Abitur 2012 - Matheverlag

Abitur 2012 

www.matheverlag.com 

Mathematik 

Mathematik-Verlag

Vorwort: 

Sehr geehrte Abiturientinnen und Abiturienten, 

mit der vorliegenden Aufgabensammlung können Sie sich effektiv auf das Mathematik-Abitur in Baden- 

Württemberg vorbereiten. Das Heft enthält alle Prüfungsaufgaben der reformierten Oberstufe (seit 2004) 

und eine kompakte Lösungsübersicht ab Seite 27, womit Sie Ihre eigenen Rechenergebnisse sofort 

überprüfen können. 

Die ausführlichen Lösungswege zu den Prüfungsaufgaben finden Sie auf der CD-ROM in der jeweiligen 

Datei. Alle Lösungen sind darin so ausführlich dargestellt, dass jeder Rechen- und Gedankenschritt leicht 

nachvollzogen werden kann. Darüber hinaus erleichtern farbige Markierungen die Orientierung. 

Die beiliegende CD-ROM enthält außerdem weitere Übungsaufgaben mit Lösungen zu allen Prüfungsthemen, 

einen Zeitplan und wertvolle Lerntipps zur effektiven Prüfungsvorbereitung. 

Die Abiturprüfung in Mathematik ist in einen Pflichtteil und in einen Wahlteil unterteilt. Im Pflichtteil 

werden Grundkenntnisse in Form von kleineren Aufgaben abgefragt. Hierzu sind keinerlei Hilfsmittel 

zugelassen. Im Wahlteil dürfen Sie einen grafikfähigen Taschenrechner benutzen. Allerdings sind die 

Aufgaben des Wahlteils anspruchsvoller, weil darin Lösungsstrategien entwickelt, praktische 

Problemstellungen gelöst oder auch mathematische Beweise durchgeführt werden sollen. 

Im Pflichtteil werden 5 Aufgaben aus der Analysis und 3 Aufgaben aus der analytischen Geometrie gestellt. Im 

Wahlteil müssen Sie jeweils einen Aufgabensatz zur Analysis und einen Aufgabensatz zur analytischen 

Geometrie bearbeiten. Die Bezeichnung „Wahlteil“ kommt daher, weil Ihr Lehrer bzw. Ihre Lehrerin jeweils 

einen Aufgabensatz aus drei Aufgabenvorschlägen zur Analysis und aus zwei Aufgabenvorschlägen zur 

analytischen Geometrie auswählen darf. Im Pflichtteil können Sie maximal 26 Verrechnungspunkte erzielen. 

Für die Wahlaufgaben werden 34 Punkte vergeben (18 Punkte für die Analysis, 16 Punkte für die analytische 

Geometrie). Für die gesamte Prüfung haben Sie 240 Minuten Zeit. 

Die Bewertungsskala: 

2 

Erreichte Punkte Notenpunkte Erreichte Punkte Notenpunkte 

60 … 57 15 35 … 33 7 

56 … 54 14 32 … 30 6 

53 … 51 13 29 … 27 5 

50 … 48 12 26 … 23 4 

47 … 45 11 22 … 19 3 

44 … 42 10 18 … 15 2 

41 … 39 9 14 … 11 1 

38 … 36 8 10 … 0 0

Inhalt: 

Prüfungsaufgaben 2004 ................................................................................. 4 



Prüfungsaufgaben 2007 .................................................................................12 

Prüfungsaufgaben 2008 ................................................................................ 15 




Lösungsübersicht ........................................................................................ 27 

Register .................................................................................................. 44 

CD-ROM: 

Lösungen 2004 – 2011: 

 

 

 

 

 

 

 

 

Übungsaufgaben zum Prüfungsstoff: 

 

 

Zeitplaner und Lerntipps: 

 

 

Die Dateien auf der CD-ROM haben das pdf-Format. Zum Ansehen und Ausdrucken wird der Acrobat-Reader TM 

benötigt, den man kostenlos aus dem Internet laden kann (www.adobe.com). 

3

Prüfung 2004 

Pflichtteil 2004: (Lösungsübersicht auf Seite 27) . 

Aufgabe 1: (2 Punkte) 

Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit 

2 

x 

f(x) = und vereinfachen Sie f’(x). 

2 

x + 3 


Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit 

f(x) = 

4 

1 + sin(2x) an. 

2 

x 


Lösen Sie die Gleichung e 4x − 11e 2x + 18 = 0. 


2 

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = + 2 ; x ≠ 0. 

x 

Das Schaubild von f hat im Punkt P(1|v) die 

Tangente t. Ermitteln Sie eine Gleichung von t. 

Die Tangente schneidet die x-Achse im Punkt S. 

Bestimmen Sie die Koordinaten von S. 


Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion 

f’ einer Funktion f. Welche der folgenden 

Aussagen über die Funktion f sind wahr, falsch oder 

unentscheidbar ? Begründen Sie Ihre Antworten. 

-3 -2 -1 

y 

2 

1 

Schaubild von f ' 

1 2 3 

(1) f ist streng monoton wachsend für −3 < x < 3. 

(2) Das Schaubild von f hat mindestens einen 

Wendepunkt. 

(3) Das Schaubild von f ist symmetrisch zur y-Achse. 

(4) Es gilt f(x) > 0 für alle x ∈ [−3; 3]. 


Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g: 

x = 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

1 

1 

0 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

+ t ⋅ 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

2 

− 1 

2 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

; t ∈ IR und E: 4x1 − 2x2 + 4x3 = 11. 

• Prüfen Sie, ob der Punkt A(3 | 0 | 2) auf der 

Geraden g liegt. 

• Zeigen Sie: Die Gerade g ist orthogonal zur 

Ebene E. 

• Bestimmen Sie die Koordinaten desjenigen Punktes 

der Ebene E, der vom Punkt A den kleinsten 

Abstand hat. 

x 

Aufgabe P7: (3 Punkte) 

Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der dargestellten 

Ebene. 

x 1 

x 3 


1 

1 

1 

Gegeben sind im Raum eine Gerade g und ein Punkt 

A, der nicht auf g liegt. 

Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung des 

Abstandes von A zu g. 

Wahlteil 2004 – Analysis 1: . 

(Lösungsübersicht auf Seite 27) 

Aufgabe 1: 

2 

x − 36 

Gegeben ist eine Funktion f durch f(x) = ; 

2 

x + 16 

x ∈ IR. Ihr Schaubild sei K. 

a) (7 Punkte) 

• Zeichnen Sie K. 

• Untersuchen Sie das Verhalten von K für |x|→ ∞. 

• Weisen Sie nach, dass K genau zwei Wendepunkte 

besitzt. 

Nun stellt K für −6 ≤ x ≤ 6 den Querschnitt eines 

500 m langen Kanals dar (x in Meter, f(x) in Meter). 

Die sich anschließende Landfläche liegt auf der Höhe 

y = 0. Der Pegelstand wird in Bezug auf den tiefsten 

Punkt des Kanals gemessen und beträgt maximal 

2,25 m. 

b) (5 Punkte) 

• Wie viele Kubikmeter Wasser sind in dem Kanal, 

wenn er ganz gefüllt ist ? 

• Zu wie viel Prozent ist der Kanal bei einem 

Pegelstand von 1,00 m gefüllt ? 

c) (6 Punkte) 

An Land steht eine Person. In welcher Entfernung 

vom Kanalrand darf sie höchstens stehen, damit sie 

bei leerem Kanal die tiefste Stelle des Kanals sehen 

kann (Augenhöhe 1,50 m) ? 

x 2




Die Geschwindigkeit eines Schwimmers schwankt 

periodisch um einen Wert. Messungen beim Training 

haben gezeigt, dass sich die Bewegung näherungsweise 

durch die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v mit 

v(t) = 0,4 sin(12t) + 1,5 

beschreiben lässt. 

(t in s, Geschwindigkeit v(t) in m/s) 

• Bestimmen Sie die Periodendauer. 

• Zwischen welchen Werten schwankt die 

Geschwindigkeit des Schwimmers ? 

• Skizzieren Sie ein Schaubild von v. 

• Zu welchen Zeitpunkten nimmt die Geschwindigkeit 

am stärksten ab ? 

• Welchen Weg legt der Schwimmer innerhalb von 

50 Perioden zurück ? 

Aufgabe 2: 

Eine Firma stellt aus Holzbrettern der Länge l und 

der Breite b oben offene Blumentröge mit 

trapezförmigem Querschnitt her (siehe Abb.). 

α 

b 

a) (5 Punkte) 

h 

l 

a 

b 

b 

α 

• Wählen Sie einen sinnvollen Definitionsbereich für 

den Neigungswinkel α. 

• Drücken Sie die Höhe h und die obere Breite a des 

Blumentrogs in Abhängigkeit vom Neigungswinkel α 

aus. 

• Weisen Sie damit nach, dass sich der Flächeninhalt 

der Querschnittsfläche durch die Funktion A mit 

A(α) = b 2 · (1 + cos α) · sin α darstellen lässt. 

b) (7 Punkte) 

Die Breite der Bretter beträgt nun 0,5 m. 

Für l = b ⋅ (1 + 2 cos α) ist die Pflanzfläche eines 

vollständig gefüllten Troges quadratisch. 

• Für welches α hat ein derartiger Trog maximales 

Volumen ? Wie groß ist dieses Volumen ? 

• Für welche Werte von α benötigt man zum 

vollständigen Befüllen eines Troges mit 

quadratischer Pflanzfläche mindestens vier Säcke 

Blumenerde von je 80 Liter Inhalt ? 

l 



Aufgabe 1: 

Prüfung 2004 

Für jedes k > 0 ist eine Funktion fk gegeben durch 

fk(x) = 

x 

3ke 

2x 

e + 

a) (5 Punkte) 

k 

; x ∈ IR. Ihr Schaubild sei Ck. 

• Skizzieren Sie für drei selbst gewählte Werte von k 

die Schaubilder Ck in ein gemeinsames Koordinaten- 

system. 

• Untersuchen Sie das Verhalten von fk für x → ± ∞. 

• Stellen Sie gemeinsame Eigenschaften der 

skizzierten Schaubilder zusammen. 

b) (6 Punkte) 

• Jedes Schaubild Ck hat genau einen Hochpunkt. 

Berechnen Sie dessen Koordinaten. 

• Bestimmen Sie eine Gleichung der Ortskurve der 

Hochpunkte aller Ck. 

• Ergänzen Sie die Skizze aus Teilaufgabe a) um diese 

Ortskurve. 

c) (3 Punkte) 

Der Term f4(x) beschreibt für x ≥ 0 die Zuwachsrate 

der von einer Bakterienkultur bedeckten Fläche zum 

Zeitpunkt x (x in min ab dem Beobachtungsbeginn, 

f4(x) in cm 2 /min). 

Um wie viele Quadratzentimeter vergrößert sich die 

von der Kultur bedeckte Fläche in den ersten 

2 Minuten ? 


1 

Die Ableitung der Funktion h1 mit h1(x) = ; x ≠ 0 

x 

und die Produktregel werden als bekannt vorausgesetzt. 

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, 

dass für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 die Funktion hn 

mit hn(x) = 

hat. 

1 

(x ≠ 0) die Ableitung hn’(x) = − 

n 

x 

x 

n 

n+ 

1 

5

Prüfung 2004 / 2005 

Wahlteil 2004 – Analytische Geometrie 1: . 


Ein Zelt hat die Form einer senkrechten 

quadratischen Pyramide. Die Längen der 

Quadratseiten und die Pyramidenhöhe 

betragen jeweils 2,0 m. 

a) (6 Punkte) 

Benachbarte Seitenflächen 

bilden einen stumpfen Winkel. 

Wie groß ist dieser ? 

6 

S 

D C 

P A B Q 

b) (5 Punkte) 

In der Vorderfläche PQS befindet sich eine Einstiegsöffnung 

ABCD in Form eines symmetrischen Trapezes. 

C und D sind die Mitten der Strecke BS bzw. der 

Strecke AS. Die Strecke AB hat die Länge 1,0 m. 

Wie viel Prozent der Vorderfläche beansprucht die 

Einstiegsöffnung ? 

c) (5 Punkte) 

Zur Beleuchtung wird im Zelt eine Lampe aufgehängt, 

die im Folgenden als punktförmige Lichtquelle 

betrachtet werden soll. Ihr Licht dringt durch die 

Einstiegsöffnung nach außen und erzeugt auf dem 

Boden vor dem Zelt das Bild ABC’D’ der Einstiegsöffnung 

als „Lichtteppich“. 

Berechnen Sie die Länge der Strecke C’D’, wenn sich 

die Lampe 25 cm unter der Zeltspitze befindet. 



Aufgabe 1: 

Gegeben sind die Punkte A(10 | 0| 0) und B(0|10| 0) 

sowie für jedes a > 0 eine Ebene Ea: a · x1 − x3 = 0. 

a) (5 Punkte) 

• Beschreiben Sie die Lage der Ebene E3. 

• Die zu Ea senkrechte Gerade durch A schneidet Ea 

im Punkt Da. Bestimmen Sie seine Koordinaten. 

10 

Teilergebnis: Da ( 

1 + 

b) (3 Punkte) 

2 

a 

| 0 | 

10a 

1 + 

Zeigen Sie, dass das Dreieck ABDa für jedes a > 0 

rechtwinklig ist. 


Ein Dreieck ABC wird durch die 

Vektoren a und b aufgespannt. 

M ist die Mitte der Strecke AB. 

T teilt die Strecke CM im 

Verhältnis 3 : 1. C 

a D 

Die Strecke BD verläuft durch T. 

In welchem Verhältnis wird diese Strecke durch T 

geteilt ? 

2 

a 

b 

) 

B 

T 

M 

A 

Pflichtteil 2005: (Lösungsübersicht auf S. 29) . 



f(x) = x 3 e 2x . 


Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f 

⎛ 1 ⎞ 1 4 

⎜ x − x . 

2 4 

mit f(x) = 4 cos ⎟ 

⎝ ⎠ 


Lösen Sie die Gleichung x 5 − 3x 3 − 4x = 0 . 


Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 4 − 

4 

; x ≠ 0. 

2 

x 

• Geben Sie die Asymptoten des Schaubilds von f an. 

• Skizzieren Sie damit das Schaubild von f. 

• Ermitteln Sie eine Gleichung der Normalen im 

Punkt P(2 | f(2)). 


Gegeben sind die Schaubilder der Funktionen f mit 

f(x) = x 2 e x , ihrer Ableitungsfunktion f’, einer Stamm- 

1 

funktion F von f und der Funktion g mit g(x) = . 

f(x) 

a) Begründen Sie, dass nur Bild 1 das Schaubild der 

Funktion f sein kann. 

b) Ordnen Sie die Funktionen f’, F und g den übrigen 

Schaubildern zu und begründen Sie Ihre Entscheidung. 

-5 

-4 

-4 

Bild 1 

-3 

-3 

-2 

-2 

-1 

-1 

y 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

1 2 

y 

Bild 3 Bild 4 

1 2 

x 

x 

-5 

-5 

-4 

-4 

Bild 2 

-3 

-3 

-2 

-2 

-1 

-1 

y 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

y 

1 

1 

x 

x

Noch Pflichtteil 2005: 


Lösen Sie das lineare Gleichungssystem: 

x1 + 4x2 + x3 = 10 

x1 + 2x2 + x3 = 8 

x1 + x2 − x3 = 3 

Wie lassen sich ein solches Gleichungssystem und 

seine eindeutige Lösung geometrisch deuten ? 


Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, 

die den Punkt A(2 |−1|−2) und die Gerade 

g: x = 

⎛ 3⎞ 

⎜ 3⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝ 1⎠ 

+ t ⋅ 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

3 

0 

1 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 


; t ∈ IR enthält. 

Gegeben sind eine Ebene E und ein Punkt P, der 

nicht in E liegt. P wird an E gespiegelt. 

Beschreiben Sie ein Verfahren, um den Bildpunkt P’ 

zu bestimmen. Fertigen Sie dazu eine Skizze an. 



Aufgabe 1: 

Ein Supermarkt A führt eine neue Zahnpasta ein. 

In den ersten fünf Wochen ergeben sich folgende 

wöchentliche Verkaufszahlen: 

Verkaufswoche 

verkaufte Stückzahl 

in dieser Woche 

1 2 3 4 5 

26 46 60 76 86 

In einem Modell beschreibt die Funktion f der Form 

ax + 15 

f(x) = die verkaufte Stückzahl f(x) innerhalb 

bx + 15 

der Woche x. 

a) (5 Punkte) 

• Bestimmen Sie a und b anhand der Werte der 

ersten und fünften Woche. 

• Zeichnen Sie das Schaubild K der Funktion für das 

erste Jahr. 

• Wie entwickeln sich nach diesem Modell die 

wöchentlichen Verkaufszahlen während des ersten 

Jahres ? Nennen Sie mögliche Gründe für diese 

Entwicklung. (Teilergebnis: f(x) = 

b) (3 Punkte) 

427x + 15 

) 

2x + 15 

• Bestimmen Sie näherungsweise, wie viele Tuben 

Zahnpasta der Supermarkt A in den ersten 52 Wochen 

insgesamt verkauft. 

• Nach wie vielen Wochen sind insgesamt mehr als 

1500 Tuben verkauft ? 

Noch Wahlteil 2005 – Analysis 1: 

c) (6 Punkte) 

Prüfung 2005 

Gleichzeitig mit dem Supermarkt A bringt der Supermarkt 

B ein Konkurrenzprodukt auf den Markt. 

Seine wöchentlichen Verkaufszahlen lassen sich 

modellhaft durch die Funktion g mit 

g(x) = 214 − 214 ⋅ e −0,08x beschreiben. 

• Zeichnen Sie das Schaubild C dieser Funktion in das 

Koordinatensystem von Teilaufgabe a) ein. 

• Mit welchen wöchentlichen Verkaufszahlen kann 

der Supermarkt B langfristig rechnen ? 

• Wann hat der Supermarkt A den größten Vorsprung 

an insgesamt verkauften Tuben ? 

• Beschreiben Sie, wie sich anhand der Schaubilder 

abschätzen lässt, bis zu welchem Zeitpunkt in beiden 

Supermärkten etwa gleich viele Tuben verkauft sind. 


Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass die 

Funktion f mit f(x) = 

f (n) (x) = 

n 

( −1) 

(x − n) 

x 

e 

x ; x ∈ IR die n-te Ableitung 

x 

e 

für n ≥ 1 besitzt. 



Gegeben sind zwei Funktionen f und g durch 

f(x) = cos x; IDf = [−π ; π] und 

g(x) = 

1 

; IDg = IDf \ {0} 

1 − cosx 

a) (7 Punkte) 

• Skizzieren Sie die Schaubilder von f und g. 

