Abitur 2012 - Matheverlag
Abitur 2012 - Matheverlag
Abitur 2012 - Matheverlag
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
<strong>Abitur</strong> <strong>2012</strong><br />
www.matheverlag.com<br />
Mathematik<br />
Mathematik-Verlag
Vorwort:<br />
Sehr geehrte <strong>Abitur</strong>ientinnen und <strong>Abitur</strong>ienten,<br />
mit der vorliegenden Aufgabensammlung können Sie sich effektiv auf das Mathematik-<strong>Abitur</strong> in Baden-<br />
Württemberg vorbereiten. Das Heft enthält alle Prüfungsaufgaben der reformierten Oberstufe (seit 2004)<br />
und eine kompakte Lösungsübersicht ab Seite 27, womit Sie Ihre eigenen Rechenergebnisse sofort<br />
überprüfen können.<br />
Die ausführlichen Lösungswege zu den Prüfungsaufgaben finden Sie auf der CD-ROM in der jeweiligen<br />
Datei. Alle Lösungen sind darin so ausführlich dargestellt, dass jeder Rechen- und Gedankenschritt leicht<br />
nachvollzogen werden kann. Darüber hinaus erleichtern farbige Markierungen die Orientierung.<br />
Die beiliegende CD-ROM enthält außerdem weitere Übungsaufgaben mit Lösungen zu allen Prüfungsthemen,<br />
einen Zeitplan und wertvolle Lerntipps zur effektiven Prüfungsvorbereitung.<br />
Die <strong>Abitur</strong>prüfung in Mathematik ist in einen Pflichtteil und in einen Wahlteil unterteilt. Im Pflichtteil<br />
werden Grundkenntnisse in Form von kleineren Aufgaben abgefragt. Hierzu sind keinerlei Hilfsmittel<br />
zugelassen. Im Wahlteil dürfen Sie einen grafikfähigen Taschenrechner benutzen. Allerdings sind die<br />
Aufgaben des Wahlteils anspruchsvoller, weil darin Lösungsstrategien entwickelt, praktische<br />
Problemstellungen gelöst oder auch mathematische Beweise durchgeführt werden sollen.<br />
Im Pflichtteil werden 5 Aufgaben aus der Analysis und 3 Aufgaben aus der analytischen Geometrie gestellt. Im<br />
Wahlteil müssen Sie jeweils einen Aufgabensatz zur Analysis und einen Aufgabensatz zur analytischen<br />
Geometrie bearbeiten. Die Bezeichnung „Wahlteil“ kommt daher, weil Ihr Lehrer bzw. Ihre Lehrerin jeweils<br />
einen Aufgabensatz aus drei Aufgabenvorschlägen zur Analysis und aus zwei Aufgabenvorschlägen zur<br />
analytischen Geometrie auswählen darf. Im Pflichtteil können Sie maximal 26 Verrechnungspunkte erzielen.<br />
Für die Wahlaufgaben werden 34 Punkte vergeben (18 Punkte für die Analysis, 16 Punkte für die analytische<br />
Geometrie). Für die gesamte Prüfung haben Sie 240 Minuten Zeit.<br />
Die Bewertungsskala:<br />
2<br />
Erreichte Punkte Notenpunkte Erreichte Punkte Notenpunkte<br />
60 … 57 15 35 … 33 7<br />
56 … 54 14 32 … 30 6<br />
53 … 51 13 29 … 27 5<br />
50 … 48 12 26 … 23 4<br />
47 … 45 11 22 … 19 3<br />
44 … 42 10 18 … 15 2<br />
41 … 39 9 14 … 11 1<br />
38 … 36 8 10 … 0 0
Inhalt:<br />
Prüfungsaufgaben 2004 ................................................................................. 4<br />
Prüfungsaufgaben 2005 ................................................................................. 6<br />
Prüfungsaufgaben 2006 ................................................................................. 9<br />
Prüfungsaufgaben 2007 .................................................................................12<br />
Prüfungsaufgaben 2008 ................................................................................ 15<br />
Prüfungsaufgaben 2009 ................................................................................ 18<br />
Prüfungsaufgaben 2010 ................................................................................ 21<br />
Prüfungsaufgaben 2011 ................................................................................ 24<br />
Lösungsübersicht ........................................................................................ 27<br />
Register .................................................................................................. 44<br />
CD-ROM:<br />
Lösungen 2004 – 2011:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Übungsaufgaben zum Prüfungsstoff:<br />
<br />
<br />
Zeitplaner und Lerntipps:<br />
<br />
<br />
Die Dateien auf der CD-ROM haben das pdf-Format. Zum Ansehen und Ausdrucken wird der Acrobat-Reader TM<br />
benötigt, den man kostenlos aus dem Internet laden kann (www.adobe.com).<br />
3
Prüfung 2004<br />
Pflichtteil 2004: (Lösungsübersicht auf Seite 27) .<br />
Aufgabe 1: (2 Punkte)<br />
Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit<br />
2<br />
x<br />
f(x) = und vereinfachen Sie f’(x).<br />
2<br />
x + 3<br />
Aufgabe 2: (2 Punkte)<br />
Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit<br />
f(x) =<br />
4<br />
1 + sin(2x) an.<br />
2<br />
x<br />
Aufgabe 3: (3 Punkte)<br />
Lösen Sie die Gleichung e 4x − 11e 2x + 18 = 0.<br />
Aufgabe 4: (3 Punkte)<br />
2<br />
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = + 2 ; x ≠ 0.<br />
x<br />
Das Schaubild von f hat im Punkt P(1|v) die<br />
Tangente t. Ermitteln Sie eine Gleichung von t.<br />
Die Tangente schneidet die x-Achse im Punkt S.<br />
Bestimmen Sie die Koordinaten von S.<br />
Aufgabe 5: (6 Punkte)<br />
Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion<br />
f’ einer Funktion f. Welche der folgenden<br />
Aussagen über die Funktion f sind wahr, falsch oder<br />
unentscheidbar ? Begründen Sie Ihre Antworten.<br />
-3 -2 -1<br />
y<br />
2<br />
1<br />
Schaubild von f '<br />
1 2 3<br />
(1) f ist streng monoton wachsend für −3 < x < 3.<br />
(2) Das Schaubild von f hat mindestens einen<br />
Wendepunkt.<br />
(3) Das Schaubild von f ist symmetrisch zur y-Achse.<br />
(4) Es gilt f(x) > 0 für alle x ∈ [−3; 3].<br />
Aufgabe 6: (4 Punkte)<br />
Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g:<br />
x =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
+ t ⋅<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
− 1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
; t ∈ IR und E: 4x1 − 2x2 + 4x3 = 11.<br />
• Prüfen Sie, ob der Punkt A(3 | 0 | 2) auf der<br />
Geraden g liegt.<br />
• Zeigen Sie: Die Gerade g ist orthogonal zur<br />
Ebene E.<br />
• Bestimmen Sie die Koordinaten desjenigen Punktes<br />
der Ebene E, der vom Punkt A den kleinsten<br />
Abstand hat.<br />
x<br />
Aufgabe P7: (3 Punkte)<br />
Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der dargestellten<br />
Ebene.<br />
x 1<br />
x 3<br />
Aufgabe 8: (3 Punkte)<br />
1<br />
1<br />
1<br />
Gegeben sind im Raum eine Gerade g und ein Punkt<br />
A, der nicht auf g liegt.<br />
Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung des<br />
Abstandes von A zu g.<br />
Wahlteil 2004 – Analysis 1: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 27)<br />
Aufgabe 1:<br />
2<br />
x − 36<br />
Gegeben ist eine Funktion f durch f(x) = ;<br />
2<br />
x + 16<br />
x ∈ IR. Ihr Schaubild sei K.<br />
a) (7 Punkte)<br />
• Zeichnen Sie K.<br />
• Untersuchen Sie das Verhalten von K für |x|→ ∞.<br />
• Weisen Sie nach, dass K genau zwei Wendepunkte<br />
besitzt.<br />
Nun stellt K für −6 ≤ x ≤ 6 den Querschnitt eines<br />
500 m langen Kanals dar (x in Meter, f(x) in Meter).<br />
Die sich anschließende Landfläche liegt auf der Höhe<br />
y = 0. Der Pegelstand wird in Bezug auf den tiefsten<br />
Punkt des Kanals gemessen und beträgt maximal<br />
2,25 m.<br />
b) (5 Punkte)<br />
• Wie viele Kubikmeter Wasser sind in dem Kanal,<br />
wenn er ganz gefüllt ist ?<br />
• Zu wie viel Prozent ist der Kanal bei einem<br />
Pegelstand von 1,00 m gefüllt ?<br />
c) (6 Punkte)<br />
An Land steht eine Person. In welcher Entfernung<br />
vom Kanalrand darf sie höchstens stehen, damit sie<br />
bei leerem Kanal die tiefste Stelle des Kanals sehen<br />
kann (Augenhöhe 1,50 m) ?<br />
x 2
Wahlteil 2004 – Analysis 2: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 27)<br />
Aufgabe 1: (6 Punkte)<br />
Die Geschwindigkeit eines Schwimmers schwankt<br />
periodisch um einen Wert. Messungen beim Training<br />
haben gezeigt, dass sich die Bewegung näherungsweise<br />
durch die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v mit<br />
v(t) = 0,4 sin(12t) + 1,5<br />
beschreiben lässt.<br />
(t in s, Geschwindigkeit v(t) in m/s)<br />
• Bestimmen Sie die Periodendauer.<br />
• Zwischen welchen Werten schwankt die<br />
Geschwindigkeit des Schwimmers ?<br />
• Skizzieren Sie ein Schaubild von v.<br />
• Zu welchen Zeitpunkten nimmt die Geschwindigkeit<br />
am stärksten ab ?<br />
• Welchen Weg legt der Schwimmer innerhalb von<br />
50 Perioden zurück ?<br />
Aufgabe 2:<br />
Eine Firma stellt aus Holzbrettern der Länge l und<br />
der Breite b oben offene Blumentröge mit<br />
trapezförmigem Querschnitt her (siehe Abb.).<br />
α<br />
b<br />
a) (5 Punkte)<br />
h<br />
l<br />
a<br />
b<br />
b<br />
α<br />
• Wählen Sie einen sinnvollen Definitionsbereich für<br />
den Neigungswinkel α.<br />
• Drücken Sie die Höhe h und die obere Breite a des<br />
Blumentrogs in Abhängigkeit vom Neigungswinkel α<br />
aus.<br />
• Weisen Sie damit nach, dass sich der Flächeninhalt<br />
der Querschnittsfläche durch die Funktion A mit<br />
A(α) = b 2 · (1 + cos α) · sin α darstellen lässt.<br />
b) (7 Punkte)<br />
Die Breite der Bretter beträgt nun 0,5 m.<br />
Für l = b ⋅ (1 + 2 cos α) ist die Pflanzfläche eines<br />
vollständig gefüllten Troges quadratisch.<br />
• Für welches α hat ein derartiger Trog maximales<br />
Volumen ? Wie groß ist dieses Volumen ?<br />
• Für welche Werte von α benötigt man zum<br />
vollständigen Befüllen eines Troges mit<br />
quadratischer Pflanzfläche mindestens vier Säcke<br />
Blumenerde von je 80 Liter Inhalt ?<br />
l<br />
Wahlteil 2004 – Analysis 3: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 28)<br />
Aufgabe 1:<br />
Prüfung 2004<br />
Für jedes k > 0 ist eine Funktion fk gegeben durch<br />
fk(x) =<br />
x<br />
3ke<br />
2x<br />
e +<br />
a) (5 Punkte)<br />
k<br />
; x ∈ IR. Ihr Schaubild sei Ck.<br />
• Skizzieren Sie für drei selbst gewählte Werte von k<br />
die Schaubilder Ck in ein gemeinsames Koordinaten-<br />
system.<br />
• Untersuchen Sie das Verhalten von fk für x → ± ∞.<br />
• Stellen Sie gemeinsame Eigenschaften der<br />
skizzierten Schaubilder zusammen.<br />
b) (6 Punkte)<br />
• Jedes Schaubild Ck hat genau einen Hochpunkt.<br />
Berechnen Sie dessen Koordinaten.<br />
• Bestimmen Sie eine Gleichung der Ortskurve der<br />
Hochpunkte aller Ck.<br />
• Ergänzen Sie die Skizze aus Teilaufgabe a) um diese<br />
Ortskurve.<br />
c) (3 Punkte)<br />
Der Term f4(x) beschreibt für x ≥ 0 die Zuwachsrate<br />
der von einer Bakterienkultur bedeckten Fläche zum<br />
Zeitpunkt x (x in min ab dem Beobachtungsbeginn,<br />
f4(x) in cm 2 /min).<br />
Um wie viele Quadratzentimeter vergrößert sich die<br />
von der Kultur bedeckte Fläche in den ersten<br />
2 Minuten ?<br />
Aufgabe 2: (4 Punkte)<br />
1<br />
Die Ableitung der Funktion h1 mit h1(x) = ; x ≠ 0<br />
x<br />
und die Produktregel werden als bekannt vorausgesetzt.<br />
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion,<br />
dass für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 die Funktion hn<br />
mit hn(x) =<br />
hat.<br />
1<br />
(x ≠ 0) die Ableitung hn’(x) = −<br />
n<br />
x<br />
x<br />
n<br />
n+<br />
1<br />
5
Prüfung 2004 / 2005<br />
Wahlteil 2004 – Analytische Geometrie 1: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 28)<br />
Ein Zelt hat die Form einer senkrechten<br />
quadratischen Pyramide. Die Längen der<br />
Quadratseiten und die Pyramidenhöhe<br />
betragen jeweils 2,0 m.<br />
a) (6 Punkte)<br />
Benachbarte Seitenflächen<br />
bilden einen stumpfen Winkel.<br />
Wie groß ist dieser ?<br />
6<br />
S<br />
D C<br />
P A B Q<br />
b) (5 Punkte)<br />
In der Vorderfläche PQS befindet sich eine Einstiegsöffnung<br />
ABCD in Form eines symmetrischen Trapezes.<br />
C und D sind die Mitten der Strecke BS bzw. der<br />
Strecke AS. Die Strecke AB hat die Länge 1,0 m.<br />
Wie viel Prozent der Vorderfläche beansprucht die<br />
Einstiegsöffnung ?<br />
c) (5 Punkte)<br />
Zur Beleuchtung wird im Zelt eine Lampe aufgehängt,<br />
die im Folgenden als punktförmige Lichtquelle<br />
betrachtet werden soll. Ihr Licht dringt durch die<br />
Einstiegsöffnung nach außen und erzeugt auf dem<br />
Boden vor dem Zelt das Bild ABC’D’ der Einstiegsöffnung<br />
als „Lichtteppich“.<br />
Berechnen Sie die Länge der Strecke C’D’, wenn sich<br />
die Lampe 25 cm unter der Zeltspitze befindet.<br />
Wahlteil 2004 – Analytische Geometrie 2: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 28)<br />
Aufgabe 1:<br />
Gegeben sind die Punkte A(10 | 0| 0) und B(0|10| 0)<br />
sowie für jedes a > 0 eine Ebene Ea: a · x1 − x3 = 0.<br />
a) (5 Punkte)<br />
• Beschreiben Sie die Lage der Ebene E3.<br />
• Die zu Ea senkrechte Gerade durch A schneidet Ea<br />
im Punkt Da. Bestimmen Sie seine Koordinaten.<br />
10<br />
Teilergebnis: Da (<br />
1 +<br />
b) (3 Punkte)<br />
2<br />
a<br />
| 0 |<br />
10a<br />
1 +<br />
Zeigen Sie, dass das Dreieck ABDa für jedes a > 0<br />
rechtwinklig ist.<br />
Aufgabe 2: (8 Punkte)<br />
Ein Dreieck ABC wird durch die<br />
Vektoren a und b aufgespannt.<br />
M ist die Mitte der Strecke AB.<br />
T teilt die Strecke CM im<br />
Verhältnis 3 : 1. C<br />
a D<br />
Die Strecke BD verläuft durch T.<br />
In welchem Verhältnis wird diese Strecke durch T<br />
geteilt ?<br />
2<br />
a<br />
b<br />
)<br />
B<br />
T<br />
M<br />
A<br />
Pflichtteil 2005: (Lösungsübersicht auf S. 29) .<br />
Aufgabe 1: (2 Punkte)<br />
Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit<br />
f(x) = x 3 e 2x .<br />
Aufgabe 2: (2 Punkte)<br />
Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f<br />
⎛ 1 ⎞ 1 4<br />
⎜ x − x .<br />
2 4<br />
mit f(x) = 4 cos ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Aufgabe 3: (3 Punkte)<br />
Lösen Sie die Gleichung x 5 − 3x 3 − 4x = 0 .<br />
Aufgabe 4: (4 Punkte)<br />
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 4 −<br />
4<br />
; x ≠ 0.<br />
2<br />
x<br />
• Geben Sie die Asymptoten des Schaubilds von f an.<br />
• Skizzieren Sie damit das Schaubild von f.<br />
• Ermitteln Sie eine Gleichung der Normalen im<br />
Punkt P(2 | f(2)).<br />
Aufgabe 5: (5 Punkte)<br />
Gegeben sind die Schaubilder der Funktionen f mit<br />
f(x) = x 2 e x , ihrer Ableitungsfunktion f’, einer Stamm-<br />
1<br />
funktion F von f und der Funktion g mit g(x) = .<br />
f(x)<br />
a) Begründen Sie, dass nur Bild 1 das Schaubild der<br />
Funktion f sein kann.<br />
b) Ordnen Sie die Funktionen f’, F und g den übrigen<br />
Schaubildern zu und begründen Sie Ihre Entscheidung.<br />
-5<br />
-4<br />
-4<br />
Bild 1<br />
-3<br />
-3<br />
-2<br />
-2<br />
-1<br />
-1<br />
y<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1 2<br />
y<br />
Bild 3 Bild 4<br />
1 2<br />
x<br />
x<br />
-5<br />
-5<br />
-4<br />
-4<br />
Bild 2<br />
-3<br />
-3<br />
-2<br />
-2<br />
-1<br />
-1<br />
y<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
y<br />
1<br />
1<br />
x<br />
x
Noch Pflichtteil 2005:<br />
Aufgabe 6: (4 Punkte)<br />
Lösen Sie das lineare Gleichungssystem:<br />
x1 + 4x2 + x3 = 10<br />
x1 + 2x2 + x3 = 8<br />
x1 + x2 − x3 = 3<br />
Wie lassen sich ein solches Gleichungssystem und<br />
seine eindeutige Lösung geometrisch deuten ?<br />
Aufgabe 7: (3 Punkte)<br />
Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene,<br />
die den Punkt A(2 |−1|−2) und die Gerade<br />
g: x =<br />
⎛ 3⎞<br />
⎜ 3⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 1⎠<br />
+ t ⋅<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
3<br />
0<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
Aufgabe 8: (3 Punkte)<br />
; t ∈ IR enthält.<br />
Gegeben sind eine Ebene E und ein Punkt P, der<br />
nicht in E liegt. P wird an E gespiegelt.<br />
Beschreiben Sie ein Verfahren, um den Bildpunkt P’<br />
zu bestimmen. Fertigen Sie dazu eine Skizze an.<br />
Wahlteil 2005 – Analysis 1: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 29)<br />
Aufgabe 1:<br />
Ein Supermarkt A führt eine neue Zahnpasta ein.<br />
In den ersten fünf Wochen ergeben sich folgende<br />
