchen Eins oder Teilchen Zwei
ist. Somit muß jede Observable in den Teilchen symmetrisch sein. Sieht man sich die
Definition (IILA.3) der Impulse kund q an , so erhalten sie bei Teiichenvertauschung
ein negatives Vorzeichen. Daraus folgt:
(IILA.5)
Die Paritätsinvarianz ist ebenfalls eine Invarianz, die in der klassischen Physik exakt
erfüllt ist, in der Quantenphysik aber nicht mehr uneingeschränkt gilt und somit
experimentell gezeigt werden muß. Für die elektroschwache Wechselwirkung ist sie
nicht erfüllt, sondern nur eine Kombination aus Zeitumkehr, Ladungskonjugation
und Parität.
Für die starke Wechselwirkung gilt aber unumstritten, daß die Parität erhalten sein
muß.
Für die Operatoren im Impulsraum bedeutet dies, das alle Impulse ein negatives
Vorzeichen erhalten. Da die Transformationsvorschriften der Spinoren und somit der
Teilchen anders sind als die der Vektoren, muß man deren Paritätstransformation
gesondert untersuchen. Die Teilchen haben eine innere Parität. Deshalb muß man
für sie eine Transformation finden, welche sie von einem System in dessen gespiegeltes
System bringt, ohne daß die physikalischen Eigenschaften sich ändern. Da sie durch
die Dirac-Gleichung beschrieben werden, bedeutet dies:
(IILA.6)
Und beim Übergang in das gespiegelte System, welches durch gestrichene Größen
gekennzeichnet ist, muß somit die folgende Gleichung gelten:
III.A. Allgemeine Operatorstruktur des Potentials Seite 32

· rll/L,T, I ,T, I - 0
Z'/LU '.I:' - m'.l:' - .
Gesucht ist eine Tranformation S, die den Spinor von einem System in das andere
transformiert.
Da die partiellen Ableitungen Operatoren im Ortsraum sind, werden sie durch die
uneigentliche Lorentstranformation in das gespiegelte System überführt.
Weil der Operator S nur im Spinorraum wirkt, kommutiert er mit A. Beachtet man
noch, daß das Hin- und Zurückspiegeln der Spinoren eine Identitätsabbildung ist, so
erhält man:
Man muß S also nur derart wählen, daß
beziehungsweise
erfüllt sind.
Ein Operator, der diese Eigenschaften hat, lautet
o
-1
o
o
o
o
-1
o
III.A. Allgemeine Operatorstruktur des Potentials Seite 33

gleich oder unterschiedlich sind. Anschaulich heißt das, daß die Parität des Potentialoperators
negativ sein muß, falls die Zustände in den Matrixelementen entgegengesetzte
innere Parität besitzen. Insgesamt muß jedes Matrixelement paritätsinvariant
sein, also benötigt man Potentiale, die einen Übergang vermitteln.
Somit erhalten wir für die Potantiale ohne Paritätsübergang die folgenden sieben
möglichen Operatorstrukturen.
(1) 1
(2) i (51 ; 52 ) . (k x q)
(3)
(4)
(5)
.... ....
51 . k 52' k
.... ........ ....
0"1 . q 0"2 . q
(6) 51.52
(7)
.... (k x q) . 52 (k x q)
0"1
.... ....
-+ k -+ -+ ..... ....... k
0"1' 0"2' q + 0"1 . q (72 .
Der siebte Operartor ist aber von den Operatoren Drei bis Sechs linear abhängig, mit
.... .... (..... ;:;'\2 -+ ..... ( ...... ..... -+ -+ -+ .......... -+
0"1'(72 kxq) +k·q O"I·k 0"2'q+(71'q (72·k),
so daß man für die Potentiale ohne Paritätsübergang folgende Darstellung erhält:
(IILA.9)
III.A. Allgemeine Operatorstruktur des Potentials Seite 35

Für die Fermionenoperatoren b gelten die folgenden Antikommutatorrelationen:
[b(p, s, r), b(p', s', r ')] + = 0,
und für die Mesonenoperatoren a gelten die folgende Kommutatorrelationen:
[ t .... t .... , , , ]
a (k{,A,r}),a (k {,A ,r }) _ = 0
[a(k{,A,r}),a(k'{,A',r'})]_ =0.
(IILB.2)
(IILB.3)
Voll ausgeschrieben, das heißt alle Felder in die Lagrangedichten und diese wiederum
in IILB.l eingesetzt, lautet der Ausdruck, mit dem das Potential zu berechnen ist:
(IILB.4)
III.B. Das Ein-Boson-Austausch-Potential Seite 38

der auf das Vakuum wirkt, verschwindet, ist der einzige Term, der dann übrig bleibt,
die Deltafunktion. Damit kann man dann die Integration durchführen.
Schließlich muß man noch beachten, daß das Potential symmetrisch unter Teilchenvertauschllllg
sein soll. Deshalb muß man im Potential die Zustände mit einem Nukleon
positiver Energie und einem Nukleon negativer Energie symmetrisch addieren. Führt
man dann noch die Formfaktoren ein, die in Kapitel II behandelt wurden, so erhält
man folgende Terme:
mit
r(-< ) _ {u(p,s) falls r=l
w p,S - V(-p,8) fallsr=2
Die Operatoren t sind dabei von den Kopplungsoperatoren r zu unterscheiden; da
hier auch Anteile der Mesonenfelder enthalten sein können. Nun werden die verschiedenen
Terme zu den Übergangspotentialen zusammengefaßt. Die Ordnungskriterien
sind dabei die Anfangs- und Endzustände, die man mittels der Projektoren 7}i und
7}j vorgibt. Das heißt, daß 7}1 auf den Raum mit zwei Teilchen positiver Frequenz,
7}2 auf den Raum mit einem Teilchen positiver und einem negativer Frequenz und 7}3
auf den Raum mit zwei Teilchen negativer Frequenz projeziert. Damit erhält man:
ij = 11
ij = 12
ij = 13
ij = 21
V. ( -