• Das Schaubild von f schließt mit der x-Achse eine 

Fläche ein. Wie groß ist deren Inhalt ? 

• Die Funktion f soll nun durch eine quadratische 

Funktion h ersetzt werden, welche die gleichen 

Nullstellen wie f hat. Bestimmen Sie eine Gleichung 

von h so, dass die Schaubilder von h und f mit der 

x-Achse gleich große Flächen einschließen. 

b) (4 Punkte) 

Bestimmen Sie die Punkte auf dem Schaubild von g, 

die vom Hochpunkt des Schaubilds von f den 

kleinsten Abstand haben. 

c) (7 Punkte) 

Für jedes t > 0 ist eine Funktion ft gegeben durch 

π π 

ft(x) = t ⋅ cos x ; − ≤ x ≤ . 

2 2 

• Das Schaubild der Funktion ft schließt mit der 

x-Achse eine Fläche ein. Bei Rotation dieser Fläche 

um die x-Achse entsteht ein Drehkörper. 

Berechnen Sie dessen Volumen in Abhängigkeit von t. 

• Berechnen Sie t* so, dass die 1. Winkelhalbierende 

das Schaubild von ft* rechtwinklig schneidet. 

7

Prüfung 2005 



Aufgabe 1: 

Eine Forschergruppe versucht, die Entwicklung 

eines Fischbestandes in einem See durch ein mathematisches 

Modell zu erfassen. Zu Beginn der Untersuchung 

leben im See 4 Millionen Fische. Die 

Änderungsrate des Bestandes wird in diesem Modell 

durch eine Funktion f mit f(t) = 

8 

e 

t 

(1 + e 

t 

) 

2 

; t ≥ 0 

beschrieben. (t in Jahren seit Untersuchungsbeginn, 

f(t) in Millionen pro Jahr). 

a) (6 Punkte) 

• Skizzieren Sie das Schaubild von f für 0 ≤ t ≤ 6. 

• Untersuchen Sie das Verhalten von f für t → ∞. 

• Weisen Sie nach, dass f für t > 0 monoton abnimmt. 

• Bedeutet dies, dass der Fischbestand abnimmt ? 

Begründen Sie Ihre Antwort. 

b) (5 Punkte) 

• Weisen Sie nach, dass die Funktion F mit 

− 1 

F(t) = eine Stammfunktion von f ist. 

t 

e + 1 

• Welcher Fischbestand ist zwei Jahre nach Beginn 

der Untersuchung zu erwarten ? 

• Welcher Fischbestand ist langfristig zu erwarten ? 


Ein Teich bietet Platz für maximal 7000 Fische. In 

einem Modell soll angenommen werden, dass die 

Änderungsrate des Fischbestandes proportional zur 

Anzahl der noch Platz findenden Fische ist. 

Anfangs befinden sich 4000 Fische im Teich. Nach 

einem Monat sind 4400 Fische vorhanden. 

• Geben Sie eine zugehörige Differenzialgleichung an. 

• Bestimmen Sie eine Funktion, welche diesen 

Fischbestand in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. 

• Nach wie vielen Monaten sind 5000 Fische in dem 

Teich vorhanden ? 

• Wie viele Fische müssten sich am Anfang im Teich 

befinden, damit bei unveränderten Wachstumsbedingungen 

erst nach fünf Monaten 5000 vorhanden 

sind ? 



Gegeben ist eine Pyramide ABCDS mit den Punkten 

A(0|0|0), B(8|0|0), C(8|8|0), D(0|8|0) und S(4|4|8) 

sowie für jedes r ∈ IR eine Ebene 

Er: r x1 + 3x3 = 8r. 

Noch Wahlteil 2005 – Analytische Geometrie 1: 

a) (7 Punkte) 

• Stellen Sie die Pyramide in einem 

Koordinatensystem dar. 

• Die Ebene E2 enthält die Pyramidenkante BC und 

schneidet die Kante DS in F und die Kante AS in G. 

Geben Sie die Koordinaten der Punkte F und G an. 

• Zeichnen Sie das Viereck BCFG ein. 

• Zeigen Sie, dass dieses Viereck ein gleichschenkliges 

Trapez ist. 

• Wie groß sind die Innenwinkel dieses Trapezes ? 

b) (4 Punkte) 

• Bestimmen Sie r* so, dass die Pyramidenspitze S 

von der Ebene Er* den Abstand 4 hat. 

• Geben Sie die Koordinaten desjenigen Punktes in 

dieser Ebene Er* an, der von S den Abstand 4 hat. 

c) (5 Punkte) 

• Weisen Sie nach, dass die Gerade durch B und C in 

jeder Ebene Er liegt. 

• Beim Schnitt der Ebene Er mit der Pyramide entsteht 

eine Schnittfigur. Welche Schnittfiguren sind möglich? 

Geben Sie die jeweiligen Werte von r an. 



Aufgabe 1: 

Gegeben sind die Punkte A(2|1|3) und B(2|5|3) 

sowie die Gerade g: x = 

a) (4 Punkte) 

⎛ 5⎞ 

⎜ 3⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝ 5⎠ 

+ r ⋅ 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

1 

0 

0 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

; r ∈ IR 

• Die Ebene enthält die Punkte A und B und verläuft 

parallel zu g. Bestimmen Sie eine Gleichung von E und 

beschreiben Sie die Lage von E. 

• Welchen Abstand hat g von E ? 

b) (5 Punkte) 

Der Punkt T liegt auf der Geraden g und bildet zusammen 

mit den Punkten A und B ein bei T rechtwinkliges 

Dreieck. Bestimmen Sie die Koordinaten von T. 

• Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck ABT ? 

• Bestimmen Sie einen Punkt, der von A, B und T den 

gleichen Abstand hat. 

c) (3 Punkte) 

Das Dreieck ABC mit C(2|3|5) rotiert um die Seite 

AB. Dabei entsteht ein Doppelkegel. Bestimmen Sie 

dessen Volumen. 


Die Punkte P, Q, R und S bilden die Eckpunkte einer 

dreiseitigen Pyramide mit der Spitze S. Die Punkte M1 

und M2 sind die Mittelpunkte der Strecken PQ und PR, 

die Punkte M3 und M4 sind die Mittelpunkte der Strec- 

ken QS und RS. Zeigen Sie, dass 1 2 M M = 3 4 M 

M gilt.




f(x) = 8 

1 sin (4x 2 ). 


Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit 

4 1 3 

f(x) = + x an. 

x 2 


Die Funktion f mit f(x) = x 3 − 3x 2 − x + 3 hat die 

Nullstelle x1 = 1. Bestimmen Sie weitere Nullstellen. 


Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion dritten 

Grades berührt die x-Achse im Ursprung. 

Der Punkt H(1 | 1) ist der Hochpunkt des Schaubilds. 

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. 


Die Abbildung zeigt das Schaubild der 

Ableitungsfunktion f’ einer Funktion f. 

Geben Sie für jeden der folgenden Sätze an, ob 

er richtig, falsch oder nicht entscheidbar ist. 

Begründen Sie jeweils Ihre Antwort. 

-3 

-2 

-1 

y 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

1 2 


3 4 5 6 

(1) Das Schaubild von f hat bei x = −2 einen 

Tiefpunkt. 

(2) Das Schaubild von f hat für −3 ≤ x ≤ 6 genau 

zwei Wendepunkte. 

(3) Das Schaubild von f verläuft im Schnittpunkt mit 

der y-Achse steiler als die erste 

Winkelhalbierende. 

(4) f(0) > f(5) 

x 



Prüfung 2006 

Gegeben sind die Ebene E: −2x1 + x2 − 2x3 + 15 = 0 

und die Gerade g: x = 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

2 

− 16 

2 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

+ t ⋅ 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

a) Zeigen Sie, dass g zu E parallel ist. 

1 

4 

1 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

mit t ∈ IR. 

b) Bestimmen Sie den Abstand der Geraden g von 

der Ebene E. 


Gegeben sind die Ebenen 

E1: 4x1 + 3x2 + 2x3 = 12 und E2: 3x1 + 2x2 = 6. 

• Stellen Sie beide Ebenen in einem 


• Zeichnen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen 

ohne weitere Rechnung ein. 


Gegeben sind zwei Punkte A und B. Diese liegen 

bezüglich einer Ebene E symmetrisch. 

Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der 

Gleichung von E. 



a) (5 Punkte) 

Gegeben ist die Funktion f durch 

120(x − 120) 

f(x) = + 10 

2 

(x − 120) + 7200 

2 

mit 0 ≤ x ≤ 130. 

• Ihr Schaubild sei K. Skizzieren Sie K. 

• Das Schaubild C einer weiteren Funktion g mit 

g(x) = ax 2 + bx + c enthält die Punkte P1(0 | 95), 

P2(10 | 95) und P3(20 | 92). Bestimmen Sie die 

Koeffizienten a, b und c. 

• Skizzieren Sie C im ersten Feld des vorhandenen 

Koordinatensystems. 

(Teilergebnis: g(x) = −0,015x 2 + 0,15x + 95) 

Eine Skisprunganlage besteht aus Sprungschanze und 

Aufsprunghang. Das Schaubild K beschreibt das 

Profil des Aufsprunghangs, die Kurve C die Flugbahn 

des Skispringers. Der Absprung erfolgt bei x = 0. 

(Alle Angaben in Meter). 

b) (5 Punkte) 

• Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, an 

dem der Springer auf dem Aufsprunghang aufsetzt. 

• Wie groß ist die maximale vertikal gemessene Höhe 

des Springers über dem Aufsprunghang ? 

9

Prüfung 2006 


c) (4 Punkte) 

Der Wendepunkt W(71| 40) von K entspricht dem 

„kritischen Punkt“ des Aufsprunghangs. 

Mögliche Flugbahnen des Skispringers werden nun 

durch Schaubilder der Funktionen gk mit 

gk(x) = −0,015x 2 + kx + 95 beschrieben. 

Welchen Wert darf der Parameter k höchstens 

annehmen, damit der Springer mit dieser Flugbahn 

nicht hinter dem kritischen Punkt landet ? 

d) (4 Punkte) 

Beim Umbau dieser Schanze soll das Profil des 

Aufsprunghangs verändert werden. Es soll nach dem 

Umbau durch die Funktion h mit 

h(x) = 0,0001 · (1,25x 3 − 225x 2 + 2150x + 900 000) 

beschrieben werden (0 ≤ x ≤ 130). 

Muss zur Realisierung des neuen Profils insgesamt 

Erde weggefahren oder angeliefert werden, wenn 

angenommen wird, dass der Aufsprunghang überall 

gleich breit ist ? 



Aufgabe 1: 

⎛ π ⎞ 

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 4 sin⎜ x⎟ 

⎝ 12 ⎠ 

für 0 ≤ x ≤ 12. Ihr Schaubild sei K. 

a) (4 Punkte) 

• Skizzieren Sie K. 

• Geben Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte von 

K mit der Geraden y = m⋅x in Abhängigkeit von m an. 

b) (5 Punkte) 

Bestimmen Sie die Seitenlängen des flächengrößten 

Rechtecks, bei dem zwei Ecken auf der x-Achse und 

die beiden anderen Ecken auf K liegen. 

Aufgabe 2: 

Für jedes a > 0 ist eine Funktion fa gegeben durch 

1 

fa(x) = · sin (ax) ; x ∈ IR. 

a 

a) (4 Punkte) 

• Wie wirkt sich eine Veränderung des Parameters a 

auf das Schaubild von fa aus ? 

• Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die das 

Schaubild von fa mit der x-Achse zwischen zwei 

benachbarten Nullstellen einschließt. 

b) (5 Punkte) 

Das Schaubild von f0,5 schließt im Bereich 0 ≤ x ≤ 2π 

mit der x-Achse eine Fläche ein. Eine Parallele zur 

x-Achse durch den Kurvenpunkt P(z | f0,5(z)) halbiert 

diese Fläche. Bestimmen Sie z. 

10 



Durch f(t) = 20t · e −0,5t wird die Konzentration eines 

Medikaments im Blut eines Patienten beschrieben. 

Dabei wird t in Stunden seit der Einnahme und f(t) in 

mg/l gemessen. Die folgenden Berechnungen sind nur 

für die Zeitspanne der ersten 12 Stunden nach der 

Einnahme des Medikamentes durchzuführen. 

a) (5 Punkte) 

• Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der 

Konzentration. 

• Nach welcher Zeit erreicht die Konzentration ihren 

höchsten Wert ? 

• Wie groß ist dieser höchste Wert ? 

• Das Medikament ist nur wirksam, wenn seine 

Konzentration im Blut mindestens 4 mg/l beträgt. 

Berechnen Sie die Zeitspanne, in der das Medikament 

wirksam ist. 

• Wie hoch ist die mittlere Konzentration des 

Medikaments innerhalb der ersten 12 Stunden ? 

b) (4 Punkte) 

• Zu welchem Zeitpunkt wird das Medikament am 

stärksten abgebaut ? 

• Wie groß ist zum Zeitpunkt t = 4 die momentane 

Änderungsrate der Konzentration ? 

• Ab diesem Zeitpunkt wird die Konzentration des 

Medikaments nun näherungsweise durch die Tangente 

an das Schaubild von f an der Stelle t = 4 beschrieben. 

Bestimmen Sie damit den Zeitpunkt, zu dem das 

Medikament vollständig abgebaut ist. 

c) (5 Punkte) 

Anstelle der Näherung aus Teilaufgabe b) wird nun 

wieder die Beschreibung der Konzentration durch f 

verwendet. Vier Stunden nach der ersten Einnahme 

wird das Medikament in der gleichen Dosierung erneut 

eingenommen. Es wird angenommen, dass sich dabei 

die Konzentrationen im Blut des Patienten addieren. 

• Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der 

Gesamtkonzentration für 0 ≤ t ≤ 12. 

• Die Konzentration des Medikaments im Blut darf 

20 mg/l nicht übersteigen. Wird diese Vorgabe in 

diesem Fall eingehalten ? 

d) (4 Punkte) 

Das Medikament wird nun in seiner Zusammensetzung 

verändert. Die Konzentration des Medikaments im 

Blut wird durch g(t) = at · e −bt beschrieben (mit a > 0 

und b > 0). Dabei wird t in Stunden seit der Einnahme 

und g(t) in mg/l gemessen. Bestimmen Sie die 

Konstanten a und b, wenn die Konzentration vier 

Stunden nach der Einnahme ihren größten Wert 

10 mg/l erreicht.



Aufgabe 1: 

Die Punkte A(3|5|− 4), B(4|1|4) und D(−4|9|0) 

legen eine Ebene E fest. 

a) (5 Punkte) 

• Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung 

der Ebene E. 

• Zeigen Sie, dass das Dreieck ABD gleichschenklig, 

aber nicht gleichseitig ist. 

• Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes C so, 

dass das Viereck ABCD eine Raute ist. 

• Berechnen Sie die Koordinaten des Diagonalenschnittpunkts 

M dieser Raute. 

(Teilergebnisse: E: 4x1 + 5x2 + 2x3 = 29 ; M(0|5|2)) 

b) (7 Punkte) 

• Gegeben ist ein weiterer Punkt S(8 | 15 | 6). 

Die Raute ABCD bildet zusammen mit dem Punkt S 

eine Pyramide. Bestimmen Sie das Volumen dieser 

Pyramide. 

• Der Pyramide wird ein Kreiskegel mit Spitze S 

einbeschrieben, dessen Grundfläche in der Ebene E 

liegt. Berechnen Sie das Volumen dieses Kreiskegels. 

Aufgabe 2: 

Gegeben ist das regelmäßige Sechseck ABCDEF. 

Bestimmen Sie das Verhältnis, in dem sich die 

Strecken AC und BD teilen. 

D 

C 

S 

B 

E F 

A 



Aufgabe 1: 

Prüfung 2006 

In einem Freizeitpark steht eine Kletteranlage in 

Form eines Pyramidenstumpfs mit vier unterschiedlichen 

Kletterwänden. Der Pyramidenstumpf entsteht 

aus einer Pyramide, indem diese parallel zur Grundfläche 

durchgeschnitten und der obere Teil weg- 

gelassen wird. 

Der Pyramidenstumpf hat als Grundfläche das 

Viereck ABCD mit 

A(0| 0 | 0), B(6 | 6 | 0), C(0 | 18 | 0) und D(−8 | 4 | 0) 

und als Deckfläche das Viereck A*B*C*D* mit 

A*(4| 1 | 20), B*(7 | 4 | 20) und C*(4 | 10 | 20). 

(Koordinatenangaben in Meter) 

a) (5 Punkte) 

• Zeigen Sie, dass S(8 | 2 | 40) die Spitze der 

ursprünglichen Pyramide ist. 

• Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D*. 

• Zeichnen Sie den Pyramidenstumpf in ein 

Koordinatensystem ein. 

b) (6 Punkte) 

• Berechnen Sie den Flächeninhalt der Wand ABB*A*. 

• Untersuchen Sie, ob die Wand ABB*A* nach außen 

überhängt. 


Gegeben sind die Geraden 

g: x = 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

0 

0 

3 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

+ 

mit s, t ∈ IR. 

⎛ 1⎞ 

⎛ 

s ⋅ ⎜ 0⎟ 

und h: x = ⎜ 

⎜ ⎟ 

⎜ 

⎝ 1⎠ 

⎝ 

2 

2 

0 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

+ t ⋅ v ; 

Geben Sie zu jeder der folgenden Lagebeziehungen 

von g und h jeweils einen möglichen Vektor v an und 

begründen Sie Ihre Antworten: 

(1) g und h schneiden sich im Punkt S(− 4 | 0 | −1) ; 

(2) g und h sind windschief ; 

(3) g und h schneiden sich orthogonal. 

11

Prüfung 2007 



Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit 

f(x) = (1 + sin x) 2 . 


ln2 

Berechnen Sie das Integral ∫ e 

0 

2x 


Lösen Sie die Gleichung e x − 2 − 


12 

dx . 

15 

= 0. 

x 

e 

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = . 

x + 1 

a) Bestimmen Sie die Punkte des Schaubilds von f 

mit waagrechter Tangente. 

1 

b) Das Schaubild von f hat im Punkt P(1| ) die 

2 

Normale n. Ermitteln Sie eine Gleichung von n. 


Gegeben ist das Schaubild der Ableitung f’ der 

Funktion f. 

-1 

y 

2 

1 

0 

-1 


1 2 

3 4 

a) Welche Aussagen über f ergeben sich daraus im 

Hinblick auf 

� Monotonie, 

� Extremstellen, 

� Wendestellen ? 

Begründen Sie Ihre Aussagen. 

b) Es gilt f(0) = 2. Skizzieren Sie das Schaubild von f. 