wöchentliche Verkaufszahlen:<br />
Verkaufswoche<br />
verkaufte Stückzahl<br />
in dieser Woche<br />
1 2 3 4 5<br />
26 46 60 76 86<br />
In einem Modell beschreibt die Funktion f der Form<br />
ax + 15<br />
f(x) = die verkaufte Stückzahl f(x) innerhalb<br />
bx + 15<br />
der Woche x.<br />
a) (5 Punkte)<br />
• Bestimmen Sie a und b anhand der Werte der<br />
ersten und fünften Woche.<br />
• Zeichnen Sie das Schaubild K der Funktion für das<br />
erste Jahr.<br />
• Wie entwickeln sich nach diesem Modell die<br />
wöchentlichen Verkaufszahlen während des ersten<br />
Jahres ? Nennen Sie mögliche Gründe für diese<br />
Entwicklung. (Teilergebnis: f(x) =<br />
b) (3 Punkte)<br />
427x + 15<br />
)<br />
2x + 15<br />
• Bestimmen Sie näherungsweise, wie viele Tuben<br />
Zahnpasta der Supermarkt A in den ersten 52 Wochen<br />
insgesamt verkauft.<br />
• Nach wie vielen Wochen sind insgesamt mehr als<br />
1500 Tuben verkauft ?<br />
Noch Wahlteil 2005 – Analysis 1:<br />
c) (6 Punkte)<br />
Prüfung 2005<br />
Gleichzeitig mit dem Supermarkt A bringt der Supermarkt<br />
B ein Konkurrenzprodukt auf den Markt.<br />
Seine wöchentlichen Verkaufszahlen lassen sich<br />
modellhaft durch die Funktion g mit<br />
g(x) = 214 − 214 ⋅ e −0,08x beschreiben.<br />
• Zeichnen Sie das Schaubild C dieser Funktion in das<br />
Koordinatensystem von Teilaufgabe a) ein.<br />
• Mit welchen wöchentlichen Verkaufszahlen kann<br />
der Supermarkt B langfristig rechnen ?<br />
• Wann hat der Supermarkt A den größten Vorsprung<br />
an insgesamt verkauften Tuben ?<br />
• Beschreiben Sie, wie sich anhand der Schaubilder<br />
abschätzen lässt, bis zu welchem Zeitpunkt in beiden<br />
Supermärkten etwa gleich viele Tuben verkauft sind.<br />
Aufgabe 2: (4 Punkte)<br />
Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass die<br />
Funktion f mit f(x) =<br />
f (n) (x) =<br />
n<br />
( −1)<br />
(x − n)<br />
x<br />
e<br />
x ; x ∈ IR die n-te Ableitung<br />
x<br />
e<br />
für n ≥ 1 besitzt.<br />
Wahlteil 2005 – Analysis 2: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 29)<br />
Gegeben sind zwei Funktionen f und g durch<br />
f(x) = cos x; IDf = [−π ; π] und<br />
g(x) =<br />
1<br />
; IDg = IDf \ {0}<br />
1 − cosx<br />
a) (7 Punkte)<br />
• Skizzieren Sie die Schaubilder von f und g.<br />
• Das Schaubild von f schließt mit der x-Achse eine<br />
Fläche ein. Wie groß ist deren Inhalt ?<br />
• Die Funktion f soll nun durch eine quadratische<br />
Funktion h ersetzt werden, welche die gleichen<br />
Nullstellen wie f hat. Bestimmen Sie eine Gleichung<br />
von h so, dass die Schaubilder von h und f mit der<br />
x-Achse gleich große Flächen einschließen.<br />
b) (4 Punkte)<br />
Bestimmen Sie die Punkte auf dem Schaubild von g,<br />
die vom Hochpunkt des Schaubilds von f den<br />
kleinsten Abstand haben.<br />
c) (7 Punkte)<br />
Für jedes t > 0 ist eine Funktion ft gegeben durch<br />
π π<br />
ft(x) = t ⋅ cos x ; − ≤ x ≤ .<br />
2 2<br />
• Das Schaubild der Funktion ft schließt mit der<br />
x-Achse eine Fläche ein. Bei Rotation dieser Fläche<br />
um die x-Achse entsteht ein Drehkörper.<br />
Berechnen Sie dessen Volumen in Abhängigkeit von t.<br />
• Berechnen Sie t* so, dass die 1. Winkelhalbierende<br />
das Schaubild von ft* rechtwinklig schneidet.<br />
7
Prüfung 2005<br />
Wahlteil 2005 – Analysis 3: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 30)<br />
Aufgabe 1:<br />
Eine Forschergruppe versucht, die Entwicklung<br />
eines Fischbestandes in einem See durch ein mathematisches<br />
Modell zu erfassen. Zu Beginn der Untersuchung<br />
leben im See 4 Millionen Fische. Die<br />
Änderungsrate des Bestandes wird in diesem Modell<br />
durch eine Funktion f mit f(t) =<br />
8<br />
e<br />
t<br />
(1 + e<br />
t<br />
)<br />
2<br />
; t ≥ 0<br />
beschrieben. (t in Jahren seit Untersuchungsbeginn,<br />
f(t) in Millionen pro Jahr).<br />
a) (6 Punkte)<br />
• Skizzieren Sie das Schaubild von f für 0 ≤ t ≤ 6.<br />
• Untersuchen Sie das Verhalten von f für t → ∞.<br />
• Weisen Sie nach, dass f für t > 0 monoton abnimmt.<br />
• Bedeutet dies, dass der Fischbestand abnimmt ?<br />
Begründen Sie Ihre Antwort.<br />
b) (5 Punkte)<br />
• Weisen Sie nach, dass die Funktion F mit<br />
− 1<br />
F(t) = eine Stammfunktion von f ist.<br />
t<br />
e + 1<br />
• Welcher Fischbestand ist zwei Jahre nach Beginn<br />
der Untersuchung zu erwarten ?<br />
• Welcher Fischbestand ist langfristig zu erwarten ?<br />
Aufgabe 2: (7 Punkte)<br />
Ein Teich bietet Platz für maximal 7000 Fische. In<br />
einem Modell soll angenommen werden, dass die<br />
Änderungsrate des Fischbestandes proportional zur<br />
Anzahl der noch Platz findenden Fische ist.<br />
Anfangs befinden sich 4000 Fische im Teich. Nach<br />
einem Monat sind 4400 Fische vorhanden.<br />
• Geben Sie eine zugehörige Differenzialgleichung an.<br />
• Bestimmen Sie eine Funktion, welche diesen<br />
Fischbestand in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.<br />
• Nach wie vielen Monaten sind 5000 Fische in dem<br />
Teich vorhanden ?<br />
• Wie viele Fische müssten sich am Anfang im Teich<br />
befinden, damit bei unveränderten Wachstumsbedingungen<br />
erst nach fünf Monaten 5000 vorhanden<br />
sind ?<br />
Wahlteil 2005 – Analytische Geometrie 1: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 30)<br />
Gegeben ist eine Pyramide ABCDS mit den Punkten<br />
A(0|0|0), B(8|0|0), C(8|8|0), D(0|8|0) und S(4|4|8)<br />
sowie für jedes r ∈ IR eine Ebene<br />
Er: r x1 + 3x3 = 8r.<br />
Noch Wahlteil 2005 – Analytische Geometrie 1:<br />
a) (7 Punkte)<br />
• Stellen Sie die Pyramide in einem<br />
Koordinatensystem dar.<br />
• Die Ebene E2 enthält die Pyramidenkante BC und<br />
schneidet die Kante DS in F und die Kante AS in G.<br />
Geben Sie die Koordinaten der Punkte F und G an.<br />
• Zeichnen Sie das Viereck BCFG ein.<br />
• Zeigen Sie, dass dieses Viereck ein gleichschenkliges<br />
Trapez ist.<br />
• Wie groß sind die Innenwinkel dieses Trapezes ?<br />
b) (4 Punkte)<br />
• Bestimmen Sie r* so, dass die Pyramidenspitze S<br />
von der Ebene Er* den Abstand 4 hat.<br />
• Geben Sie die Koordinaten desjenigen Punktes in<br />
dieser Ebene Er* an, der von S den Abstand 4 hat.<br />
c) (5 Punkte)<br />
• Weisen Sie nach, dass die Gerade durch B und C in<br />
jeder Ebene Er liegt.<br />
• Beim Schnitt der Ebene Er mit der Pyramide entsteht<br />
eine Schnittfigur. Welche Schnittfiguren sind möglich?<br />
Geben Sie die jeweiligen Werte von r an.<br />
Wahlteil 2005 – Analytische Geometrie 2: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 30)<br />
Aufgabe 1:<br />
Gegeben sind die Punkte A(2|1|3) und B(2|5|3)<br />
sowie die Gerade g: x =<br />
a) (4 Punkte)<br />
⎛ 5⎞<br />
⎜ 3⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 5⎠<br />
+ r ⋅<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
; r ∈ IR<br />
• Die Ebene enthält die Punkte A und B und verläuft<br />
parallel zu g. Bestimmen Sie eine Gleichung von E und<br />
beschreiben Sie die Lage von E.<br />
• Welchen Abstand hat g von E ?<br />
b) (5 Punkte)<br />
Der Punkt T liegt auf der Geraden g und bildet zusammen<br />
mit den Punkten A und B ein bei T rechtwinkliges<br />
Dreieck. Bestimmen Sie die Koordinaten von T.<br />
• Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck ABT ?<br />
• Bestimmen Sie einen Punkt, der von A, B und T den<br />
gleichen Abstand hat.<br />
c) (3 Punkte)<br />
Das Dreieck ABC mit C(2|3|5) rotiert um die Seite<br />
AB. Dabei entsteht ein Doppelkegel. Bestimmen Sie<br />
dessen Volumen.<br />
Aufgabe 2: (4 Punkte)<br />
Die Punkte P, Q, R und S bilden die Eckpunkte einer<br />
dreiseitigen Pyramide mit der Spitze S. Die Punkte M1<br />
und M2 sind die Mittelpunkte der Strecken PQ und PR,<br />
die Punkte M3 und M4 sind die Mittelpunkte der Strec-<br />
ken QS und RS. Zeigen Sie, dass 1 2 M M = 3 4 M<br />
M gilt.
Pflichtteil 2006: (Lösungsübersicht auf S. 31) .<br />
Aufgabe 1: (2 Punkte)<br />
Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit<br />
f(x) = 8<br />
1 sin (4x 2 ).<br />
Aufgabe 2: (2 Punkte)<br />
Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit<br />
4 1 3<br />
f(x) = + x an.<br />
x 2<br />
Aufgabe 3: (3 Punkte)<br />
Die Funktion f mit f(x) = x 3 − 3x 2 − x + 3 hat die<br />
Nullstelle x1 = 1. Bestimmen Sie weitere Nullstellen.<br />
Aufgabe 4: (4 Punkte)<br />
Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion dritten<br />
Grades berührt die x-Achse im Ursprung.<br />
Der Punkt H(1 | 1) ist der Hochpunkt des Schaubilds.<br />
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.<br />
Aufgabe 5: (5 Punkte)<br />
Die Abbildung zeigt das Schaubild der<br />
Ableitungsfunktion f’ einer Funktion f.<br />
Geben Sie für jeden der folgenden Sätze an, ob<br />
er richtig, falsch oder nicht entscheidbar ist.<br />
Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.<br />
-3<br />
-2<br />
-1<br />
y<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1 2<br />
Schaubild von f '<br />
3 4 5 6<br />
(1) Das Schaubild von f hat bei x = −2 einen<br />
Tiefpunkt.<br />
(2) Das Schaubild von f hat für −3 ≤ x ≤ 6 genau<br />
zwei Wendepunkte.<br />
(3) Das Schaubild von f verläuft im Schnittpunkt mit<br />
der y-Achse steiler als die erste<br />
Winkelhalbierende.<br />
(4) f(0) > f(5)<br />
x<br />
Noch Pflichtteil 2006:<br />
Aufgabe 6: (4 Punkte)<br />
Prüfung 2006<br />
Gegeben sind die Ebene E: −2x1 + x2 − 2x3 + 15 = 0<br />
und die Gerade g: x =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
− 16<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
+ t ⋅<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
a) Zeigen Sie, dass g zu E parallel ist.<br />
1<br />
4<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
mit t ∈ IR.<br />
b) Bestimmen Sie den Abstand der Geraden g von<br />
der Ebene E.<br />
Aufgabe 7: (3 Punkte)<br />
Gegeben sind die Ebenen<br />
E1: 4x1 + 3x2 + 2x3 = 12 und E2: 3x1 + 2x2 = 6.<br />
• Stellen Sie beide Ebenen in einem<br />
Koordinatensystem dar.<br />
• Zeichnen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen<br />
ohne weitere Rechnung ein.<br />
Aufgabe 8: (3 Punkte)<br />
Gegeben sind zwei Punkte A und B. Diese liegen<br />
bezüglich einer Ebene E symmetrisch.<br />
Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der<br />
Gleichung von E.<br />
Wahlteil 2006 – Analysis 1: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 31)<br />
a) (5 Punkte)<br />
Gegeben ist die Funktion f durch<br />
120(x − 120)<br />
f(x) = + 10<br />
2<br />
(x − 120) + 7200<br />
2<br />
mit 0 ≤ x ≤ 130.<br />
• Ihr Schaubild sei K. Skizzieren Sie K.<br />
• Das Schaubild C einer weiteren Funktion g mit<br />
g(x) = ax 2 + bx + c enthält die Punkte P1(0 | 95),<br />
P2(10 | 95) und P3(20 | 92). Bestimmen Sie die<br />
Koeffizienten a, b und c.<br />
• Skizzieren Sie C im ersten Feld des vorhandenen<br />
Koordinatensystems.<br />
(Teilergebnis: g(x) = −0,015x 2 + 0,15x + 95)<br />
Eine Skisprunganlage besteht aus Sprungschanze und<br />
Aufsprunghang. Das Schaubild K beschreibt das<br />
Profil des Aufsprunghangs, die Kurve C die Flugbahn<br />
des Skispringers. Der Absprung erfolgt bei x = 0.<br />
(Alle Angaben in Meter).<br />
b) (5 Punkte)<br />
• Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, an<br />
dem der Springer auf dem Aufsprunghang aufsetzt.<br />
• Wie groß ist die maximale vertikal gemessene Höhe<br />
des Springers über dem Aufsprunghang ?<br />
9
Prüfung 2006<br />
Noch Wahlteil 2006 – Analysis 1:<br />
c) (4 Punkte)<br />
Der Wendepunkt W(71| 40) von K entspricht dem<br />
„kritischen Punkt“ des Aufsprunghangs.<br />
Mögliche Flugbahnen des Skispringers werden nun<br />
durch Schaubilder der Funktionen gk mit<br />
gk(x) = −0,015x 2 + kx + 95 beschrieben.<br />
Welchen Wert darf der Parameter k höchstens<br />
annehmen, damit der Springer mit dieser Flugbahn<br />
nicht hinter dem kritischen Punkt landet ?<br />
d) (4 Punkte)<br />
Beim Umbau dieser Schanze soll das Profil des<br />
Aufsprunghangs verändert werden. Es soll nach dem<br />
Umbau durch die Funktion h mit<br />
h(x) = 0,0001 · (1,25x 3 − 225x 2 + 2150x + 900 000)<br />
beschrieben werden (0 ≤ x ≤ 130).<br />
Muss zur Realisierung des neuen Profils insgesamt<br />
Erde weggefahren oder angeliefert werden, wenn<br />
angenommen wird, dass der Aufsprunghang überall<br />
gleich breit ist ?<br />
Wahlteil 2006 – Analysis 2: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 32)<br />
Aufgabe 1:<br />
⎛ π ⎞<br />
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 4 sin⎜ x⎟<br />
⎝ 12 ⎠<br />
für 0 ≤ x ≤ 12. Ihr Schaubild sei K.<br />
a) (4 Punkte)<br />
• Skizzieren Sie K.<br />
• Geben Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte von<br />
K mit der Geraden y = m⋅x in Abhängigkeit von m an.<br />
b) (5 Punkte)<br />
Bestimmen Sie die Seitenlängen des flächengrößten<br />
Rechtecks, bei dem zwei Ecken auf der x-Achse und<br />
die beiden anderen Ecken auf K liegen.<br />
Aufgabe 2:<br />
Für jedes a > 0 ist eine Funktion fa gegeben durch<br />
1<br />
fa(x) = · sin (ax) ; x ∈ IR.<br />
a<br />
a) (4 Punkte)<br />
• Wie wirkt sich eine Veränderung des Parameters a<br />
auf das Schaubild von fa aus ?<br />
• Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die das<br />
Schaubild von fa mit der x-Achse zwischen zwei<br />
benachbarten Nullstellen einschließt.<br />
b) (5 Punkte)<br />
Das Schaubild von f0,5 schließt im Bereich 0 ≤ x ≤ 2π<br />
mit der x-Achse eine Fläche ein. Eine Parallele zur<br />
x-Achse durch den Kurvenpunkt P(z | f0,5(z)) halbiert<br />
diese Fläche. Bestimmen Sie z.<br />
10<br />
Wahlteil 2006 – Analysis 3: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 32)<br />
Durch f(t) = 20t · e −0,5t wird die Konzentration eines<br />
Medikaments im Blut eines Patienten beschrieben.<br />
Dabei wird t in Stunden seit der Einnahme und f(t) in<br />
mg/l gemessen. Die folgenden Berechnungen sind nur<br />
für die Zeitspanne der ersten 12 Stunden nach der<br />
Einnahme des Medikamentes durchzuführen.<br />
a) (5 Punkte)<br />
• Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der<br />
Konzentration.<br />
• Nach welcher Zeit erreicht die Konzentration ihren<br />
höchsten Wert ?<br />
• Wie groß ist dieser höchste Wert ?<br />
• Das Medikament ist nur wirksam, wenn seine<br />
Konzentration im Blut mindestens 4 mg/l beträgt.<br />
Berechnen Sie die Zeitspanne, in der das Medikament<br />
wirksam ist.<br />
• Wie hoch ist die mittlere Konzentration des<br />
Medikaments innerhalb der ersten 12 Stunden ?<br />
b) (4 Punkte)<br />
• Zu welchem Zeitpunkt wird das Medikament am<br />
stärksten abgebaut ?<br />
• Wie groß ist zum Zeitpunkt t = 4 die momentane<br />
Änderungsrate der Konzentration ?<br />
• Ab diesem Zeitpunkt wird die Konzentration des<br />
Medikaments nun näherungsweise durch die Tangente<br />
an das Schaubild von f an der Stelle t = 4 beschrieben.<br />
Bestimmen Sie damit den Zeitpunkt, zu dem das<br />
Medikament vollständig abgebaut ist.<br />
c) (5 Punkte)<br />
Anstelle der Näherung aus Teilaufgabe b) wird nun<br />
wieder die Beschreibung der Konzentration durch f<br />
verwendet. Vier Stunden nach der ersten Einnahme<br />
wird das Medikament in der gleichen Dosierung erneut<br />
eingenommen. Es wird angenommen, dass sich dabei<br />
die Konzentrationen im Blut des Patienten addieren.<br />
• Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der<br />
Gesamtkonzentration für 0 ≤ t ≤ 12.<br />
• Die Konzentration des Medikaments im Blut darf<br />
20 mg/l nicht übersteigen. Wird diese Vorgabe in<br />
diesem Fall eingehalten ?<br />
d) (4 Punkte)<br />
Das Medikament wird nun in seiner Zusammensetzung<br />
verändert. Die Konzentration des Medikaments im<br />
Blut wird durch g(t) = at · e −bt beschrieben (mit a > 0<br />
und b > 0). Dabei wird t in Stunden seit der Einnahme<br />
und g(t) in mg/l gemessen. Bestimmen Sie die<br />
Konstanten a und b, wenn die Konzentration vier<br />
Stunden nach der Einnahme ihren größten Wert<br />
10 mg/l erreicht.