4. Pseudovektorielle Kopplung.
. . -,,--_ ( -8· P' - 8 . P
....:....
Jepepl wl(jJ', s '},s,owJ(jJ' , s') =
2m N -1 + 8 . ß ' 8 . ß
. . e e I
-1( .... ' ') 5 .... J( .... , ') ye;e;;
W P ,s "w p ,s =
2mN .... p
( ............ , ............
-(J-(J'P (J(Jp
(J. .... , (J-(J(J'
.... ........ p ....
-1+8·P'8·P
.... ....)
(III.B.10)
.... ....
8·P'+8·P
)
-+ 1-+ -+-.
-(J . P .... (J + (J (J . P ....
.... ....
-8 - 8· P' 88P
Diese Matrizen werden nun in die Ausdrücke für die Übergangsoperatoren eingesetzt.
Als Ergebnis erhält man Terme in 8 und im Impuls. Diese Operatoren kann man
mit den Rechenregeln für SU(2)-Generatoren vereinfachen. Wie schon angedeutet,
treten die Spinmatrizen nur in maximal zweiter Ordnung auf. In den folgenden
Rechenregeln sind den Indizes die entsprechenden Teilchen zugeordnet. Kein Index
bedeutet die Anwendung auf gleiche Teilchen.
1
2 8 . 8 Ä = Ä - i (8 x Ä)
3 8 . 18 . B = 1· B + i8 . (1 x B)
4 8 . (8 x Ä) = 2i8 Ä
5 (8 x .4) 8 . B = -1 x B + i8 (1. B) - i( 8 . 1) B
6 8 x 8 x 1 = -21 + i8 x 1
7 (8 x Ä) (8 x B) = 2.4 . B + i8 . (.4 x B)
III.B. Das Ein-Boson-Austausch-Potential Seite 44

Wendet man diese Regeln an, so erhält man letztendlich die Operatorstruktur , die
in Kapitel ILA. aufgrund von Symmetrieüberlegungen hergeleitet wurde. Die entsprechenden
Gleichungen sind II.A.9 und II.A.10 . Da diese Rechnung aber sehr aufwendig
ist, haben wir auf ein Algebraprogramm zurückgegriffen und die Ausdrücke
analytisch vorn Computer berechnen lassen.
Grundlage für dieses Algebraprogramm ist ein Interpreter, welcher selbstdefinierte
Objekte nach eigenen Rechenregeln umformen kann. Das Programmpaket erzeugt
einen Fortranquelltext, in dem die reellen, skalaren Funktionen, nach den 12 Operatorstrukturen
geordnet, enthalten sind. Der Quelltext, welcher sich als Ergebnis
ergibt, beträgt ungefähr 30 kByte. Das heißt, das gesamte Potential würde ausgeschrieben
ungefähr 25 Seiten lang sein. Deshalb verzichten wir hier auf die Darstellung
der gesamten Funktionen. Für das Übergangspotential V 11 sind die gesamten
Funktionen in den Referenzen [Nie 84] und [Gar 90] aufgeführt, sie stellen für Teilchen
auf der Massenschale den gesamten Potentialausdruck dar.
Da diese Funktionen Skalare sind und nur von Impulsquadraten abhängen, braucht
man zur weiteren Behandlung der Operatorstruktur nur noch von den 12 Operatoren
die entsprechenden Matrixelemente zu berechnen.
Dazu muß man sich Gedanken um die zu verwendende Basis machen. Das Deuteron
ist in der nichtrelativistischen Reduktion ein gekoppelter Zustand zweier Partialwellen
in der Drehimpulsbasis ist. Die Streuphasen, die man ebenfalls berechnen
will, sind auch in der Drehimpulsbasis entwickelt. Man geht dabei davon aus, daß
das ganze Problem rotationsinvariant ist, denn dann erzeugen die Eigenvektoren der
Schrödinger-Gleichung die Drehimpulsbasis. Also entwickeln wir in der Drehimpulsbasis.
Andere Basen wären auch vorstellbar, würden aber zu erheblichen Schwierigkeiten
führen, da die Entwicklungen im allgemeinen schlecht konvergieren würden.
Die Berechnung der Matrixelemente in der Drehimpulsbasis ist für die sechs Operatoren
gerader Parität schon in den früheren Potentialmodellen geschehen. Die sechs
Operatoren negativer Parität sind von uns dann neu berechnet worden. Für die
Notation und die Rechenregeln der Drehimpulskopplungen haben wir die folgenden
zwei Referenzen benutzt: [Mes 85], [Tal 63]. Die Ergebnisse stehen aufgrund ihres
III.B. Das Ein-Boson-Austausch-Potential Seite 45

4. Antisymmetrie der Wellenfunktion (Pauli-Prinzip).
Si + Li + T = ungerade (III.B.14)
Die vierte Regel ist nicht für das N+N--System gültig, da dies keine identischen
Teilchen sind, das heißt, daß sie nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen.
Deshalb wäre zum Beispiel für das Deuteron in dieser Kofiguration eine Singulettund
eine Triplettwelle mit Drehimpuls L=l erlaubt. Das Deuteron ist auf der Massenschale
durch eine 3S1-Welle und eine 3D1-Beimischung gegeben. Somit gibt es
keinen Übergangsoperator, welcher an die Triplettwelle mit L=l koppelt. Deshalb
wird diese Welle in unserem Modell gar nicht erst auftreten. Dieser Effekt liegt
unmittelbar daran, das wir das Potential explizit symmetrisiert haben.
Die Arbeiten von F.Gross [Gro 74], [Gro 79], [Gro 89],[Gro 90] zu diesem Themengebiet
symmetrisieren das Potential nicht. Daher enthalten seine Ergebnisse die
Triplettwelle, welche sogar dreimal stärker beimischt als die Singulettwelle. Das Argument
ist, daß dort ein Teilchen auf der Massenschale betrachtet wird und somit
zwischen den bei den unterschieden werden kann. Das ist allerdings sehr fragwürdig,
da dies nur eine Näherung des gesamten Modells mit zwei Teilchen fern der Massenschale
sein kann. Das heißt, daß gegenüber einer Darstellung im erweiterten Modell
keine zusätzlichen Partialwellen auftreten dürfen. Abgesehen davon kann man in einem
Modell, welches Teilchen Eins auf der Massenschale hält, noch nicht zwischen
den Teilchen unterscheiden, da keine Aussage darüber gemacht werden kann, ob
das Neutron oder das Proton auf die Massenschale gesetzt wird. Die von F. Gross angeführten
Arbeiten über das Wasserstoffproblem beinhalten diese Schwierigkeit nicht,
da zwischen Proton und Elektron unterschieden werden kann.
Auf der nächsten Seite sind alle erlaubten Partialwellen mit Drehimpulsen kleiner als
vier aufgeführt. Die Partialwellen, die nicht an die anderen koppeln, stehen dabei in
einer Extraspalte. Die Notation ist die in der Kernphysik übliche: 25+1 LJ.
III.B. Das Ein-Boson-Austausch-Potential Seite 47