Lösen Sie das lineare Gleichungssystem: 

3x1 − x2 + 2x3 = 7 

x1 + 2x2 + 3x3 = 14 

x1 − 5x2 − 4x3 = −21 

Interpretieren Sie das Gleichungssystem und seine 

Lösungsmenge geometrisch. 

x 

x 2 



Gegeben sind die Ebenen E und F mit 

E: x = 

⎛ 

F: ⎜ x 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

− 

1 

1 

0 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

+ r ⋅ 

2 

1 

− 2 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

1 

0 

2 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ ⎞ ⎛ 

⎟ ⎟ ⋅⎜ 

⎟ ⎟ ⎜ 

⎠ ⎠ ⎝ 

+ s ⋅ 

2 

2 

− 1 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

− 1 

1 

0 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

und 

⎞ 

⎟ = 0; r, s ∈ IR 

⎟ 

⎠ 

• Zeigen Sie, dass die Ebenen E und F parallel sind. 

• Bestimmen Sie den Abstand der Ebenen. 


Von einem senkrechten Kegel kennt man die 

Koordinaten der Spitze S, die Koordinaten eines 

Punktes P des Grundkreises sowie eine 

Koordinatengleichung der Ebene E, in der der 

Grundkreis liegt. 

Beschreiben Sie ein Verfahren, um den Mittelpunkt M 

und den Radius r des Grundkreises zu bestimmen. 


(Lösungsübersicht auf Seite 34, 35) 

Die Herstellungskosten eines neuen Rheumamittels 

werden durch eine Funktion f mit 

f(x) = 

ax + b 

; x ∈ IR 

x + 5 

+ 

0 

modellhaft kalkuliert. Hierbei gibt f(x) die Kosten in 

10 000 Euro für die x-te Produktionseinheit an, wobei 

die Einheiten nacheinander produziert werden. 

Die fünfte Produktionseinheit kostet in der Herstellung 

950 000 Euro, die zwanzigste Produktionseinheit 

kostet nur noch 560 000 Euro. 

a) (7 Punkte) 

• Bestimmen Sie a und b. 

• Skizzieren Sie das Schaubild von f. 

• Weisen Sie nach, dass die Herstellungskosten für 

eine Produktionseinheit im Laufe der Zeit sinken. 

• Ab der wievielten Produktionseinheit sind die 

Herstellungskosten für eine Produktionseinheit 

geringer als 400 000 Euro ? 

• Mit welchen Herstellungskosten für eine 

Produktionseinheit muss man langfristig rechnen ? 

(Teilergebnis: f(x) = 

30x + 800 

) 

x + 5


b) (5 Punkte) 

• Ab der wievielten Produktionseinheit unterscheiden 

sich die Herstellungskosten von zwei aufeinander 

folgenden Produktionseinheiten um weniger als 

10 000 Euro ? 

• Jede Produktionseinheit besteht aus 10 000 

Packungen. Wie hoch muss der Verkaufspreis für 

eine Packung sein, damit die Einnahmen aus den 

ersten 100 verkauften Produktionseinheiten ihren 

Herstellungskosten entsprechen ? 

c) (6 Punkte) 

Bei klinischen Studien wird dieses Rheumamittel 

Patienten, die den Wirkstoff bisher nicht im Blut 

hatten, zugeführt und die Menge des Wirkstoffs 

im Blut gemessen. 

Ein Patient erhält alle 6 Stunden eine Spritze mit 

50 mg Wirkstoff. Bis zur nächsten Spritze hat der 

Körper 18 % des im Blut vorhandenen Wirkstoffs 

abgebaut. 

• Beschreiben Sie mittels einer rekursiv definierten 

Folge, wie viel Wirkstoff sich jeweils direkt nach 

Verabreichung einer Spritze im Blut befindet. 

• Welche Wirkstoffmenge befindet sich direkt nach 

der fünften Spritze im Blut ? 

• In welchem Bereich schwankt die Wirkstoffmenge 

im Blut langfristig ? 

• Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der im Blut 

vorhandenen Wirkstoffmenge für die ersten 24 

Stunden. 



4 

Die Funktion f ist durch f(x) = 

für x ∈ IR 

π 

2 + cos( 2 x) 

gegeben. Ihr Schaubild ist K. 

a) (7 Punkte) 

• Skizzieren Sie K im Intervall [− 4; 4]. 

• Begründen Sie, dass IR die maximale 

Definitionsmenge von f ist. 

• Geben Sie die Wertemenge von f an. 

• Bestimmen Sie die Periode von f. 

• Geben Sie alle Hoch- und Tiefpunkte von K an. 


b) (6 Punkte) 

Prüfung 2007 

Im Intervall [−2 ; 2 ] soll f durch eine ganzrationale 

Funktion g vom Grad 2 angenähert werden, die mit f 

an den Stellen −2, 0 und 2 übereinstimmt. 

• Bestimmen Sie einen geeigneten Funktionsterm für g. 

• An welchen Stellen des Intervalls [−2 ; 2 ] weicht die 

Näherungsfunktion g am stärksten von f ab ? 

• Wie groß ist diese Abweichung an diesen Stellen ? 

• Wie groß ist im Mittel der Betrag der Abweichung 

von f und g im angegebenen Intervall ? 

c) (5 Punkte) 

• Das Schaubild K rotiert im Intervall [ 0 ; 4 ] um die 

4 

Gerade mit der Gleichung y = . Berechnen Sie das 

3 

Volumen des entstehenden Rotationskörpers. 

• Das Schaubild K wird an der durch die Gleichung 

4 

y = gegebenen Geraden gespiegelt. Geben Sie die 

3 

Gleichung des gespiegelten Schaubilds an. 



Die momentane Ankunftsrate an einem Kino – also die 

Anzahl der ankommenden Personen pro Minute – soll 

modellhaft beschrieben werden durch die Funktion f 

mit f(x) = 0,27 ⋅ x 2 ⋅ e −0,12 x . 

Dabei ist x die Zeit in Minuten seit 19.00 Uhr und f(x) 

die Anzahl der ankommenden Personen pro Minute. 

Vor 19.00 Uhr befinden sich noch keine Besucher am 

Kartenschalter. 

a) (5 Punkte) 

• Skizzieren Sie das Schaubild von f. 

• Wann kommen die meisten Besucher pro Minute 

zum Kartenschalter ? Wie viele sind das ? 

• Ab wann kommen weniger als drei Personen pro 

Minute zum Kino ? 

b) (4 Punkte) 

• Zeigen Sie, dass die Anzahl der angekommenen 

Personen durch die Funktion g mit 

g(x) = 312,5 − (2,25 x 2 −0,12 x 

+ 37,5 x + 312,5) ⋅ e 

beschrieben wird. 

• Wie viele Personen kommen nach diesem Modell 

höchstens ins Kino ? 

13

Prüfung 2007 


c) (6 Punkte) 

Um 19.20 Uhr öffnet der Kartenschalter des Kinos. 

Pro Minute können durchschnittlich für 6 Personen 

Karten ausgegeben werden. 

• Mit welcher Wartezeit muss eine Person rechnen, 

die um 19.20 Uhr zum Kino kommt ? 

• Wann ist die Zahl der Wartenden am größten ? 

• Wie viele Besucher warten dann ? 

• Wann hat sich die Warteschlange aufgelöst ? 

d) (3 Punkte) 

Durch eine Verzögerung öffnet der Kartenschalter 

erst um 19.50 Uhr. Wie viele Personen müssen 

jetzt mindestens pro Minute am Schalter abge- 

fertigt werden, damit die Warteschlange um 

20.30 Uhr abgebaut ist ? 



Aufgabe 1: 

Die Ebene E: x1 + x2 + 2x3 = 8 stellt für x3 ≥ 0 einen 

Hang dar, der aus der x1 x2–Ebene aufsteigt. 

Im Punkt H(6 | 4 | 0) steht ein 80 m hoher Sendemast 

senkrecht zur x1 x2–Ebene. (1 LE entspricht 10 m) 

a) (6 Punkte) 

• Stellen Sie den Hang und den Sendemast in einem 


• Bestimmen Sie den Neigungswinkel des Hangs. 

• Der Sendemast wird auf halber Höhe mit einem 

möglichst kurzen Stahlseil am Hang verankert. 

Berechnen Sie die Koordinaten des Verankerungspunktes 

am Hang. 

• Bestimmen Sie die Länge des Stahlseils. 

b) (3 Punkte) 

Der Sendemast wird von der Sonne beschienen und 

wirft einen Schatten auf die x1 x2–Ebene und den 

Hang. Der Schatten des Sendemastes endet in einem 

Punkt T des Hangs. 

Beschreiben Sie einen Weg, wie man die 

Gesamtlänge des Schattens bestimmen kann. 

c) (3 Punkte) 

Bei einem Sturm knickt der Sendemast im Punkt 

K(6 | 4 | k) um. Die Spitze des Sendemastes trifft 

dabei den Hang im Punkt R(4 | 0 | 2). 

Bestimmen Sie die Höhe, in welcher der Sendemast 

abgeknickt ist. 

14 



Das Dreieck ABC ist gleichschenklig 

und rechtwinklig, P und Q sind 

die Schnittpunkte der 

Quadratdiagonalen, 

M ist die Mitte von AB. Q 

Beweisen Sie, dass die 

Strecken MP und MQ 

orthogonal und gleich lang sind. 

x 

C 

. 

x 

x 

A M B 



Eine quaderförmige Kiste ist in einem Koordinatensystem 

durch die Eckpunkte A(0 | 0 | 0), B(3 | 0 | 0), 

D(0 | 5 | 0) und F(3 | 0 | 4) festgelegt. 

Die Fläche EFGH stellt den Deckel der geschlossenen 

Kiste dar. Dieser ist drehbar um die Kante EH. 

Weiterhin ist für jedes t ≥ 0 eine Ebene Et gegeben 

durch die Gleichung Et: t x1 − x3 = − 4. 

F 

B 

E 

A 

a) (5 Punkte) 

G 

C 

H 

D 

P 

Skizze nicht 

maßstabsgerecht 

• Berechnen Sie den Abstand zwischen den Kanten AB 

und GH. 

• Zeigen Sie, dass die Gerade durch E und H in jeder 

Ebene Et liegt. 

• In welcher Ebene Et liegt der Deckel bei 

geschlossener Kiste ? 

• Liegt der Deckel in einer Ebene Et, wenn er um 90° 

geöffnet ist ? 

b) (3 Punkte) 

Wenn der Deckel der geöffneten Kiste in E2 liegt, wird 

er durch einen Stab orthogonal zum Deckel gestützt. 

Dieser Stab ist in der Mitte der Kante EF befestigt und 

trifft im Punkt P auf den Deckel. 

Berechnen Sie die Koordinaten von P. 

c) (4 Punkte) 

• Wie groß ist der Öffnungswinkel, wenn der Deckel in 

E2 liegt ? 

• In welcher Ebene liegt der Deckel, wenn der 

Öffnungswinkel 60° beträgt ? 

• Bestimmen Sie den Parameter t in Abhängigkeit 

vom Öffnungswinkel α für α < 90°. 

d) (4 Punkte) 

Eine punktförmige Lichtquelle in L(0 | 2,5 | 20) 

beleuchtet die Kiste. 

Wie weit kann man die Kiste höchstens öffnen, ohne 

dass Licht von L in die Kiste fällt ?



2 

2x 

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = . 

2 

2x − 3 

Bilden Sie die Ableitung von f und fassen Sie diese 

so weit wie möglich zusammen. 


G ist eine Stammfunktion der Funktion g mit 

g(x) = 2 − 3 ⋅ sin (4x). Der Punkt P(0 | 1) liegt auf 

dem Schaubild von G. Bestimmen Sie einen 

Funktionsterm von G. 


Lösen Sie die Gleichung 


6 1 

+ = 1 (x ≠ 0) 

4 2 

x x 

Für eine ganzrationale Funktion h zweiten Grades 

gilt: T( −1| − 4) ist Tiefpunkt und Q(2 | 5) ein 

weiterer Punkt ihres Schaubilds. 

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von h. 


Gegeben sind die Schaubilder von vier Funktionen, 

jeweils mit sämtlichen Asymptoten. 

Bild 1 

Bild 3 

y 

4 

3 

2 

1 

-2 -1 

-1 

-2 

-3 

y 

4 

3 

2 

1 

-2 -1 1 2 3 

-1 

-2 

-3 

1 

2 

3 

4 

4 

x 

x 

-2 

y 

4 

3 

2 

1 

-1 

-1 

-2 

-3 

y 

4 

3 

2 

1 

-2 -1 

-1 

-2 

-3 

1 

1 

Bild 2 

2 

3 

Bild 4 

Drei dieser vier Schaubilder werden beschrieben 

durch die Funktonen f, g und h mit 

f(x) = 

− 2x 

x + a 

−0,5x 2 

; g(x) = −2 + b ⋅ e ; h(x) = c ⋅ x − x 

a) Ordnen Sie den Funktionen f, g und h das jeweils 

passende Schaubild zu. Begründen Sie Ihre Zuordnung. 

b) Bestimmen Sie die Werte für a und b. 

2 

3 

4 

4 

x 

x 



Prüfung 2008 

Gegeben sind die zwei parallelen Geraden g und h 

durch 

⎛ 2⎞ 

⎛ 3 ⎞ 

⎛ 1⎞ 

⎛ 6 ⎞ 

g: x = ⎜ 9⎟ 

+ s ⋅ ⎜ − 4⎟ 

und h: x = ⎜ 2⎟ 

+ t ⋅ ⎜ − 8⎟ 

; 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ 4⎠ 

⎝ 1 ⎠ 

⎝ 5⎠ 

⎝ 2 ⎠ 

s, t ∈ IR 

Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden. 


Die Ebene E geht durch die Punkte A(1,5|0|0), 

B(0|3|0) und C(0|0|6). Untersuchen Sie, ob die 

⎛ − 4⎞ 

⎛ − 2⎞ 

Gerade g: x = ⎜ 2 ⎟ + t ⋅ ⎜ 3 ⎟ ; t ∈ IR 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

parallel zur Ebene E verläuft. 


Gegeben sind die beiden Ebenen 

E1: (x − p1) . n1 = 0 und E2: (x − p2) . n2 = 0. 

Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man anhand 

dieser Normalengleichungen die gegenseitige Lage 

der beiden Ebenen untersuchen kann. 



Aufgabe 1: 

Ein Tal in den Bergen wird nach Westen von einer 

steilen Felswand, nach Osten von einem flachen 

Höhenzug begrenzt. Der Querschnitt des Geländes 

wird beschrieben durch das Schaubild der Funktion f 

mit f(x) = −0,125 ⋅ x 3 + 0,75 ⋅ x 2 − 3,125 

im Bereich −2,5 ≤ x ≤ 5. 

Dabei weist die positive x-Achse nach Osten 

(1 LE entspricht 100 m). 

a) (8 Punkte) 

• Skizzieren Sie den Querschnitt des Geländes. 

• Berechnen Sie die Stelle, an der die östliche 

Talseite am steilsten ist, und dann die Stelle, an der 

die westliche Talseite gleich steil ist. 

• Quer zum Tal befindet sich in West-Ost-Richtung 

eine Staumauer. Vom tiefsten Punkt des Tals aus 

gemessen ist sie 312,5 m hoch. Berechnen Sie die 

Breite der Staumauer an ihrer Oberkante. 

• Bevor das Wasser aufgestaut wird, muss die dem 

See zugewandte Seite der Staumauer versiegelt 

werden. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche. 

15

Prüfung 2008 


b) (6 Punkte) 

In der Talsohle befindet sich ein Dorf, das bereits 

nachmittags im Schatten liegt. Nach dem Vorbild 

des italienischen Ortes Viganella soll auf dem 

höchsten Punkt des Höhenzugs östlich des Dorfes ein 

Gerüst mit einem drehbaren Spiegel zur Reflexion 

von Sonnenlicht aufgestellt werden. Auch hier wird 

der Querschnitt des Geländes durch das Schaubild 

der Funktion f beschrieben. 

• Bestimmen Sie die Mindesthöhe dieses Gerüsts, 

bei der das Sonnenlicht den tiefsten Punkt des 

Geländequerschnitts erreichen kann. 

• Wie hoch müsste das Gerüst werden, damit der 

gesamte Geländequerschnitt zwischen Dorf und 

Gerüst beleuchtet werden kann ? 

Aufgabe 2: 

1 

Die Funktion g ist gegeben durch g(x) = ; x ≠ 0,5 

1 − 2x 

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass g für 

(n) 

alle n ≥ 1 die n-te Ableitung g (x) = n ! ⋅ 

16 

n 

2 

n+ 

1 

(1 − 2x) 

besitzt, wobei n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ (n − 1) ⋅ n für n ≥ 1 gilt. 



Der Temperaturverlauf außerhalb eines Hauses 

während eines Tages kann durch eine Funktion f mit 

π 

f(x) = 8⋅sin [ (x − 8,5) ] + 21; 0 ≤ x ≤ 24 beschrieben 

12 

werden (x in Stunden, f(x) in °C). Die Abbildung 

zeigt das Schaubild Kf von f sowie den innerhalb 

des Hauses gemessenen Temperaturverlauf Kg. 

Temperatur in °C 

y 

30 

27 

24 

21 

18 

15 

12 

9 

6 

3 

0 

a) (5 Punkte) 

K f 

K g 

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 

x in Stunden 

• Berechnen Sie, zu welchen Uhrzeiten die 

Außentemperatur minimal bzw. maximal ist. 

• Wie viele Stunden an diesem Tag beträgt die 

Außentemperatur höchstens 22°C ? 

• Wann ist der Temperaturanstieg im Freien am 

größten ? 

• Bestimmen Sie die durchschnittliche Temperatur im 

Freien zwischen 6 Uhr und 18 Uhr. 


b) (7 Punkte) 

• Bestimmen Sie einen Term der Funktion g, der den 

Temperaturverlauf Kg wiedergibt. 

• Beschreiben Sie, wie Kg aus dem Schaubild der 

Sinusfunktion mit y = sin x entsteht. 

• Geben Sie eine mögliche Ursache für die zeitliche 

Verschiebung der beiden Temperaturverläufe Kf und 

Kg an. 

• Zu welcher Uhrzeit ist der Unterschied zwischen 

Innen- und Außentemperatur am größten ? 

c) ( 6 Punkte) 

Für den folgenden Tag wird vermutet, dass der 

Temperaturverlauf außerhalb des Hauses durch eine 

π 

Funktion h mit h(x) = 10⋅ sin [ (x − 8,5) ]+ ax + b; 

12 

24 ≤ x ≤ 48 beschrieben werden kann (x in Stunden, 

h(x) in °C). Dabei stimmen zum Zeitpunkt x = 24 

sowohl die durch f und h beschriebenen Temperaturen 

als auch ihre momentanen Änderungsraten überein. 