Wahlteil 2006 – Analytische Geometrie 1: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 33)<br />
Aufgabe 1:<br />
Die Punkte A(3|5|− 4), B(4|1|4) und D(−4|9|0)<br />
legen eine Ebene E fest.<br />
a) (5 Punkte)<br />
• Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung<br />
der Ebene E.<br />
• Zeigen Sie, dass das Dreieck ABD gleichschenklig,<br />
aber nicht gleichseitig ist.<br />
• Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes C so,<br />
dass das Viereck ABCD eine Raute ist.<br />
• Berechnen Sie die Koordinaten des Diagonalenschnittpunkts<br />
M dieser Raute.<br />
(Teilergebnisse: E: 4x1 + 5x2 + 2x3 = 29 ; M(0|5|2))<br />
b) (7 Punkte)<br />
• Gegeben ist ein weiterer Punkt S(8 | 15 | 6).<br />
Die Raute ABCD bildet zusammen mit dem Punkt S<br />
eine Pyramide. Bestimmen Sie das Volumen dieser<br />
Pyramide.<br />
• Der Pyramide wird ein Kreiskegel mit Spitze S<br />
einbeschrieben, dessen Grundfläche in der Ebene E<br />
liegt. Berechnen Sie das Volumen dieses Kreiskegels.<br />
Aufgabe 2:<br />
Gegeben ist das regelmäßige Sechseck ABCDEF.<br />
Bestimmen Sie das Verhältnis, in dem sich die<br />
Strecken AC und BD teilen.<br />
D<br />
C<br />
S<br />
B<br />
E F<br />
A<br />
Wahlteil 2006 – Analytische Geometrie 2: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 33)<br />
Aufgabe 1:<br />
Prüfung 2006<br />
In einem Freizeitpark steht eine Kletteranlage in<br />
Form eines Pyramidenstumpfs mit vier unterschiedlichen<br />
Kletterwänden. Der Pyramidenstumpf entsteht<br />
aus einer Pyramide, indem diese parallel zur Grundfläche<br />
durchgeschnitten und der obere Teil weg-<br />
gelassen wird.<br />
Der Pyramidenstumpf hat als Grundfläche das<br />
Viereck ABCD mit<br />
A(0| 0 | 0), B(6 | 6 | 0), C(0 | 18 | 0) und D(−8 | 4 | 0)<br />
und als Deckfläche das Viereck A*B*C*D* mit<br />
A*(4| 1 | 20), B*(7 | 4 | 20) und C*(4 | 10 | 20).<br />
(Koordinatenangaben in Meter)<br />
a) (5 Punkte)<br />
• Zeigen Sie, dass S(8 | 2 | 40) die Spitze der<br />
ursprünglichen Pyramide ist.<br />
• Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D*.<br />
• Zeichnen Sie den Pyramidenstumpf in ein<br />
Koordinatensystem ein.<br />
b) (6 Punkte)<br />
• Berechnen Sie den Flächeninhalt der Wand ABB*A*.<br />
• Untersuchen Sie, ob die Wand ABB*A* nach außen<br />
überhängt.<br />
Aufgabe 2: (5 Punkte)<br />
Gegeben sind die Geraden<br />
g: x =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
+<br />
mit s, t ∈ IR.<br />
⎛ 1⎞<br />
⎛<br />
s ⋅ ⎜ 0⎟<br />
und h: x = ⎜<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
⎝ 1⎠<br />
⎝<br />
2<br />
2<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
+ t ⋅ v ;<br />
Geben Sie zu jeder der folgenden Lagebeziehungen<br />
von g und h jeweils einen möglichen Vektor v an und<br />
begründen Sie Ihre Antworten:<br />
(1) g und h schneiden sich im Punkt S(− 4 | 0 | −1) ;<br />
(2) g und h sind windschief ;<br />
(3) g und h schneiden sich orthogonal.<br />
11
Prüfung 2007<br />
Pflichtteil 2007: (Lösungsübersicht auf S. 34) .<br />
Aufgabe 1: (2 Punkte)<br />
Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit<br />
f(x) = (1 + sin x) 2 .<br />
Aufgabe 2: (2 Punkte)<br />
ln2<br />
Berechnen Sie das Integral ∫ e<br />
0<br />
2x<br />
Aufgabe 3: (3 Punkte)<br />
Lösen Sie die Gleichung e x − 2 −<br />
Aufgabe 4: (4 Punkte)<br />
12<br />
dx .<br />
15<br />
= 0.<br />
x<br />
e<br />
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = .<br />
x + 1<br />
a) Bestimmen Sie die Punkte des Schaubilds von f<br />
mit waagrechter Tangente.<br />
1<br />
b) Das Schaubild von f hat im Punkt P(1| ) die<br />
2<br />
Normale n. Ermitteln Sie eine Gleichung von n.<br />
Aufgabe 5: (5 Punkte)<br />
Gegeben ist das Schaubild der Ableitung f’ der<br />
Funktion f.<br />
-1<br />
y<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
Schaubild von f '<br />
1 2<br />
3 4<br />
a) Welche Aussagen über f ergeben sich daraus im<br />
Hinblick auf<br />
� Monotonie,<br />
� Extremstellen,<br />
� Wendestellen ?<br />
Begründen Sie Ihre Aussagen.<br />
b) Es gilt f(0) = 2. Skizzieren Sie das Schaubild von f.<br />
Aufgabe 6: (3 Punkte)<br />
Lösen Sie das lineare Gleichungssystem:<br />
3x1 − x2 + 2x3 = 7<br />
x1 + 2x2 + 3x3 = 14<br />
x1 − 5x2 − 4x3 = −21<br />
Interpretieren Sie das Gleichungssystem und seine<br />
Lösungsmenge geometrisch.<br />
x<br />
x 2<br />
Noch Pflichtteil 2007:<br />
Aufgabe 7: (4 Punkte)<br />
Gegeben sind die Ebenen E und F mit<br />
E: x =<br />
⎛<br />
F: ⎜ x<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
−<br />
1<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
+ r ⋅<br />
2<br />
1<br />
− 2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞ ⎞ ⎛<br />
⎟ ⎟ ⋅⎜<br />
⎟ ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎠ ⎝<br />
+ s ⋅<br />
2<br />
2<br />
− 1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
− 1<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
und<br />
⎞<br />
⎟ = 0; r, s ∈ IR<br />
⎟<br />
⎠<br />
• Zeigen Sie, dass die Ebenen E und F parallel sind.<br />
• Bestimmen Sie den Abstand der Ebenen.<br />
Aufgabe 8: (3 Punkte)<br />
Von einem senkrechten Kegel kennt man die<br />
Koordinaten der Spitze S, die Koordinaten eines<br />
Punktes P des Grundkreises sowie eine<br />
Koordinatengleichung der Ebene E, in der der<br />
Grundkreis liegt.<br />
Beschreiben Sie ein Verfahren, um den Mittelpunkt M<br />
und den Radius r des Grundkreises zu bestimmen.<br />
Wahlteil 2007 – Analysis 1: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 34, 35)<br />
Die Herstellungskosten eines neuen Rheumamittels<br />
werden durch eine Funktion f mit<br />
f(x) =<br />
ax + b<br />
; x ∈ IR<br />
x + 5<br />
+<br />
0<br />
modellhaft kalkuliert. Hierbei gibt f(x) die Kosten in<br />
10 000 Euro für die x-te Produktionseinheit an, wobei<br />
die Einheiten nacheinander produziert werden.<br />
Die fünfte Produktionseinheit kostet in der Herstellung<br />
950 000 Euro, die zwanzigste Produktionseinheit<br />
kostet nur noch 560 000 Euro.<br />
a) (7 Punkte)<br />
• Bestimmen Sie a und b.<br />
• Skizzieren Sie das Schaubild von f.<br />
• Weisen Sie nach, dass die Herstellungskosten für<br />
eine Produktionseinheit im Laufe der Zeit sinken.<br />
• Ab der wievielten Produktionseinheit sind die<br />
Herstellungskosten für eine Produktionseinheit<br />
geringer als 400 000 Euro ?<br />
• Mit welchen Herstellungskosten für eine<br />
Produktionseinheit muss man langfristig rechnen ?<br />
(Teilergebnis: f(x) =<br />
30x + 800<br />
)<br />
x + 5
Noch Wahlteil 2007 – Analysis 1:<br />
b) (5 Punkte)<br />
• Ab der wievielten Produktionseinheit unterscheiden<br />
sich die Herstellungskosten von zwei aufeinander<br />
folgenden Produktionseinheiten um weniger als<br />
10 000 Euro ?<br />
• Jede Produktionseinheit besteht aus 10 000<br />
Packungen. Wie hoch muss der Verkaufspreis für<br />
eine Packung sein, damit die Einnahmen aus den<br />
ersten 100 verkauften Produktionseinheiten ihren<br />
Herstellungskosten entsprechen ?<br />
c) (6 Punkte)<br />
Bei klinischen Studien wird dieses Rheumamittel<br />
Patienten, die den Wirkstoff bisher nicht im Blut<br />
hatten, zugeführt und die Menge des Wirkstoffs<br />
im Blut gemessen.<br />
Ein Patient erhält alle 6 Stunden eine Spritze mit<br />
50 mg Wirkstoff. Bis zur nächsten Spritze hat der<br />
Körper 18 % des im Blut vorhandenen Wirkstoffs<br />
abgebaut.<br />
• Beschreiben Sie mittels einer rekursiv definierten<br />
Folge, wie viel Wirkstoff sich jeweils direkt nach<br />
Verabreichung einer Spritze im Blut befindet.<br />
• Welche Wirkstoffmenge befindet sich direkt nach<br />
der fünften Spritze im Blut ?<br />
• In welchem Bereich schwankt die Wirkstoffmenge<br />
im Blut langfristig ?<br />
• Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der im Blut<br />
vorhandenen Wirkstoffmenge für die ersten 24<br />
Stunden.<br />
Wahlteil 2007 – Analysis 2: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 35)<br />
4<br />
Die Funktion f ist durch f(x) =<br />
für x ∈ IR<br />
π<br />
2 + cos( 2 x)<br />
gegeben. Ihr Schaubild ist K.<br />
a) (7 Punkte)<br />
• Skizzieren Sie K im Intervall [− 4; 4].<br />
• Begründen Sie, dass IR die maximale<br />
Definitionsmenge von f ist.<br />
• Geben Sie die Wertemenge von f an.<br />
• Bestimmen Sie die Periode von f.<br />
• Geben Sie alle Hoch- und Tiefpunkte von K an.<br />
Noch Wahlteil 2007 – Analysis 2:<br />
b) (6 Punkte)<br />
Prüfung 2007<br />
Im Intervall [−2 ; 2 ] soll f durch eine ganzrationale<br />
Funktion g vom Grad 2 angenähert werden, die mit f<br />
an den Stellen −2, 0 und 2 übereinstimmt.<br />
• Bestimmen Sie einen geeigneten Funktionsterm für g.<br />
• An welchen Stellen des Intervalls [−2 ; 2 ] weicht die<br />
Näherungsfunktion g am stärksten von f ab ?<br />
• Wie groß ist diese Abweichung an diesen Stellen ?<br />
• Wie groß ist im Mittel der Betrag der Abweichung<br />
von f und g im angegebenen Intervall ?<br />
c) (5 Punkte)<br />
• Das Schaubild K rotiert im Intervall [ 0 ; 4 ] um die<br />
4<br />
Gerade mit der Gleichung y = . Berechnen Sie das<br />
3<br />
Volumen des entstehenden Rotationskörpers.<br />
• Das Schaubild K wird an der durch die Gleichung<br />
4<br />
y = gegebenen Geraden gespiegelt. Geben Sie die<br />
3<br />
Gleichung des gespiegelten Schaubilds an.<br />
Wahlteil 2007 – Analysis 3: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 35, 36)<br />
Die momentane Ankunftsrate an einem Kino – also die<br />
Anzahl der ankommenden Personen pro Minute – soll<br />
modellhaft beschrieben werden durch die Funktion f<br />
mit f(x) = 0,27 ⋅ x 2 ⋅ e −0,12 x .<br />
Dabei ist x die Zeit in Minuten seit 19.00 Uhr und f(x)<br />
die Anzahl der ankommenden Personen pro Minute.<br />
Vor 19.00 Uhr befinden sich noch keine Besucher am<br />
Kartenschalter.<br />
a) (5 Punkte)<br />
• Skizzieren Sie das Schaubild von f.<br />
• Wann kommen die meisten Besucher pro Minute<br />
zum Kartenschalter ? Wie viele sind das ?<br />
• Ab wann kommen weniger als drei Personen pro<br />
Minute zum Kino ?<br />
b) (4 Punkte)<br />
• Zeigen Sie, dass die Anzahl der angekommenen<br />
Personen durch die Funktion g mit<br />
g(x) = 312,5 − (2,25 x 2 −0,12 x<br />
+ 37,5 x + 312,5) ⋅ e<br />
beschrieben wird.<br />
• Wie viele Personen kommen nach diesem Modell<br />
höchstens ins Kino ?<br />
13
Prüfung 2007<br />
Noch Wahlteil 2007 – Analysis 3:<br />
c) (6 Punkte)<br />
Um 19.20 Uhr öffnet der Kartenschalter des Kinos.<br />
Pro Minute können durchschnittlich für 6 Personen<br />
Karten ausgegeben werden.<br />
• Mit welcher Wartezeit muss eine Person rechnen,<br />
die um 19.20 Uhr zum Kino kommt ?<br />
• Wann ist die Zahl der Wartenden am größten ?<br />
• Wie viele Besucher warten dann ?<br />
• Wann hat sich die Warteschlange aufgelöst ?<br />
d) (3 Punkte)<br />
Durch eine Verzögerung öffnet der Kartenschalter<br />
erst um 19.50 Uhr. Wie viele Personen müssen<br />
jetzt mindestens pro Minute am Schalter abge-<br />
fertigt werden, damit die Warteschlange um<br />
20.30 Uhr abgebaut ist ?<br />
Wahlteil 2007 – Analytische Geometrie 1: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 36)<br />
Aufgabe 1:<br />
Die Ebene E: x1 + x2 + 2x3 = 8 stellt für x3 ≥ 0 einen<br />
Hang dar, der aus der x1 x2–Ebene aufsteigt.<br />
Im Punkt H(6 | 4 | 0) steht ein 80 m hoher Sendemast<br />
senkrecht zur x1 x2–Ebene. (1 LE entspricht 10 m)<br />
a) (6 Punkte)<br />
• Stellen Sie den Hang und den Sendemast in einem<br />
Koordinatensystem dar.<br />
• Bestimmen Sie den Neigungswinkel des Hangs.<br />
• Der Sendemast wird auf halber Höhe mit einem<br />
möglichst kurzen Stahlseil am Hang verankert.<br />
Berechnen Sie die Koordinaten des Verankerungspunktes<br />
am Hang.<br />
• Bestimmen Sie die Länge des Stahlseils.<br />
b) (3 Punkte)<br />
Der Sendemast wird von der Sonne beschienen und<br />
wirft einen Schatten auf die x1 x2–Ebene und den<br />
Hang. Der Schatten des Sendemastes endet in einem<br />
Punkt T des Hangs.<br />
Beschreiben Sie einen Weg, wie man die<br />
Gesamtlänge des Schattens bestimmen kann.<br />
c) (3 Punkte)<br />
Bei einem Sturm knickt der Sendemast im Punkt<br />
K(6 | 4 | k) um. Die Spitze des Sendemastes trifft<br />
dabei den Hang im Punkt R(4 | 0 | 2).<br />
Bestimmen Sie die Höhe, in welcher der Sendemast<br />
abgeknickt ist.<br />
14<br />
Noch Wahlteil 2007 – Analytische Geometrie 1:<br />
Aufgabe 2: (4 Punkte)<br />
Das Dreieck ABC ist gleichschenklig<br />
und rechtwinklig, P und Q sind<br />
die Schnittpunkte der<br />
Quadratdiagonalen,<br />
M ist die Mitte von AB. Q<br />
Beweisen Sie, dass die<br />
Strecken MP und MQ<br />
orthogonal und gleich lang sind.<br />
x<br />
C<br />
.<br />
x<br />
x<br />
A M B<br />
Wahlteil 2007 – Analytische Geometrie 2: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 36)<br />
Eine quaderförmige Kiste ist in einem Koordinatensystem<br />
durch die Eckpunkte A(0 | 0 | 0), B(3 | 0 | 0),<br />
D(0 | 5 | 0) und F(3 | 0 | 4) festgelegt.<br />
Die Fläche EFGH stellt den Deckel der geschlossenen<br />
Kiste dar. Dieser ist drehbar um die Kante EH.<br />
Weiterhin ist für jedes t ≥ 0 eine Ebene Et gegeben<br />
durch die Gleichung Et: t x1 − x3 = − 4.<br />
F<br />
B<br />
E<br />
A<br />
a) (5 Punkte)<br />
G<br />
C<br />
H<br />
D<br />
P<br />
Skizze nicht<br />
maßstabsgerecht<br />
• Berechnen Sie den Abstand zwischen den Kanten AB<br />
und GH.<br />
• Zeigen Sie, dass die Gerade durch E und H in jeder<br />
Ebene Et liegt.<br />
• In welcher Ebene Et liegt der Deckel bei<br />
geschlossener Kiste ?<br />
• Liegt der Deckel in einer Ebene Et, wenn er um 90°<br />
geöffnet ist ?<br />
b) (3 Punkte)<br />
Wenn der Deckel der geöffneten Kiste in E2 liegt, wird<br />
er durch einen Stab orthogonal zum Deckel gestützt.<br />
Dieser Stab ist in der Mitte der Kante EF befestigt und<br />
trifft im Punkt P auf den Deckel.<br />
Berechnen Sie die Koordinaten von P.<br />
c) (4 Punkte)<br />
• Wie groß ist der Öffnungswinkel, wenn der Deckel in<br />
E2 liegt ?<br />
• In welcher Ebene liegt der Deckel, wenn der<br />
Öffnungswinkel 60° beträgt ?<br />
• Bestimmen Sie den Parameter t in Abhängigkeit<br />
vom Öffnungswinkel α für α < 90°.<br />
d) (4 Punkte)<br />
Eine punktförmige Lichtquelle in L(0 | 2,5 | 20)<br />
beleuchtet die Kiste.<br />
Wie weit kann man die Kiste höchstens öffnen, ohne<br />
dass Licht von L in die Kiste fällt ?
Pflichtteil 2008: (Lösungsübersicht auf S. 37) .<br />
Aufgabe 1: (2 Punkte)<br />
2<br />
2x<br />
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = .<br />
2<br />
2x − 3<br />
Bilden Sie die Ableitung von f und fassen Sie diese<br />
so weit wie möglich zusammen.<br />
Aufgabe 2: (2 Punkte)<br />
G ist eine Stammfunktion der Funktion g mit<br />
g(x) = 2 − 3 ⋅ sin (4x). Der Punkt P(0 | 1) liegt auf<br />
dem Schaubild von G. Bestimmen Sie einen<br />
Funktionsterm von G.<br />
Aufgabe 3: (3 Punkte)<br />
Lösen Sie die Gleichung<br />
Aufgabe 4: (4 Punkte)<br />
6 1<br />
+ = 1 (x ≠ 0)<br />
4 2<br />
x x<br />
Für eine ganzrationale Funktion h zweiten Grades<br />
gilt: T( −1| − 4) ist Tiefpunkt und Q(2 | 5) ein<br />
weiterer Punkt ihres Schaubilds.<br />
Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von h.<br />
Aufgabe 5: (5 Punkte)<br />
Gegeben sind die Schaubilder von vier Funktionen,<br />
jeweils mit sämtlichen Asymptoten.<br />
Bild 1<br />
Bild 3<br />
y<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
-2 -1<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
y<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
-2 -1 1 2 3<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
4<br />
x<br />
x<br />
-2<br />
y<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
-1<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
y<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
-2 -1<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
1<br />
1<br />
Bild 2<br />
2<br />
3<br />
Bild 4<br />
Drei dieser vier Schaubilder werden beschrieben<br />
durch die Funktonen f, g und h mit<br />
f(x) =<br />
− 2x<br />
x + a<br />
−0,5x 2<br />
; g(x) = −2 + b ⋅ e ; h(x) = c ⋅ x − x<br />
a) Ordnen Sie den Funktionen f, g und h das jeweils<br />
passende Schaubild zu. Begründen Sie Ihre Zuordnung.<br />
b) Bestimmen Sie die Werte für a und b.<br />
2<br />
3<br />
4<br />
4<br />
x<br />
x<br />
Noch Pflichtteil 2008:<br />
Aufgabe 6: (4 Punkte)<br />
Prüfung 2008<br />
Gegeben sind die zwei parallelen Geraden g und h<br />
durch<br />
⎛ 2⎞<br />
⎛ 3 ⎞<br />
⎛ 1⎞<br />
⎛ 6 ⎞<br />
g: x = ⎜ 9⎟<br />
+ s ⋅ ⎜ − 4⎟<br />
und h: x = ⎜ 2⎟<br />
+ t ⋅ ⎜ − 8⎟<br />
;<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 4⎠<br />
⎝ 1 ⎠<br />
⎝ 5⎠<br />
⎝ 2 ⎠<br />
s, t ∈ IR<br />
Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden.<br />
Aufgabe 7: (3 Punkte)<br />
Die Ebene E geht durch die Punkte A(1,5|0|0),<br />
B(0|3|0) und C(0|0|6). Untersuchen Sie, ob die<br />
⎛ − 4⎞<br />
⎛ − 2⎞<br />
Gerade g: x = ⎜ 2 ⎟ + t ⋅ ⎜ 3 ⎟ ; t ∈ IR<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
parallel zur Ebene E verläuft.<br />
Aufgabe 8: (3 Punkte)<br />
Gegeben sind die beiden Ebenen<br />
E1: (x − p1) . n1 = 0 und E2: (x − p2) . n2 = 0.<br />
Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man anhand<br />
dieser Normalengleichungen die gegenseitige Lage<br />
der beiden Ebenen untersuchen kann.<br />
Wahlteil 2008 – Analysis 1: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 37)<br />
Aufgabe 1:<br />
Ein Tal in den Bergen wird nach Westen von einer<br />
steilen Felswand, nach Osten von einem flachen<br />
Höhenzug begrenzt. Der Querschnitt des Geländes<br />
wird beschrieben durch das Schaubild der Funktion f<br />
mit f(x) = −0,125 ⋅ x 3 + 0,75 ⋅ x 2 − 3,125<br />
im Bereich −2,5 ≤ x ≤ 5.<br />
Dabei weist die positive x-Achse nach Osten<br />
(1 LE entspricht 100 m).<br />
a) (8 Punkte)<br />
• Skizzieren Sie den Querschnitt des Geländes.<br />
• Berechnen Sie die Stelle, an der die östliche<br />
Talseite am steilsten ist, und dann die Stelle, an der<br />
die westliche Talseite gleich steil ist.<br />
• Quer zum Tal befindet sich in West-Ost-Richtung<br />
eine Staumauer. Vom tiefsten Punkt des Tals aus<br />
gemessen ist sie 312,5 m hoch. Berechnen Sie die<br />
Breite der Staumauer an ihrer Oberkante.<br />
• Bevor das Wasser aufgestaut wird, muss die dem<br />
See zugewandte Seite der Staumauer versiegelt<br />
werden. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche.<br />
15
Prüfung 2008<br />
Noch Wahlteil 2008 – Analysis 1:<br />
b) (6 Punkte)<br />
In der Talsohle befindet sich ein Dorf, das bereits<br />
nachmittags im Schatten liegt. Nach dem Vorbild<br />
des italienischen Ortes Viganella soll auf dem<br />
höchsten Punkt des Höhenzugs östlich des Dorfes ein<br />
Gerüst mit einem drehbaren Spiegel zur Reflexion<br />
von Sonnenlicht aufgestellt werden. Auch hier wird<br />
der Querschnitt des Geländes durch das Schaubild<br />
der Funktion f beschrieben.<br />
• Bestimmen Sie die Mindesthöhe dieses Gerüsts,<br />
bei der das Sonnenlicht den tiefsten Punkt des<br />
Geländequerschnitts erreichen kann.<br />
• Wie hoch müsste das Gerüst werden, damit der<br />
gesamte Geländequerschnitt zwischen Dorf und<br />
Gerüst beleuchtet werden kann ?<br />
Aufgabe 2:<br />
1<br />
Die Funktion g ist gegeben durch g(x) = ; x ≠ 0,5<br />
1 − 2x<br />
Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass g für<br />
(n)<br />
alle n ≥ 1 die n-te Ableitung g (x) = n ! ⋅<br />
16<br />
n<br />
2<br />
n+<br />
1<br />
(1 − 2x)<br />
besitzt, wobei n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ (n − 1) ⋅ n für n ≥ 1 gilt.<br />
Wahlteil 2008 – Analysis 2: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 38)<br />
Der Temperaturverlauf außerhalb eines Hauses<br />
während eines Tages kann durch eine Funktion f mit<br />
π<br />
f(x) = 8⋅sin [ (x − 8,5) ] + 21; 0 ≤ x ≤ 24 beschrieben<br />
12<br />
werden (x in Stunden, f(x) in °C). Die Abbildung<br />
zeigt das Schaubild Kf von f sowie den innerhalb<br />
des Hauses gemessenen Temperaturverlauf Kg.<br />
Temperatur in °C<br />
y<br />
30<br />
27<br />
24<br />
21<br />
18<br />
15<br />
12<br />
9<br />
6<br />
3<br />
0<br />
a) (5 Punkte)<br />
K f<br />
K g<br />
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24<br />
x in Stunden<br />
• Berechnen Sie, zu welchen Uhrzeiten die<br />
Außentemperatur minimal bzw. maximal ist.<br />
• Wie viele Stunden an diesem Tag beträgt die<br />
Außentemperatur höchstens 22°C ?<br />
• Wann ist der Temperaturanstieg im Freien am<br />
größten ?<br />
• Bestimmen Sie die durchschnittliche Temperatur im<br />
Freien zwischen 6 Uhr und 18 Uhr.<br />
Noch Wahlteil 2008 – Analysis 2:<br />
b) (7 Punkte)<br />
• Bestimmen Sie einen Term der Funktion g, der den<br />
Temperaturverlauf Kg wiedergibt.<br />
• Beschreiben Sie, wie Kg aus dem Schaubild der<br />
Sinusfunktion mit y = sin x entsteht.<br />
• Geben Sie eine mögliche Ursache für die zeitliche<br />
Verschiebung der beiden Temperaturverläufe Kf und<br />
Kg an.<br />
• Zu welcher Uhrzeit ist der Unterschied zwischen<br />
Innen- und Außentemperatur am größten ?<br />
c) ( 6 Punkte)<br />
Für den folgenden Tag wird vermutet, dass der<br />
Temperaturverlauf außerhalb des Hauses durch eine<br />
π<br />
Funktion h mit h(x) = 10⋅ sin [ (x − 8,5) ]+ ax + b;<br />
12<br />
24 ≤ x ≤ 48 beschrieben werden kann (x in Stunden,<br />
h(x) in °C). Dabei stimmen zum Zeitpunkt x = 24<br />
sowohl die durch f und h beschriebenen Temperaturen<br />
als auch ihre momentanen Änderungsraten überein.<br />
• Ermitteln Sie a und b.<br />
• Begründen Sie, warum die durchschnittliche<br />
Außentemperatur am zweiten Tag nur durch den<br />
Term ax + b bestimmt wird.<br />
Wahlteil 2008 – Analysis 3: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 38)<br />
Aufgabe 1:<br />
Ein Behälter hat ein Fassungsvermögen von<br />
1200 Litern. Die enthaltene Flüssigkeitsmenge zum<br />
Zeitpunkt t wird beschrieben durch die Funktion f<br />
−0,01t<br />
mit f(t) = 1000 − 800 ⋅ e ;<br />
t ≥ 0 (t in Minuten, f(t) in Liter).<br />
a) (6 Punkte)<br />
• Zu welchem Zeitpunkt ist der Behälter zur Hälfte<br />
gefüllt ?<br />
• Zeigen Sie, dass die Flüssigkeitsmenge im Behälter<br />
stets zunimmt.<br />
• Bestimmen Sie die mittlere Flüssigkeitsmenge<br />
während der ersten Stunde.<br />
• Aus Sicherheitsgründen darf die Flüssigkeitsmenge<br />
höchstens 85 % des Fassungsvermögens betragen.<br />
Wird diese Vorschrift zu jeder Zeit eingehalten ?<br />
Begründen Sie Ihre Antwort.<br />
b) (3 Punkte)<br />
In einem anderen Behälter mit einem Zufluss und<br />
einem Abfluss befinden sich zu Beginn ebenfalls 200<br />
Liter. Einerseits fließen pro Minute 10 Liter zu,<br />
andererseits beträgt die momentane Abflussrate 1 %<br />
des jeweiligen Inhalts pro Minute. Dieser Vorgang wird<br />
durch die Differenzialgleichung B’(t) = a − b ⋅ B(t)<br />
beschrieben.<br />
• Geben Sie a und b an.<br />
• Zeigen Sie, dass f eine Lösung dieser Differenzialgleichung<br />
ist.