IV. Zwei-Teilchen-Gleichungssysteme im Impulsraum
IV.A. Die Deuteron-Gleichungen
Nach der Ableitung des Potentials in diesem speziellen Modell werden wir nun versuchen,
damit experimentelle Daten zu reproduzieren. Wie schon mehrfach angedeutet,
werden wir dabei sowohl Meßdaten des Deuterons, als auch die der Streuprozesse
berechnen. Die Grundlage bei der Datensätze bildet die in Kapitel I hergeleitete
Schrödinger-Gleichung (I.B.21). Der wesentliche Unterschied ist, daß gebundene
Zustände negative und Streuzustände positive Energieeigenwerte besitzen. Im Energiespektrum
bedeutet das, daß die Streuenergien kontinuierlich sind, während die
gebundenen Zustände nur diskrete Eigenwerte haben. Deshalb ist es notwendig, zwei
vollständig verschiedene Lösungstechniken anzuwenden. In diesem Kapitel wird gezeigt,
wie man die Gleichung für gebundene Zustände löst.
In der Natur gibt es nur einen durch die starke Wechselwirkung gebundenen Zweinukleonenzustand
gibt. Diesen nennt man Deuteron. Er besteht, im klassischen Sinne,
aus einem Neutron und einem Proton. Im Isospinformalismus erhält dieses Sytem
die Quantenzahl T=O. Die Spins der Nukleonen, es sind beides Spin t Teilchen,
koppeln zu S=1. Der Bahndrehimpuls ist in der nichtrelativistischen Reduktion ein
L=O Zustand mit einer L=2 Beimischung. Mit den Erweiterungen der negativen
Energiezustände erhält man zusätzlich eine L=l Beimischung. Spin und Bahndrehimpuls
sind zum Gesamtimpuls J=l gekoppelt. Demnach ist es am vernünftigsten,
die Schrödingergleichung nach Eigenzuständen dieser Quantenzahlen zu entwickeln
und auf die zu erwartenden Partialwellen zu projezieren. Das Potential ist so erstellt
worden, daß es rotationsinvariant ist und somit die Wellen der Drehimpulsbasis
Eigenzustände sind.
Die entsprechende Gleichung aus Kapitel I lautet:
3
[E - Tllw(l») = L V(li) IW(i») (IV.A.1)
i=l
3
[E - Tllw(2») = L V(2i) IW(i»)
i=l
3
[E - Tllw(3») = L V(3i) IW(i») .
Um eine Darstellung im Impulsraum zu erhalten, kann man nun die Einheit, bestehend
aus den Eigenzuständen des Impulsoperators J d 3 plpj (P1, jeweils zwischen
i=l
IV.A. Die Deuteron-Gleichungen Seite 49

(1) /\
U(01)10 = 3S 11
(2) /\
1
U(10)10 = PI,
(3) /\
U(01)10 = 3 SI,
(1) /\
U(21)10 = 3D l ,
(3) /\
U(21)10 = 3D l .
Die Stärke ihrer Beimischungen ist durch die Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens
gegeben. Das heißt, daß man folgende Integrale berechnen muß:
{= [(i) ] 2
Pi/ = 10 dp U(ls)JT
Da wir relativistisch rechnen, muß man noch beachten, daß der Energieeigenwert
E die Ruheenergie 2mN beinhaltet. Die eigentliche Bindungsenergie ist also durch
EBin. = E - 2mN gegeben.
Desweiteren ist zu erwarten, daß wir Eigenzustände für die Lösungen negativer Energie
erhalten werden, da wir in der Schrödinger-Gleichung eben solche Zustände eingeführt
haben. Wir bekommen also ein kontinuierliches Spektrum unterhalb von
E = -2mN. Das Problem tritt deshalb auf, weil wir nicht mit physikalischen Teilchen
rechnen, sondern mit formalen Lösungen der Dirac-Gleichung. Man muß also
explizit angeben, wie man mit diesen unphysikalischen Lösungen umgeht. Im Fall des
Deuterons bedeutet dies, daß wir das negative Energiekontinuum weglassen müssen.
Diese Zustände könnte man umgehen, indem man nicht Lösungen negativer Energie
ankoppelt, sondern Teilchen-Antiteilchen-Paare mit positiver Energie. Auf diese
Möglichkeit wird in der Zusammenfassung noch eingegangen.
IV.A. Die Deuteron-Gleichungen Seite 52

Eine formale Lösung der inhomogenen Lösung ist:
(IV.B.3)
Diese Funktion ist so leider nicht konvergent, aber der Hauptwert (V.p.) ist endlich.
Somit kann man versuchen durch geschickte Summation beim Integrieren gen au diesen
Hauptwert zu berechnen. Der Rechenweg wird am Schluß von IV.B. dargestellt.
Für die eigentliche Wellenfunktion bedeutet die Wahl des Hauptwertes, daß die einund
auslaufenden Anteile als stehende Welle dargestellt werden können.
Als gesamte Lösung erhält man dann für die Wellenfunktion:
V 1 J
d
3
3 ,''' V(ki)( --+ --+/)'T,(i) ( --+/)
.p. (k) P L p, P 'J.' p.
Ho (ti) - E(po) i=l
(IV.B.4)
Nun definieren wir die R-Matrix, welche die Lösungen der homogenen Gleichung mit
denen der inhomogenen verknüpft.
3
R(k)(l) = 2: V(ki)W(i) (IV.B.5)
Daraus wird mit der Darstellung der ebenen Wellen im Impulsraum:
i=l
3
::} (P1 R(k) Ipo) = J d 3 p'2: (P1 V(ki) Ip') (p'lw(i))
i=l
d!:} R(k)(--+ --)
- p,Po·
(IV.B.6)
(IV.B.7)
IV.B. Die Streuprozeß-Gleichungen Seite 54