• Ermitteln Sie a und b. 

• Begründen Sie, warum die durchschnittliche 

Außentemperatur am zweiten Tag nur durch den 

Term ax + b bestimmt wird. 



Aufgabe 1: 

Ein Behälter hat ein Fassungsvermögen von 

1200 Litern. Die enthaltene Flüssigkeitsmenge zum 

Zeitpunkt t wird beschrieben durch die Funktion f 

−0,01t 

mit f(t) = 1000 − 800 ⋅ e ; 

t ≥ 0 (t in Minuten, f(t) in Liter). 

a) (6 Punkte) 

• Zu welchem Zeitpunkt ist der Behälter zur Hälfte 

gefüllt ? 

• Zeigen Sie, dass die Flüssigkeitsmenge im Behälter 

stets zunimmt. 

• Bestimmen Sie die mittlere Flüssigkeitsmenge 

während der ersten Stunde. 

• Aus Sicherheitsgründen darf die Flüssigkeitsmenge 

höchstens 85 % des Fassungsvermögens betragen. 

Wird diese Vorschrift zu jeder Zeit eingehalten ? 

Begründen Sie Ihre Antwort. 

b) (3 Punkte) 

In einem anderen Behälter mit einem Zufluss und 

einem Abfluss befinden sich zu Beginn ebenfalls 200 

Liter. Einerseits fließen pro Minute 10 Liter zu, 

andererseits beträgt die momentane Abflussrate 1 % 

des jeweiligen Inhalts pro Minute. Dieser Vorgang wird 

durch die Differenzialgleichung B’(t) = a − b ⋅ B(t) 

beschrieben. 

• Geben Sie a und b an. 

• Zeigen Sie, dass f eine Lösung dieser Differenzialgleichung 

ist.


c) (5 Punkte) 

Der Vorgang in b) wird nun so geändert, dass pro 

Minute 12 Liter zufließen und die momentane 

Abflussrate 2 % des Inhalts pro Minute beträgt. 

Die anfängliche Flüssigkeitsmenge ist wiederum 

200 Liter. 

• Ermitteln Sie einen Funktionsterm, der diesen 

Vorgang beschreibt. 

• Welche Flüssigkeitsmenge ist nach einer Stunde 

aus diesem Behälter abgeflossen ? 


Die Folge (an) ist gegeben durch 

a0 = 5; an+1 = 10 + 0,8 ⋅ an für n ∈ IN. 

50 ist eine obere Schranke dieser Folge. 

• Zeigen Sie damit, dass die Folge monoton 

wachsend ist. 

• Begründen Sie, dass die Folge konvergiert. 

• Berechnen Sie den Grenzwert exakt. 



In einem Würfel mit den Eckpunkten O(0|0|0), 

P(10|10|0) und S(0|0|10) befindet sich eine 

Pyramide mit einem Dreieck als Grundfläche und 

der Spitze S (vgl. Skizze). Die Eckpunkte der 

Pyramidengrundfläche sind A(10|6|0), B(6|10|0) 

und C(10|10|5). 

x 1 

a) (6 Punkte) 

b 

S 

x 3 

x Q 

x 

A 

• Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der 

Ebene E, in der die Grundfläche der Pyramide liegt. 

x C 

x 

P 

x 

B 

• Welchen Winkel schließen die Grundflächen von 

Würfel und Pyramide ein ? 

• Untersuchen Sie, ob die Höhe der Pyramide auf der 

Diagonalen PS des Würfels liegt. 

(Teilergebnis: E: 5x1 + 5x2 − 4x3 = 80) 

x 2 

Prüfung 2008 


b) (5 Punkte) 

Wie viel Prozent des Würfelvolumens beträgt das 

Pyramidenvolumen ? 

c) (5 Punkte) 

Zusätzlich zur Pyramide soll nun noch ein Quader 

der Breite b in den Würfel gelegt werden. Die 

Abmessungen des Quaders werden so gewählt, dass 

er die Pyramide nur in einem Punkt Q der Pyramidenkante 

AS berührt (vgl. Skizze). 

• Welches Volumen hat ein solcher Quader mit der 

Breite b = 4 ? 

• Welche Werte kann das Volumen eines solchen 

Quaders annehmen, wenn die Breite b variabel ist ? 



Aufgabe 1: 

Die Punkte A(5|0|0), B(5|3|0), C(5|0|4), F(0|0|0), 

G(0|3|0) und H(0|0|4) sind die Ecken eines 

dreiseitigen Prismas mit der Grundfläche ABC. 

a) (6 Punkte) 

• Stellen Sie das Prisma in einem Koordinatensystem 

dar. 

• Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der 

Ebene E, in der die Fläche BGHC liegt. 

• Unter welchem Winkel schneidet E die x1 x2 – Ebene ? 

b) (6 Punkte) 

Im Prisma liegt ein Zylinder mit Radius 0,5 und 

Grundkreismittelpunkt M(0|0,5|0,5), dessen Achse 

parallel zur x1 – Achse verläuft. 

• Ermitteln Sie Abstände des Punktes M von den drei 

rechteckigen Seitenflächen des Prismas. 

• Berührt der Zylinder alle drei rechteckigen 

Seitenflächen des Prismas ? 

• Ein anderer Zylinder mit Radius r und Grundkreismittelpunkt 

M*(0|r|r), dessen Achse ebenfalls 

parallel zur x1 – Achse ist, soll alle drei rechteckigen 

Seitenflächen des Prismas von innen berühren. 

Bestimmen Sie den Radius r dieses Zylinders. 


In einem Viereck ABCD gilt für die Diagonale AC: 

AC = 0,4 ⋅ AB + AD . 

• Zeichnen Sie ein solches Viereck ABCD. 

• In welchem Verhältnis wird die Diagonale AC von 

der anderen Diagonalen geteilt ? 

17

Prüfung 2009 




f(x) = x 2 ⋅ sin (3x + 1) 


Berechnen Sie das Integral ∫ 


18 

4 

9 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

2 

x 

⎞ 

− 1⎟ 

dx 

⎠ 

Lösen Sie die Gleichung (2x 2 2x 

− 8)⋅(e − 6) = 0 


Das Schaubild der Funktion f mit 

f(x) = −x 3 + 3x 2 − x − 3 

besitzt einen Wendepunkt. Bestimmen Sie eine 

Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt. 


Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. 

F ist eine Stammfunktion von f. 

2 

0 

-2 

y 

Schaubild von f 

2 4 

a) Welche Aussagen über F ergeben sich daraus im 

Bereich −2 < x < 7 hinsichtlich 

� Extremstellen, 

� Wendestellen, 

� Nullstellen ? 

Begründen Sie ihre Antworten. 

b) Begründen Sie, dass F(6) − F(2) > 1 gilt. 


Untersuchen Sie, ob die Vektoren 

⎛ − 2 

− 3 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

4 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

, 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

4 

3 

− 2 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎛ 2 

und ⎜ − 2 

⎜ 

1 

⎝ 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

6 

linear unabhängig sind. 

x 

. 



Gegeben sind die Ebene E: x1 + x2 = 4 und die Gerade 

g: x = 

⎛ 1⎞ 

⎜ 3⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝ 3⎠ 

+ 

⎛ 1 ⎞ 

r ⋅ ⎜ − 1⎟ 

. 

⎜ ⎟ 

⎝ 0 ⎠ 

a) Veranschaulichen Sie die Ebene in einem 

Koordinatensystem. 

b) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g und E. 

c) Bestimmen Sie den Abstand des Ursprungs von der 

Ebene E. 


Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt A im 

Raum. A liegt nicht auf g. 

A wird an der Geraden g gespiegelt. Beschreiben Sie 

ein Verfahren, um den Bildpunkt A’ zu bestimmen. 



Aufgabe 1: 

Gegeben ist eine Funktion f mit f(x) = 

a) (6 Punkte) 

100 

6 − . 

2 2 

(x − 16) 

• Geben Sie sämtliche Asymptoten des Schaubilds 

von f an. 

• Geben Sie die Nullstellen von f an. 

• Skizzieren Sie das Schaubild von f samt 

Asymptoten für −7 ≤ x ≤ 7. 

• Weisen Sie nach, dass f genau eine Extremstelle 

besitzt. 

Das Schaubild von f, die x-Achse und die Gerade y = 7 

begrenzen im Bereich −7 ≤ x ≤ 7 eine Fläche. 

Diese Fläche stellt die Seitenansicht einer 14 m 

langen, 7 m hohen und 10 m breiten Steinbrücke dar. 

b) (4 Punkte) 

Wie viele Kubikmeter Stein wurden für die Brücke 

verbaut ? 

c) (4 Punkte) 

Unter dem Brückenbogen fährt mittig ein Zug 

hindurch. Sein Querschnitt kann als Rechteck der 

Breite 3 m und der Höhe 4 m angesehen werden. 

Wie nah kommt der Zug der gewölbten Wandfläche ? 


Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion die 

Gültigkeit der folgenden Gleichung für alle n ≥ 1: 

5 0 + 5 1 + 5 2 + . . . + 5 n = 

5 

n + 

1 

4 

− 1



Aufgabe 1: 

Gegeben ist die Funktion f durch 

f(x) = 

2 

⎛ ⎛ π ⎞⎞ 

⋅ ⎜ sin⎜ 

x⎟ 

. Ihr Schaubild sei K. 

2 

2 ⎟ 

⎝ ⎝ ⎠⎠ 

a) (5 Punkte) 

• Skizzieren Sie K im Intervall [0; 4] 

• Geben Sie die Periode von f an. 

• Geben Sie alle Hoch- und Tiefpunkte von K auf 

ganz IR an. 

• Für welche Werte von x nimmt f im Intervall [0; 2] 

den Wert 1 an ? 

b) (4 Punkte) 

Die Funktion f kann auch in der Form 

f(x) = a − cos (b x) dargestellt werden. 

• Bestimmen Sie a und b. 

• K und die x-Achse begrenzen zwischen benachbarten 

Nullstellen jeweils eine Fläche. 

Berechnen Sie den Inhalt einer solchen Fläche exakt. 

c) (5 Punkte) 

Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion g 

dritten Grades hat in P(1|2) einen Hochpunkt und 

in Q(2|0) einen Tiefpunkt. 

• Bestimmen Sie einen Funktionsterm für g. 

• An welchen Stellen im Intervall [1; 2] weichen 

die Funktionswerte von f und g am stärksten 

voneinander ab ? 


Zwei in gleicher Höhe h (h ≤ 5) befestigte Lampen 

sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen 

Spazierwegs beleuchten (s. Skizze). 

Lampe Lampe 

h 

α 

. 

d 

5 m 5 m 

M 

Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt 

cos( α) 

H = 100 ⋅ (d in Meter). 

2 

d 

In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt 

werden, damit der Weg bei M möglichst hell 

beleuchtet wird ? 



Die normale Körpertemperatur eines gesunden 

Menschen liegt bei 36,5°C. Die Funktion f mit 

−0,1 t 

f(t) = 36,5 + t ⋅ e 

Prüfung 2009 

beschreibt modellhaft den Verlauf einer Fieberkurve 

bei einem Erkrankten. Dabei ist t ≥ 0 die Zeit in 

Stunden nach Ausbruch der Krankheit und f(t) die 

Körpertemperatur in °C. 

a) (6 Punkte) 

• Wann innerhalb der ersten 48 Stunden ist die 

Temperatur am höchsten ? 

Geben Sie diese Temperatur an. 

• Skizzieren Sie die Fieberkurve innerhalb der ersten 

48 Stunden in einem geeigneten Ausschnitt eines 

Koordinatensystems. 

• Zu welchen beiden Zeitpunkten innerhalb der 

ersten 48 Stunden nimmt die Körpertemperatur am 

stärksten zu bzw. ab ? 

b) (7 Punkte) 

• Wann sinkt die Körpertemperatur unter 37°C ? 

• Weisen Sie nach, dass die Temperatur ab diesem 

Zeitpunkt dauerhaft unter 37°C bleibt. 

• Bestimmen Sie die mittlere Körpertemperatur für 

den Zeitraum vom Krankheitsbeginn bis zu diesem 

Zeitpunkt. 

• In welchem 2-Stunden-Zeitraum nimmt die 

Temperatur um ein Grad zu ? 

c) (5 Punkte) 

Fünf Stunden nach Ausbruch der Krankheit erhält der 

Erkrankte ein Fieber senkendes Medikament. Von 

diesem Zeitpunkt an sinkt die Temperatur nach der 

Gesetzmäßigkeit des beschränkten Wachstums und 

nähert sich der normalen Körpertemperatur. Zwei 

Stunden nach Einnahme des Medikaments beträgt die 

Temperatur 38,4°C. 

• Bestimmen Sie eine Funktion g, welche den 

weiteren Temperaturverlauf beschreibt. 

• Zu welchem Zeitpunkt nach der Einnahme des 

Medikaments ist die Körpertemperatur erstmals um 

ein Grad niedriger, als sie ohne Medikament wäre ? 

19

Prüfung 2009 



Die x1x2-Ebene beschreibt eine flache Landschaft, in 

der ein Flugplatz liegt. Eine Radarstation befindet 

sich im Punkt R1(6|3|0). Das Radar erfasst ein 

Testflugzeug F1 um 7.00 Uhr im Punkt P(7|29|7) und 

ermittelt als Flugbahn des Flugzeugs 

⎛ 7 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 

f1: x = ⎜ 29⎟ 

+ t ⋅ ⎜ − 2⎟ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ 7 ⎠ ⎝ − 1⎠ 

(t in Minuten nach 7.00 Uhr, Koordinatensystem in km). 

a) (6 Punkte) 

• In welchem Punkt befindet sich das Flugzeug um 

7.01 Uhr ? 

• Woran erkennen Sie, dass sich das Flugzeug im 

Sinkflug befindet ? 

• Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs 

in km/h. 

• Unter welchem Winkel fliegt das Flugzeug auf den 

Boden zu ? 

• Zu welcher Uhrzeit und in welchem Punkt würde es 

bei Beibehaltung dieser Flugbahn auf dem Boden 

aufsetzen ? 

b) (6 Punkte) 

Eine weitere Radarstation befindet sich im Punkt 

R2(17|9|0). Der Anflug des Testflugzeugs F1 auf den 

Flugplatz ist optimal, wenn die Flugbahn f1 und die 

beiden Radarstationen in einer Ebene liegen. 

• Prüfen Sie, ob das zutrifft. 

• Die Radarstation R2 übernimmt die 

Flugüberwachung zu dem Zeitpunkt, ab dem sich das 

Flugzeug von R1 entfernt. Um wie viel Uhr ist dies der 

Fall ? 

c) (4 Punkte) 

Die Flugbahn eines zweiten Testflugzeugs F2 wird 

beschrieben durch 

⎛18⎞ 

⎛ 2⎞ 

f2: x = ⎜ 11⎟ 

+ t ⋅ ⎜ 2⎟ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ 7 ⎠ ⎝ 0⎠ 

(t in Minuten nach 7.00 Uhr, Koordinatensystem in km). 

• Wie weit sind die Flugzeuge F1 und F2 um 7.04 Uhr 

voneinander entfernt ? 

• Berechnen Sie, wie nahe sich die beiden Flugzeuge 

kommen. 

20 



Aufgabe 1: 

Die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide hat die 

Eckpunkte P(0|−6|0), Q(12|0|0) und R(0|6|0). 

Die Pyramide wird von einer Ebene geschnitten und 

der obere Teilkörper entfernt. Die Deckfläche des so 

entstandenen Pyramidenstumpfs hat die Eckpunkte 

P*(0|−2|2), Q*(2|0|2,5) und R*(0|1|2,5). 

a) (6 Punkte) 

• Stellen Sie den Pyramidenstumpf in einem 


• Begründen Sie, dass die Deck- und die Grundfläche 

des Pyramidenstumpfs nicht parallel sind. 

• Bestimmen Sie den Winkel, den die Kante QQ* mit 

der x1-Achse bildet. 

• Zeigen Sie, dass S(0|0|3) die Spitze der 

ursprünglichen Pyramide ist. 

b) (6 Punkte) 

• Bestimmen Sie den Abstand des Punktes Q* von der 

Geraden durch Q und R. 

• Zeigen Sie, dass die Seitenfläche QRR*Q* des 

Pyramidenstumpfs ein Trapez ist. 

• Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Trapezes. 


Das Rechteck OABC ist dreimal so lang wie breit. 

1 

Für den Punkt T gilt: OT = OA . 

9 

C 

O T A 

Zeigen Sie, dass die Strecken OB und CT orthogonal 

sind. 

B




f(x) = (2 − 3x) ⋅ e −x 

und vereinfachen Sie so weit wie möglich. 


Berechnen Sie das Integral ∫ 


e 

1 

⎛ 2 ⎞ 

⎜ + 4x ⎟ dx 

⎝ x ⎠ 

Die Funktion f mit f(x) = 2x 3 + 3x 2 − 8x + 3 hat die 

Nullstelle x1 = 1. 

Bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen von f. 


Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 

Ihr Schaubild sei K. 

a) Geben Sie die Asymptoten von K an. 

x 

. 

1− 4x 

b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente 

an K im Punkt P(1|f(1)) mit der x-Achse. 


Die vier Abbildungen zeigen Schaubilder von 

Funktionen einschließlich aller waagrechten 

Asymptoten. Eines dieser Schaubilder gehört zur 

a 

Funktion f mit f(x) = 

Abb.1 

Abb. 2 

y 

1+ 

1 

y 

1 

2 

x 

1 

1 

− 1. 

2 

x 

x 

2 

. 

Noch Pflichtteil, Aufgabe 5: 

Abb. 3 

Abb. 4 

y 

1 

y 

1 

1 

1 

x 

x 

Prüfung 2010 

a) Begründen Sie, dass Abbildung 2 zur Funktion f 

gehört. Bestimmen Sie den Wert von a. 

b) Von den anderen drei Abbildungen gehört eine zur 

Ableitungsfunktion f’ und eine zur Integralfunktion I 

x 

mit I (x) = ∫ f(t) dt . 

2 

Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehörigen 

Abbildungen zu und begründen Sie jeweils Ihre 

Entscheidung. 


Gegeben sind die Punkte A(2|4|1), B(0|2|−1), 

C(4|−2|1) und D(−1|9|0). Überprüfen Sie, ob diese 

vier Punkte in einer Ebene liegen. 


Gegeben sind die Ebene E: 3x1 − 4x3 = −7 und der 

Punkt P(9|− 4|1). 

a) Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der 

Ebene E. 

b) Der Punkt S(−1|1|1) liegt auf E. Bestimmen Sie 

den Punkt Q auf der Geraden durch S und P, der 

genauso weit von E entfernt ist wie P. 