Noch Wahlteil 2008 – Analysis 3:<br />
c) (5 Punkte)<br />
Der Vorgang in b) wird nun so geändert, dass pro<br />
Minute 12 Liter zufließen und die momentane<br />
Abflussrate 2 % des Inhalts pro Minute beträgt.<br />
Die anfängliche Flüssigkeitsmenge ist wiederum<br />
200 Liter.<br />
• Ermitteln Sie einen Funktionsterm, der diesen<br />
Vorgang beschreibt.<br />
• Welche Flüssigkeitsmenge ist nach einer Stunde<br />
aus diesem Behälter abgeflossen ?<br />
Aufgabe 2: (4 Punkte)<br />
Die Folge (an) ist gegeben durch<br />
a0 = 5; an+1 = 10 + 0,8 ⋅ an für n ∈ IN.<br />
50 ist eine obere Schranke dieser Folge.<br />
• Zeigen Sie damit, dass die Folge monoton<br />
wachsend ist.<br />
• Begründen Sie, dass die Folge konvergiert.<br />
• Berechnen Sie den Grenzwert exakt.<br />
Wahlteil 2008 – Analytische Geometrie 1: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 38)<br />
In einem Würfel mit den Eckpunkten O(0|0|0),<br />
P(10|10|0) und S(0|0|10) befindet sich eine<br />
Pyramide mit einem Dreieck als Grundfläche und<br />
der Spitze S (vgl. Skizze). Die Eckpunkte der<br />
Pyramidengrundfläche sind A(10|6|0), B(6|10|0)<br />
und C(10|10|5).<br />
x 1<br />
a) (6 Punkte)<br />
b<br />
S<br />
x 3<br />
x Q<br />
x<br />
A<br />
• Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der<br />
Ebene E, in der die Grundfläche der Pyramide liegt.<br />
x C<br />
x<br />
P<br />
x<br />
B<br />
• Welchen Winkel schließen die Grundflächen von<br />
Würfel und Pyramide ein ?<br />
• Untersuchen Sie, ob die Höhe der Pyramide auf der<br />
Diagonalen PS des Würfels liegt.<br />
(Teilergebnis: E: 5x1 + 5x2 − 4x3 = 80)<br />
x 2<br />
Prüfung 2008<br />
Noch Wahlteil 2008 – Analytische Geometrie 1:<br />
b) (5 Punkte)<br />
Wie viel Prozent des Würfelvolumens beträgt das<br />
Pyramidenvolumen ?<br />
c) (5 Punkte)<br />
Zusätzlich zur Pyramide soll nun noch ein Quader<br />
der Breite b in den Würfel gelegt werden. Die<br />
Abmessungen des Quaders werden so gewählt, dass<br />
er die Pyramide nur in einem Punkt Q der Pyramidenkante<br />
AS berührt (vgl. Skizze).<br />
• Welches Volumen hat ein solcher Quader mit der<br />
Breite b = 4 ?<br />
• Welche Werte kann das Volumen eines solchen<br />
Quaders annehmen, wenn die Breite b variabel ist ?<br />
Wahlteil 2008 – Analytische Geometrie 2: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 38)<br />
Aufgabe 1:<br />
Die Punkte A(5|0|0), B(5|3|0), C(5|0|4), F(0|0|0),<br />
G(0|3|0) und H(0|0|4) sind die Ecken eines<br />
dreiseitigen Prismas mit der Grundfläche ABC.<br />
a) (6 Punkte)<br />
• Stellen Sie das Prisma in einem Koordinatensystem<br />
dar.<br />
• Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der<br />
Ebene E, in der die Fläche BGHC liegt.<br />
• Unter welchem Winkel schneidet E die x1 x2 – Ebene ?<br />
b) (6 Punkte)<br />
Im Prisma liegt ein Zylinder mit Radius 0,5 und<br />
Grundkreismittelpunkt M(0|0,5|0,5), dessen Achse<br />
parallel zur x1 – Achse verläuft.<br />
• Ermitteln Sie Abstände des Punktes M von den drei<br />
rechteckigen Seitenflächen des Prismas.<br />
• Berührt der Zylinder alle drei rechteckigen<br />
Seitenflächen des Prismas ?<br />
• Ein anderer Zylinder mit Radius r und Grundkreismittelpunkt<br />
M*(0|r|r), dessen Achse ebenfalls<br />
parallel zur x1 – Achse ist, soll alle drei rechteckigen<br />
Seitenflächen des Prismas von innen berühren.<br />
Bestimmen Sie den Radius r dieses Zylinders.<br />
Aufgabe 2: (4 Punkte)<br />
In einem Viereck ABCD gilt für die Diagonale AC:<br />
AC = 0,4 ⋅ AB + AD .<br />
• Zeichnen Sie ein solches Viereck ABCD.<br />
• In welchem Verhältnis wird die Diagonale AC von<br />
der anderen Diagonalen geteilt ?<br />
17
Prüfung 2009<br />
Pflichtteil 2009: (Lösungsübersicht auf S. 39) .<br />
Aufgabe 1: (2 Punkte)<br />
Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit<br />
f(x) = x 2 ⋅ sin (3x + 1)<br />
Aufgabe 2: (2 Punkte)<br />
Berechnen Sie das Integral ∫<br />
Aufgabe 3: (3 Punkte)<br />
18<br />
4<br />
9<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
x<br />
⎞<br />
− 1⎟<br />
dx<br />
⎠<br />
Lösen Sie die Gleichung (2x 2 2x<br />
− 8)⋅(e − 6) = 0<br />
Aufgabe 4: (4 Punkte)<br />
Das Schaubild der Funktion f mit<br />
f(x) = −x 3 + 3x 2 − x − 3<br />
besitzt einen Wendepunkt. Bestimmen Sie eine<br />
Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt.<br />
Aufgabe 5: (5 Punkte)<br />
Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f.<br />
F ist eine Stammfunktion von f.<br />
2<br />
0<br />
-2<br />
y<br />
Schaubild von f<br />
2 4<br />
a) Welche Aussagen über F ergeben sich daraus im<br />
Bereich −2 < x < 7 hinsichtlich<br />
� Extremstellen,<br />
� Wendestellen,<br />
� Nullstellen ?<br />
Begründen Sie ihre Antworten.<br />
b) Begründen Sie, dass F(6) − F(2) > 1 gilt.<br />
Aufgabe 6: (3 Punkte)<br />
Untersuchen Sie, ob die Vektoren<br />
⎛ − 2<br />
− 3<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
4<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
,<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
4<br />
3<br />
− 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ 2<br />
und ⎜ − 2<br />
⎜<br />
1<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
6<br />
linear unabhängig sind.<br />
x<br />
.<br />
Noch Pflichtteil 2009:<br />
Aufgabe 7: (4 Punkte)<br />
Gegeben sind die Ebene E: x1 + x2 = 4 und die Gerade<br />
g: x =<br />
⎛ 1⎞<br />
⎜ 3⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 3⎠<br />
+<br />
⎛ 1 ⎞<br />
r ⋅ ⎜ − 1⎟<br />
.<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 0 ⎠<br />
a) Veranschaulichen Sie die Ebene in einem<br />
Koordinatensystem.<br />
b) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g und E.<br />
c) Bestimmen Sie den Abstand des Ursprungs von der<br />
Ebene E.<br />
Aufgabe 8: (3 Punkte)<br />
Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt A im<br />
Raum. A liegt nicht auf g.<br />
A wird an der Geraden g gespiegelt. Beschreiben Sie<br />
ein Verfahren, um den Bildpunkt A’ zu bestimmen.<br />
Wahlteil 2009 – Analysis 1: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 39)<br />
Aufgabe 1:<br />
Gegeben ist eine Funktion f mit f(x) =<br />
a) (6 Punkte)<br />
100<br />
6 − .<br />
2 2<br />
(x − 16)<br />
• Geben Sie sämtliche Asymptoten des Schaubilds<br />
von f an.<br />
• Geben Sie die Nullstellen von f an.<br />
• Skizzieren Sie das Schaubild von f samt<br />
Asymptoten für −7 ≤ x ≤ 7.<br />
• Weisen Sie nach, dass f genau eine Extremstelle<br />
besitzt.<br />
Das Schaubild von f, die x-Achse und die Gerade y = 7<br />
begrenzen im Bereich −7 ≤ x ≤ 7 eine Fläche.<br />
Diese Fläche stellt die Seitenansicht einer 14 m<br />
langen, 7 m hohen und 10 m breiten Steinbrücke dar.<br />
b) (4 Punkte)<br />
Wie viele Kubikmeter Stein wurden für die Brücke<br />
verbaut ?<br />
c) (4 Punkte)<br />
Unter dem Brückenbogen fährt mittig ein Zug<br />
hindurch. Sein Querschnitt kann als Rechteck der<br />
Breite 3 m und der Höhe 4 m angesehen werden.<br />
Wie nah kommt der Zug der gewölbten Wandfläche ?<br />
Aufgabe 2: (4 Punkte)<br />
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion die<br />
Gültigkeit der folgenden Gleichung für alle n ≥ 1:<br />
5 0 + 5 1 + 5 2 + . . . + 5 n =<br />
5<br />
n +<br />
1<br />
4<br />
− 1
Wahlteil 2009 – Analysis 2: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 39)<br />
Aufgabe 1:<br />
Gegeben ist die Funktion f durch<br />
f(x) =<br />
2<br />
⎛ ⎛ π ⎞⎞<br />
⋅ ⎜ sin⎜<br />
x⎟<br />
. Ihr Schaubild sei K.<br />
2<br />
2 ⎟<br />
⎝ ⎝ ⎠⎠<br />
a) (5 Punkte)<br />
• Skizzieren Sie K im Intervall [0; 4]<br />
• Geben Sie die Periode von f an.<br />
• Geben Sie alle Hoch- und Tiefpunkte von K auf<br />
ganz IR an.<br />
• Für welche Werte von x nimmt f im Intervall [0; 2]<br />
den Wert 1 an ?<br />
b) (4 Punkte)<br />
Die Funktion f kann auch in der Form<br />
f(x) = a − cos (b x) dargestellt werden.<br />
• Bestimmen Sie a und b.<br />
• K und die x-Achse begrenzen zwischen benachbarten<br />
Nullstellen jeweils eine Fläche.<br />
Berechnen Sie den Inhalt einer solchen Fläche exakt.<br />
c) (5 Punkte)<br />
Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion g<br />
dritten Grades hat in P(1|2) einen Hochpunkt und<br />
in Q(2|0) einen Tiefpunkt.<br />
• Bestimmen Sie einen Funktionsterm für g.<br />
• An welchen Stellen im Intervall [1; 2] weichen<br />
die Funktionswerte von f und g am stärksten<br />
voneinander ab ?<br />
Aufgabe 2: (4 Punkte)<br />
Zwei in gleicher Höhe h (h ≤ 5) befestigte Lampen<br />
sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen<br />
Spazierwegs beleuchten (s. Skizze).<br />
Lampe Lampe<br />
h<br />
α<br />
.<br />
d<br />
5 m 5 m<br />
M<br />
Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt<br />
cos( α)<br />
H = 100 ⋅ (d in Meter).<br />
2<br />
d<br />
In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt<br />
werden, damit der Weg bei M möglichst hell<br />
beleuchtet wird ?<br />
Wahlteil 2009 – Analysis 3: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 40)<br />
Die normale Körpertemperatur eines gesunden<br />
Menschen liegt bei 36,5°C. Die Funktion f mit<br />
−0,1 t<br />
f(t) = 36,5 + t ⋅ e<br />
Prüfung 2009<br />
beschreibt modellhaft den Verlauf einer Fieberkurve<br />
bei einem Erkrankten. Dabei ist t ≥ 0 die Zeit in<br />
Stunden nach Ausbruch der Krankheit und f(t) die<br />
Körpertemperatur in °C.<br />
a) (6 Punkte)<br />
• Wann innerhalb der ersten 48 Stunden ist die<br />
Temperatur am höchsten ?<br />
Geben Sie diese Temperatur an.<br />
• Skizzieren Sie die Fieberkurve innerhalb der ersten<br />
48 Stunden in einem geeigneten Ausschnitt eines<br />
Koordinatensystems.<br />
• Zu welchen beiden Zeitpunkten innerhalb der<br />
ersten 48 Stunden nimmt die Körpertemperatur am<br />
stärksten zu bzw. ab ?<br />
b) (7 Punkte)<br />
• Wann sinkt die Körpertemperatur unter 37°C ?<br />
• Weisen Sie nach, dass die Temperatur ab diesem<br />
Zeitpunkt dauerhaft unter 37°C bleibt.<br />
• Bestimmen Sie die mittlere Körpertemperatur für<br />
den Zeitraum vom Krankheitsbeginn bis zu diesem<br />
Zeitpunkt.<br />
• In welchem 2-Stunden-Zeitraum nimmt die<br />
Temperatur um ein Grad zu ?<br />
c) (5 Punkte)<br />
Fünf Stunden nach Ausbruch der Krankheit erhält der<br />
Erkrankte ein Fieber senkendes Medikament. Von<br />
diesem Zeitpunkt an sinkt die Temperatur nach der<br />
Gesetzmäßigkeit des beschränkten Wachstums und<br />
nähert sich der normalen Körpertemperatur. Zwei<br />
Stunden nach Einnahme des Medikaments beträgt die<br />
Temperatur 38,4°C.<br />
• Bestimmen Sie eine Funktion g, welche den<br />
weiteren Temperaturverlauf beschreibt.<br />
• Zu welchem Zeitpunkt nach der Einnahme des<br />
Medikaments ist die Körpertemperatur erstmals um<br />
ein Grad niedriger, als sie ohne Medikament wäre ?<br />
19
Prüfung 2009<br />
Wahlteil 2009 – Analytische Geometrie 1: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 40)<br />
Die x1x2-Ebene beschreibt eine flache Landschaft, in<br />
der ein Flugplatz liegt. Eine Radarstation befindet<br />
sich im Punkt R1(6|3|0). Das Radar erfasst ein<br />
Testflugzeug F1 um 7.00 Uhr im Punkt P(7|29|7) und<br />
ermittelt als Flugbahn des Flugzeugs<br />
⎛ 7 ⎞ ⎛ 3 ⎞<br />
f1: x = ⎜ 29⎟<br />
+ t ⋅ ⎜ − 2⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 7 ⎠ ⎝ − 1⎠<br />
(t in Minuten nach 7.00 Uhr, Koordinatensystem in km).<br />
a) (6 Punkte)<br />
• In welchem Punkt befindet sich das Flugzeug um<br />
7.01 Uhr ?<br />
• Woran erkennen Sie, dass sich das Flugzeug im<br />
Sinkflug befindet ?<br />
• Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs<br />
in km/h.<br />
• Unter welchem Winkel fliegt das Flugzeug auf den<br />
Boden zu ?<br />
• Zu welcher Uhrzeit und in welchem Punkt würde es<br />
bei Beibehaltung dieser Flugbahn auf dem Boden<br />
aufsetzen ?<br />
b) (6 Punkte)<br />
Eine weitere Radarstation befindet sich im Punkt<br />
R2(17|9|0). Der Anflug des Testflugzeugs F1 auf den<br />
Flugplatz ist optimal, wenn die Flugbahn f1 und die<br />
beiden Radarstationen in einer Ebene liegen.<br />
• Prüfen Sie, ob das zutrifft.<br />
• Die Radarstation R2 übernimmt die<br />
Flugüberwachung zu dem Zeitpunkt, ab dem sich das<br />
Flugzeug von R1 entfernt. Um wie viel Uhr ist dies der<br />
Fall ?<br />
c) (4 Punkte)<br />
Die Flugbahn eines zweiten Testflugzeugs F2 wird<br />
beschrieben durch<br />
⎛18⎞<br />
⎛ 2⎞<br />
f2: x = ⎜ 11⎟<br />
+ t ⋅ ⎜ 2⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 7 ⎠ ⎝ 0⎠<br />
(t in Minuten nach 7.00 Uhr, Koordinatensystem in km).<br />
• Wie weit sind die Flugzeuge F1 und F2 um 7.04 Uhr<br />
voneinander entfernt ?<br />
• Berechnen Sie, wie nahe sich die beiden Flugzeuge<br />
kommen.<br />
20<br />
Wahlteil 2009 – Analytische Geometrie 2: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 40)<br />
Aufgabe 1:<br />
Die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide hat die<br />
Eckpunkte P(0|−6|0), Q(12|0|0) und R(0|6|0).<br />
Die Pyramide wird von einer Ebene geschnitten und<br />
der obere Teilkörper entfernt. Die Deckfläche des so<br />
entstandenen Pyramidenstumpfs hat die Eckpunkte<br />
P*(0|−2|2), Q*(2|0|2,5) und R*(0|1|2,5).<br />
a) (6 Punkte)<br />
• Stellen Sie den Pyramidenstumpf in einem<br />
Koordinatensystem dar.<br />
• Begründen Sie, dass die Deck- und die Grundfläche<br />
des Pyramidenstumpfs nicht parallel sind.<br />
• Bestimmen Sie den Winkel, den die Kante QQ* mit<br />
der x1-Achse bildet.<br />
• Zeigen Sie, dass S(0|0|3) die Spitze der<br />
ursprünglichen Pyramide ist.<br />
b) (6 Punkte)<br />
• Bestimmen Sie den Abstand des Punktes Q* von der<br />
Geraden durch Q und R.<br />
• Zeigen Sie, dass die Seitenfläche QRR*Q* des<br />
Pyramidenstumpfs ein Trapez ist.<br />
• Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Trapezes.<br />
Aufgabe 2: (4 Punkte)<br />
Das Rechteck OABC ist dreimal so lang wie breit.<br />
1<br />
Für den Punkt T gilt: OT = OA .<br />
9<br />
C<br />
O T A<br />
Zeigen Sie, dass die Strecken OB und CT orthogonal<br />
sind.<br />
B
Pflichtteil 2010: (Lösungsübersicht auf S. 41) .<br />
Aufgabe 1: (2 Punkte)<br />
Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit<br />
f(x) = (2 − 3x) ⋅ e −x<br />
und vereinfachen Sie so weit wie möglich.<br />
Aufgabe 2: (2 Punkte)<br />
Berechnen Sie das Integral ∫<br />
Aufgabe 3: (3 Punkte)<br />
e<br />
1<br />
⎛ 2 ⎞<br />
⎜ + 4x ⎟ dx<br />
⎝ x ⎠<br />
Die Funktion f mit f(x) = 2x 3 + 3x 2 − 8x + 3 hat die<br />
Nullstelle x1 = 1.<br />
Bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen von f.<br />
Aufgabe 4: (4 Punkte)<br />
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) =<br />
Ihr Schaubild sei K.<br />
a) Geben Sie die Asymptoten von K an.<br />
x<br />
.<br />
1− 4x<br />
b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente<br />
an K im Punkt P(1|f(1)) mit der x-Achse.<br />
Aufgabe 5: (5 Punkte)<br />
Die vier Abbildungen zeigen Schaubilder von<br />
Funktionen einschließlich aller waagrechten<br />
Asymptoten. Eines dieser Schaubilder gehört zur<br />