Setzt man nun für (P'lw(i)) Gleichung (IV.B.4) ein, so bekommt man die Gleichung
R ( k) (-+ p,po -+ ) -
3
L / d 3 p I (P1 V(ki) Ip' ) 8 3 (p' - PO)8i1i=l
3
V "'/d3 '(;:;'1 V(ki) 1-+1) 1
.p. L P PI P H(i)( -+1) _ E( -+ )
1=1 0 P Po
3
/ d 3 p" LV(ij)(pl,pl)\I/j)(pl)
j=l
(IV.B.8)
Vergleicht man dies mit (IV.B.7), so wird aus dieser Gleichung schließlich eine Lippmann-Schwinger-Gleichung
für die R-Matrix
R
3 / V(ki)(-+ -+I)R(i)(-+I -+)
(k)(-+ -+) - V(k1)(-+ -+) _ V '" d3 I
p,Po - p,Po .p. L P
p,p P ,Po
C) •
i=l Hol (p') - E(po)
(IV.B.9)
Diese Gleichung bildet die Grundlage der Streuphasenberechnung. Aus den im letzten
Kapitel erwähnten Gründen, muß man diese Gleichung in der Drehimpulsbasis
entwickeln und auf entsprechende Quantenzahlen projezieren. Mit den üblichen
Abkürzungen für Matrixelemente und P = G wird dann aus Gleichung (IV.B.9):
3
(k)JT( ) (k1)JT() '" / I 12
R II, ss' p, Po = Vii' ss' p, Po - V.p. L dp P
i=l
V;(ki)JT( ')R(i)JT (' )
'" 11" SS" p, P 1"1' s" s' P ,po
L (") .
I" Ho' (p') - E(po)
(IV.B.lO)
Die gleiche Entwicklung läßt sich mit der Wellenfunktion durchführen, so daß man
die folgende Darstellung erhält:
3 (k)JT
'T,(k)JT( ) _ 8 (p - Po) r r r V R II'8s' (p,Po)
'J.' lI's8' p - 2 Uk1 uII'uss' - .p. (k) .
P Ho (p) - E(po)
(IV.B.1l)
IV.B. Die Streuprozeß-Gleichungen Seite 55

Die Wellenfunktion ist unter anderem noch von dem Relativimpuls der gestreuten
Teilchen abhängig. Um die Streuphasen zu erhalten, muß man die Asymptotik
der Wellenfunktion im Ortsraum betrachten. Durch Fourier-Transformation von
(IV.B.11) erhält man:
J
I . ((l )R(k)JT(, )
V d,,2 Jl' J)ff' r lI'ss' P ,Po
.p. P P H6 k )(p') - E(po) .
wobei j l(PO . r) - sphärische Besselfunktionen
(IV.B.12)
Von den Beimischllllgen ist natürlich nur das N+N+ -System interessant, weil nur
dieses in den Streuversuchen gemessen werden kann. Da die Detektoren mindestens
ein paar Zentimeter vom Kollisionsort enfernt sind und der Wechselwirkungsbereich
von der Größenordnung 1O-15m ist, sind im Meßbereich alle anderen Systeme verschwllllden.
In den Streugleichllllgen wird dies durch das Fehlen der homogenen
Lösungen für Syteme mit negativen Energien erkenntlich. Sie treten also nur in der
Wechselwirkung auf.
Die Asymptotik der Wellenfunktion erhält man, indem das auftretende Integral mit
Hilfe der Funktionentheorie gelöst wird. Demnach muß es in die komplexe Ebene
fortgesetzt und mittels des Residuensatzes integriert werden. Für die gekoppelten
und ungekoppelten Lösungen bekommt man so zwei verschiedene Asymptotiken.
1) U ngekoppelte Gleich llllgen:
,T,JT . ( ) 7r J 2 2R(1)JT( ) ( )
'Je' 1I',ss' --t Jl po . r + '2Po Po + m 1I',s8' Po,Po nl Po . r .
IV.B. Die Streuprozeß-Gleichungen
(IV.B.13)
Seite 56

2) Gekoppelte Gleichllllgen:
JT 7r J
7r J 2 2 R( 1 ) JT ( ) ( )
'2po Po + m J-lJ-l,ll Po,Po nJ-l Po . r
2 2 R( 1) JT ( ) ( )
W J+lJ-l,ll ---+'2Po Po + m J+lJ-l,ll Po,Po nJ+l Po . r
JT 7r J 2 2 ( 1 ) JT ( ) ( )
W J-IJ+l,ll ---+'2Po Po + m RJ-lJ+1,1l Po,Po nJ+l Po . r
7r /2 2R(1)JT ( ) ( )
'2Poy Po + m J+IJ+l,ll Po,Po nJ+l Po . r .
Wobei nl die sphärischen Neuman-Funktionen darstellen.
(IV.B.14)
Für die ungekoppelten Partialwellen sind die Streuphasen in der Stapp-Parametrisierung
identisch mit der ebenfalls gebräuchlichen Blatt-Biedenharn-Parametrisierllllg.
Es gilt:
( cJT) _7r J 2 2R(1)JT( )
tan VI,B = '2Po Po + m ll,ss Po,Po· (IV.B.15)
Die Streuphasen der gekoppelten Partialwellen sind etwas komplexer. Definiert man:
X
- 7r J 2 2R(1)JT
J±l - -'2Po Po + m J±lJ±l,ll
- 7r
und Y J 2R(1)JT
J - -'2Po Po + m J-lJ+l,ll
2
so erhält man die Streuphasen in der Blatt-Biedenharn-Parametrisierllllg:
( J) 2YJ
tan 2€ = X'
XJ-l - J+l
(IV.B.16)
IV.B. Die Streuprozeß-Gleichungen Seite 57

Der Zusammenhang mit der Stapp-Parametrisierung ist Folgender:
(IV.B.17)
Zusätzlich kann man die Niederenergiedateneffektive Reichweite rs , rt und Streulänge
as, at berechnen. Diese Daten sind an die klassische Kernphysik angelehnt, gegen die
unser Modell bei niedrigen Impulsen konvergieren muß. Die Bestimmungsgleichung
lautet:
J 1 1 2 4
pcot(8Is ) = --+ -p rs,t - Ord(p )
a s , t 2
Dabei steht s für die Singulett 1 So- und t für die Triplett 3 SI -Streuphase. Man muß
die Streuphasen 8 also für die bei den S-Wellen mit zwei niedrigen Relativimpulsen
berechnen und kann damit die Niederenergiedaten bestimmen.
Somit kann man durch die Berechnung der R-Matrix alle Streudaten direkt bestimmen.
Nun bleibt noch zu klären, wie man den Hauptwert der R-Matrix bestimmt.
Das in der Endformel divergierende Integral war:
3 J V;(ki)JT( ')R(i)JT (' )
V "" d 1 12 "" 11" ss" p, P 1"1' s" s' P ,Po
.p. Lt p P Lt C) .
i=1 I" Ho I (p ') - E(po)
Würde man nun einen Term der Form
J 3 (ki)JT (i)JT
2""
d IJ2 "" l'tl"ss" (p,po)RI"I's"s'(po,po)
Po Lt PA' Lt (i)
i=1 I" Ho (p ') - E(po)
abziehen, so stände im Integral eine hebbare Singularität, und der Integralwert wäre
endlich. Dazu müßte man zeigen, daß der Hauptwert des abzuziehenden Integrales
IV.B. Die Streuprozeß-Gleichungen Seite 58