Die Gerade g und die Ebene E schneiden sich im 

Punkt S. Die Gerade g’ ist das Bild von g bei der 

Spiegelung an der Ebene E. 

Beschreiben Sie ein Verfahren, um eine Gleichung 

der Geraden g’ zu ermitteln. 

21

Prüfung 2010 



Aufgabe 1: 

Auf einem ebenen Gelände befindet sich ein geradliniger, 

500 m langer Lärmschutzwall. Das Profil 

seines Querschnitts wird beschrieben durch die 

120 

Funktion f mit f(x) = − 2 

x 20 

22 

2 + 

und f(x) ≥ 0 (x und f(x) in Meter). 

a) (4 Punkte) 

• Wie breit ist der Wall an seinem Fuß ? 

• Zeigen Sie, dass der Wall einen symmetrischen 

Querschnitt besitzt. 

• Der Wall soll begrünt werden. Um Erosion zu 

vermeiden, sollte das maximale Gefälle der 

Böschung nicht größer als 100 % sein. 

Ist dies beim gegebenen Querschnitt der Fall ? 

b) (6 Punkte) 

• Berechnen Sie das Volumen des Lärmschutzwalls. 

• Es ist geplant, den Wall auf 3 m Höhe abzutragen, 

um darauf einen Fahrweg anzulegen. Welche Breite 

hätte dieser Fahrweg ? 

• Das abzutragende Material soll dazu verwendet 

werden, den abgeflachten Wall zu verlängern. 

Um wie viel Meter würde er länger ? 

c) (5 Punkte) 

• Statt der Planung aus Teilaufgabe b) wird am 

ursprünglichen Wall die Erde so abgetragen, dass 

der Fahrweg seitlich geneigt ist. Sein rechter Rand 

liegt 0,4 m höher als sein linker Rand. Die Breite des 

Fahrwegs beträgt 4 m. Bestimmen Sie den Winkel, 

um den der Fahrweg gegenüber der Horizontalen 

geneigt ist, auf zwei Dezimalen genau. 

• In welcher Höhe befindet sich der linke Rand des 

Fahrwegs ? 


Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x ⋅ e x . 

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für die 

n-te Ableitung f (n) gilt: 

f (n) (x) = (x + n) ⋅ e x ; n ≥ 1. 



Gegeben sind die Funktion f und g durch 

1 

f(x) = 1 − cos (π x) und g(x) = (4 − x) ⋅ f(x) ; x ∈ IR. 

10 

Ihre Schaubilder sind Kf und Kg. 

Noch Wahlteil, Analysis 2: 

a) (5 Punkte) 

• Geben Sie alle Nullstellen der Funktion f an. 

• Beschreiben Sie, wie man Kf aus dem Schaubild der 

Kosinusfunktion erhalten kann. 

• Skizzieren Sie Kg für 0 ≤ x ≤ 4. 

Das Schaubild Kg beschreibt im Bereich 0 ≤ x ≤ 4 die 

Seitenansicht einer Minigolfbahn, die eine 

Doppelwelle als Hindernis enthält (Längenangaben in 

Meter). Gespielt wird von links nach rechts. 

b) (5 Punkte) 

• Wie hoch liegt der höchste Punkt der Bahn ? 

• An welcher Stelle der Bahn muss der Ball die größte 

Steigung überwinden ? 

• Die Minigolfbahn ist 1,25 m breit. Nach einem 

schweren Regenguss steht das Wasser zwischen den 

beiden Wellen 5 cm hoch. Wie viele Liter Wasser 

haben sich dort gesammelt ? 

c) (4 Punkte) 

Ein Ball wird so fest geschlagen, dass er bei x = 0,5 

tangential von der Bahn abhebt und im Punkt P(7|0) 

wieder auf dem Boden auftrifft. Bestimmen Sie die 

maximale Höhe des Balls auf seiner parabelförmigen 

Flugbahn. 

d) (4 Punkte) 

Das Hindernis der Minigolfbahn soll im gleichen 

Bereich neu gestaltet werden. Das neue Hindernis 

soll drei jeweils 40 cm hohe Wellen erhalten. Am 

Anfang und Ende soll das Hindernis waagrecht und 

auf der gleichen Höhe wie bisher enden. 

• Bestimmen Sie einen Term einer Funktion, die den 

neuen Bahnverlauf beschreibt. 

• Vergleichen Sie die durchschnittlichen Höhen 

beider Bahnen. 



Ein Segelboot gleitet mit der konstanten Geschwindigkeit 

160 m/min an einem ruhenden Motorboot 

vorbei. Das Motorboot nimmt zu diesem Zeitpunkt 

Fahrt auf und fährt dem Segelboot hinterher. Die 

Geschwindigkeit v(t) des Motorboots ist für t > 0 

stets positiv und wird durch 

− t − 2t 

v(t) = 960 ⋅ e − 960 ⋅ e ; t ≥ 0 

beschrieben (Zeit t in min seit der Vorbeifahrt, 

Geschwindigkeit v(t) in m/min). 

a) (6 Punkte) 

• Skizzieren Sie das Zeit-Geschwindigkeit-Schaubild 

des Motorbootes für die ersten fünf Minuten. 

• Bestimmen Sie die höchste Geschwindigkeit des 

Motorbootes in diesem Zeitraum.

Noch Wahlteil, Analysis 3: 

• Wann nimmt die Geschwindigkeit des Motorbootes 

in diesem Zeitraum am stärksten ab ? 

• Welche mittlere Geschwindigkeit hat das Motorboot 

in den ersten fünf Minuten ? 

• Wie lange fährt das Motorboot in diesem Zeitraum 

schneller als das Segelboot ? 

b) (6 Punkte) 

• Wie weit ist das Motorboot nach zwei Minuten 

gefahren ? 

• Bestimmen Sie einen Term der Funktion, die den 

vom Motorboot zurückgelegten Weg in Abhängigkeit 

von der Zeit beschreibt. 

• Legt das Motorboot nach diesem Modell mehr als 

500 m zurück ? 

• Zu welchem Zeitpunkt überholt das Motorboot das 

Segelboot ? 

c) (6 Punkte) 

• Zum Zeitpunkt t0 = 2,55 holt das Segelboot das 

Motorboot wieder ein. Beide Boote verringern ab 

diesem Moment ihre Geschwindigkeit. Ab dem Zeitpunkt 

t0 wird die Geschwindigkeit des Motorbootes 

durch die Tangente an das Schaubild der Funktion v 

an der Stelle t0 beschrieben. 

Wann kommt das Motorboot zum Stillstand ? 

• Die Geschwindigkeit des Segelbootes kann ab dem 

Zeitpunkt t0 ebenfalls durch eine Gerade beschrieben 

werden. Das Segelboot kommt am gleichen Ort wie 

das Motorboot zum Stillstand. 

Wann kommt das Segelboot zum Stillstand ? 



Gegeben sind die Punkte A(0|4|0), B(0|0|2) und 

C(4|0|0). 

a) (5 Punkte) 

• Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist. 

• Ergänzen Sie das Dreieck ABC durch einen Punkt D 

zu einer Raute. (Teilergebnis: D(4|4|−2)) 

• Berechnen Sie die Innenwinkel der Raute. 

• Zeigen Sie, dass die Raute in der Ebene 

E: x1 + x2 + 2x3 = 4 liegt. 

Gegeben ist für jedes t ≠ 0 der Punkt 

St(−3 + 3t| −3 + 3t|5 + t). Die Pyramide Pt hat die 

Grundfläche ABCD und die Spitze St. 

b) (6 Punkte) 

• Zeichnen Sie die Pyramide P3 in ein 

Koordinatensystem. 

• Die Punkte B, D und S3 legen eine Ebene F fest. 

Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von F. 

Noch Wahlteil, analytische Geometrie 1: 

Prüfung 2010 

• Zeigen Sie, dass die Ebene F Symmetrieebene der 

Pyramide P3 ist. 

c) (5 Punkte) 

• Für welchen Wert von t geht die Höhe der Pyramide 

Pt durch den Mittelpunkt der Grundfläche ? 

• Das gleichschenklige Dreieck ACS3 wird um die 

Achse AC gedreht. In welchen Punkten durchstößt 

dabei seine Spitze die x1x2-Ebene ? 



Aufgabe 1: 

Gegeben sind der Punkt A(4,5|6|3,5) sowie die 

⎛ 5⎞ 

⎛ 1 ⎞ 

Gerade g: x = ⎜ 0⎟ 

+ t ⋅ ⎜ − 2⎟ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ 3⎠ 

⎝ 1 ⎠ 

a) (7 Punkte) 

• Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden g mit 

der x1x2-Ebene. 

• Zeichnen Sie die Gerade g in ein Koordinatensystem. 

• Unter welchem Winkel schneidet g die x1x2-Ebene ? 

• Welcher Punkt F auf der Geraden g hat vom Punkt A 

den kleinsten Abstand ? 

• Die Gerade h entsteht durch Spiegelung von g an A. 

Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h. 

(Teilergebnis: F(3|4|1)) 

b) (5 Punkte) 

• Begründen Sie, dass bei Rotation der Geraden g um 

die Gerade durch A und F eine Ebene entsteht. 

• Zeigen Sie, dass 3x1 + 4x2 + 5x3 = 30 eine Gleichung 

dieser Ebene ist. 

• Untersuchen Sie, ob die Punkte P(18|−9|1) und 

Q(−2|1|−9) auf verschiedenen Seiten dieser Ebene 

liegen. 


Das Quadrat ABCD hat den 

Mittelpunkt M. Die Punkte 

P und Q werden so gewählt, 

3 

dass MP = MC 

4 

5 

B 

und MQ = MD gilt. 

4 

Die Strecken CD und PQ 

schneiden sich im Punkt S. 

In welchem Verhältnis teilt 

der Punkt S die Strecke CD ? 

P 

A 

C 

M 

S 

D 

Q 

23

Prüfung 2011 

24 

Die aktualisierte Auflage erscheint 

Mitte September 2011.


Mitte September 2011. 

Prüfung 2011 

25

Prüfung 2011 

26 


Mitte September 2011.

Pflichtteil: . 

Aufgabe 1: f’(x) = 

(x 

6x 

2 

+ 

1 

Aufgabe 2: F(x) = − − 

x 

3) 

2 

1 

cos(2x) 

2 

1 

Aufgabe 3: x1 = ln 3 ≈ 1,1 und x2 = ln 2 ≈ 0,35 

2 

Aufgabe 4: 

Tangentengleichung t: y = −2x + 6 

Schnittpunkt: S(3 | 0) 

Aufgabe 5: 

Aussage (1) ist wahr, 

Aussage (2) ist wahr, 

Aussage (3) ist falsch, 

Aussage (4) ist unentscheidbar. 

Aufgabe 6: 

A liegt auf der Geraden g. 

Nachweis der Orthogonalität: Der Normalenvektor 

von E ist ein Vielfaches des Richtungsvektors von g. 

F(2 | 0,5 | 1) hat den kleinsten Abstand zu A. 

Aufgabe 7: E: 12x1 + 15x2 + 20x3 = 60 

Aufgabe 8: 

Zuerst stellt man die Hilfsebene E auf, die den Punkt 

A enthält und senkrecht zur Geraden g steht. Dann 

schneidet man die Gerade g mit E. Der Schnittpunkt 

ist F. Der gesuchte Abstand ist die Strecke AF. 

Wahlteil – Analysis 1: . 

Aufgabe 1a): 


y 

1 

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 

-1 

2 

lim 

x − 36 

= 1. 

|x| 

→∞ 

2 

x + 16 

-2 

-3 

Die Gerade mit y = 1 ist waagrechte Asymptote. 

Nachweis der Wendepunkte mit f’’(x) = 0. 

f’’(x) = 104 ⋅ [16 − 3x ] , x1 = 

(x 2 + 16) 3 

2 

16 

, x2 = − 

3 

Lösungsübersicht 2004 

16 

3 

x 

Noch Wahlteil – Analysis 1: 

Aufgabe 1b): 


V0 = 6775 m 3 bei vollständiger Füllung. 

Bei einem Pegelstand von 1,0 m ist der Kanal zu 

24,3 % gefüllt. 

Aufgabe 1c): 

Der Abstand vom Kanalrand darf maximal 3,23 m 

betragen, damit die Person noch auf den Grund 

sehen kann. 


Aufgabe 1: 

π 

Die Periodendauer beträgt T = ≈ 0,52 s. 

6 

Die Geschwindigkeit schwankt zwischen 1,1 m/s 

und 1,9 m/s. Stärkste Abnahme der Geschwindig- 

π π 

keit bei: tn = + n· , mit n ∈ IN. 

12 6 

Zurückgelegter Weg nach 50 Perioden: 39,3 m 

v(t) in m/s 

2 

1 

0 

Aufgabe 2a): 

0,2 0,4 T 0,6 0,8 1,0 1,2 t in s 

Definitionsbereich: 0°< α < 90° 

Höhe h(α) = b·sin α , Breite a(α) = b + 2b·cos α. 

Die gesuchte Formel ergibt sich durch Einsetzen in 

a + b 

die Flächenformel für ein Trapez: A = ⋅ h 

2 

Aufgabe 2b): 

Maximales Volumen für α = 45°. 

Vmax = 0,364 m 3 = 364 Liter 

Für alle Winkel α, die zwischen 30,23° und 60,95° 

liegen, benötigt man zum vollständigen Befüllen 

mindestens vier Säcke Blumenerde zu je 80 Litern. 

27



Aufgabe 1a): 

-3 

x → + ∞ 

28 

lim 

-2 

x 

-1 

3ke 

2x 

e + k 

= 0. 

y 

3 

2 

1 

Ortskurve der Hochpunkte 

C2 C1 1 

C 3 

2 3 

Die Gerade mit y = 0 ist waagrechte Asymptote. 

Gemeinsame Eigenschaften der Schaubilder: 

• Sie verlaufen oberhalb der x-Achse. 

• Sie haben die x-Achse als Asymptote. 

• Sie haben einen Hochpunkt und 2 Wendepunkte. 

• Die Definitionsmenge ist immer ID = IR. 

• Sie sind achsensymmetrisch zur Senkrechten 

durch den jeweiligen Hochpunkt. 

Aufgabe 1b): 

ln k 3 

Hk ( | 

2 2 

k ). 

3 x 

Ortskurve aller Hochpunkte: g(x) = e 

2 

Aufgabe 1c): 

In den ersten 2 Minuten vergrößert sich die Fläche 

um 5,1 cm 2 . 

Aufgabe 2: 

Der Induktionsschluss gelingt, indem man die 

1 

Funktion hk+1(x) = 

k+ 

1 

x 

= 

1 1 

⋅ mit der 

k 

x x 

Produktregel ableitet. 

(Details siehe ausführliche Lösungen.) 


x 

Wahlteil – Analytische Geometrie 1: . 

Aufgabe 1a): 

Winkel zwischen zwei Seitenflächen: β = 101,5° 

Aufgabe 1b): 

Prozentualer Anteil der Einstiegsöffnung an der 

Vorderfläche: 37,5 % 

Aufgabe 1c): 

7 

Die Länge der Strecke C’D’ beträgt m ≈ 1,17 m. 

6 


Aufgabe 1a): 

Die Ebene E3 steht senkrecht auf dem Vektor 

⎛ 3 ⎞ 

n = 

⎜ ⎟ 

0 und geht durch den Ursprung. 

⎜ ⎟ 

⎝ − 1⎠ 

10 

Der Schnittpunkt ist Da ( 

1 + 

Aufgabe 1b): 

2 

a 

| 0 | 

10a 

1 + 

Zum Nachweis müssen die Winkel zwischen den drei 

Seiten bestimmt werden. Der rechte Winkel liegt 

beim Punkt Da. 


Aufgabe 2: 

2 

a 

Die Strecke DB wird von T im Verhältnis 3 : 5 

geteilt. (Details siehe ausführliche Lösungen.) 

).


Aufgabe 1: f’(x) = x 2 e 2x (3 + 2x) 

1 1 5 

Aufgabe 2: F(x) = 8 sin( x) − x 

2 20 

Aufgabe 3: x1 = 0, x2 = 2 und x3 = −2 

Aufgabe 4: 

Waagrechte Asymptote: y = 4 

Senkrechte Asymptote: x = 0 

Gleichung der Normalen: y = −x + 5 

Aufgabe 5: 

a) Das Schaubild der Funktion f muss durch den 

Ursprung gehen und wegen x 2 e x > 0 für alle x ∈ IR 

oberhalb der x-Achse verlaufen. 

b) f’ gehört zu Bild 4, F gehört zu Bild 2 und g 

gehört zu Bild 3. 

Aufgabe 6: IL = {4; 1; 2}. Die drei Gleichungen des 

Gleichungssystems sind die Koordinatengleichungen 

dreier Ebenen. Die Lösungsmenge sind die Koordinaten 

des Schnittpunkts P(4 | 1 | 2) dieser Ebenen. 

Aufgabe 7: E: x1 + 2x2 − 3x3 = 6 

Aufgabe 8: 

Man berechnet zuerst den Lotfußpunkt F von P auf 

E. Die Koordinaten des Spiegelpunkts P’ ergeben 

sich dann durch die Vektoraddition: OP' = OP + 2 PF 


Aufgabe 1a): a = 427, b = 2 

Die wöchentlichen Verkaufszahlen steigen zunächst 

steil an. Gegen Ende des Jahres wird die Kurve 

immer flacher. Die wöchentlichen Verkaufszahlen 

nehmen nicht mehr so stark zu und nähern sich 

einem konstanten Wert. 

(Gründe siehe ausführliche Lösungen.) 

250 

200 

150 

100 

y in Stückzahl pro Woche 

50 

12 20 30 40 50 

C 

K 

x in Wochen 



Aufgabe 1b): 


In den ersten 52 Wochen wurden insgesamt 7801 

Tuben verkauft. 

Nach 16 Wochen sind mehr als 1500 Tuben verkauft 

worden. 

Aufgabe 1c): 

Supermarkt B wird langfristig 214 Tuben pro Woche 

verkaufen. 

Supermarkt A hat nach ca. 12 Wochen den größten 

Vorsprung vor Supermarkt B. 

Die Fläche, die vom Schaubild K, der y-Achse und 

der Geraden x = t* eingeschlossen wird, muss 

genauso groß sein wie die entsprechende Fläche 

unterhalb des Schaubilds C. 

Man erhält: t* ≈ 24 Wochen. 