a<br />
Funktion f mit f(x) =<br />
Abb.1<br />
Abb. 2<br />
y<br />
1+<br />
1<br />
y<br />
1<br />
2<br />
x<br />
1<br />
1<br />
− 1.<br />
2<br />
x<br />
x<br />
2<br />
.<br />
Noch Pflichtteil, Aufgabe 5:<br />
Abb. 3<br />
Abb. 4<br />
y<br />
1<br />
y<br />
1<br />
1<br />
1<br />
x<br />
x<br />
Prüfung 2010<br />
a) Begründen Sie, dass Abbildung 2 zur Funktion f<br />
gehört. Bestimmen Sie den Wert von a.<br />
b) Von den anderen drei Abbildungen gehört eine zur<br />
Ableitungsfunktion f’ und eine zur Integralfunktion I<br />
x<br />
mit I (x) = ∫ f(t) dt .<br />
2<br />
Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehörigen<br />
Abbildungen zu und begründen Sie jeweils Ihre<br />
Entscheidung.<br />
Aufgabe 6: (3 Punkte)<br />
Gegeben sind die Punkte A(2|4|1), B(0|2|−1),<br />
C(4|−2|1) und D(−1|9|0). Überprüfen Sie, ob diese<br />
vier Punkte in einer Ebene liegen.<br />
Aufgabe 7: (4 Punkte)<br />
Gegeben sind die Ebene E: 3x1 − 4x3 = −7 und der<br />
Punkt P(9|− 4|1).<br />
a) Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der<br />
Ebene E.<br />
b) Der Punkt S(−1|1|1) liegt auf E. Bestimmen Sie<br />
den Punkt Q auf der Geraden durch S und P, der<br />
genauso weit von E entfernt ist wie P.<br />
Aufgabe 8: (3 Punkte)<br />
Die Gerade g und die Ebene E schneiden sich im<br />
Punkt S. Die Gerade g’ ist das Bild von g bei der<br />
Spiegelung an der Ebene E.<br />
Beschreiben Sie ein Verfahren, um eine Gleichung<br />
der Geraden g’ zu ermitteln.<br />
21
Prüfung 2010<br />
Wahlteil 2010 – Analysis 1: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 41)<br />
Aufgabe 1:<br />
Auf einem ebenen Gelände befindet sich ein geradliniger,<br />
500 m langer Lärmschutzwall. Das Profil<br />
seines Querschnitts wird beschrieben durch die<br />
120<br />
Funktion f mit f(x) = − 2<br />
x 20<br />
22<br />
2 +<br />
und f(x) ≥ 0 (x und f(x) in Meter).<br />
a) (4 Punkte)<br />
• Wie breit ist der Wall an seinem Fuß ?<br />
• Zeigen Sie, dass der Wall einen symmetrischen<br />
Querschnitt besitzt.<br />
• Der Wall soll begrünt werden. Um Erosion zu<br />
vermeiden, sollte das maximale Gefälle der<br />
Böschung nicht größer als 100 % sein.<br />
Ist dies beim gegebenen Querschnitt der Fall ?<br />
b) (6 Punkte)<br />
• Berechnen Sie das Volumen des Lärmschutzwalls.<br />
• Es ist geplant, den Wall auf 3 m Höhe abzutragen,<br />
um darauf einen Fahrweg anzulegen. Welche Breite<br />
hätte dieser Fahrweg ?<br />
• Das abzutragende Material soll dazu verwendet<br />
werden, den abgeflachten Wall zu verlängern.<br />
Um wie viel Meter würde er länger ?<br />
c) (5 Punkte)<br />
• Statt der Planung aus Teilaufgabe b) wird am<br />
ursprünglichen Wall die Erde so abgetragen, dass<br />
der Fahrweg seitlich geneigt ist. Sein rechter Rand<br />
liegt 0,4 m höher als sein linker Rand. Die Breite des<br />
Fahrwegs beträgt 4 m. Bestimmen Sie den Winkel,<br />
um den der Fahrweg gegenüber der Horizontalen<br />
geneigt ist, auf zwei Dezimalen genau.<br />
• In welcher Höhe befindet sich der linke Rand des<br />
Fahrwegs ?<br />
Aufgabe 2: (3 Punkte)<br />
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x ⋅ e x .<br />
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für die<br />
n-te Ableitung f (n) gilt:<br />
f (n) (x) = (x + n) ⋅ e x ; n ≥ 1.<br />
Wahlteil 2010 – Analysis 2: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 41)<br />
Gegeben sind die Funktion f und g durch<br />
1<br />
f(x) = 1 − cos (π x) und g(x) = (4 − x) ⋅ f(x) ; x ∈ IR.<br />
10<br />
Ihre Schaubilder sind Kf und Kg.<br />
Noch Wahlteil, Analysis 2:<br />
a) (5 Punkte)<br />
• Geben Sie alle Nullstellen der Funktion f an.<br />
• Beschreiben Sie, wie man Kf aus dem Schaubild der<br />
Kosinusfunktion erhalten kann.<br />
• Skizzieren Sie Kg für 0 ≤ x ≤ 4.<br />
Das Schaubild Kg beschreibt im Bereich 0 ≤ x ≤ 4 die<br />
Seitenansicht einer Minigolfbahn, die eine<br />
Doppelwelle als Hindernis enthält (Längenangaben in<br />
Meter). Gespielt wird von links nach rechts.<br />
b) (5 Punkte)<br />
• Wie hoch liegt der höchste Punkt der Bahn ?<br />
• An welcher Stelle der Bahn muss der Ball die größte<br />
Steigung überwinden ?<br />
• Die Minigolfbahn ist 1,25 m breit. Nach einem<br />
schweren Regenguss steht das Wasser zwischen den<br />
beiden Wellen 5 cm hoch. Wie viele Liter Wasser<br />
haben sich dort gesammelt ?<br />
c) (4 Punkte)<br />
Ein Ball wird so fest geschlagen, dass er bei x = 0,5<br />
tangential von der Bahn abhebt und im Punkt P(7|0)<br />
wieder auf dem Boden auftrifft. Bestimmen Sie die<br />
maximale Höhe des Balls auf seiner parabelförmigen<br />
Flugbahn.<br />
d) (4 Punkte)<br />
Das Hindernis der Minigolfbahn soll im gleichen<br />
Bereich neu gestaltet werden. Das neue Hindernis<br />
soll drei jeweils 40 cm hohe Wellen erhalten. Am<br />
Anfang und Ende soll das Hindernis waagrecht und<br />
auf der gleichen Höhe wie bisher enden.<br />
• Bestimmen Sie einen Term einer Funktion, die den<br />
neuen Bahnverlauf beschreibt.<br />
• Vergleichen Sie die durchschnittlichen Höhen<br />
beider Bahnen.<br />
Wahlteil 2010 – Analysis 3: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 41, 42)<br />
Ein Segelboot gleitet mit der konstanten Geschwindigkeit<br />
160 m/min an einem ruhenden Motorboot<br />
vorbei. Das Motorboot nimmt zu diesem Zeitpunkt<br />
Fahrt auf und fährt dem Segelboot hinterher. Die<br />
Geschwindigkeit v(t) des Motorboots ist für t > 0<br />
stets positiv und wird durch<br />
− t − 2t<br />
v(t) = 960 ⋅ e − 960 ⋅ e ; t ≥ 0<br />
beschrieben (Zeit t in min seit der Vorbeifahrt,<br />
Geschwindigkeit v(t) in m/min).<br />
a) (6 Punkte)<br />
• Skizzieren Sie das Zeit-Geschwindigkeit-Schaubild<br />
des Motorbootes für die ersten fünf Minuten.<br />
• Bestimmen Sie die höchste Geschwindigkeit des<br />
Motorbootes in diesem Zeitraum.
Noch Wahlteil, Analysis 3:<br />
• Wann nimmt die Geschwindigkeit des Motorbootes<br />
in diesem Zeitraum am stärksten ab ?<br />
• Welche mittlere Geschwindigkeit hat das Motorboot<br />
in den ersten fünf Minuten ?<br />
• Wie lange fährt das Motorboot in diesem Zeitraum<br />
schneller als das Segelboot ?<br />
b) (6 Punkte)<br />
• Wie weit ist das Motorboot nach zwei Minuten<br />
gefahren ?<br />
• Bestimmen Sie einen Term der Funktion, die den<br />
vom Motorboot zurückgelegten Weg in Abhängigkeit<br />
von der Zeit beschreibt.<br />
• Legt das Motorboot nach diesem Modell mehr als<br />
500 m zurück ?<br />
• Zu welchem Zeitpunkt überholt das Motorboot das<br />
Segelboot ?<br />
c) (6 Punkte)<br />
• Zum Zeitpunkt t0 = 2,55 holt das Segelboot das<br />
Motorboot wieder ein. Beide Boote verringern ab<br />
diesem Moment ihre Geschwindigkeit. Ab dem Zeitpunkt<br />
t0 wird die Geschwindigkeit des Motorbootes<br />
durch die Tangente an das Schaubild der Funktion v<br />
an der Stelle t0 beschrieben.<br />
Wann kommt das Motorboot zum Stillstand ?<br />
• Die Geschwindigkeit des Segelbootes kann ab dem<br />
Zeitpunkt t0 ebenfalls durch eine Gerade beschrieben<br />
werden. Das Segelboot kommt am gleichen Ort wie<br />
das Motorboot zum Stillstand.<br />
Wann kommt das Segelboot zum Stillstand ?<br />
Wahlteil 2010 – Analytische Geometrie 1: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 42)<br />
Gegeben sind die Punkte A(0|4|0), B(0|0|2) und<br />
C(4|0|0).<br />
a) (5 Punkte)<br />
• Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.<br />
• Ergänzen Sie das Dreieck ABC durch einen Punkt D<br />
zu einer Raute. (Teilergebnis: D(4|4|−2))<br />
• Berechnen Sie die Innenwinkel der Raute.<br />
• Zeigen Sie, dass die Raute in der Ebene<br />
E: x1 + x2 + 2x3 = 4 liegt.<br />
Gegeben ist für jedes t ≠ 0 der Punkt<br />
St(−3 + 3t| −3 + 3t|5 + t). Die Pyramide Pt hat die<br />
Grundfläche ABCD und die Spitze St.<br />
b) (6 Punkte)<br />
• Zeichnen Sie die Pyramide P3 in ein<br />
Koordinatensystem.<br />
• Die Punkte B, D und S3 legen eine Ebene F fest.<br />
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von F.<br />
Noch Wahlteil, analytische Geometrie 1:<br />
Prüfung 2010<br />
• Zeigen Sie, dass die Ebene F Symmetrieebene der<br />
Pyramide P3 ist.<br />
c) (5 Punkte)<br />
• Für welchen Wert von t geht die Höhe der Pyramide<br />
Pt durch den Mittelpunkt der Grundfläche ?<br />
• Das gleichschenklige Dreieck ACS3 wird um die<br />
Achse AC gedreht. In welchen Punkten durchstößt<br />
dabei seine Spitze die x1x2-Ebene ?<br />
Wahlteil 2010 – Analytische Geometrie 2: .<br />
(Lösungsübersicht auf Seite 42)<br />
Aufgabe 1:<br />
Gegeben sind der Punkt A(4,5|6|3,5) sowie die<br />
⎛ 5⎞<br />
⎛ 1 ⎞<br />
Gerade g: x = ⎜ 0⎟<br />
+ t ⋅ ⎜ − 2⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 3⎠<br />
⎝ 1 ⎠<br />
a) (7 Punkte)<br />
• Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden g mit<br />
der x1x2-Ebene.<br />
• Zeichnen Sie die Gerade g in ein Koordinatensystem.<br />
• Unter welchem Winkel schneidet g die x1x2-Ebene ?<br />
• Welcher Punkt F auf der Geraden g hat vom Punkt A<br />
den kleinsten Abstand ?<br />
• Die Gerade h entsteht durch Spiegelung von g an A.<br />
Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h.<br />
(Teilergebnis: F(3|4|1))<br />
b) (5 Punkte)<br />
• Begründen Sie, dass bei Rotation der Geraden g um<br />
die Gerade durch A und F eine Ebene entsteht.<br />
• Zeigen Sie, dass 3x1 + 4x2 + 5x3 = 30 eine Gleichung<br />
dieser Ebene ist.<br />
• Untersuchen Sie, ob die Punkte P(18|−9|1) und<br />
Q(−2|1|−9) auf verschiedenen Seiten dieser Ebene<br />
liegen.<br />
Aufgabe 2: (4 Punkte)<br />
Das Quadrat ABCD hat den<br />
Mittelpunkt M. Die Punkte<br />
P und Q werden so gewählt,<br />
3<br />
dass MP = MC<br />
4<br />
5<br />
B<br />
und MQ = MD gilt.<br />
4<br />
Die Strecken CD und PQ<br />
schneiden sich im Punkt S.<br />
In welchem Verhältnis teilt<br />
der Punkt S die Strecke CD ?<br />
P<br />
A<br />
C<br />
M<br />
S<br />
D<br />
Q<br />
23
Prüfung 2011<br />
24<br />
Die aktualisierte Auflage erscheint<br />
Mitte September 2011.
Die aktualisierte Auflage erscheint<br />
Mitte September 2011.<br />
Prüfung 2011<br />
25
Prüfung 2011<br />
26<br />
Die aktualisierte Auflage erscheint<br />
Mitte September 2011.
Pflichtteil: .<br />
Aufgabe 1: f’(x) =<br />
(x<br />
6x<br />
2<br />
+<br />
1<br />
Aufgabe 2: F(x) = − −<br />
x<br />
3)<br />
2<br />
1<br />
cos(2x)<br />
2<br />
1<br />
Aufgabe 3: x1 = ln 3 ≈ 1,1 und x2 = ln 2 ≈ 0,35<br />
2<br />
Aufgabe 4:<br />
Tangentengleichung t: y = −2x + 6<br />
Schnittpunkt: S(3 | 0)<br />
Aufgabe 5:<br />
Aussage (1) ist wahr,<br />
Aussage (2) ist wahr,<br />
Aussage (3) ist falsch,<br />
Aussage (4) ist unentscheidbar.<br />
Aufgabe 6:<br />
A liegt auf der Geraden g.<br />
Nachweis der Orthogonalität: Der Normalenvektor<br />
von E ist ein Vielfaches des Richtungsvektors von g.<br />
F(2 | 0,5 | 1) hat den kleinsten Abstand zu A.<br />
Aufgabe 7: E: 12x1 + 15x2 + 20x3 = 60<br />
Aufgabe 8:<br />
Zuerst stellt man die Hilfsebene E auf, die den Punkt<br />
A enthält und senkrecht zur Geraden g steht. Dann<br />
schneidet man die Gerade g mit E. Der Schnittpunkt<br />
ist F. Der gesuchte Abstand ist die Strecke AF.<br />
Wahlteil – Analysis 1: .<br />
Aufgabe 1a):<br />
Schaubild von f<br />
y<br />
1<br />
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7<br />
-1<br />
2<br />
lim<br />
x − 36<br />
= 1.<br />
|x|<br />
→∞<br />
2<br />
x + 16<br />
-2<br />
-3<br />
Die Gerade mit y = 1 ist waagrechte Asymptote.<br />
Nachweis der Wendepunkte mit f’’(x) = 0.<br />
f’’(x) = 104 ⋅ [16 − 3x ] , x1 =<br />
(x 2 + 16) 3<br />
2<br />
16<br />
, x2 = −<br />
3<br />
Lösungsübersicht 2004<br />
16<br />
3<br />
x<br />
Noch Wahlteil – Analysis 1:<br />
Aufgabe 1b):<br />
Lösungsübersicht 2004<br />
V0 = 6775 m 3 bei vollständiger Füllung.<br />
Bei einem Pegelstand von 1,0 m ist der Kanal zu<br />
24,3 % gefüllt.<br />
Aufgabe 1c):<br />
Der Abstand vom Kanalrand darf maximal 3,23 m<br />
betragen, damit die Person noch auf den Grund<br />
sehen kann.<br />
Wahlteil – Analysis 2: .<br />
Aufgabe 1:<br />
π<br />
Die Periodendauer beträgt T = ≈ 0,52 s.<br />
6<br />
Die Geschwindigkeit schwankt zwischen 1,1 m/s<br />
und 1,9 m/s. Stärkste Abnahme der Geschwindig-<br />
π π<br />
keit bei: tn = + n· , mit n ∈ IN.<br />
12 6<br />
Zurückgelegter Weg nach 50 Perioden: 39,3 m<br />
v(t) in m/s<br />
2<br />
1<br />
0<br />
Aufgabe 2a):<br />
0,2 0,4 T 0,6 0,8 1,0 1,2 t in s<br />
Definitionsbereich: 0°< α < 90°<br />
Höhe h(α) = b·sin α , Breite a(α) = b + 2b·cos α.<br />
Die gesuchte Formel ergibt sich durch Einsetzen in<br />
a + b<br />
die Flächenformel für ein Trapez: A = ⋅ h<br />
2<br />
Aufgabe 2b):<br />
Maximales Volumen für α = 45°.<br />
Vmax = 0,364 m 3 = 364 Liter<br />
Für alle Winkel α, die zwischen 30,23° und 60,95°<br />
liegen, benötigt man zum vollständigen Befüllen<br />
mindestens vier Säcke Blumenerde zu je 80 Litern.<br />
27
Lösungsübersicht 2004<br />
Wahlteil – Analysis 3: .<br />
Aufgabe 1a):<br />
-3<br />
x → + ∞<br />
28<br />
lim<br />
-2<br />
x<br />
-1<br />
3ke<br />
2x<br />
e + k<br />
= 0.<br />
y<br />
3<br />
2<br />
1<br />
Ortskurve der Hochpunkte<br />
C2 C1 1<br />
C 3<br />
2 3<br />
Die Gerade mit y = 0 ist waagrechte Asymptote.<br />
Gemeinsame Eigenschaften der Schaubilder:<br />
• Sie verlaufen oberhalb der x-Achse.<br />
• Sie haben die x-Achse als Asymptote.<br />
• Sie haben einen Hochpunkt und 2 Wendepunkte.<br />
• Die Definitionsmenge ist immer ID = IR.<br />
• Sie sind achsensymmetrisch zur Senkrechten<br />
durch den jeweiligen Hochpunkt.<br />
Aufgabe 1b):<br />
ln k 3<br />
Hk ( |<br />
2 2<br />
k ).<br />
3 x<br />
Ortskurve aller Hochpunkte: g(x) = e<br />
2<br />
Aufgabe 1c):<br />
In den ersten 2 Minuten vergrößert sich die Fläche<br />
um 5,1 cm 2 .<br />
Aufgabe 2:<br />
Der Induktionsschluss gelingt, indem man die<br />
1<br />
Funktion hk+1(x) =<br />
k+<br />
1<br />
x<br />
=<br />
1 1<br />
⋅ mit der<br />
k<br />
x x<br />
Produktregel ableitet.<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Lösungsübersicht 2004<br />
x<br />
Wahlteil – Analytische Geometrie 1: .<br />
Aufgabe 1a):<br />
Winkel zwischen zwei Seitenflächen: β = 101,5°<br />
Aufgabe 1b):<br />
Prozentualer Anteil der Einstiegsöffnung an der<br />
Vorderfläche: 37,5 %<br />
Aufgabe 1c):<br />
7<br />
Die Länge der Strecke C’D’ beträgt m ≈ 1,17 m.<br />
6<br />
Wahlteil – Analytische Geometrie 2: .<br />
Aufgabe 1a):<br />
Die Ebene E3 steht senkrecht auf dem Vektor<br />
⎛ 3 ⎞<br />
n =<br />
⎜ ⎟<br />
0 und geht durch den Ursprung.<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ − 1⎠<br />
10<br />
Der Schnittpunkt ist Da (<br />
1 +<br />
Aufgabe 1b):<br />
2<br />
a<br />
| 0 |<br />
10a<br />
1 +<br />
Zum Nachweis müssen die Winkel zwischen den drei<br />
Seiten bestimmt werden. Der rechte Winkel liegt<br />
beim Punkt Da.<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Aufgabe 2:<br />
2<br />
a<br />
Die Strecke DB wird von T im Verhältnis 3 : 5<br />
geteilt. (Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
).