Man bekommt also eine symmetrische, 5N x 5N -dimensionale Matrix. Eigenwerte
dieser Gleichung sind die um 2mN reduzierten Energieeigenwerte, von denen einer
gerade als Bindungsenergie des Deuterons ausgezeichnet ist. Der dazugehörige Eigenvektor
stellt, nach entsprechender Multiplikation mit den Gewichten, die reduzierte
Deu teronradial wellenfunktion dar.
Das Potential liegt, wie in Kapitel IH. gezeigt wurde, leider nicht als einfache Funktion
vor. Es ist vielmehr so, daß in den Matrixelementen noch je ein Integral zu
berechnen ist, was aber nur numerisch durchführbar ist. Das bedeutet, daß man für
jede einzelne Stützstelle der diskretisierten Gleichungssysteme mehrfach integrieren
muß. Insgesamt haben wir 18 Kopplungen, und für jede Kopplung sechs Matrixelemente
mit jeweils einer Integration. Daraus folgt, mit 16 Stützstellen, daß man
466944 mal die Funktion berechnen lassen muß. Symmetrisiert man die Matrix, so
sind die diametral gegenüberliegenden Nichtdiagonalelemente identisch, und somit
benötigt man nur noch 248064 Funktionsaufrufe.
Das Lösen der eigentlichen Gleichung ist dagegen ein verhältnismäßig kleines Problem.
Das Zeitverhältnis ist ungefähr Eins zu Tausend.
Die Symmetrisierung hat noch einen weiteren Vorteil. Für symmetrische Matrizen
gibt es nämlich Algorithmen, die erheblich schneller sind, als im allgemeinen Fall.
Um den einzigen Eigenwert zwischen -2mN und Null zu finden, benutzen wir zwei
Routinen aus dem EISPACK-Guide (EIgen-System-program-PACKet) [Smi 76]. Sie
heißen TRED1 und RATQR.
Schließlich muß man noch bedenken, daß man das Potential an die experimentellen
Daten anpassen muß. Dazu ist es notwendig, das Gleichungssystem mehrfach zu
lösen. Das Potential ist so berechnet worden, daß die unbekannten Kopplungskonstanten
nur anmultipliziert werden müssen. Deshalb ist es in einer Anpassungsprozedur,
die in Kapitel V.D. noch näher beschrieben wird, nur einmal nötig, die gesamte
Potentialmatrix zu berechnen.
Die benutzten Routinen sind ausschließlich in der Lage, den Eigenwert zu berechnen.
Dies reicht auch aus, da nur der Eigenwert hinreichend genau bekannt ist, um ihn
zur Anpassung der Kopplungskonstanten zu benutzen. Die Wellenfunktion selber
ist aber ebenfalls interessant, da man mit ihr zum Beispiel das Quadrupolmoment
bestimmen könnte. Deshalb benutzen wir nach geglückter Anpassungsprozedur noch
einen weitere Algorithmus, die sogenannte inverse Iteration, die die Wellenfunktion
liefert.
Die Grundlage der Iteration bildet das folgende Schema:
(H - 2mN - E D )1J! = 0
V.B. Numerische Lösung der Deuteron-Gleichung Seite 62

Es ist hierbei ein Schätzwert des Energieeigenwertes. Liegt dieser nahe genug am
exakten Eigenwert der jeweiligen Matrix, so konvergiert das Verfahren sehr schnell.
Der letzte Vektor W beinhaltet dann die Wellenfunktionen in allen Beimischungen,
und der Eigenwert ist durch
gegeben.
Das bei dieser Iteration auftretende inhomogene Gleichungssystem lösen wir mittels
Routinen, die von G. Niephaus programmiert worden sind.
V.B. Numerische Lösung der Deuteron-Gleichung Seite 63

umstellen. Dabei wurde po = PN+l gesetzt. Für gekoppelte Partialwellen erhält
man demnach zwei Gleichungssysteme, da l' sowohl die Werte J-1, als auch J+1
annehmen kann. Die beiden Systeme unterscheiden sich aber nur durch die Inhomogenitäten.
Deshalb lohnt es sich, die Matrix zuerst in eine obere und eine untere
Dreiecksmatrix zu zerlegen (LU-Zerlegung), um dann eine um so schnellere Routine
zum Lösen des Gleichungssystemes zu benutzen. Wir greifen hier wiederum auf
Routinen zurück, die von G. Niephaus programmiert worden sind.
V.C. Numerische Berechnung der Streuphasen Seite 65

Wichtet man noch die x2-Funktion mit der Anzahl der Daten, so erhält man ein X 2
pro Datum. Liegt dieser Wert unterhalb von Eins, so bedeutet das, daß im Mittel
alle theoretischen Ergebnisse innerhalb der Fehlergrenzen der experimentellen Daten
liegen.
Während des Anpassens hat es sich als nützlich erwiesen, die einzelnen Summen
in der X 2 - Funktion mit verschiedenen Gewichten zu multiplizieren, da sie alle sehr
unterschiedliche experimentelle Fehlergrenzen aufweisen. Somit wird zum Beispiel die
Deuteron-Bindungsenergie immer sehr gut herauskommen, da sie den am genauesten
gemessenen Wert hat. Die Abweichungen in den Streuphasen ist dann nicht mehr so
wichtig für die eigentliche X 2 -Funktion. Es ist also während der Prozedur erstmal
nicht so wichtig das X 2 zu minimieren, sondern eine modifizierte Funktion, so daß ein
gutes Gesamtbild entsteht.
Geschrieben ist das Programm in Fortran 77. Seine prinzipielle Blockstruktur ist in
der folgenden Abbildung schematisch dargestellt.
SIarlgerU
nein
Beuer, durch
Mlnull berechneler
Parameterslllz
S trauphasen
Oeuteron-BlndunIlSlnerlllel----_---( Ende
Oeuteron-ilel lenfunkl Ion ---
Blockstruktur des Prollramms zur AnPllssunll der Potlntllllpllrameter
Abbildung (V.D.l)
Bis zu diesem Zeitpunkt ist die X 2 Funktion mit mehreren Millionen Parametersätzen
berechnet worden, und die Ergebnisse sind noch keineswegs befriedigend. Man sieht
also, daß ein erheblicher Bedarf an Rechenzeit besteht. Mit einfachen Personal­
Computern hätte man dies niemals bewältigen können. Deshalb ist das gesamte
Softwarepaket parallel programmiert worden, das heißt wir benutzen acht T -800-
Transputer. Diese Prozessoren sind in der Lage, unabhängig voneinander zu arbeiten
und äußerst schnell Daten auszutauschen. Sie sind so konfiguriert worden, daß ein
V.D. Soft- und Hardwaretechnische Realisierung Seite 67