Aufgabe 2: 

Der Induktionsschluss gelingt, indem man die 

Funktion f (k) (x) = ( − 

e 

mit der Produktregel ableitet. 

k 

− 1) (x k) ) = (−1) 

x 

k ·(x − k)·e −x 



Aufgabe 1a): 

Fläche zwischen Kf und x-Achse: A = 2 FE 

12 

Quadratische Funktion h(x) = − 

3 

π 

K g 

K f 

Aufgabe 1b): 

-2 

-1 

y 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

-1 

0 

1 

x 2 3 

+ 

π 

2 3 

Punkte auf g mit dem kleinsten Abstand vom 

Hochpunkt: P1(1,21 | 1,55) und P2(−1,21 | 1,55) 

π 

2 

2 

Aufgabe 1c): V(t) = ·t , t* ≈ 1,32 

2 

x 

29



Aufgabe 1a): 

30 

y 

0,3 

0,2 

0,1 

0 

K f 

1 2 3 4 5 6 

t 

e 

Es ist: lim = 0. Damit ist die Gerade mit 

t → ∞ t 2 

(1+ 

e ) 

y = 0 eine waagrechte Asymptote. 

Nachweis der monotonen Abnahme: Für alle t > 0 

ist die erste Ableitungsfunktion negativ. 

Der Fischbestand nimmt nicht ab. Die Zuwachsrate f 

ist immer positiv und verlangsamt sich lediglich. 

Aufgabe 1b): 

Ableiten von F(t) ergibt die Funktion f(t). Somit ist 

F(t) eine Stammfunktion von f(t). 

Nach 2 Jahren sind 4,38 Mio. Fische zu erwarten. 

Langfristiger Fischbestand: 4,5 Mio. Fische 

Aufgabe 2: 

Differenzialgleichung: B’(t) = k [7000 − B(t)] 

Gesuchte Funktion: B(t) = 7000 − 3000·e −0,1431t 

Nach 2,8 Monaten sind 5000 Fische im Teich. 

Gesuchter Anfangsbestand: 2910 Fische 


Aufgabe 1a): 

x 1 

B 

8 

4 

x 3 

8 

4 

A 

S 

G 

Die Punkte F und G sind: F(2 | 6 | 4), G(2 | 2 | 4) 

Nachweis des gleichschenkligen Trapezes: 

Die Seiten CF und BG sind gleich lang. 

Die Seiten BC und FG sind parallel. 

Innenwinkel des Trapezes: α = 74,5°, δ = 105,5° 

4 

C 

F 

8 

D 


t 

x 2 

Noch Wahlteil – Analytische Geometrie 1: 

Aufgabe 1b): 

r* = 2,25; 

Der Punkt mit Abstand 4 von S ist P(1,6 | 4 | 4,8). 

Aufgabe 1c): 

Der Schnitt zwischen g und Er führt unabhängig von 

r auf unendlich viele Lösungen. 

Mögliche Schnittfiguren: 

1. Die Ebene Er schneidet die Pyramide nur in der 

Kante BC für r < 0 oder r > 6. 

2. Er enthält die Seitenfläche BCS für r = 6. 

3. Er schneidet die Pyramide in einem Trapez für 

0 < r < 6. 

4. Er enthält die Grundfläche BCDA für r = 0. 


Aufgabe 1a): 

Parametergleichung von E: 

⎛ 2⎞ 

⎛ 1⎞ 

⎛ 0⎞ 

x = ⎜ 1⎟ 

+ s ⋅ ⎜ 0⎟ 

+ t ⋅ ⎜ 4⎟ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ 3⎠ 

⎝ 0⎠ 

⎝ 0⎠ 

Die Ebene E ist parallel zur x1 x2 –Ebene und enthält 

die Punkte A(2 | 1 | 3) und B(2 | 5 | 3). 

Der Abstand zwischen g und E beträgt 2 LE. 

Aufgabe 1b): 

Der Punkt T(2 | 3 | 5) bildet mit den Punkten A und B 

ein rechtwinkliges Dreieck. 

Die Fläche des Dreiecks ATB beträgt 4 FE. 

Ein Punkt mit demselben Abstand von A, B und T ist 

der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABT: P(2 |3| 3) 

Aufgabe 1c): 

16 

Volumen des Doppelkegels: V = π ≈ 16,76 VE 

3 

Aufgabe 2: 

Nachweis siehe ausführliche Lösungen.


Aufgabe 1: f’(x) = x cos(4x 2 ) 

Aufgabe 2: F(x) = 8 x + 8 

Aufgabe 3: 

1 x 4 

Zur Bestimmung weiterer Nullstellen muss zuerst 

eine Polynomdivision durch (x − 1) durchgeführt 

werden. Man erhält außer der angegebenen Lösung 

(x1 = 1) die Lösungen: x2 = 3 und x3 = −1 

Aufgabe 4: f(x) = −2x 3 + 3x 2 

Aufgabe 5: 

Aussage (1) ist falsch, Aussage (2) ist wahr, 

Aussage (3) ist wahr, Aussage (4) ist falsch. 

Aufgabe 6: 

Nachweis, dass g parallel zu E ist: Wenn man die 

Schnittmenge zwischen g und E bestimmt, erhält 

man keine Lösung. 

Der Abstand zwischen g und E beträgt 3 LE. 

Aufgabe 7: 

x 1 

4 

A 

2 

Aufgabe 8: 

x 3 

4 

2 

E 1 

2 

E 2 

Der Normalenvektor der Ebene ist der Vektor AB . 

Die Mitte M zwischen A und B liegt auf E. Mit dem 

Normalenvektor AB und dem Punkt M kann die 

Koordinatengleichung von E aufgestellt werden. 

B 

4 

g 

x 2 



Aufgabe 1a): 


Durch Einsetzen der Koordinaten von P1, P2 und P3 

in die Gleichung g(x) = ax 2 + bx + c erhält man ein 

Gleichungssystem. Dessen Lösung ist: 

a = −0,015, b = 0,15 und c = 95. 

y 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

Aufgabe 1b): 

C 

20 40 60 80 100 

K 

120 140 

Aufsetzpunkt des Springers: A(60 | 50) 

Maximale Höhe über dem Aufsprunghang: 

hmax = 12,6 m 

Aufgabe 1c): 

Der Parameter k darf höchstens den Wert 0,29 

annehmen: k ≤ 0,29 

Aufgabe 1d): 

Mithilfe von Integralen kann jeweils das Erdvolumen 

des alten und des neuen Profils berechnet werden. 

Dabei ergibt sich, dass das Volumen des neuen 

Profils kleiner ist. Es muss also Erde weggefahren 

werden. (Details siehe ausführliche Lösungen.) 

x 

31



Aufgabe 1a): 

Genau ein gemeinsamer Punkt: m ≥ 3 

32 


π oder m < 0 

Genau zwei gemeinsame Punkte: 0 ≤ m < 3 

y 

4 

2 

0 

Aufgabe 1b): 

2 4 6 8 10 

Maximale Breite des Rechtecks: bmax = 6,572 LE 

Maximale Höhe des Rechtecks: hmax = 2,61 LE 

Aufgabe 2a): 

In y-Achsenrichtung wird das Schaubild mit 

zunehmenden Werten für a gestaucht; und umgekehrt 

mit abnehmenden Werten für a gestreckt. 

In x-Achsenrichtung wird das Schaubild mit 

zunehmenden Werten für a gestaucht; und umgekehrt 

mit abnehmenden Werten für a gestreckt. 

Eingeschlossene Fläche: Aa = 

Aufgabe 2b): 

2 

2 

a 

Die Parallele zur x-Achse durch den Punkt P halbiert 

die Fläche für z ≈ 0,74. 

K 

12 

π 

x 


Aufgabe a): 

Die größte Konzentration ist nach 2 h erreicht. 

Sie beträgt 14,7 mg/l. 

Die Wirksamkeit des Medikaments liegt zwischen 

0,22 h und 7,15 h. Die Zeitspanne der Wirksamkeit 

ist demnach 6,93 h lang. 

Die mittlere Konzentration während der ersten 

12 Stunden ist 6,6 mg/l. 

Aufgabe b): 

Zeitpunkt des stärksten Abbaus: t = 4 

mg 

Momentane Änderungsrate nach 4 Stunden: −2,71 

l ⋅ h 

Tangentengleichung: y = −2,71x + 21,67 

Zeitpunkt des vollständigen Abbaus: t = 8 

22 

20 

18 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

k(t) in mg 

l 

Aufgabe c): 

2 4 6 

Gesamtkonzentration 

8 

10 

12 

t in h 

Die Vorgabe wird nicht eingehalten, wie man leicht 

am Schaubild erkennt. 


Aufgabe d): 

a = 2,5e ≈ 6,80 und b = 0,25


Aufgabe 1a): 

E: 4x1 + 5x2 + 2x3 = 29 

Nachweis der Gleichschenkligkeit des Dreiecks ABD: 

Berechnung aller drei Seitenlängen. Die Seiten AB 

und AD sind gleich lang; nämlich jeweils 9 LE. 

Die Koordinaten des Punktes C sind: C(−3 | 5 | 8). 

Der Diagonalschnittpunkt ist M(0 | 5 | 2). 

Aufgabe 1b): 

Pyramidenvolumen: VPyr = 360 VE 

Kegelvolumen: VKegel = 281 VE 

Aufgabe 2: 

Die Strecken AC und BD teilen sich im 

Verhältnis 2 : 1. 


Aufgabe 1a): 

Nachweis, dass S die Spitze der Pyramide ist: 

Man berechnet den Schnittpunkt der Geraden durch 

A, A* mit der Geraden durch B, B* (bzw. C, C*). 

Der Schnittpunkt ist S(8| 2 | 40). 

Der Punkt D* hat die Koordinaten D*(0 | 3 | 20). 

Aufgabe 1b): 

Der Flächeninhalt der Wand ABB*A* beträgt 

128,0 m 2 . 

Die Wand ABB*A* hängt nach außen über. Dies 

erkennt man, wenn man die Punkte A* und B* auf 

die x1 x2–Ebene projiziert. 

x 1 

8 

6 

A* 

4 

x 3 

20 

x 

16 

14 

12 

10 

x 

8 

6 

4 

2 

A 

A* 

18 

x 

B* 

x 

B* 

2 

D* 

x 

x 

B 

4 

x C* 

x 

D 

6 8 10 12 14 16 18 


C 

x 2 


Aufgabe 2: 


(1) Man wählt den Vektor v so, dass die Punktprobe 

von S(− 4| 0 | −1) mit der Geraden h erfüllt ist. t ist 

ebenfalls frei wählbar. g und h schneiden sich in S 

beispielsweise für t = 1 und 

⎛ − 6⎞ 

v = ⎜ − 2⎟ 

. 

⎜ ⎟ 

⎝ − 1⎠ 

(2) Man wählt den Vektor v so, dass die Schnittmenge 

zwischen den Geraden g und h leer ist. 

Gleichzeitig darf v kein Vielfaches zum Richtungsvektor 

von g sein. 

Ein möglicher Vektor für eine windschiefe Lage 

zwischen g und h ist: 

⎛ 

v = ⎜ 

⎜ 

⎝ 

(3) Einen möglichen Vektor v erhält man, indem 

man von A(2 | 2 | 0) das Lot auf die Gerade g fällt. 

Der Richtungsvektor v ist dann der Vektor AF . 

F ist der Lotfußpunkt. 

⎛ − 2,5⎞ 

Man erhält: v = ⎜ − 2 ⎟ 

⎜ ⎟ 

2,5 

⎝ 

⎠ 

(Jedes Vielfache von v ist ebenfalls eine Lösung.) 

2 

1 

0 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

33



34 

Aufgabe 1: f’(x) = 2 ⋅ (1 + sin x) ⋅ cos x 

ln2 

Aufgabe 2: ∫ e 

0 

2x 

dx = 1,5 

Aufgabe 3: Substitution: u = e x ; x = ln 5 

Aufgabe 4: 

a) Punkte mit waagrechter Tangente: 

A(0 | 0) ; B(−2 | − 4) 

4 11 

b) Normalengleichung in P: y = − x + 

3 6 

Aufgabe 5: 

a) f ist monoton wachsend für x ≤ 3, da in diesem 

Bereich die Werte f’(x) ≥ 0 sind. 

f ist streng monoton fallend für x > 3, da die Werte 

f’(x) in diesem Bereich negativ sind. 

An der Stelle x = 3 hat f einen Hochpunkt wegen 

f’(3) = 0 mit Vorzeichenwechsel von plus nach 

minus. 

An den Stellen x1 = 0 und x2 = 2 hat f Wendepunkte, 

da f’ an diesen Stellen Extrempunkte hat. 

b) Schaubild von f: 

Aufgabe 6: 

y 

5 

4 

3 

2 

1 

-2 -1 0 1 2 3 4 

Das Gleichungssystem hat unendlich viele, 

bestimmbare Lösungen. Man kann alle drei 

Gleichungen als Koordinatengleichungen dreier 

Ebenen betrachten. Die Lösungsmenge des 

Gleichungssystems kann als Schnittgerade der 

drei Ebenen betrachtet werden. 

Aufgabe 7: 

Bestimmt man einen Normalenvektor von E, erkennt 

man, dass dieser Normalenvektor parallel zum 

Normalenvektor von F zeigt. Damit müssen auch 

E und F parallel verlaufen. 

4 

Der Abstand zwischen E und F beträgt LE. 

3 


x 

Aufgabe 8: 

M ist der Lotfußpunkt von S auf E. Man erhält M, 

indem man die Lotgerade durch S mit der Ebene E 

schneidet. Der Richtungsvektor der Lotgeraden ist 

der Normalenvektor von E. Der Radius des Grund- 

kreises ist der Abstand von M zu P: r = | MP | 


Aufgabe a): 

Aus den Bedingungen f(5) = 95 und f(20) = 56 

können die Werte für a und b berechnet werden: 

a = 30; b = 800 

Schaubild von f: 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

y 

10 20 


30 40 50 60 70 

Das Sinken der Herstellungskosten kann mit der 

ersten Ableitung f’(x) = 

− 650 

(x + 5) 

2 

x 

bewiesen werden. 

Da für alle x ∈ IR \ {−5} der Zähler negativ und der 

Nenner positiv ist, ist f’(x) immer negativ. Somit ist 

das Schaubild von f streng monoton fallend. 

Man erhält: x > 60. Die Herstellungskosten für eine 

Produktionseinheit sinken somit ab der 61-ten 

Produktionseinheit unter 400 000 Euro. 

Die langfristigen Herstellungskosten für eine 

Produktionseinheit betragen 300 000 Euro. 

Dies folgt aus lim f(x) = 30. 

Aufgabe b): 

x→ ∞ 

Man muss die Gleichung f(x) − f(x+1) < 1 lösen. 

Man erhält: x > 20. 

Somit unterscheiden sich zwei aufeinanderfolgende 

Produktionseinheiten ab der 21-ten Produktionseinheit 

um weniger als 10 000 Euro.


Der Verkaufspreis einer Packung muss ca. 50 Euro 

betragen, wenn die Einnahmen aus den ersten 100 

Produktionseinheiten den Herstellungskosten für 

100 Produktionseinheiten entsprechen sollen. 

Aufgabe c): 

Rekursiv definierte Folge: an+1 = 0,82 ⋅ an + 50 

Nach der fünften Spritze befindet sich ca. 175 mg 

Wirkstoff im Blut. 

Langfristig schwankt die Wirkstoffmenge zwischen 

228 mg und 278 mg Wirkstoff. 

Zeitlicher Verlauf des Wirkstoffs: 

200 

150 

100 

50 

y in mg 

x 

x 

0 6 12 


Aufgabe a): 


-4 

-3 

-2 

-1 

x 

x 

4 

3 

2 

1 

0 

y 

x 

x 

x 

x 

18 24 

1 


t in h 

2 3 4 

4 

Wertemenge W von f: ≤ W ≤ 4 

3 

Die Periode P von f wird von der Periode von 

cos( 

π 

x) bestimmt. Es gilt: P = 

2 π 

= 4 

2 

π/ 2 

Hoch- und Tiefpunkte von K im Intervall [−4 ; 4]: 

H1(−2 | 4) ; H2(2 | 4); 

4 4 4 

T1(− 4 | ); T2(0 | ); T3(4 | ) 

3 3 3 

x 

Aufgabe b): 

Bedingungen für g(x): 

4 

g(−2) = 4 ; g(0) = ; g(2) = 4 

3 

Die Lösung des entsprechenden LGS ergibt: 

2 2 4 

g(x) = x + 

3 3 


Die stärkste Abweichung der Näherungsfunktion g 

von f ist das Maximum der Funktion h mit 

h(x) = |g(x) − f(x)|. Mit dem GTR erhält man: 

x1 ≈ −1,7 und x2 ≈ 1,7 

Die jeweilige Abweichung an diesen Stellen ist: 

h(−1,7) ≈ 0,35 und h(1,7) ≈ 0,35 

Der mittlere Betrag der Abweichung im Intervall 

1 

[−2 ; 2] ist: 4 

Aufgabe c): 

−2 

∫ 

−2 

| f(x) − g(x) | dx ≈ 0,1031 

Volumen des Rotationskörpers: 

4 

4 2 

V = π ∫ [ f(x) − ] dx ≈ 22,35 

3 

0 

4 

Gleichung des an y = gespiegelten Schaubilds: 

3 

f(x) = 

− 4 

2 + cos( 

π 

x) 

2 

8 

+ 

3 


Aufgabe a): 


10 

0 

y in Pers./min 

10 20 30 40 50 60 

t in min 

Am meisten Besucher kommen nach 16,67 Minuten; 

also ca. um 19.17 Uhr. Dann kommen 10 Personen 

pro Minute. 

Weniger als 3 Personen pro Minute kommen ab 

dem Zeitpunkt, an dem gilt: f(x) ≤ 3. Das ist nach 

ca. 42,5 Minuten der Fall. Also etwa um 19.43 Uhr. 

35


Aufgabe b): 

g(x) muss eine Stammfunktion von f(x) sein. 

Es muss also gelten: g’(x) = f(x). 

Ableiten von g(x) liefert den gesuchten Nachweis. 

Die maximale Anzahl der Personen, die ins Kino 

kommen, ist: g(x) 

x lim →∞ 

Aufgabe c): 

Die Wartezeit um 19.20 Uhr ist: 

36 

= 312,5 ≈ 313 Personen 


g(20) 

≈ 22,5 min. 

6 

Für die Zahl w der Wartenden ab 19.20 Uhr gilt in 

Abhängigkeit von der Zeit t (für t > 20): 

t 

w(t) = g(20) + ∫ f(t)dt − 6 (t − 20) = g(t) − 6 (t − 20) 

20 

Am größten wird w(t) etwa 32 Minuten nach 

19.00 Uhr; also um 19.32 Uhr. 

Dann warten w(32) = 158,5 ≈ 159 Personen. 