Pflichtteil: .<br />
Aufgabe 1: f’(x) = x 2 e 2x (3 + 2x)<br />
1 1 5<br />
Aufgabe 2: F(x) = 8 sin( x) − x<br />
2 20<br />
Aufgabe 3: x1 = 0, x2 = 2 und x3 = −2<br />
Aufgabe 4:<br />
Waagrechte Asymptote: y = 4<br />
Senkrechte Asymptote: x = 0<br />
Gleichung der Normalen: y = −x + 5<br />
Aufgabe 5:<br />
a) Das Schaubild der Funktion f muss durch den<br />
Ursprung gehen und wegen x 2 e x > 0 für alle x ∈ IR<br />
oberhalb der x-Achse verlaufen.<br />
b) f’ gehört zu Bild 4, F gehört zu Bild 2 und g<br />
gehört zu Bild 3.<br />
Aufgabe 6: IL = {4; 1; 2}. Die drei Gleichungen des<br />
Gleichungssystems sind die Koordinatengleichungen<br />
dreier Ebenen. Die Lösungsmenge sind die Koordinaten<br />
des Schnittpunkts P(4 | 1 | 2) dieser Ebenen.<br />
Aufgabe 7: E: x1 + 2x2 − 3x3 = 6<br />
Aufgabe 8:<br />
Man berechnet zuerst den Lotfußpunkt F von P auf<br />
E. Die Koordinaten des Spiegelpunkts P’ ergeben<br />
sich dann durch die Vektoraddition: OP' = OP + 2 PF<br />
Wahlteil – Analysis 1: .<br />
Aufgabe 1a): a = 427, b = 2<br />
Die wöchentlichen Verkaufszahlen steigen zunächst<br />
steil an. Gegen Ende des Jahres wird die Kurve<br />
immer flacher. Die wöchentlichen Verkaufszahlen<br />
nehmen nicht mehr so stark zu und nähern sich<br />
einem konstanten Wert.<br />
(Gründe siehe ausführliche Lösungen.)<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
y in Stückzahl pro Woche<br />
50<br />
12 20 30 40 50<br />
C<br />
K<br />
x in Wochen<br />
Lösungsübersicht 2005<br />
Noch Wahlteil – Analysis 1:<br />
Aufgabe 1b):<br />
Lösungsübersicht 2005<br />
In den ersten 52 Wochen wurden insgesamt 7801<br />
Tuben verkauft.<br />
Nach 16 Wochen sind mehr als 1500 Tuben verkauft<br />
worden.<br />
Aufgabe 1c):<br />
Supermarkt B wird langfristig 214 Tuben pro Woche<br />
verkaufen.<br />
Supermarkt A hat nach ca. 12 Wochen den größten<br />
Vorsprung vor Supermarkt B.<br />
Die Fläche, die vom Schaubild K, der y-Achse und<br />
der Geraden x = t* eingeschlossen wird, muss<br />
genauso groß sein wie die entsprechende Fläche<br />
unterhalb des Schaubilds C.<br />
Man erhält: t* ≈ 24 Wochen.<br />
Aufgabe 2:<br />
Der Induktionsschluss gelingt, indem man die<br />
Funktion f (k) (x) = ( −<br />
e<br />
mit der Produktregel ableitet.<br />
k<br />
− 1) (x k) ) = (−1)<br />
x<br />
k ·(x − k)·e −x<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Wahlteil – Analysis 2: .<br />
Aufgabe 1a):<br />
Fläche zwischen Kf und x-Achse: A = 2 FE<br />
12<br />
Quadratische Funktion h(x) = −<br />
3<br />
π<br />
K g<br />
K f<br />
Aufgabe 1b):<br />
-2<br />
-1<br />
y<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
-1<br />
0<br />
1<br />
x 2 3<br />
+<br />
π<br />
2 3<br />
Punkte auf g mit dem kleinsten Abstand vom<br />
Hochpunkt: P1(1,21 | 1,55) und P2(−1,21 | 1,55)<br />
π<br />
2<br />
2<br />
Aufgabe 1c): V(t) = ·t , t* ≈ 1,32<br />
2<br />
x<br />
29
Lösungsübersicht 2005<br />
Wahlteil – Analysis 3: .<br />
Aufgabe 1a):<br />
30<br />
y<br />
0,3<br />
0,2<br />
0,1<br />
0<br />
K f<br />
1 2 3 4 5 6<br />
t<br />
e<br />
Es ist: lim = 0. Damit ist die Gerade mit<br />
t → ∞ t 2<br />
(1+<br />
e )<br />
y = 0 eine waagrechte Asymptote.<br />
Nachweis der monotonen Abnahme: Für alle t > 0<br />
ist die erste Ableitungsfunktion negativ.<br />
Der Fischbestand nimmt nicht ab. Die Zuwachsrate f<br />
ist immer positiv und verlangsamt sich lediglich.<br />
Aufgabe 1b):<br />
Ableiten von F(t) ergibt die Funktion f(t). Somit ist<br />
F(t) eine Stammfunktion von f(t).<br />
Nach 2 Jahren sind 4,38 Mio. Fische zu erwarten.<br />
Langfristiger Fischbestand: 4,5 Mio. Fische<br />
Aufgabe 2:<br />
Differenzialgleichung: B’(t) = k [7000 − B(t)]<br />
Gesuchte Funktion: B(t) = 7000 − 3000·e −0,1431t<br />
Nach 2,8 Monaten sind 5000 Fische im Teich.<br />
Gesuchter Anfangsbestand: 2910 Fische<br />
Wahlteil – Analytische Geometrie 1: .<br />
Aufgabe 1a):<br />
x 1<br />
B<br />
8<br />
4<br />
x 3<br />
8<br />
4<br />
A<br />
S<br />
G<br />
Die Punkte F und G sind: F(2 | 6 | 4), G(2 | 2 | 4)<br />
Nachweis des gleichschenkligen Trapezes:<br />
Die Seiten CF und BG sind gleich lang.<br />
Die Seiten BC und FG sind parallel.<br />
Innenwinkel des Trapezes: α = 74,5°, δ = 105,5°<br />
4<br />
C<br />
F<br />
8<br />
D<br />
Lösungsübersicht 2005<br />
t<br />
x 2<br />
Noch Wahlteil – Analytische Geometrie 1:<br />
Aufgabe 1b):<br />
r* = 2,25;<br />
Der Punkt mit Abstand 4 von S ist P(1,6 | 4 | 4,8).<br />
Aufgabe 1c):<br />
Der Schnitt zwischen g und Er führt unabhängig von<br />
r auf unendlich viele Lösungen.<br />
Mögliche Schnittfiguren:<br />
1. Die Ebene Er schneidet die Pyramide nur in der<br />
Kante BC für r < 0 oder r > 6.<br />
2. Er enthält die Seitenfläche BCS für r = 6.<br />
3. Er schneidet die Pyramide in einem Trapez für<br />
0 < r < 6.<br />
4. Er enthält die Grundfläche BCDA für r = 0.<br />
Wahlteil – Analytische Geometrie 2: .<br />
Aufgabe 1a):<br />
Parametergleichung von E:<br />
⎛ 2⎞<br />
⎛ 1⎞<br />
⎛ 0⎞<br />
x = ⎜ 1⎟<br />
+ s ⋅ ⎜ 0⎟<br />
+ t ⋅ ⎜ 4⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 3⎠<br />
⎝ 0⎠<br />
⎝ 0⎠<br />
Die Ebene E ist parallel zur x1 x2 –Ebene und enthält<br />
die Punkte A(2 | 1 | 3) und B(2 | 5 | 3).<br />
Der Abstand zwischen g und E beträgt 2 LE.<br />
Aufgabe 1b):<br />
Der Punkt T(2 | 3 | 5) bildet mit den Punkten A und B<br />
ein rechtwinkliges Dreieck.<br />
Die Fläche des Dreiecks ATB beträgt 4 FE.<br />
Ein Punkt mit demselben Abstand von A, B und T ist<br />
der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABT: P(2 |3| 3)<br />
Aufgabe 1c):<br />
16<br />
Volumen des Doppelkegels: V = π ≈ 16,76 VE<br />
3<br />
Aufgabe 2:<br />
Nachweis siehe ausführliche Lösungen.
Pflichtteil: .<br />
Aufgabe 1: f’(x) = x cos(4x 2 )<br />
Aufgabe 2: F(x) = 8 x + 8<br />
Aufgabe 3:<br />
1 x 4<br />
Zur Bestimmung weiterer Nullstellen muss zuerst<br />
eine Polynomdivision durch (x − 1) durchgeführt<br />
werden. Man erhält außer der angegebenen Lösung<br />
(x1 = 1) die Lösungen: x2 = 3 und x3 = −1<br />
Aufgabe 4: f(x) = −2x 3 + 3x 2<br />
Aufgabe 5:<br />
Aussage (1) ist falsch, Aussage (2) ist wahr,<br />
Aussage (3) ist wahr, Aussage (4) ist falsch.<br />
Aufgabe 6:<br />
Nachweis, dass g parallel zu E ist: Wenn man die<br />
Schnittmenge zwischen g und E bestimmt, erhält<br />
man keine Lösung.<br />
Der Abstand zwischen g und E beträgt 3 LE.<br />
Aufgabe 7:<br />
x 1<br />
4<br />
A<br />
2<br />
Aufgabe 8:<br />
x 3<br />
4<br />
2<br />
E 1<br />
2<br />
E 2<br />
Der Normalenvektor der Ebene ist der Vektor AB .<br />
Die Mitte M zwischen A und B liegt auf E. Mit dem<br />
Normalenvektor AB und dem Punkt M kann die<br />
Koordinatengleichung von E aufgestellt werden.<br />
B<br />
4<br />
g<br />
x 2<br />
Lösungsübersicht 2006<br />
Wahlteil – Analysis 1: .<br />
Aufgabe 1a):<br />
Lösungsübersicht 2006<br />
Durch Einsetzen der Koordinaten von P1, P2 und P3<br />
in die Gleichung g(x) = ax 2 + bx + c erhält man ein<br />
Gleichungssystem. Dessen Lösung ist:<br />
a = −0,015, b = 0,15 und c = 95.<br />
y<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
Aufgabe 1b):<br />
C<br />
20 40 60 80 100<br />
K<br />
120 140<br />
Aufsetzpunkt des Springers: A(60 | 50)<br />
Maximale Höhe über dem Aufsprunghang:<br />
hmax = 12,6 m<br />
Aufgabe 1c):<br />
Der Parameter k darf höchstens den Wert 0,29<br />
annehmen: k ≤ 0,29<br />
Aufgabe 1d):<br />
Mithilfe von Integralen kann jeweils das Erdvolumen<br />
des alten und des neuen Profils berechnet werden.<br />
Dabei ergibt sich, dass das Volumen des neuen<br />
Profils kleiner ist. Es muss also Erde weggefahren<br />
werden. (Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
x<br />
31
Lösungsübersicht 2006<br />
Wahlteil – Analysis 2: .<br />
Aufgabe 1a):<br />
Genau ein gemeinsamer Punkt: m ≥ 3<br />
32<br />
Lösungsübersicht 2006<br />
π oder m < 0<br />
Genau zwei gemeinsame Punkte: 0 ≤ m < 3<br />
y<br />
4<br />
2<br />
0<br />
Aufgabe 1b):<br />
2 4 6 8 10<br />
Maximale Breite des Rechtecks: bmax = 6,572 LE<br />
Maximale Höhe des Rechtecks: hmax = 2,61 LE<br />
Aufgabe 2a):<br />
In y-Achsenrichtung wird das Schaubild mit<br />
zunehmenden Werten für a gestaucht; und umgekehrt<br />
mit abnehmenden Werten für a gestreckt.<br />
In x-Achsenrichtung wird das Schaubild mit<br />
zunehmenden Werten für a gestaucht; und umgekehrt<br />
mit abnehmenden Werten für a gestreckt.<br />
Eingeschlossene Fläche: Aa =<br />
Aufgabe 2b):<br />
2<br />
2<br />
a<br />
Die Parallele zur x-Achse durch den Punkt P halbiert<br />
die Fläche für z ≈ 0,74.<br />
K<br />
12<br />
π<br />
x<br />
Wahlteil – Analysis 3: .<br />
Aufgabe a):<br />
Die größte Konzentration ist nach 2 h erreicht.<br />
Sie beträgt 14,7 mg/l.<br />
Die Wirksamkeit des Medikaments liegt zwischen<br />
0,22 h und 7,15 h. Die Zeitspanne der Wirksamkeit<br />
ist demnach 6,93 h lang.<br />
Die mittlere Konzentration während der ersten<br />
12 Stunden ist 6,6 mg/l.<br />
Aufgabe b):<br />
Zeitpunkt des stärksten Abbaus: t = 4<br />
mg<br />
Momentane Änderungsrate nach 4 Stunden: −2,71<br />
l ⋅ h<br />
Tangentengleichung: y = −2,71x + 21,67<br />
Zeitpunkt des vollständigen Abbaus: t = 8<br />
22<br />
20<br />
18<br />
16<br />
14<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
k(t) in mg<br />
l<br />
Aufgabe c):<br />
2 4 6<br />
Gesamtkonzentration<br />
8<br />
10<br />
12<br />
t in h<br />
Die Vorgabe wird nicht eingehalten, wie man leicht<br />
am Schaubild erkennt.<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Aufgabe d):<br />
a = 2,5e ≈ 6,80 und b = 0,25
Wahlteil – Analytische Geometrie 1: .<br />
Aufgabe 1a):<br />
E: 4x1 + 5x2 + 2x3 = 29<br />
Nachweis der Gleichschenkligkeit des Dreiecks ABD:<br />
Berechnung aller drei Seitenlängen. Die Seiten AB<br />
und AD sind gleich lang; nämlich jeweils 9 LE.<br />
Die Koordinaten des Punktes C sind: C(−3 | 5 | 8).<br />
Der Diagonalschnittpunkt ist M(0 | 5 | 2).<br />
Aufgabe 1b):<br />
Pyramidenvolumen: VPyr = 360 VE<br />
Kegelvolumen: VKegel = 281 VE<br />
Aufgabe 2:<br />
Die Strecken AC und BD teilen sich im<br />
Verhältnis 2 : 1.<br />
Wahlteil – Analytische Geometrie 2: .<br />
Aufgabe 1a):<br />
Nachweis, dass S die Spitze der Pyramide ist:<br />
Man berechnet den Schnittpunkt der Geraden durch<br />
A, A* mit der Geraden durch B, B* (bzw. C, C*).<br />
Der Schnittpunkt ist S(8| 2 | 40).<br />
Der Punkt D* hat die Koordinaten D*(0 | 3 | 20).<br />
Aufgabe 1b):<br />
Der Flächeninhalt der Wand ABB*A* beträgt<br />
128,0 m 2 .<br />
Die Wand ABB*A* hängt nach außen über. Dies<br />
erkennt man, wenn man die Punkte A* und B* auf<br />
die x1 x2–Ebene projiziert.<br />
x 1<br />
8<br />
6<br />
A*<br />
4<br />
x 3<br />
20<br />
x<br />
16<br />
14<br />
12<br />
10<br />
x<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
A<br />
A*<br />
18<br />
x<br />
B*<br />
x<br />
B*<br />
2<br />
D*<br />
x<br />
x<br />
B<br />
4<br />
x C*<br />
x<br />
D<br />
6 8 10 12 14 16 18<br />
Lösungsübersicht 2006<br />
C<br />
x 2<br />
Noch Wahlteil – Analytische Geometrie 2:<br />
Aufgabe 2:<br />
Lösungsübersicht 2006<br />
(1) Man wählt den Vektor v so, dass die Punktprobe<br />
von S(− 4| 0 | −1) mit der Geraden h erfüllt ist. t ist<br />
ebenfalls frei wählbar. g und h schneiden sich in S<br />
beispielsweise für t = 1 und<br />
⎛ − 6⎞<br />
v = ⎜ − 2⎟<br />
.<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ − 1⎠<br />
(2) Man wählt den Vektor v so, dass die Schnittmenge<br />
zwischen den Geraden g und h leer ist.<br />
Gleichzeitig darf v kein Vielfaches zum Richtungsvektor<br />
von g sein.<br />
Ein möglicher Vektor für eine windschiefe Lage<br />
zwischen g und h ist:<br />
⎛<br />
v = ⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
(3) Einen möglichen Vektor v erhält man, indem<br />
man von A(2 | 2 | 0) das Lot auf die Gerade g fällt.<br />
Der Richtungsvektor v ist dann der Vektor AF .<br />
F ist der Lotfußpunkt.<br />
⎛ − 2,5⎞<br />
Man erhält: v = ⎜ − 2 ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
2,5<br />
⎝<br />
⎠<br />
(Jedes Vielfache von v ist ebenfalls eine Lösung.)<br />
2<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
33
Lösungsübersicht 2007<br />
Pflichtteil: .<br />
34<br />
Aufgabe 1: f’(x) = 2 ⋅ (1 + sin x) ⋅ cos x<br />
ln2<br />
Aufgabe 2: ∫ e<br />
0<br />
2x<br />
dx = 1,5<br />
Aufgabe 3: Substitution: u = e x ; x = ln 5<br />
Aufgabe 4:<br />
a) Punkte mit waagrechter Tangente:<br />
A(0 | 0) ; B(−2 | − 4)<br />
4 11<br />
b) Normalengleichung in P: y = − x +<br />
3 6<br />
Aufgabe 5:<br />
a) f ist monoton wachsend für x ≤ 3, da in diesem<br />
Bereich die Werte f’(x) ≥ 0 sind.<br />
f ist streng monoton fallend für x > 3, da die Werte<br />
f’(x) in diesem Bereich negativ sind.<br />
An der Stelle x = 3 hat f einen Hochpunkt wegen<br />
f’(3) = 0 mit Vorzeichenwechsel von plus nach<br />
minus.<br />
An den Stellen x1 = 0 und x2 = 2 hat f Wendepunkte,<br />
da f’ an diesen Stellen Extrempunkte hat.<br />
b) Schaubild von f:<br />
Aufgabe 6:<br />
y<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
-2 -1 0 1 2 3 4<br />
Das Gleichungssystem hat unendlich viele,<br />
bestimmbare Lösungen. Man kann alle drei<br />
Gleichungen als Koordinatengleichungen dreier<br />
Ebenen betrachten. Die Lösungsmenge des<br />
Gleichungssystems kann als Schnittgerade der<br />
drei Ebenen betrachtet werden.<br />
Aufgabe 7:<br />
Bestimmt man einen Normalenvektor von E, erkennt<br />
man, dass dieser Normalenvektor parallel zum<br />
Normalenvektor von F zeigt. Damit müssen auch<br />
E und F parallel verlaufen.<br />
4<br />
Der Abstand zwischen E und F beträgt LE.<br />
3<br />
Lösungsübersicht 2007<br />
x<br />
Aufgabe 8:<br />
M ist der Lotfußpunkt von S auf E. Man erhält M,<br />
indem man die Lotgerade durch S mit der Ebene E<br />
schneidet. Der Richtungsvektor der Lotgeraden ist<br />
der Normalenvektor von E. Der Radius des Grund-<br />
kreises ist der Abstand von M zu P: r = | MP |<br />
Wahlteil – Analysis 1: .<br />
Aufgabe a):<br />
Aus den Bedingungen f(5) = 95 und f(20) = 56<br />
können die Werte für a und b berechnet werden:<br />
a = 30; b = 800<br />
Schaubild von f:<br />
120<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
y<br />
10 20<br />
Schaubild von f<br />
30 40 50 60 70<br />
Das Sinken der Herstellungskosten kann mit der<br />
ersten Ableitung f’(x) =<br />
− 650<br />
(x + 5)<br />
2<br />
x<br />
bewiesen werden.<br />
Da für alle x ∈ IR \ {−5} der Zähler negativ und der<br />
Nenner positiv ist, ist f’(x) immer negativ. Somit ist<br />
das Schaubild von f streng monoton fallend.<br />
Man erhält: x > 60. Die Herstellungskosten für eine<br />
Produktionseinheit sinken somit ab der 61-ten<br />
Produktionseinheit unter 400 000 Euro.<br />
Die langfristigen Herstellungskosten für eine<br />
Produktionseinheit betragen 300 000 Euro.<br />
Dies folgt aus lim f(x) = 30.<br />
Aufgabe b):<br />
x→ ∞<br />
Man muss die Gleichung f(x) − f(x+1) < 1 lösen.<br />
Man erhält: x > 20.<br />
Somit unterscheiden sich zwei aufeinanderfolgende<br />
Produktionseinheiten ab der 21-ten Produktionseinheit<br />
um weniger als 10 000 Euro.