Transputer das Minimierungsprogramm trägt und die anderen Transputer je eine gekoppelte
Streuphase, zwei ungekoppelte Streuphasen oder das Deuteron berechnen.
Auf diese Art und Weise sind sieben Transputer vom Speicher her voll ausgelastet und
arbeiten alle ungefähr gleich lang. Der achte Transputer muß immer auf die Ergebnisse
der anderen warten und gibt ihnen dann den neu berechneten Parametersatz.
Die gen aue Verteilung ist in der nachstehenden Abbildung angegeben.
Personal-
Computer
eis
Peripherie
I
I I I
S lreuphllsen SI re uphll sen S t reuphllsen
/'IlnlmlerunR
........ ml I leis - 3SI - 3 ........ I
l
01
p -
S8 -
I1lnul I 1 3
P1
'--
I I I
SI reuphllsen SI reuphllsen SI reuphll sen Oeuteron
l p - 1 02 i- 3 3 - 'Je I I enfk I.
3 8 P Z - F 2 BlndunRs-
02 enarllll
RoullnenverlellunR und KonflRurellon der echl T-888 Trenspuler
Abbildung (V.D.2)
Da die Streuphasen etwas komplizierter zu berechnen sind, bestimmen wir sie mit
12 Stützstellen und das Deuteron mit 16. Eine Funktionsberechnung dauert dann
im vollständigen Modell zehn Sekunden, setzt man ein Teilchen auf die Massenschale
immer noch vier Sekunden, und setzt man beide Teilchen auf die Massenschale, so
dauert es zwei Sekunden. Die Strategie dabei ist, zuerst ein gutes Minimum für
beide Teilchen auf der Massenschale zu finden, da die bei den anderen Modelle nur
Korrekturen sind und somit sehr schnell konvergieren müssen.
V.D. Soft- und Hardwaretechnische Realisierung Seite 68

Desweiteren ist versucht worden mit beiden Teilchen fern der Massenschale zu rechnen.
Analytisch haben wir dieses Modell hergeleitet und die Gleichungen weisen keine
prinzipiellen Schwierigkeiten auf. Nun hat es sich aber gezeigt, daß die Beimischung
der negativen Zustände in den Modellen mit einem Teilchen auf der Massenschale
äußerst gering war. In dem kompletten Modell kommen noch zwei Zustände dazu,
die jeweils zwei Teilchen in negativen Zuständen beinhalten. Aufgrund ihrer niedrigen
Energie sind sie somit noch viel stärker unterdrückt. Das bedeutet, daß man
in dem gekoppelten Gleichungssystem von den fünf Gleichungen eine hat, die um
einen Faktor 10- 5 und zwei Gleichungen, die um mindestens 10- 8 unterdrückt sind.
Die numerischen Rechnungen haben gezeigt, daß dieses System in der Art, wie wir
es gerechnet haben, nicht stabil ist, also keine vernünftigen Wellenfunktionen liefert.
Wahrscheinlich sind dies unter anderem Rundungseffekte, die auch durch mehr
Stützstellen nicht zu beheben sind.
Somit ist auf den folgenden Seiten eine Darstellung der sieben untersuchten Modelle
zu finden. Am Anfang stehen die Kopplungskonstanten der verschiedenen
Modelle. Desweiteren sind jeweils tabellarisch die Deuteron-Bindungsenergie, die
Wellenfunktions-Beimischungen und die Niederenergie-Streuparameter aufgeführt.
Anschließend sind die Streuphasen bis J=2 graphisch dargestellt. Die Fehlerbalken
geben dabei die experimentellen Daten wieder, die durchgezogenen Linien die
theoretischen Kurven des Modells mit beiden Teilchen auf der Massenschale und die
gestrichelte Linie die Kurven des Modells mit einem Teilchen auf der Massenschale
und der pseudovektoriellen Pion-Kopplung.
Die Datenquellen sind dabei die folgenden:
Deu teron -Bindungsenergie
Niederenergie-Streuparameter S=O
Niederenergie-Streuparameter S= 1
Streuphasen
[Leu 82J
[Dum 83J
[Hou 71], [Dil 75], [Kla 84]
[Arn 83J
VI. Diskussion der Ergebnisse Seite 71

Modell 4 - Ein Teichen off-mass-shell - >'71' = 0.4
Meson (Sp ,T) Masse
gr
47r
K
L;.
(GeV)-2
7r (0-,1 ) 136.5 MeV 14.542 7.9695
77 (0- ,0) 548.8 MeV 8.4959 20.527
p (1-,1) 776.0 MeV 0.1232 4.2465 0.0000 0.0000
w (1- ,0) 782.4 MeV 5.9784 -0.0347 9.3737 0.0001
8 (0+ ,1) 983.0 MeV 18.611 10.649
€ (0+ ,0) 590.0 MeV 6.1379 7.4744
Al (1 +,1) 1275.0 MeV 0.3181 0.0000
Größe Theorie Experiment
Deuteron-Bindungsenergie ED -2.224359 MeV -2.224575(9) MeV
S-Wellen-Beimischung Ps 95.19 % -
D-Wellen-Beimischung PD 4.811 % -
P -Wellen-Beimischung Pp 0.00172 % -
S=O Streulänge as -22.823 fm -23.748(10) fm
effektive Reichweite rs 2.628 fm 2.75(5) fm
8=1 Streulänge at 5.558 fm 5.419(10) fm
effektive Reichweite rt 2.451 fm 1. 754(8) fm
VI. Diskussion der Ergebnisse Seite 75
I
K