Die Warteschlange hat sich nach ca. 71,6 Minuten 

aufgelöst, also um 20.12 Uhr. Dies ergibt sich aus 

der Bedingung w(t) = 0. 

Aufgabe d): 

In der Zeit zwischen 19.00 Uhr und 20.30 Uhr 

kommen g(90) ≈ 312 Personen an. Wenn diese 

Personen in der Zeit zwischen 19.50 Uhr und 

20.30 Uhr eingelassen werden sollen, müssen 

pro Minute mindestens 

312 

= 7,8 ≈ 8 Personen 

40 

abgefertigt werden. 


Aufgabe 1a): 

Die Spurpunkte der Ebene E sind: 

S1(8 | 0 | 0), S2(0 | 8 | 0), S3(0 | 0 | 4). 

x 1 

S 1 

8 

x 3 

4 

2 

S 3 

E 

2 4 6 8 

Der Neigungswinkel des Hangs beträgt 35,3°. 

Der Verankerungspunktes V ist: V( 

13 

| 

7 

| 

2 

) 

3 3 3 

Die Länge des Stahlseils ist 40,82 m. 

H 

S 2 

x 2 

Aufgabe 1b): 

Q sei der Punkt der Schattenlinie, wo der Schatten 

einen Knick macht – also an der Kante zwischen der 

Hangebene und der x1x2–Ebene. Die Gesamtlänge ist 

dann HQ + QT . Man berechnet die Lage von Q, 

indem man die Ebene F, die durch die Punkte H, T 

und die Mastspitze P gegeben ist, mit der 

Spurgeraden durch S1 und S2 schneidet. 

Aufgabe 1c): 

k = 

10 

. Der Mast ist also bei ca. 33,3 m abgeknickt. 

3 

Aufgabe 2: 

Wenn man ein Koordinatensystem mit Ursprung in M 

legt und die Kante des kleinen Quadrats mit a bezeichnet, 

kann man Q und P in Abhängigkeit von a 

angeben: Q(−a|0,5a), P(0,5a|a) 

Wegen MQ ⋅ MP = 0 sind die Strecken MP und MQ 

orthogonal. Sie sind gleich lang, weil die Beträge 

der Vektoren MQ und MP gleich sind. 


Aufgabe a): 

Die Koordinaten der Punkte C, E, G und H sind: 

C(3|5|0), E(0|0|4), G(3|5|4), H(0|5|4) 

Der Abstand zwischen den Kanten AB und GH ist die 

Länge d der Diagonale des Rechtecks BCGF. Mit dem 

Satz des Pythagoras erhält man: d = 41 ≈ 6,4 LE 

Berechnet man die Schnittmenge zwischen der 

Geraden durch E und H mit der Ebene Et , erhält 

man unabhängig von t immer unendlich viele 

Lösungen. Somit liegt die Gerade durch E und H in 

jeder Ebene Et. (Details siehe ausführliche Lösungen.) 

Bei geschlossener Kiste lautet die Koordinatengleichung 

der Deckelebene: x 3 = 4. Das ist E 0. 

Bei einer Öffnung von 90° liegt der Deckel in der 

x 2x 3–Ebene: x 1 = 0. Diese Ebenengleichung stimmt für 

kein t mit einer Ebene E t überein. 

Aufgabe b): 

Die Koordinaten des Punktes P sind: P(0,3|0|4,6) 

Aufgabe c): 

Wenn der Deckel in der Ebene E2 liegt, beträgt der 

Öffnungswinkel 63,4°. 

Bei einem Öffnungswinkel von 60° liegt der Deckel 

in der Ebene Et mit t = 3 . 

Für den Parameter t gilt in Abhängigkeit von α : 

t(α) = tan α 

Aufgabe d): Maximaler Öffnungswinkel: αmax = 21,2°


Aufgabe 1: f’(x) = 

(2x 

− 12x 

2 

− 3) 

3 

Aufgabe 2: G(x) = 2x + cos (4x) + 0,25 

4 

Aufgabe 3: Substitution: u = x 2 ; x1 = 3 ; x2 = − 3 

Aufgabe 4: h(x) = x 2 + 2x − 3 

Aufgabe 5: 

a) Zur Funktion f gehört Bild 2, da nur f wegen des 

Nenners x + a eine senkrechte Asymptote haben 

kann. 

Zur Funktion g gehört Bild 3, da das Schaubild von g 

die waagrechte Asymptote y = −2 hat. 

Zur Funktion h gehört Bild 4, da das Schaubild von h 

eine Parabel ist (Bild 1 stellt wegen des Wendepunkts 

keine Parabel dar.) 

b) a = 1 und b = 2. Der Wert für a ergibt sich aus 

der senkrechten Asymptote x = −1. Den Wert für b 

erhält man mit einer Punktprobe mit O(0|0) in 

−0,5x 

g(x) = −2 + b ⋅ e . 

Aufgabe 6: 

Der gesuchte Abstand d der parallelen Geraden ist 

der Abstand eines Punktes von h zur Geraden g. 

Zum Beispiel der Abstand von A(1|2|5) zu g. 

Man erhält: d = 5 LE. 

Aufgabe 7: 

Bestimmt man die Schnittmenge zwischen g und E, 

erhält man als Lösung die leere Menge. Somit muss 

g parallel zu E verlaufen. 

Aufgabe 8: 

Zunächst vergleicht man die Lage der beiden Normalenvektoren 

zueinander. Wenn die Normalenvektoren 

n1 und n2 parallel zueinander sind, sind 

beide Ebenen parallel zueinander oder identisch. 

Wenn die Normalenvektoren nicht parallel sind, 

schneiden sich die Ebenen in einer Geraden. 

Im Fall paralleler Normalenvektoren muss man 

prüfen, ob der durch p1 gegebene Punkt P1 der 

Ebene E1 auf der Ebene E2 liegt. Dazu macht man 

eine Punktprobe mit P1 in (x − p2) . n2 = 0. 

2 



Aufgabe 1: 

a) Schaubild von f: 

y 

3 

2 

1 

-2 -1 

1 2 3 4 

-1 

-2 

-3 

. 

W 

Staumauer 


Die steilste östliche Stelle ist im Wendepunkt 

W(2|−1,125). Die Steigung ist f’(2) = 1,5. 

Westliche Stelle mit der Steigung m = −1,5: 

Die Lösung der Gleichung f’(x) = −1,5 ergibt: 

x = 2 − 2 2 ≈ −0,83 

Zur Berechnung der Breite der Staumauer müssen 

die ersten beiden Nullstellen berechnet werden. 

Man erhält: x1 = 0,5 − 0,5 21 ≈ −1,79 

und x2 = 0,5 + 0,5 21 ≈ 2,79. 

Damit beträgt die Breite der Staumauer 4,58 LE. 

Flächeninhalt der Staumauer: 

2,79 

3 

2 

| − 0,125x + 0,75x − 3,125 dx | ≈ 9,02 FE. 

A = ∫ 

b) 

−1,79 

Man muss vom Tiefpunkt T(0|−3,125) eine Tangente 

an die Kurve legen. Die Gerüsthöhe ist dann die 

Höhe, um die die Tangente an der Stelle x = 4 über 

dem Hochpunkt H(4|0,875) liegt. 

Tangentengleichung: t(x) = 1,125x − 3,125 

Mit t(4) = 1,375 folgt für die Mindesthöhe: 

h1 = 1,375 − 0,875 = 0,5 LE (= 50 m). 

Zur Berechnung der Gerüsthöhe bei einer Beleuchtung 

des ganzen Tals muss die Wendetangente 

berechnet werden. Man erhält: w(x) = 1,5x − 4,125 

Mit w(4) = 1,875 folgt für die Mindesthöhe: 

h2 = 1,875 − 0,875 = 1,0 LE (= 100 m). 

Aufgabe 2: Ableiten von g(x) = 

g’(x) = 

2 

(1 − 2x) 

2 

1 

1 − 2x 

5 

ergibt: 

. Für n = 1 ist die Formel demnach 

erfüllt. Zum Induktionsschluss muss man 

(n) 

g (x) = n ! ⋅ 

n 

2 

n + 1 

(1 − 2x) 

ableiten. 


x 

37



a) Maximale Außentemperatur um 14.30 Uhr, 

minimale Außentemperatur um 2.30 Uhr. 

Dauer mit höchstens 22°C Außentemperatur: 

ca. 13 Stunden 

Der größte Temperaturanstieg ist um 8.30 Uhr. 

Die durchschnittliche Temperatur im Freien 

zwischen 6 Uhr und 18 Uhr beträgt ca. 25°C. 

b) g(x) = −3⋅sin [ 

π 

12 

x ] + 18 

Spiegeln an der x-Achse ergibt y = −sin x; 

Amplitude = 3 ergibt y = −3sin x ; mit der 

Periode P = 24 erhält man y = −3⋅ sin [ 

π 

12 

x ]; und 

schließlich verschiebt man das Schaubild um 18 LE 

parallel zur y-Achse nach oben und erhält den 

Funktionsterm von g. 

Ursache der Temperaturverschiebung: 

Der Temperaturausgleich durch die Hauswände 

dauert eine gewisse Zeit. 

Der größte Unterschied zwischen Außen- und 

Innentemperatur ist bei x = 13,1 å 13.06 Uhr. 

c) Aus den Bedingungen h(24) = f(24) und 

h’(24) = f’(24) erhält man: a = 0,3187 und b = 14,94 

Das Integral über dem Sinus-Term der Funktion h 

ergibt 0. (Details siehe ausführliche Lösung.) 


Aufgabe 1: 

a) Zur Hälfte gefüllt nach ca. 69,3 Minuten. 

Zunahme der Flüssigkeitsmenge wegen 

f’(t) = 8 ⋅ e −0,01 t > 0 für alle t ∈ IR. 

Die mittlere Flüssigkeitsmenge während der ersten 

Stunde ist ca. 398,4 Liter. 

Die Vorschrift wird eingehalten, da f(t) < 1020 Liter 

ist (Details siehe ausführliche Lösung). 

b) Die Werte für a und b sind: a = 10 und b = 0,01 

Einsetzen von f(t) für B(t) und f’(t) für B’(t) in die 

Differenzialgleichung ergibt eine wahre Aussage. 

−0,02 t 

c) Neuer Funktionsterm: B(t) = 600 − 400 ⋅ e 

Abgeflossene Menge nach einer Stunde: 440,5 Liter 

Aufgabe 2: 

Bedingung für monotones Wachstum ist an+1 > an. 

Einsetzen von an+1 = 10 + 0,8 ⋅ an ergibt eine wahre 

Aussage. 

Weil die Folge monoton und beschränkt ist, muss 

sie auch konvergent sein. Der Grenzwert ist g = 50. 

38 



a) Koordinatengleichung der Ebene: 

E: 5x1 + 5x2 − 4x3 = 80 

Winkel zwischen den Grundflächen von Würfel und 

Pyramide: α = 119,5° (stumpfer Winkel) 

bzw. � = 60,5° (spitzer Winkel) 

Die Pyramidenhöhe liegt nicht auf der Diagonalen 

PS, da PS nicht senkrecht auf E steht. 

b) Das Pyramidenvolumen macht 8 % des 

Würfelvolumens aus. 

c) Das Quadervolumen bei b = 4 ist V(4) = 133, 3 . 

Quadervolumen in Abhängigkeit von b: 

50 

V(b) = − 

3 

b 2 + 100 b; mit 0 ≤ b ≤ 6. 

Das maximale Volumen beträgt 150 VE, das kleinste 

Volumen beträgt 0 VE. Das heißt: 0 ≤ V(b) ≤ 150 


Aufgabe 1: 

a) Prisma im Koordinatensystem: 

x 1 

C 

A 

H 

x 3 

F 

B 

Ebene E: 4x2 + 3x3 = 12 

Schnittwinkel mit x1x2–Ebene: � = 53,13° 

b) Abstände des Punktes M von den Seitenflächen: 

Abstand d1 zur x1x2 – Ebene: d1 = 0,5 

Abstand d2 zur x1x3 – Ebene: d2 = 0,5 

Abstand d3 zur Ebene E: d3 = 1,7 

Der Zylinder berührt somit nur die x1x2 – Ebene und 

– Ebene, aber nicht die Ebene E. 

die x1x3 

Der gesuchte Radius ist r = 1 LE. 

Aufgabe 2: 

Das Viereck ABCD ist ein gleichschenkliges Trapez. 

(Die Seitenlängen des Trapezes sind willkürlich.) 

Die Diagonalen AC und BD teilen sich im Verhältnis 

2 : 5. 

(Details siehe ausführliche Lösung.) 

G 

x 2


Aufgabe 1: f’(x) = 2x ⋅ sin(3x+1) + 3x 2 ⋅ cos(3x + 1) 

9 

Aufgabe 2: ∫ 

4 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

2 

− 1 

x 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

dx 

= 1 

1 

Aufgabe 3: x1 = 2, x2 = −2 und x3 = ln 6 

2 

Aufgabe 4: Wendetangente t: y = 2x − 4 

Aufgabe 5: 

a) F hat 2 Extremstellen und einen Wendepunkt. 

Keine Aussage über Nullstellen möglich. 

(Begründung siehe ausführliche Lösungen.) 

b) Begründung mithilfe des entsprechenden 

Flächeninhalts im Schaubild von f. 


Aufgabe 6: 

Die drei Vektoren sind linear unabhängig. 

Aufgabe 7: 

a) Spurpunkte: S1(4|0|0) und S2(0|4|0) 

(Zeichnung siehe ausführliche Lösungen) 

b) Die Gerade g liegt in der Ebene E. 

c) Abstand d = 2 2 

Aufgabe 8: 

Für den Ortsvektor des Bildpunkts A’ gilt: 

OA' = OA + 2 AF 



Aufgabe 1a): 

Eine waagrechte Asymptote: y = 6 

Zwei senkrechte Asymptoten: x = − 4 und x = 4 

Nullstellen: 

x1 ≈ 4,48; x2 ≈ −4,48; x3 ≈ 3,45; x4 ≈ −3,45 

(Schaubild siehe ausführliche Lösungen.) 

Nachweis von genau einer Extremstelle mit der 

ersten Ableitung f’(x) = 

Aufgabe 1b): 

(x 

2 

400x 

− 16) 

Brückenvolumen V = 10 m ⋅ 38 m 2 = 380 m 3 . 

Aufgabe 1c): 

Der kürzeste Abstand zur Wandfläche ist 1,38 m. 

3 

. 



Aufgabe 2: 


Der Induktionsschritt gelingt mit der Umformung 

5 0 + 5 1 + 5 2 + . . . + 5 n + 5 n+1 = 

⇔ 5 0 + 5 1 + 5 2 + . . . + 5 n + 5 n+1 = 



Aufgabe 1a): 


y 

2 

1 

0 

1 

2 3 4 

Die Periode von f ist P = 2. 

Hoch- und Tiefpunkte: 

H(1+2z | 2) und T(2z | 0) mit z ∈ Z. 

x 

n + 1 

5 − 1 

+ 5 

4 

n+1 

n + 2 

5 − 1 

Im Intervall [0; 2] ist f(x) = 1 für x0 = 0,5 und x1 = 1,5. 

Aufgabe 1b): 

Die gesuchten Werte sind a = 1 und b = π. 

Damit ist f(x) = 1 − cos (πx) 

Der Flächeninhalt ist A = ∫1 

− cos( πx) 

dx = 2. 

Aufgabe 1c): 

Es ist: g(x) = 4x 3 − 18x 2 + 24x − 8 

2 

0 

Die stärkste Abweichung zwischen f und g ist an den 

Stellen x1 ≈ 1,28 und x2 ≈ 1,72. 

Aufgabe 2: 

h 

Es ist H(h) = 100 ⋅ . 

2 1,5 

(h + 25) 

Das Maximum von H liegt bei hmax = 3,54 m. 

Dies ist die gesuchte Lampenhöhe. 

4 

39



Aufgabe a): 

Die größte Temperatur ist nach 10 Stunden 

erreicht. Sie beträgt dann ca. 40,2°C. 

Fieberkurve: 

40 

39 

38 

37 

40 

f(t) in °C 

4 

8 12 16 

20 24 28 32 36 40 44 48 

Stärkste Zunahme der Temperatur bei t = 0. 

Stärkste Abnahme der Temperatur bei t = 20. 

Aufgabe b): 

Nach ca. 45 h sinkt die Temperatur unter 37°C. 


t in h 

Die Funktion f ist für t > 10 streng monoton fallend. 

Somit bleibt die Temperatur für t > 45 unterhalb 

von 37°C. 

45 

1 

Mittlere Temperatur TM = ∫ 45 − 0 

0 

f(x) dx ≈ 38,6°C 

2-Stunden-Zeitraum mit 1 Grad Temperaturzunahme: 

2,18 ≤ t ≤ 4,18 

Aufgabe c): 

Funktion g mit g(t) = 36,5 + 3⋅e −0,228 t . 

Zeitpunkt mit einer Körpertemperatur, die um 

1 Grad niedriger ist: t ≈ 1,13 h 

(gemessen vom Zeitpunkt der Medikamenteneinnahme) 


Aufgabe a): 

Punkt um 7.01 Uhr: A(10|27|6) 

Nachweis des Sinkflugs: Die x3-Koordinate x3 = 7 − t 

nimmt mit der Zeit ab. 

Geschwindigkeit v ≈ 224,5 km/h 

Anflugwinkel α ≈ 15,5° 

Uhrzeit der Landung: um 7.07 Uhr 

Ort der Landung: bei L(28|15|0) 

Aufgabe b): 

Der Anflug ist optimal. Nachweis: R2 liegt in der 

Ebene, die von R1 und f1 aufgespannt wird. 

Um 7.04 Uhr entfernt sich das Flugzeug wieder 

von R1. 


Aufgabe c): 

Um 7.04 Uhr beträgt der Abstand beider Flugzeuge 

ca. 8,31 km. 

Die geringste Entfernung beider Flugzeuge beträgt 

ca. 7,89 km. 


Aufgabe 1a): 

Pyramidenstumpf im Koordinatensystem: 

x 1 

-6 

Q 

P 

12 

6 

P* 

-2 

x 3 

Q* 

-1 

1 

2 

1 

1 2 3 

Die Deckfläche ist nicht parallel zur x1x2-Ebene, da 

P* eine andere x3-Koordinate hat als Q* und R*. 

Der Winkel zwischen QQ* und der x1-Achse beträgt 

ca. 14,0°. 

Der Punkt S(0|0|3) ist die Spitze der ursprünglichen 

Pyramide, da sich die Geraden durch die Kanten 

PP*, QQ* und RR* in S(0|0|3) schneiden. 