Noch Wahlteil – Analysis 1:<br />
Der Verkaufspreis einer Packung muss ca. 50 Euro<br />
betragen, wenn die Einnahmen aus den ersten 100<br />
Produktionseinheiten den Herstellungskosten für<br />
100 Produktionseinheiten entsprechen sollen.<br />
Aufgabe c):<br />
Rekursiv definierte Folge: an+1 = 0,82 ⋅ an + 50<br />
Nach der fünften Spritze befindet sich ca. 175 mg<br />
Wirkstoff im Blut.<br />
Langfristig schwankt die Wirkstoffmenge zwischen<br />
228 mg und 278 mg Wirkstoff.<br />
Zeitlicher Verlauf des Wirkstoffs:<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
y in mg<br />
x<br />
x<br />
0 6 12<br />
Wahlteil – Analysis 2: .<br />
Aufgabe a):<br />
Schaubild von f:<br />
-4<br />
-3<br />
-2<br />
-1<br />
x<br />
x<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
y<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
18 24<br />
1<br />
Lösungsübersicht 2007<br />
t in h<br />
2 3 4<br />
4<br />
Wertemenge W von f: ≤ W ≤ 4<br />
3<br />
Die Periode P von f wird von der Periode von<br />
cos(<br />
π<br />
x) bestimmt. Es gilt: P =<br />
2 π<br />
= 4<br />
2<br />
π/ 2<br />
Hoch- und Tiefpunkte von K im Intervall [−4 ; 4]:<br />
H1(−2 | 4) ; H2(2 | 4);<br />
4 4 4<br />
T1(− 4 | ); T2(0 | ); T3(4 | )<br />
3 3 3<br />
x<br />
Aufgabe b):<br />
Bedingungen für g(x):<br />
4<br />
g(−2) = 4 ; g(0) = ; g(2) = 4<br />
3<br />
Die Lösung des entsprechenden LGS ergibt:<br />
2 2 4<br />
g(x) = x +<br />
3 3<br />
Lösungsübersicht 2007<br />
Die stärkste Abweichung der Näherungsfunktion g<br />
von f ist das Maximum der Funktion h mit<br />
h(x) = |g(x) − f(x)|. Mit dem GTR erhält man:<br />
x1 ≈ −1,7 und x2 ≈ 1,7<br />
Die jeweilige Abweichung an diesen Stellen ist:<br />
h(−1,7) ≈ 0,35 und h(1,7) ≈ 0,35<br />
Der mittlere Betrag der Abweichung im Intervall<br />
1<br />
[−2 ; 2] ist: 4<br />
Aufgabe c):<br />
−2<br />
∫<br />
−2<br />
| f(x) − g(x) | dx ≈ 0,1031<br />
Volumen des Rotationskörpers:<br />
4<br />
4 2<br />
V = π ∫ [ f(x) − ] dx ≈ 22,35<br />
3<br />
0<br />
4<br />
Gleichung des an y = gespiegelten Schaubilds:<br />
3<br />
f(x) =<br />
− 4<br />
2 + cos(<br />
π<br />
x)<br />
2<br />
8<br />
+<br />
3<br />
Wahlteil – Analysis 3: .<br />
Aufgabe a):<br />
Schaubild von f:<br />
10<br />
0<br />
y in Pers./min<br />
10 20 30 40 50 60<br />
t in min<br />
Am meisten Besucher kommen nach 16,67 Minuten;<br />
also ca. um 19.17 Uhr. Dann kommen 10 Personen<br />
pro Minute.<br />
Weniger als 3 Personen pro Minute kommen ab<br />
dem Zeitpunkt, an dem gilt: f(x) ≤ 3. Das ist nach<br />
ca. 42,5 Minuten der Fall. Also etwa um 19.43 Uhr.<br />
35
Lösungsübersicht 2007<br />
Aufgabe b):<br />
g(x) muss eine Stammfunktion von f(x) sein.<br />
Es muss also gelten: g’(x) = f(x).<br />
Ableiten von g(x) liefert den gesuchten Nachweis.<br />
Die maximale Anzahl der Personen, die ins Kino<br />
kommen, ist: g(x)<br />
x lim →∞<br />
Aufgabe c):<br />
Die Wartezeit um 19.20 Uhr ist:<br />
36<br />
= 312,5 ≈ 313 Personen<br />
Lösungsübersicht 2007<br />
g(20)<br />
≈ 22,5 min.<br />
6<br />
Für die Zahl w der Wartenden ab 19.20 Uhr gilt in<br />
Abhängigkeit von der Zeit t (für t > 20):<br />
t<br />
w(t) = g(20) + ∫ f(t)dt − 6 (t − 20) = g(t) − 6 (t − 20)<br />
20<br />
Am größten wird w(t) etwa 32 Minuten nach<br />
19.00 Uhr; also um 19.32 Uhr.<br />
Dann warten w(32) = 158,5 ≈ 159 Personen.<br />
Die Warteschlange hat sich nach ca. 71,6 Minuten<br />
aufgelöst, also um 20.12 Uhr. Dies ergibt sich aus<br />
der Bedingung w(t) = 0.<br />
Aufgabe d):<br />
In der Zeit zwischen 19.00 Uhr und 20.30 Uhr<br />
kommen g(90) ≈ 312 Personen an. Wenn diese<br />
Personen in der Zeit zwischen 19.50 Uhr und<br />
20.30 Uhr eingelassen werden sollen, müssen<br />
pro Minute mindestens<br />
312<br />
= 7,8 ≈ 8 Personen<br />
40<br />
abgefertigt werden.<br />
Wahlteil – Analytische Geometrie 1: .<br />
Aufgabe 1a):<br />
Die Spurpunkte der Ebene E sind:<br />
S1(8 | 0 | 0), S2(0 | 8 | 0), S3(0 | 0 | 4).<br />
x 1<br />
S 1<br />
8<br />
x 3<br />
4<br />
2<br />
S 3<br />
E<br />
2 4 6 8<br />
Der Neigungswinkel des Hangs beträgt 35,3°.<br />
Der Verankerungspunktes V ist: V(<br />
13<br />
|<br />
7<br />
|<br />
2<br />
)<br />
3 3 3<br />
Die Länge des Stahlseils ist 40,82 m.<br />
H<br />
S 2<br />
x 2<br />
Aufgabe 1b):<br />
Q sei der Punkt der Schattenlinie, wo der Schatten<br />
einen Knick macht – also an der Kante zwischen der<br />
Hangebene und der x1x2–Ebene. Die Gesamtlänge ist<br />
dann HQ + QT . Man berechnet die Lage von Q,<br />
indem man die Ebene F, die durch die Punkte H, T<br />
und die Mastspitze P gegeben ist, mit der<br />
Spurgeraden durch S1 und S2 schneidet.<br />
Aufgabe 1c):<br />
k =<br />
10<br />
. Der Mast ist also bei ca. 33,3 m abgeknickt.<br />
3<br />
Aufgabe 2:<br />
Wenn man ein Koordinatensystem mit Ursprung in M<br />
legt und die Kante des kleinen Quadrats mit a bezeichnet,<br />
kann man Q und P in Abhängigkeit von a<br />
angeben: Q(−a|0,5a), P(0,5a|a)<br />
Wegen MQ ⋅ MP = 0 sind die Strecken MP und MQ<br />
orthogonal. Sie sind gleich lang, weil die Beträge<br />
der Vektoren MQ und MP gleich sind.<br />
Wahlteil – Analytische Geometrie 2: .<br />
Aufgabe a):<br />
Die Koordinaten der Punkte C, E, G und H sind:<br />
C(3|5|0), E(0|0|4), G(3|5|4), H(0|5|4)<br />
Der Abstand zwischen den Kanten AB und GH ist die<br />
Länge d der Diagonale des Rechtecks BCGF. Mit dem<br />
Satz des Pythagoras erhält man: d = 41 ≈ 6,4 LE<br />
Berechnet man die Schnittmenge zwischen der<br />
Geraden durch E und H mit der Ebene Et , erhält<br />
man unabhängig von t immer unendlich viele<br />
Lösungen. Somit liegt die Gerade durch E und H in<br />
jeder Ebene Et. (Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Bei geschlossener Kiste lautet die Koordinatengleichung<br />
der Deckelebene: x 3 = 4. Das ist E 0.<br />
Bei einer Öffnung von 90° liegt der Deckel in der<br />
x 2x 3–Ebene: x 1 = 0. Diese Ebenengleichung stimmt für<br />
kein t mit einer Ebene E t überein.<br />
Aufgabe b):<br />
Die Koordinaten des Punktes P sind: P(0,3|0|4,6)<br />
Aufgabe c):<br />
Wenn der Deckel in der Ebene E2 liegt, beträgt der<br />
Öffnungswinkel 63,4°.<br />
Bei einem Öffnungswinkel von 60° liegt der Deckel<br />
in der Ebene Et mit t = 3 .<br />
Für den Parameter t gilt in Abhängigkeit von α :<br />
t(α) = tan α<br />
Aufgabe d): Maximaler Öffnungswinkel: αmax = 21,2°
Pflichtteil: .<br />
Aufgabe 1: f’(x) =<br />
(2x<br />
− 12x<br />
2<br />
− 3)<br />
3<br />
Aufgabe 2: G(x) = 2x + cos (4x) + 0,25<br />
4<br />
Aufgabe 3: Substitution: u = x 2 ; x1 = 3 ; x2 = − 3<br />
Aufgabe 4: h(x) = x 2 + 2x − 3<br />
Aufgabe 5:<br />
a) Zur Funktion f gehört Bild 2, da nur f wegen des<br />
Nenners x + a eine senkrechte Asymptote haben<br />
kann.<br />
Zur Funktion g gehört Bild 3, da das Schaubild von g<br />
die waagrechte Asymptote y = −2 hat.<br />
Zur Funktion h gehört Bild 4, da das Schaubild von h<br />
eine Parabel ist (Bild 1 stellt wegen des Wendepunkts<br />
keine Parabel dar.)<br />
b) a = 1 und b = 2. Der Wert für a ergibt sich aus<br />
der senkrechten Asymptote x = −1. Den Wert für b<br />
erhält man mit einer Punktprobe mit O(0|0) in<br />
−0,5x<br />
g(x) = −2 + b ⋅ e .<br />
Aufgabe 6:<br />
Der gesuchte Abstand d der parallelen Geraden ist<br />
der Abstand eines Punktes von h zur Geraden g.<br />
Zum Beispiel der Abstand von A(1|2|5) zu g.<br />
Man erhält: d = 5 LE.<br />
Aufgabe 7:<br />
Bestimmt man die Schnittmenge zwischen g und E,<br />
erhält man als Lösung die leere Menge. Somit muss<br />
g parallel zu E verlaufen.<br />
Aufgabe 8:<br />
Zunächst vergleicht man die Lage der beiden Normalenvektoren<br />
zueinander. Wenn die Normalenvektoren<br />
n1 und n2 parallel zueinander sind, sind<br />
beide Ebenen parallel zueinander oder identisch.<br />
Wenn die Normalenvektoren nicht parallel sind,<br />
schneiden sich die Ebenen in einer Geraden.<br />
Im Fall paralleler Normalenvektoren muss man<br />
prüfen, ob der durch p1 gegebene Punkt P1 der<br />
Ebene E1 auf der Ebene E2 liegt. Dazu macht man<br />
eine Punktprobe mit P1 in (x − p2) . n2 = 0.<br />
2<br />
Lösungsübersicht 2008<br />
Wahlteil – Analysis 1: .<br />
Aufgabe 1:<br />
a) Schaubild von f:<br />
y<br />
3<br />
2<br />
1<br />
-2 -1<br />
1 2 3 4<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
.<br />
W<br />
Staumauer<br />
Lösungsübersicht 2008<br />
Die steilste östliche Stelle ist im Wendepunkt<br />
W(2|−1,125). Die Steigung ist f’(2) = 1,5.<br />
Westliche Stelle mit der Steigung m = −1,5:<br />
Die Lösung der Gleichung f’(x) = −1,5 ergibt:<br />
x = 2 − 2 2 ≈ −0,83<br />
Zur Berechnung der Breite der Staumauer müssen<br />
die ersten beiden Nullstellen berechnet werden.<br />
Man erhält: x1 = 0,5 − 0,5 21 ≈ −1,79<br />
und x2 = 0,5 + 0,5 21 ≈ 2,79.<br />
Damit beträgt die Breite der Staumauer 4,58 LE.<br />
Flächeninhalt der Staumauer:<br />
2,79<br />
3<br />
2<br />
| − 0,125x + 0,75x − 3,125 dx | ≈ 9,02 FE.<br />
A = ∫<br />
b)<br />
−1,79<br />
Man muss vom Tiefpunkt T(0|−3,125) eine Tangente<br />
an die Kurve legen. Die Gerüsthöhe ist dann die<br />
Höhe, um die die Tangente an der Stelle x = 4 über<br />
dem Hochpunkt H(4|0,875) liegt.<br />
Tangentengleichung: t(x) = 1,125x − 3,125<br />
Mit t(4) = 1,375 folgt für die Mindesthöhe:<br />
h1 = 1,375 − 0,875 = 0,5 LE (= 50 m).<br />
Zur Berechnung der Gerüsthöhe bei einer Beleuchtung<br />
des ganzen Tals muss die Wendetangente<br />
berechnet werden. Man erhält: w(x) = 1,5x − 4,125<br />
Mit w(4) = 1,875 folgt für die Mindesthöhe:<br />
h2 = 1,875 − 0,875 = 1,0 LE (= 100 m).<br />
Aufgabe 2: Ableiten von g(x) =<br />
g’(x) =<br />
2<br />
(1 − 2x)<br />
2<br />
1<br />
1 − 2x<br />
5<br />
ergibt:<br />
. Für n = 1 ist die Formel demnach<br />
erfüllt. Zum Induktionsschluss muss man<br />
(n)<br />
g (x) = n ! ⋅<br />
n<br />
2<br />
n + 1<br />
(1 − 2x)<br />
ableiten.<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
x<br />
37
Lösungsübersicht 2008<br />
Wahlteil – Analysis 2: .<br />
a) Maximale Außentemperatur um 14.30 Uhr,<br />
minimale Außentemperatur um 2.30 Uhr.<br />
Dauer mit höchstens 22°C Außentemperatur:<br />
ca. 13 Stunden<br />
Der größte Temperaturanstieg ist um 8.30 Uhr.<br />
Die durchschnittliche Temperatur im Freien<br />
zwischen 6 Uhr und 18 Uhr beträgt ca. 25°C.<br />
b) g(x) = −3⋅sin [<br />
π<br />
12<br />
x ] + 18<br />
Spiegeln an der x-Achse ergibt y = −sin x;<br />
Amplitude = 3 ergibt y = −3sin x ; mit der<br />
Periode P = 24 erhält man y = −3⋅ sin [<br />
π<br />
12<br />
x ]; und<br />
schließlich verschiebt man das Schaubild um 18 LE<br />
parallel zur y-Achse nach oben und erhält den<br />
Funktionsterm von g.<br />
Ursache der Temperaturverschiebung:<br />
Der Temperaturausgleich durch die Hauswände<br />
dauert eine gewisse Zeit.<br />
Der größte Unterschied zwischen Außen- und<br />
Innentemperatur ist bei x = 13,1 å 13.06 Uhr.<br />
c) Aus den Bedingungen h(24) = f(24) und<br />
h’(24) = f’(24) erhält man: a = 0,3187 und b = 14,94<br />
Das Integral über dem Sinus-Term der Funktion h<br />
ergibt 0. (Details siehe ausführliche Lösung.)<br />
Wahlteil – Analysis 3: .<br />
Aufgabe 1:<br />
a) Zur Hälfte gefüllt nach ca. 69,3 Minuten.<br />
Zunahme der Flüssigkeitsmenge wegen<br />
f’(t) = 8 ⋅ e −0,01 t > 0 für alle t ∈ IR.<br />
Die mittlere Flüssigkeitsmenge während der ersten<br />
Stunde ist ca. 398,4 Liter.<br />
Die Vorschrift wird eingehalten, da f(t) < 1020 Liter<br />
ist (Details siehe ausführliche Lösung).<br />
b) Die Werte für a und b sind: a = 10 und b = 0,01<br />
Einsetzen von f(t) für B(t) und f’(t) für B’(t) in die<br />
Differenzialgleichung ergibt eine wahre Aussage.<br />
−0,02 t<br />
c) Neuer Funktionsterm: B(t) = 600 − 400 ⋅ e<br />
Abgeflossene Menge nach einer Stunde: 440,5 Liter<br />
Aufgabe 2:<br />
Bedingung für monotones Wachstum ist an+1 > an.<br />
Einsetzen von an+1 = 10 + 0,8 ⋅ an ergibt eine wahre<br />
Aussage.<br />
Weil die Folge monoton und beschränkt ist, muss<br />
sie auch konvergent sein. Der Grenzwert ist g = 50.<br />
38<br />
Lösungsübersicht 2008<br />
Wahlteil – Analytische Geometrie 1: .<br />
a) Koordinatengleichung der Ebene:<br />
E: 5x1 + 5x2 − 4x3 = 80<br />
Winkel zwischen den Grundflächen von Würfel und<br />
Pyramide: α = 119,5° (stumpfer Winkel)<br />
bzw. � = 60,5° (spitzer Winkel)<br />
Die Pyramidenhöhe liegt nicht auf der Diagonalen<br />
PS, da PS nicht senkrecht auf E steht.<br />
b) Das Pyramidenvolumen macht 8 % des<br />
Würfelvolumens aus.<br />
c) Das Quadervolumen bei b = 4 ist V(4) = 133, 3 .<br />
Quadervolumen in Abhängigkeit von b:<br />
50<br />
V(b) = −<br />
3<br />
b 2 + 100 b; mit 0 ≤ b ≤ 6.<br />
Das maximale Volumen beträgt 150 VE, das kleinste<br />
Volumen beträgt 0 VE. Das heißt: 0 ≤ V(b) ≤ 150<br />
Wahlteil – Analytische Geometrie 2: .<br />
Aufgabe 1:<br />
a) Prisma im Koordinatensystem:<br />
x 1<br />
C<br />
A<br />
H<br />
x 3<br />
F<br />
B<br />
Ebene E: 4x2 + 3x3 = 12<br />
Schnittwinkel mit x1x2–Ebene: � = 53,13°<br />
b) Abstände des Punktes M von den Seitenflächen:<br />
Abstand d1 zur x1x2 – Ebene: d1 = 0,5<br />
Abstand d2 zur x1x3 – Ebene: d2 = 0,5<br />
Abstand d3 zur Ebene E: d3 = 1,7<br />
Der Zylinder berührt somit nur die x1x2 – Ebene und<br />
– Ebene, aber nicht die Ebene E.<br />
die x1x3<br />
Der gesuchte Radius ist r = 1 LE.<br />
Aufgabe 2:<br />
Das Viereck ABCD ist ein gleichschenkliges Trapez.<br />
(Die Seitenlängen des Trapezes sind willkürlich.)<br />
Die Diagonalen AC und BD teilen sich im Verhältnis<br />
2 : 5.<br />
(Details siehe ausführliche Lösung.)<br />
G<br />
x 2
Pflichtteil: .<br />
Aufgabe 1: f’(x) = 2x ⋅ sin(3x+1) + 3x 2 ⋅ cos(3x + 1)<br />
9<br />
Aufgabe 2: ∫<br />
4<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
− 1<br />
x<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
dx<br />
= 1<br />
1<br />
Aufgabe 3: x1 = 2, x2 = −2 und x3 = ln 6<br />
2<br />
Aufgabe 4: Wendetangente t: y = 2x − 4<br />
Aufgabe 5:<br />
a) F hat 2 Extremstellen und einen Wendepunkt.<br />
Keine Aussage über Nullstellen möglich.<br />
(Begründung siehe ausführliche Lösungen.)<br />
b) Begründung mithilfe des entsprechenden<br />
Flächeninhalts im Schaubild von f.<br />
(Begründung siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Aufgabe 6:<br />
Die drei Vektoren sind linear unabhängig.<br />
Aufgabe 7:<br />
a) Spurpunkte: S1(4|0|0) und S2(0|4|0)<br />
(Zeichnung siehe ausführliche Lösungen)<br />
b) Die Gerade g liegt in der Ebene E.<br />
c) Abstand d = 2 2<br />
Aufgabe 8:<br />
Für den Ortsvektor des Bildpunkts A’ gilt:<br />
OA' = OA + 2 AF<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Wahlteil – Analysis 1: .<br />
Aufgabe 1a):<br />
Eine waagrechte Asymptote: y = 6<br />
Zwei senkrechte Asymptoten: x = − 4 und x = 4<br />
Nullstellen:<br />
x1 ≈ 4,48; x2 ≈ −4,48; x3 ≈ 3,45; x4 ≈ −3,45<br />
(Schaubild siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Nachweis von genau einer Extremstelle mit der<br />
ersten Ableitung f’(x) =<br />
Aufgabe 1b):<br />
(x<br />
2<br />
400x<br />
− 16)<br />
Brückenvolumen V = 10 m ⋅ 38 m 2 = 380 m 3 .<br />
Aufgabe 1c):<br />
Der kürzeste Abstand zur Wandfläche ist 1,38 m.<br />
3<br />
.<br />
Lösungsübersicht 2009<br />
Noch Wahlteil – Analysis 1:<br />
Aufgabe 2:<br />
Lösungsübersicht 2009<br />
Der Induktionsschritt gelingt mit der Umformung<br />