Man hat also gesehen, daß die Korrekturen der Zustände negativer Energie in der
Phasenberechnung gegenüber anderen Effekten vernachlässigbar sind. Bei der Berechnung
der Deuteron-Wellenfunktion erhält man eine Beimischung der L=l Welle,
die ein direktes Maß für die Stärke der Kopplung an diese Zustände ist. Da dies ein
wichtiges Ergebniss der Arbeit ist, sei hier nochmal tabellarisch die Wahrscheinlichkeit
der verschiedenen Wellen in den sieben Modellen aufgeführt.
.A 7r Ps [%] PD [%] Pp [%]
Modell 1 - 95.76 4.243 -
Modell 2 0.0 95.78 4.224 0.00103
Modell 3 0.2 94.61 5.388 0.00159
Modell 4 0.4 95.19 4.811 0.00172
Modell 5 0.6 94.86 5.139 0.00435
Modell 6 0.8 94.91 5.079 0.00856
Modell 7 1.0 93.77 6.215 0.01453
VI. Diskussion der Ergebnisse Seite 89

VII. Zusammenfassung und Ausblick
Ziel dieser Arbeit war es, in bestehenden Modellen zur Beschreibung der starken
Wechselwirkung die Effekte von negativen Energiezuständen zu untersuchen. Diese
Zustände erhält man automatisch im Rahmen einer relativistischen Feldtheorie.
Frühere Modelle näherten die auftretenden Kopplungen mittels der Foldy-Wouthysen-Transformation,
so daß die negativen Zustände nur effektiv enthalten waren.
Zur Beschreibung gingen wir von einer Schrödinger-Gleichung aus und der erste
Schritt war das Herleiten eines berechenbaren Potentialausdruckes. Dies konnte
nur ein näherndes Verfahren sein, da eine vollständige Beschreibung unter Berücksichtigung
aller hadronischen Wechselwirkungen zwar prinzipiell vorstellbar, technisch
aber in keiner Weise handzuhaben ist. Also transformierten wir das Zwei­
Teilchen-System auf den nukleonischen Teil, so daß die höheren hadronischen Anregungen
effektiv berücksichtigt wurden. Dieses System wurde dann auf die zu negativen
Energien gehörigen Unterräume des verbleibenden Hilbertraumes projeziert.
Damit war es möglich die negativen Zustände explizit zu berücksichtigen.
Die in diesen Ausdrücken stehenden allgemeinen Kopplungen wurden dann durch Lagrangedichten
beschrieben, welche die zu fordernden Symmetrien aufwiesen. Zu jeder
Wechselwirkungsdichte wurde ein physikalisch gemessenes Meson berücksichtigt und
höhere Mesonenanregungen durch einen effektiven Zusatzterm genähert.Da man es
nicht mit punktförmigen Teilchen zu tun hat, und das Potential regularisiert werden
mußte, wurden Formfaktoren eingeführt, die die Struktur der Nukleonen beschreiben.
Die somit erhaltenen Gleichungen sind daraufhin im Impulsraum dargestellt worden.
Aufgrund der Fülle der zu berechnenden Terme haben wir sie übersichtlich nach
Operatorstrukturen geordnet, so daß man nur wenige Matrixelemente zu berechnen
hatte. In diesen Elementen erkannte man sehr klar die Übergangsregeln der starken
Wechselwirkung, die man natürlich mit den Symmetrieanforderungen in das Modell
hineingesteckt hat. Als Folge der negativen Energiezustände erhielt man für das
Deuteron eine weitere Partialwellenbeimischung mit entgegengesetzter Parität, die
Singulett L=l Welle.
Mittels der beschriebenen Methoden wurden Observablen der Streuung und des Deuterons
berechnet, und durch den Vergleich mit den gemessenen Daten die freien Parameter
des Modells angepaßt. Diese Prozedur ist bisher leider nicht befriedigend
gelungen. Auf bekannte Parametersätze konnte nicht zurückgegriffen werden, da dieses
Modell gegenüber anderen Unterschiede aufweist, die sich sehr empfindlich auf
die Daten auswirken. Der Hauptunterschied ist dabei die Vermeidung der nichtrelativistischen
Reduktionen.
Die Rechnungen haben gezeigt, daß es grundsätzlich möglich erscheint das Zwei­
Nukleonen-System mittels eines Ein-Boson-Austausch-Potentials im Rahmen einer
VII.Zusammenfassung und Ausblick Seite 91

elativistischen Feldtheorie bis zur Pionerzeugilllsschwelle zu beschreiben. Die Hinzunahme
der Zustände negativer Energie bringt nur verhältnismäßig kleine Effekte
für die Streuphasen. Es hatte sich gezeigt, daß die Deuteron-Gleichung relativ unempfindlich
gegenüber geringfügigen Änderungen in den Kopplungsparametern ist.
Deshalb kann man den Ergebnissen der Beimischungen trotz schlechter Reproduktion
der Streudaten trauen. Dabei zeigte sich, daß die Singulett L=l Welle ungefähr
um 10- 5 unterdrückt ist gegenüber der Triplett L=O Welle, falls man die pseudovektorielle
Pion-Kopplung ansetzte. Mit der wahrscheinlich unphysikalischen pseudoskalaren
Kopplung erhöhte sich die Beimischung auf 10- 4 • Für die Amplituden
erhält man ab 4.0 fm- 1 für alle drei Wellen die gleiche Größenordnung, so daß alle
Prozesse, die in diesem Bereich messen, mit den Zuständen negativer Frequenz besser
darstellbar sein sollten. Es erscheint also notwendig, bei der Beschreibung eines
reinen hadronischen Systems diese Zustände zu berücksichtigen, falls die Berechnilllg
der Observablen die Wellenfunktion bei hohen Impulsen benötigt. Insbesondere für
die Elektronstreuung am Deuteron muß man diese Zustände berücksichtigen, denn
dadurch, daß ein Zustand negativer Energie eine entgegengesetzte innere Parität gegenüber
des positiven Zustandes besitzt, sind die Amplituden der P-Welle wichtig.
Wie in der Einleitung schon erwähnt wurde, war die Motivation für unseren Ansatz
bezüglich der negativen Zustände die Arbeiten von F.Gross. Somit ist insbesondere
von uns der Ansatz der negativen Energien, anstatt der realen Antinukleonen mit positiver
Energie, von ihm übernommen worden. Dabei hat sich direkt gezeigt, daß sein
Ansatz ohne das Symmetrisieren der Operatoren zu größeren Beimischilllgen führt,
da seine nicht symmetrischen Operatoren eine Triplett L=l Welle ankoppeln. Wir
hingegen haben die Operatoren symmetrisiert, da man es mit identischen Nukleonen
zu tun hat. Die Folge war, daß die Triplett L=l Welle zwar erlaubt ist, aufgrund der
Übergangsregeln des Potentials aber nicht an die anderen Partialwellen ankoppelt
und deshalb nicht auftritt.
Desweiteren ist im Laufe der Arbeit eine Schwierigkeit aufgetreten, welche es notwendig
erscheinen läßt, die negativen Zustände auf eine andere Weise zu berücksichtigen.
Das Problem ist, daß man in den Gleichungen die Zustände der negativen Lösungen
explizit als Teilchen implementiert hat. Im Energiespektrum des Deuterons bedeutet
dies, daß man neben dem bekannten positiven Kontinuum und dem Bindungszustand
ein zusätzliches negatives Kontinuum erhält. Dieses Kontinuum ist unphysikalisch,
da sonst kein stabiler Zwei-Teilchen-Zustand existieren würde, so daß man ihn künstlich
herausnehmen muß.
Eine andere Möglichkeit wäre es, gar nicht erst negative Energiezustände, sondern
Paarerzeugung im Kern zu betrachten. Dies wäre äquivalent der Normalordnilllg in
der Feldtheorie und würde das vollständige System mit allen Freiheitsgraden beinhalten.
Zusätzlich hätte man kein negatives Energiekontinuum, da die Energien um
zwei Nukleonenmassen höher lägen. Außerdem wären diese Lösungen in den Streu-
VII.Zusammenfassung und Ausblick Seite 92