Aufgabe 1b): 

Der Abstand des Punktes Q* von der Geraden durch 

Q und R beträgt ca. 5,12 LE. 

Die Seitenfläche QRR*Q* ist ein Trapez, weil die 

Seiten QR und Q*R* parallel zueinander sind. 

Der Flächeninhalt des Trapezes QRR*Q* beträgt 

ca. 40,1 FE. 

Aufgabe 2: 

Der Nachweis kann mit dem Ansatz OB ⋅ CT = 0 oder 

mit trigonometrischen Überlegungen erbracht 

werden. 

S 

2 

R* 


4 

5 

R 

6 

x 2


Aufgabe 1: f’(x) = e −x ⋅ (3x − 5) 

⎛ 2 

Aufgabe 2: ∫ ⎜ + 4x 

x 

e 

1 

⎝ 

⎞ 

⎟ dx 

⎠ 

= 2e 2 

Aufgabe 3: x1 = 1, x2 = 0,5 und x3 = −3 

Aufgabe 4: waagrechte Asymptote: y = −4 ; 

senkrechte Asymptote: x = 0 

Tangentengleichung: y = −2x − 1 

Schnitt mit x-Achse: N(−0,5|0) 

Aufgabe 5: 

a) Begründung mit Symmetrie zur y-Achse und mit 

der waagrechten Asymptote y = −1; 

gesuchter a-Wert: a = 3 

b) Abbildung 3 gehört zu f’; Abbildung 4 gehört zu I. 


Aufgabe 6: 

Die Punkte A, B, C und D liegen in einer Ebene. 

Nachweis: Der Punkt D liegt in der von A, B und C 

gebildeten Ebene. 

Aufgabe 7: a) Der Abstand von P zu E ist d = 6. 

b) Q(−11|6|1) 

Aufgabe 8: Spiegeln eines Punktes A von g an der 

Ebene E. Die Gerade g’ geht dann durch S und A’. 



Aufgabe 1a): 

Breite des Walls am Fuß: ca. 12,64 m 

Nachweis der Symmetrie zur y-Achse mit 

f(x) = f(−x). 

Das maximale Gefälle ist kleiner als 1 bzw.100 %. 

Nachweis mit der Ableitungsfunktion f’. 

Aufgabe 1b): 

Volumen des Walls: V = 12985 m 3 ≈ 13000 m 3 . 

Breite des Fahrwegs: 4 m 

Verlängerung des abgeflachten Walls: ca. 55,56 m 

Aufgabe 1c): 

Neigungswinkel des neuen Fahrwegs: α ≈ 5,71° 

Höhe des linken Rands: ca. 2,8 m 

Aufgabe 2: 

Der Induktionsschritt wird durch Ableiten von 

f (k) (x) = (x + k) ⋅ e x mit der Produktregel vollzogen. 




Aufgabe a): 

Nullstellen von f: xn = 2n mit n ∈ Z 


Wie Kf aus dem Schaubild der Kosinusfunktion 

hervorgeht: 

1. Stauchen in x-Achsenrichtung mit b = π, 

2. Spiegeln an der x-Achse, 

3. Verschieben um 1 LE in y-Achsenrichtung 


1 

0 

y 

Aufgabe b): 

Schaubild von g 

1 2 3 4 

Der höchste Punkt ist ca. 0,61 m hoch. 

Die größte Steigung der Bahn ist bei x ≈ 0,44 m. 

Wasservolumen: VW ≈ 19,1 Liter 

Aufgabe c): 

Parabelgleichung: p(x) = −0,162x 2 + 1,162x − 0,191 

Maximale Höhe der Flugbahn: ca. 1,89 m 

Funktionsgleichung für neuen Bahnverlauf: 

y = 0,2 sin [ 2 

3 π (x − 3 

1 )] + 0,2 oder 

3 

y = −0,2 cos [ π x] + 0,2 

2 

Die durchschnittlichen Höhen der beiden Bahnen 

sind gleich groß: 0,2 m. 


Aufgabe a): 

Die höchste Geschwindigkeit des Motorboots 

beträgt 240 m/min. 

300 

200 

100 

0 

y in m/min 

H 

1 2 

Schaubild von v 

3 4 5 

x 

t in min 

Die stärkste Abnahme der Geschwindigkeit ist bei 

ca. t = 1,39 min. (Nachweis mit der ersten Ableitung v’) 

41



Die mittlere Geschwindigkeit des Motorboots in den 

ersten 5 Minuten beträgt ca. 94,7 m/min. 

Das Motorboot fährt ca. 1,32 min lang schneller als 

das Segelboot. 

Aufgabe b): 

Nach 2 min hat das Motorboot ca. 359 m 

zurückgelegt. 

Funktionsterm für die Strecke: 

t 

s(t) = ∫ 

0 

42 

v(x) dx = −960⋅e − t + 480⋅e −2 t + 480 

Die Gesamtstrecke des Motorboots beträgt nach 

diesem Modell nur 480 m. 

Der Zeitpunkt, an dem das Motorboot das Segelboot 

überholt ist t* ≈ 0,58 min. 

Aufgabe c): 

Nach diesem Modell kommt das Motorboot nach ca. 

3,64 min zum Stillstand. 

(Tangentengleichung: y = −63,25 t + 230,4) 

Das Segelboot kommt nach ca. 3,02 min zum 

Stehen. (Berechnung durch Integration über die 

Geschwindigkeit. Details siehe ausführliche Lösungen.) 


Aufgabe a): 

Wegen AB = BC = 20 ist ABC gleichschenklig. 

Mit OD = OA + BC erhält man: D(4|4|−2) 

Innenwinkel der Raute: 

α = γ = 101,5° und β = δ = 78,5° 

Nachweis, dass ABCD in der Ebene E liegt durch 

Punktprobe mit allen Punkten A, B, C und D. 

Ebene F: x1 − x2 = 0 

Pyramide P 3 

x 1 

6 

C 

5 

4 

3 

2 

5 

4 

3 

1 

2 

1 

x 3 

B 

1 

A 

2 3 4 5 6 

x 

D 

S 3(6|6|8) 


x 2 


Nachweis, dass die Ebene F eine Symmetrieebene 

der Pyramide P3 ist: Da die Punkte B, D und S3 in der 

Ebene F liegen, muss man zeigen, dass die Punkte A 

und C spiegelsymmetrisch bezüglich der Ebene F 

sind. (Details siehe ausführliche Lösungen.) 

Aufgabe c): 

Gesuchter t-Wert: t = 3 

Durchstoßpunkte der Spitze des Dreiecks ACS3: 

P(2 − 4 3 |2 − 4 3 |0) und Q(2 + 4 3 |2 + 4 3 |0) 


Aufgabe 1a): 

Schnittpunkt von g mit der x1x2-Ebene: D(2|6|0) 

Die Gerade g geht durch die Punkte D(2|6|0) und 

C(5|0|3). 

g 

x 1 

C x 

5 

4 

3 

2 

4 

3 

1 

2 

1 

x 3 

1 

2 3 4 5 6 

Schnittwinkel zwischen g und der x1x2-Ebene: α = 24,1° 

Der Punkt F ist der Lotfußpunkt von A auf g: F(3|4|1) 

Eine Gleichung von h ist: x = 

Aufgabe 1b): 

Begründung: g steht senkrecht auf AF. 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

6 

8 

6 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

D x 

⎛ 1 

+ s ⋅ ⎜ − 2 

⎜ 

1 

Nachweis: Die Ebene E: 3x1 + 4x2 + 5x3 = 30 steht 

senkrecht auf der Strecke AF und enthält den Punkt F. 

Die Punkte P und Q liegen auf derselben Seite der 

Ebene E: 3x1 + 4x2 + 5x3 = 30. 


Aufgabe 2: 

Der Punkt S teilt die Strecke CD im Verhältnis 5 : 3. 


⎝ 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

x 2




Mitte September 2011. 

43

Register 

Ableitungen: 2004/P1, 2005/P1, 2006/P1, 2007/P1, 

2008/P1, 2009/P1, 2010/P1 

Änderungsrate und Integral: 

2004/A2-1, 2004/A3-1c, 2005/A1-1b, 2005/A3-1a, 

2007/A3-b, 2010/A3-b, 2010/A3-c 

Asymptoten: 

→ senkrechte: 2005/P4, 2005/P5, 2009/A1-1a 

→ waagrechte: 2004/A1-1a, 2004/A3-1a, 2005/P4, 

2005/A1-1c, 2005/A3-1a, 2005/A3-1b, 2007/A1-a, 

2009/A1-1a, 2010/P4 

Aussagen über eine Funktion treffen: 

Anhand von f’ über f: 2004/P5, 2006/P5, 2007/P5 

Anhand von f über F: 2009/P5 

Differenzialgleichung: 2005/A3-2, 2008/A3-1b 

Durchschnitt: → Mittelwert 

Extremwert berechnen: 2005/A2-b, 2006/A1-b, 

2006/A2-1b, 2007/A2-b, 2008/A2-b, 2009/A1-1c, 

2009/A2-1c, 2009/A2-2, 2010/A2-1c 

Flächenberechnung mit Integralen: 

2005/A2-a, 2006/A2-2a+b, 2008/A1-a, 2009/A1-1b, 

2009/A2-1b, 2010/A1-1b, 2010/A2-b 

Folgen (beschränkt): 2007/A1-c, 2008/A3-2 

Funktionsterme bzw. -gleichungen aufstellen: 

2005/A1-1a, 2005/A2-a, 2006/P4, 2006/A1-a+c, 2006/A3-d, 

2007/A1-a, 2007/A2-b, 2008/P4, 2008/A2-b, 2008/A2-c, 

2008/A3-1c, 2009/A2-1b, 2009/A2-1c, 2009/A3-c, 

2010/A2-c 

Funktionsterme zuordnen: 2005/P5, 2008/P5, 2010/P5 

Gleichungen lösen: 2004/P3, 2005/P3, 2006/P3, 2008/P3, 

2009/P3, 2010/A1-1c 

Gleichungssysteme lösen: 2005/P6, 2007/P6, 2009/A2-1c, 

2010/A2-c 

Hoch- und Tiefpunkte: 2004/A2-2b, 2004/A3-1b, 

2006/A3-a, 2006/A3-b, 2007/A2-a, 2008/A2-a, 2009/A1-1a, 

2009/A2-1a, 2009/A3-a, 2010/A2-b, 2010/A2-c, 2010/A3-a 

Integrale berechnen: 2004/A2-1, 2004/A3-1c, 2005/A1-1b, 

2005/A2-a, 2006/A2-2a+b, 2007/P2, 2007/A1-b, 2007/A2-c, 

2009/P2, 2010/P2, 2010/A1-1b 

Integration über eine Änderungsrate: → Änderungsrate 

Kettenregel: 2006/P1, 2007/P1 

Mittelwert: 2006/A3-a, 2007/A2-b, 2008/A2-a, 2008/A2-c, 

2008/A3-1a, 2009/A3-b, 2010/A2-d, 2010/A3-a 

Monotonie (Nachweis): 2004/P5, 2005/A3-1a, 2007/P5, 

2008/A3-1a, 2009/A3-b 

Normalengleichungen: 2005/P4, 2007/P4 

Nullstellen: 2004/P4, 2006/A3-b, 2008/A1-1a, 2009/A1-1a, 

2010/P3, 2010/A1-1a, 2010/A2-a, 2010/A3-a 

Ortskurve: 2004/A3-1b 

44 

Register: Analysis 

Periodendauer: 2004/A2-1, 2006/A2-a, 2007/A2-a, 

2009/A2-1a, 2010/A2-d 

Polynomdivision: 2006/P3, 2010/P3 

Produktregel: 2005/P1, 2004/A3-2, 2009/P1, 2010/P1, 

2010/A1-1a, 2010/A1-2, 2010/A2-2b 

Quotientenregel: 2004/P1, 2008/P1 

Rotationsvolumen: 2007/A2-c 

Schaubilder zuordnen: → Funktionsterme zuordnen 

Schnittpunkte: 2005/A1-1c, 2006/A1-b, 2006/A2-1a, 

2010/A1-1b, 2010/A3-b 

Stammfunktionen: 2004/P2, 2005/P2, 2005/A3-1b, 

2006/P2, 2008/P1 

Steigungen berechnen (größte bzw. kleinste): 

2004/A2-1, 2006/A3-b, 2008/A1-1a, 2008/A2-a, 2009/A3-a, 

2010/A1-1a, 2010/A2-b, 2010/A3-a 

Substitution: 2004/P3, 2005/P3, 2007/P3 

Symmetrie: 2010/A1-1a 

Tangentengleichungen: 2004/P4, 2004/A1-1c, 2006/A2-1a, 

2006/A3-b, 2007/P4, 2009/P4, 2010/P4, 2010/A3-c 

Tiefpunktberechnung: → Hochpunkt 

Trigonometrische Funktionen: 

2004/A2, 2004/A2, 2006/A2, 2007/A2, 2008/A2, 2009/A2, 

2010/A2-a, 2010/A2-d 

Verhalten für x → ∞ : 2004/A1-1a, 2004/A3-1a, 2005/P4, 

2005/A1-1c, 2005/A3-1a, 2005/A3-1b, 2007/A1-a, 

2007/A3-b, 2010/A3-b 

Vollständige Induktion: 2004/A3-2, 2005/A1-2, 2008/A1-2, 

2009/A1-2, 2010/A1-2 

Volumenberechnung: 2004/A1-1b, 2005/A2-c, 2006/A1-d, 

2010/A1-1b, 2010/A2-1b 

Wachstum (beschränktes): 

2005/A3-2, 2008/A3-1b, 2009/A3-c 

Wendepunkte: 2004/A1-1a, 2007/P5, 2009/P4 

Zuwachsrate: → Änderungsrate 

_________________________________________________ 

Bedeutung der Abkürzungen: 

: Prüfung 2010, Pflichtteil, Aufgabe 1 

: Prüfung 2010, Wahlteil-Analysis 1, Aufgabe 1a

Abstände berechnen: 

→ zwischen Punkten: 

2004/G1-b, 2004/G1-c, 2005/G1-a, 2005/G2-1c, 

2006/G1-1a, 2006/G2-1b, 2007/G1-a, 2007/G2-a, 

2009/G1-a, 2009/G1-c, 2010/G1-a, 2010/G1-c 

→ zwischen Ebenen: 2007/P7 

→ zwischen Geraden: 2007/P7, 2008/P6 

→ zwischen Gerade und Ebene: 2005/G2-1a, 2006/P6 

→ zwischen Punkt und Ebene: 2004/P6, 2005/G1-b, 

2005/G2-1a, 2006/G1-1b, 2008/G2-1b, 2009/P7, 2010/P7 

→ zwischen Punkt und Gerade: 2004/P8, 2004/G1-b, 

2005/G2-1c, 2006/G2-1b, 2009/G1-b, 2009/G2-1b 

Beweise mit Vektorrechnung: 

2004/G2-2, 2005/G2-2, 2006/G1-2, 2007/G1-2, 2008/G2-2, 

2009/G2-2, 2010/G2-1b, 2010/G2-2 

Ebenen im Koordinatensystem darstellen: 

2006/P7, 2007/G1-a, 2009/P7 

Ebenengleichung aufstellen: 

→ Parametergleichung: 2005/G2-1a, 2009/G1-b, 2010/P6 

→ Koordinatengleichung: 2004/P7, 2005/P7, 2006/P8, 

2006/G1-1a, 2008/G1-a, 2008/G2-1a, 2010/G1-b 

Ebenenlage beschreiben: 2005/G2-1a 

Gauß-Verfahren: → Lineare Gleichungssysteme 

Geradengleichung aufstellen: 2004/G1-c, 2005/G2-1b 

Hesse-Normalen-Form: 

2005/G1-1b, 2005/G2-1a, 2006/G1-1b, 2008/G2-1b, 

2009/P7, 2010/P7 

Kegelvolumen: 2006/G1-1b 

Koordinatengleichung: → Ebenengleichung 

Längenberechnung: → Abstand zweier Punkte 

Lage zwischen Gerade und Ebene: 2004/P6, 2006/P6, 

2007/G2-a, 2008/P7, 2008/G1-a, 2009/P7 

Lage zwischen zwei Geraden: 2006/G2-2 

Lage zwischen zwei Ebenen: 2007/P7, 2009/G2-1a 

Lineare Gleichungssysteme: 2005/P6, 2007/P6 

Lineare Unabhängigkeit: 2009/P6 

Register: Analytische Geometrie 

Lotfußpunkt berechnen: 2004/P6, 2004/P8, 2004/G1-b, 

2005/G1-b, 2005/G2-1c, 2006/G2-1b, 2007/G1-a, 2007/G2-b, 

2010/G2-1a 

Mitte zweier Punkte: 2005/G2-1b, 2006/G1-1a, 2007/G2-b, 

2010/G1-b 

Normalengleichung: 2007/P7, 2008/P8 

Parametergleichung: → Ebenengleichung 

Punkte im Koordinatensystem: 

2004/G1-a, 2005/G1-a, 2006/G2-1a, 2007/G2-a, 

2008/G2-1a, 2009/G2-1a, 2010/G1-b, 2010/G2-1a 

Register 

Punktprobe: 2004/P6, 2005/G1-c, 2009/G1-b, 2010/P6, 

2010/G1-a 

Pyramidenvolumen: 2006/G1-1b, 2008/G1-b 

Schnitt zwischen Gerade und Ebene: 2004/G1-c, 

2004/G2-1a, 2005/G1-a, 2005/G1-c, 2006/G2-1a, 

2010/G2-1a 

Schnitt zweier Geraden: 2005/G2-1b, 2006/G2-1a, 

2009/G2-1a 

Schnitt zweier Ebenen: 2006/P7, 2010/G1-c 

Spiegelungen: 2005/P8, 2009/P8, 2010/P8, 2010/G1-b, 

2010/G2-1a 

Teilverhältnisse bestimmen: 2004/G2-2, 2006/G1-2, 

2008/G2-2, 2010/G2-2 

Trapezfläche: 2004/G1-b, 2006/G2-1b, 2009/G2-1b 

Windschiefe Geraden: 2006/G2-2 

Winkelberechnungen: 

2004/G1-a, 2004/G2-1b, 2005/G1-a, 2005/G2-1b, 

2007/G2-c, 2008/G1-a, 2008/G2-1a, 2009/G1-a, 

2009/G2-1a, 2010/G1-a, 2010/G2-1a 

____________________________________________________ 

Bedeutung der Abkürzungen: 

: Prüfung 2010, Pflichtteil, Aufgabe 6 

: Prüfung 2010, Wahlteil, analytische 

Geometrie 2, Aufgabe 1a 

45

Abitur 2012 - Matheverlag

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