gleichungen derart enthalten, daß bei entsprechend hohen Energien diese Paare real
erzeugt würden. Das Potential könnte diesen Energiebereich zwar nicht beschreiben,
aber seine Auswirkungen auf die niedrigereren Energien wären zum Teil implementiert.
Die entsprechenden Rechnungen sind schon in Vorbereitung.
VII.Zusammenfassung und Ausblick Seite 93

Anhang
Anhang A: Definition der Notation
Wir benutzen in dieser Arbeit eine Notation, die an die Lehrbücher von Bjorken
und Drell [Bjo 64], [Bjo 65] angelehnt ist. Als Einheiten verwenden wir die in der
theoretischen Physik üblichen natürlichen Einheiten. Sie sind definiert durch:
n=c=l
n - Planksches Wirkungs quantum
c - Vakuumlichtgeschwindigkeit .
(A.1)
Damit erhalten die drei üblichen Grundgrößen Länge L, Masse M und Zeit Teine
Potenz einer einzigen Einheit, die man in der Regel Mev oder fm nennt. Mit der
Beziehung n . c = 197.3258M ev . fm kann man sie ineinander umrechnen.
Diese natürlichen Einheiten kann man mittels der folgenden Überlegungen in beliebige
Einheiten-Systeme umrechnen und umgekehrt. Man muß lediglich vorraussetzen,
daß die Wirkung A und die Geschwindigkeit V die Einheit 1 erhalten, da n und
c Vertreter dieser Größen sind.
nato
--+
nato
--+
[A] = [M][T] = [M][L] [T] = [M] [L]
[L] [V]
[L] = [A][V] = _1
[M] [M]
1
[T] = [M]
Somit gilt für alle zusammengesetzten Größen:
nato
--+
Anhang A: Definition der Notation
[X] = [M]p-q-r
(A.2)
(A.3)
Seite 94

In der folgenden Tabelle ist eine beispielhafte Auswahl zusammengesetzter Größen
aufgeführt. Die umzurechnende Größe ist in einem Einheitensystem gegeben, welches
für die Masse die Einheit Kilogramm, für die Länge die Einheit Meter und für
die Zeit die Einheit Sekunde vorsieht. Man muß also für L, Mund T die entsprechenden
Grundeinheiten einsetzen. Die absoluten Vorfaktoren erhält man, indem
man sich die jeweiligen Definitionen für das Planksche Wirkungsquantum und die
Vakuumlichtgeschwindigkeit ansieht.
Größe
LP Mq T r
P q r
Wirkung 1 2 -1
Gesch windigkei t 0 1 -1
Masse 1 0 0
Länge 0 1 0
Zeit 0 0 1
W-W-Dichte 1 -1 2
Feinstruktur 0 0 0
Elektr. Lad ung 0.5 1.5 -1
Klein-Gordon -Feld 0.5 0.5 -1
Elektromagn.Feld 0.5 0.5 -1
Dirac-Feld 0 -1.5 0
Tabelle zur Einheitenbestimmung:
nato
-+
Anhang A: Definition der Notation
[Xl = [MlP-q-r
MP
P
0
0
1
-1
-1
4
0
0
1
1
1.5
Seite 95

Damit hat die Dirac-Gleichung für die Spinoren die Form:
_ {+1 falls r=1,2 , d.h. w- Spinor zu positiver Energie
€r - -1 falls r=3,4 , d.h. w- Spinor zu negativer Energie
Insbesondere verwenden wir die Normierung:
Also haben die Spinoren folgende Form:
Alle weiteren Größen sind in den entsprechenden Kapiteln erklärt.
Anhang A: Definition der Notation
(A.9)
(A.10)
(A.ll)
Seite 97

Die Operatoren mit Paritätsübergang sind:
(B.12)
Auch für diese sechs Operatoren mußten die Matrixelemente berechnet werden. In
den Ergebnissen sind einzelne Drehimpuls-Symbole weggelassen worden, das heißt,
daß sie numerisch ausgewertet wurden. Dabei gingen implizit ihre Auswahlregeln mit
ein, die am Ende der Formeln zusätzlich angeben sind.
h( _l)J+s J(2L + 1)(2L '+ 1)
L = L' ± 1
M( _l)J+s J(2L + 1)(2L '+ 1)
L = L' ± 1
(B.13)
(B.14)
Anhang B: Matrixelemente der Potentialoperatoren Seite 102

J3( _1)J+5+\/(2L + 1)(2L '+ 1)
( L L' l){L I o 0 0 S J
1
S'
L}
(p lOaL' + p I loaL)
S-:/=S' L=L ' ±l
M( -1 )J+5+l.) (2L + 1 )(2L I + 1)
( L L' 1) {LI 1 L} I
o 0 0 S J S I (p 11 aL' - P 11 aL)
S-:/=S' L=L ' ±l
(B.17)
(B.18)
Anhang B: Matrixelemente der Potentialoperatoren Seite 104

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[Dum 83]
[Gar 85]
[Gar 86]
[Gar 90]
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[Jam 77]
[Kla 84]
[Kau 82]
[Leu 82]
[Lur 68]
[Mau 79]
[Mes 85]
[Nie 77]
[Nie 84]
[Oku 54]
[Rei 68]
[Smi 76]
[Tal 63]
[Yuk 35]