5 0 + 5 1 + 5 2 + . . . + 5 n + 5 n+1 =<br />
⇔ 5 0 + 5 1 + 5 2 + . . . + 5 n + 5 n+1 =<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Wahlteil – Analysis 2: .<br />
Aufgabe 1a):<br />
Schaubild von f:<br />
y<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
2 3 4<br />
Die Periode von f ist P = 2.<br />
Hoch- und Tiefpunkte:<br />
H(1+2z | 2) und T(2z | 0) mit z ∈ Z.<br />
x<br />
n + 1<br />
5 − 1<br />
+ 5<br />
4<br />
n+1<br />
n + 2<br />
5 − 1<br />
Im Intervall [0; 2] ist f(x) = 1 für x0 = 0,5 und x1 = 1,5.<br />
Aufgabe 1b):<br />
Die gesuchten Werte sind a = 1 und b = π.<br />
Damit ist f(x) = 1 − cos (πx)<br />
Der Flächeninhalt ist A = ∫1<br />
− cos( πx)<br />
dx = 2.<br />
Aufgabe 1c):<br />
Es ist: g(x) = 4x 3 − 18x 2 + 24x − 8<br />
2<br />
0<br />
Die stärkste Abweichung zwischen f und g ist an den<br />
Stellen x1 ≈ 1,28 und x2 ≈ 1,72.<br />
Aufgabe 2:<br />
h<br />
Es ist H(h) = 100 ⋅ .<br />
2 1,5<br />
(h + 25)<br />
Das Maximum von H liegt bei hmax = 3,54 m.<br />
Dies ist die gesuchte Lampenhöhe.<br />
4<br />
39
Lösungsübersicht 2009<br />
Wahlteil – Analysis 3: .<br />
Aufgabe a):<br />
Die größte Temperatur ist nach 10 Stunden<br />
erreicht. Sie beträgt dann ca. 40,2°C.<br />
Fieberkurve:<br />
40<br />
39<br />
38<br />
37<br />
40<br />
f(t) in °C<br />
4<br />
8 12 16<br />
20 24 28 32 36 40 44 48<br />
Stärkste Zunahme der Temperatur bei t = 0.<br />
Stärkste Abnahme der Temperatur bei t = 20.<br />
Aufgabe b):<br />
Nach ca. 45 h sinkt die Temperatur unter 37°C.<br />
Lösungsübersicht 2009<br />
t in h<br />
Die Funktion f ist für t > 10 streng monoton fallend.<br />
Somit bleibt die Temperatur für t > 45 unterhalb<br />
von 37°C.<br />
45<br />
1<br />
Mittlere Temperatur TM = ∫ 45 − 0<br />
0<br />
f(x) dx ≈ 38,6°C<br />
2-Stunden-Zeitraum mit 1 Grad Temperaturzunahme:<br />
2,18 ≤ t ≤ 4,18<br />
Aufgabe c):<br />
Funktion g mit g(t) = 36,5 + 3⋅e −0,228 t .<br />
Zeitpunkt mit einer Körpertemperatur, die um<br />
1 Grad niedriger ist: t ≈ 1,13 h<br />
(gemessen vom Zeitpunkt der Medikamenteneinnahme)<br />
Wahlteil – Analytische Geometrie 1: .<br />
Aufgabe a):<br />
Punkt um 7.01 Uhr: A(10|27|6)<br />
Nachweis des Sinkflugs: Die x3-Koordinate x3 = 7 − t<br />
nimmt mit der Zeit ab.<br />
Geschwindigkeit v ≈ 224,5 km/h<br />
Anflugwinkel α ≈ 15,5°<br />
Uhrzeit der Landung: um 7.07 Uhr<br />
Ort der Landung: bei L(28|15|0)<br />
Aufgabe b):<br />
Der Anflug ist optimal. Nachweis: R2 liegt in der<br />
Ebene, die von R1 und f1 aufgespannt wird.<br />
Um 7.04 Uhr entfernt sich das Flugzeug wieder<br />
von R1.<br />
Noch Wahlteil – Analytische Geometrie 1:<br />
Aufgabe c):<br />
Um 7.04 Uhr beträgt der Abstand beider Flugzeuge<br />
ca. 8,31 km.<br />
Die geringste Entfernung beider Flugzeuge beträgt<br />
ca. 7,89 km.<br />
Wahlteil – Analytische Geometrie 2: .<br />
Aufgabe 1a):<br />
Pyramidenstumpf im Koordinatensystem:<br />
x 1<br />
-6<br />
Q<br />
P<br />
12<br />
6<br />
P*<br />
-2<br />
x 3<br />
Q*<br />
-1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1 2 3<br />
Die Deckfläche ist nicht parallel zur x1x2-Ebene, da<br />
P* eine andere x3-Koordinate hat als Q* und R*.<br />
Der Winkel zwischen QQ* und der x1-Achse beträgt<br />
ca. 14,0°.<br />
Der Punkt S(0|0|3) ist die Spitze der ursprünglichen<br />
Pyramide, da sich die Geraden durch die Kanten<br />
PP*, QQ* und RR* in S(0|0|3) schneiden.<br />
Aufgabe 1b):<br />
Der Abstand des Punktes Q* von der Geraden durch<br />
Q und R beträgt ca. 5,12 LE.<br />
Die Seitenfläche QRR*Q* ist ein Trapez, weil die<br />
Seiten QR und Q*R* parallel zueinander sind.<br />
Der Flächeninhalt des Trapezes QRR*Q* beträgt<br />
ca. 40,1 FE.<br />
Aufgabe 2:<br />
Der Nachweis kann mit dem Ansatz OB ⋅ CT = 0 oder<br />
mit trigonometrischen Überlegungen erbracht<br />
werden.<br />
S<br />
2<br />
R*<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
4<br />
5<br />
R<br />
6<br />
x 2
Pflichtteil: .<br />
Aufgabe 1: f’(x) = e −x ⋅ (3x − 5)<br />
⎛ 2<br />
Aufgabe 2: ∫ ⎜ + 4x<br />
x<br />
e<br />
1<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟ dx<br />
⎠<br />
= 2e 2<br />
Aufgabe 3: x1 = 1, x2 = 0,5 und x3 = −3<br />
Aufgabe 4: waagrechte Asymptote: y = −4 ;<br />
senkrechte Asymptote: x = 0<br />
Tangentengleichung: y = −2x − 1<br />
Schnitt mit x-Achse: N(−0,5|0)<br />
Aufgabe 5:<br />
a) Begründung mit Symmetrie zur y-Achse und mit<br />
der waagrechten Asymptote y = −1;<br />
gesuchter a-Wert: a = 3<br />
b) Abbildung 3 gehört zu f’; Abbildung 4 gehört zu I.<br />
(Begründung siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Aufgabe 6:<br />
Die Punkte A, B, C und D liegen in einer Ebene.<br />
Nachweis: Der Punkt D liegt in der von A, B und C<br />
gebildeten Ebene.<br />
Aufgabe 7: a) Der Abstand von P zu E ist d = 6.<br />
b) Q(−11|6|1)<br />
Aufgabe 8: Spiegeln eines Punktes A von g an der<br />
Ebene E. Die Gerade g’ geht dann durch S und A’.<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Wahlteil – Analysis 1: .<br />
Aufgabe 1a):<br />
Breite des Walls am Fuß: ca. 12,64 m<br />
Nachweis der Symmetrie zur y-Achse mit<br />
f(x) = f(−x).<br />
Das maximale Gefälle ist kleiner als 1 bzw.100 %.<br />
Nachweis mit der Ableitungsfunktion f’.<br />
Aufgabe 1b):<br />
Volumen des Walls: V = 12985 m 3 ≈ 13000 m 3 .<br />
Breite des Fahrwegs: 4 m<br />
Verlängerung des abgeflachten Walls: ca. 55,56 m<br />
Aufgabe 1c):<br />
Neigungswinkel des neuen Fahrwegs: α ≈ 5,71°<br />
Höhe des linken Rands: ca. 2,8 m<br />
Aufgabe 2:<br />
Der Induktionsschritt wird durch Ableiten von<br />
f (k) (x) = (x + k) ⋅ e x mit der Produktregel vollzogen.<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Lösungsübersicht 2010<br />
Wahlteil – Analysis 2: .<br />
Aufgabe a):<br />
Nullstellen von f: xn = 2n mit n ∈ Z<br />
Lösungsübersicht 2010<br />
Wie Kf aus dem Schaubild der Kosinusfunktion<br />
hervorgeht:<br />
1. Stauchen in x-Achsenrichtung mit b = π,<br />
2. Spiegeln an der x-Achse,<br />
3. Verschieben um 1 LE in y-Achsenrichtung<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
1<br />
0<br />
y<br />
Aufgabe b):<br />
Schaubild von g<br />
1 2 3 4<br />
Der höchste Punkt ist ca. 0,61 m hoch.<br />
Die größte Steigung der Bahn ist bei x ≈ 0,44 m.<br />
Wasservolumen: VW ≈ 19,1 Liter<br />
Aufgabe c):<br />
Parabelgleichung: p(x) = −0,162x 2 + 1,162x − 0,191<br />
Maximale Höhe der Flugbahn: ca. 1,89 m<br />
Funktionsgleichung für neuen Bahnverlauf:<br />
y = 0,2 sin [ 2<br />
3 π (x − 3<br />
1 )] + 0,2 oder<br />
3<br />
y = −0,2 cos [ π x] + 0,2<br />
2<br />
Die durchschnittlichen Höhen der beiden Bahnen<br />
sind gleich groß: 0,2 m.<br />
Wahlteil – Analysis 3: .<br />
Aufgabe a):<br />
Die höchste Geschwindigkeit des Motorboots<br />
beträgt 240 m/min.<br />
300<br />
200<br />
100<br />
0<br />
y in m/min<br />
H<br />
1 2<br />
Schaubild von v<br />
3 4 5<br />
x<br />
t in min<br />
Die stärkste Abnahme der Geschwindigkeit ist bei<br />
ca. t = 1,39 min. (Nachweis mit der ersten Ableitung v’)<br />
41
Lösungsübersicht 2010<br />
Noch Wahlteil – Analysis 3:<br />
Die mittlere Geschwindigkeit des Motorboots in den<br />
ersten 5 Minuten beträgt ca. 94,7 m/min.<br />
Das Motorboot fährt ca. 1,32 min lang schneller als<br />
das Segelboot.<br />
Aufgabe b):<br />
Nach 2 min hat das Motorboot ca. 359 m<br />
zurückgelegt.<br />
Funktionsterm für die Strecke:<br />
t<br />
s(t) = ∫<br />
0<br />
42<br />
v(x) dx = −960⋅e − t + 480⋅e −2 t + 480<br />
Die Gesamtstrecke des Motorboots beträgt nach<br />
diesem Modell nur 480 m.<br />
Der Zeitpunkt, an dem das Motorboot das Segelboot<br />
überholt ist t* ≈ 0,58 min.<br />
Aufgabe c):<br />
Nach diesem Modell kommt das Motorboot nach ca.<br />
3,64 min zum Stillstand.<br />
(Tangentengleichung: y = −63,25 t + 230,4)<br />
Das Segelboot kommt nach ca. 3,02 min zum<br />
Stehen. (Berechnung durch Integration über die<br />
Geschwindigkeit. Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Wahlteil – Analytische Geometrie 1: .<br />
Aufgabe a):<br />
Wegen AB = BC = 20 ist ABC gleichschenklig.<br />
Mit OD = OA + BC erhält man: D(4|4|−2)<br />
Innenwinkel der Raute:<br />
α = γ = 101,5° und β = δ = 78,5°<br />
Nachweis, dass ABCD in der Ebene E liegt durch<br />
Punktprobe mit allen Punkten A, B, C und D.<br />
Ebene F: x1 − x2 = 0<br />
Pyramide P 3<br />
x 1<br />
6<br />
C<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
5<br />
4<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
x 3<br />
B<br />
1<br />
A<br />
2 3 4 5 6<br />
x<br />
D<br />
S 3(6|6|8)<br />
Lösungsübersicht 2010<br />
x 2<br />
Noch Wahlteil – Analytische Geometrie 1:<br />
Nachweis, dass die Ebene F eine Symmetrieebene<br />
der Pyramide P3 ist: Da die Punkte B, D und S3 in der<br />
Ebene F liegen, muss man zeigen, dass die Punkte A<br />
und C spiegelsymmetrisch bezüglich der Ebene F<br />
sind. (Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Aufgabe c):<br />
Gesuchter t-Wert: t = 3<br />
Durchstoßpunkte der Spitze des Dreiecks ACS3:<br />
P(2 − 4 3 |2 − 4 3 |0) und Q(2 + 4 3 |2 + 4 3 |0)<br />
Wahlteil – Analytische Geometrie 2: .<br />
Aufgabe 1a):<br />
Schnittpunkt von g mit der x1x2-Ebene: D(2|6|0)<br />
Die Gerade g geht durch die Punkte D(2|6|0) und<br />
C(5|0|3).<br />
g<br />
x 1<br />
C x<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
x 3<br />
1<br />
2 3 4 5 6<br />
Schnittwinkel zwischen g und der x1x2-Ebene: α = 24,1°<br />
Der Punkt F ist der Lotfußpunkt von A auf g: F(3|4|1)<br />
Eine Gleichung von h ist: x =<br />
Aufgabe 1b):<br />
Begründung: g steht senkrecht auf AF.<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
6<br />
8<br />
6<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
D x<br />
⎛ 1<br />
+ s ⋅ ⎜ − 2<br />
⎜<br />
1<br />
Nachweis: Die Ebene E: 3x1 + 4x2 + 5x3 = 30 steht<br />
senkrecht auf der Strecke AF und enthält den Punkt F.<br />
Die Punkte P und Q liegen auf derselben Seite der<br />
Ebene E: 3x1 + 4x2 + 5x3 = 30.<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Aufgabe 2:<br />
Der Punkt S teilt die Strecke CD im Verhältnis 5 : 3.<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
x 2
Lösungsübersicht 2011<br />
Lösungsübersicht 2011<br />
Die aktualisierte Auflage erscheint<br />
Mitte September 2011.<br />
43
Register<br />
Ableitungen: 2004/P1, 2005/P1, 2006/P1, 2007/P1,<br />
2008/P1, 2009/P1, 2010/P1<br />
Änderungsrate und Integral:<br />
2004/A2-1, 2004/A3-1c, 2005/A1-1b, 2005/A3-1a,<br />
2007/A3-b, 2010/A3-b, 2010/A3-c<br />
Asymptoten:<br />
→ senkrechte: 2005/P4, 2005/P5, 2009/A1-1a<br />
→ waagrechte: 2004/A1-1a, 2004/A3-1a, 2005/P4,<br />
2005/A1-1c, 2005/A3-1a, 2005/A3-1b, 2007/A1-a,<br />
2009/A1-1a, 2010/P4<br />
Aussagen über eine Funktion treffen:<br />
Anhand von f’ über f: 2004/P5, 2006/P5, 2007/P5<br />
Anhand von f über F: 2009/P5<br />
Differenzialgleichung: 2005/A3-2, 2008/A3-1b<br />
Durchschnitt: → Mittelwert<br />
Extremwert berechnen: 2005/A2-b, 2006/A1-b,<br />
2006/A2-1b, 2007/A2-b, 2008/A2-b, 2009/A1-1c,<br />
2009/A2-1c, 2009/A2-2, 2010/A2-1c<br />
Flächenberechnung mit Integralen:<br />
2005/A2-a, 2006/A2-2a+b, 2008/A1-a, 2009/A1-1b,<br />
2009/A2-1b, 2010/A1-1b, 2010/A2-b<br />
Folgen (beschränkt): 2007/A1-c, 2008/A3-2<br />
Funktionsterme bzw. -gleichungen aufstellen:<br />
2005/A1-1a, 2005/A2-a, 2006/P4, 2006/A1-a+c, 2006/A3-d,<br />
2007/A1-a, 2007/A2-b, 2008/P4, 2008/A2-b, 2008/A2-c,<br />
2008/A3-1c, 2009/A2-1b, 2009/A2-1c, 2009/A3-c,<br />
2010/A2-c<br />
Funktionsterme zuordnen: 2005/P5, 2008/P5, 2010/P5<br />
Gleichungen lösen: 2004/P3, 2005/P3, 2006/P3, 2008/P3,<br />
2009/P3, 2010/A1-1c<br />
Gleichungssysteme lösen: 2005/P6, 2007/P6, 2009/A2-1c,<br />
2010/A2-c<br />
Hoch- und Tiefpunkte: 2004/A2-2b, 2004/A3-1b,<br />
2006/A3-a, 2006/A3-b, 2007/A2-a, 2008/A2-a, 2009/A1-1a,<br />
2009/A2-1a, 2009/A3-a, 2010/A2-b, 2010/A2-c, 2010/A3-a<br />
Integrale berechnen: 2004/A2-1, 2004/A3-1c, 2005/A1-1b,<br />
2005/A2-a, 2006/A2-2a+b, 2007/P2, 2007/A1-b, 2007/A2-c,<br />
2009/P2, 2010/P2, 2010/A1-1b<br />
Integration über eine Änderungsrate: → Änderungsrate<br />
Kettenregel: 2006/P1, 2007/P1<br />
Mittelwert: 2006/A3-a, 2007/A2-b, 2008/A2-a, 2008/A2-c,<br />
2008/A3-1a, 2009/A3-b, 2010/A2-d, 2010/A3-a<br />
Monotonie (Nachweis): 2004/P5, 2005/A3-1a, 2007/P5,<br />
2008/A3-1a, 2009/A3-b<br />
Normalengleichungen: 2005/P4, 2007/P4<br />
Nullstellen: 2004/P4, 2006/A3-b, 2008/A1-1a, 2009/A1-1a,<br />
2010/P3, 2010/A1-1a, 2010/A2-a, 2010/A3-a<br />
Ortskurve: 2004/A3-1b<br />
44<br />
Register: Analysis<br />
Periodendauer: 2004/A2-1, 2006/A2-a, 2007/A2-a,<br />
2009/A2-1a, 2010/A2-d<br />
Polynomdivision: 2006/P3, 2010/P3<br />
Produktregel: 2005/P1, 2004/A3-2, 2009/P1, 2010/P1,<br />
2010/A1-1a, 2010/A1-2, 2010/A2-2b<br />
Quotientenregel: 2004/P1, 2008/P1<br />
Rotationsvolumen: 2007/A2-c<br />
Schaubilder zuordnen: → Funktionsterme zuordnen<br />
Schnittpunkte: 2005/A1-1c, 2006/A1-b, 2006/A2-1a,<br />
2010/A1-1b, 2010/A3-b<br />
Stammfunktionen: 2004/P2, 2005/P2, 2005/A3-1b,<br />
2006/P2, 2008/P1<br />
Steigungen berechnen (größte bzw. kleinste):<br />
2004/A2-1, 2006/A3-b, 2008/A1-1a, 2008/A2-a, 2009/A3-a,<br />
2010/A1-1a, 2010/A2-b, 2010/A3-a<br />
Substitution: 2004/P3, 2005/P3, 2007/P3<br />
Symmetrie: 2010/A1-1a<br />
Tangentengleichungen: 2004/P4, 2004/A1-1c, 2006/A2-1a,<br />
2006/A3-b, 2007/P4, 2009/P4, 2010/P4, 2010/A3-c<br />
Tiefpunktberechnung: → Hochpunkt<br />
Trigonometrische Funktionen:<br />
2004/A2, 2004/A2, 2006/A2, 2007/A2, 2008/A2, 2009/A2,<br />
2010/A2-a, 2010/A2-d<br />
Verhalten für x → ∞ : 2004/A1-1a, 2004/A3-1a, 2005/P4,<br />
2005/A1-1c, 2005/A3-1a, 2005/A3-1b, 2007/A1-a,<br />
2007/A3-b, 2010/A3-b<br />
Vollständige Induktion: 2004/A3-2, 2005/A1-2, 2008/A1-2,<br />
2009/A1-2, 2010/A1-2<br />
Volumenberechnung: 2004/A1-1b, 2005/A2-c, 2006/A1-d,<br />
2010/A1-1b, 2010/A2-1b<br />
Wachstum (beschränktes):<br />
2005/A3-2, 2008/A3-1b, 2009/A3-c<br />
Wendepunkte: 2004/A1-1a, 2007/P5, 2009/P4<br />
Zuwachsrate: → Änderungsrate<br />
_________________________________________________<br />
Bedeutung der Abkürzungen:<br />
: Prüfung 2010, Pflichtteil, Aufgabe 1<br />
: Prüfung 2010, Wahlteil-Analysis 1, Aufgabe 1a
Abstände berechnen:<br />
→ zwischen Punkten:<br />
2004/G1-b, 2004/G1-c, 2005/G1-a, 2005/G2-1c,<br />
2006/G1-1a, 2006/G2-1b, 2007/G1-a, 2007/G2-a,<br />
2009/G1-a, 2009/G1-c, 2010/G1-a, 2010/G1-c<br />
→ zwischen Ebenen: 2007/P7<br />
→ zwischen Geraden: 2007/P7, 2008/P6<br />
→ zwischen Gerade und Ebene: 2005/G2-1a, 2006/P6<br />
→ zwischen Punkt und Ebene: 2004/P6, 2005/G1-b,<br />
2005/G2-1a, 2006/G1-1b, 2008/G2-1b, 2009/P7, 2010/P7<br />
→ zwischen Punkt und Gerade: 2004/P8, 2004/G1-b,<br />
2005/G2-1c, 2006/G2-1b, 2009/G1-b, 2009/G2-1b<br />
Beweise mit Vektorrechnung:<br />
2004/G2-2, 2005/G2-2, 2006/G1-2, 2007/G1-2, 2008/G2-2,<br />
2009/G2-2, 2010/G2-1b, 2010/G2-2<br />
Ebenen im Koordinatensystem darstellen:<br />
2006/P7, 2007/G1-a, 2009/P7<br />
Ebenengleichung aufstellen:<br />
→ Parametergleichung: 2005/G2-1a, 2009/G1-b, 2010/P6<br />
→ Koordinatengleichung: 2004/P7, 2005/P7, 2006/P8,<br />
2006/G1-1a, 2008/G1-a, 2008/G2-1a, 2010/G1-b<br />
Ebenenlage beschreiben: 2005/G2-1a<br />
Gauß-Verfahren: → Lineare Gleichungssysteme<br />
Geradengleichung aufstellen: 2004/G1-c, 2005/G2-1b<br />
Hesse-Normalen-Form:<br />
2005/G1-1b, 2005/G2-1a, 2006/G1-1b, 2008/G2-1b,<br />
2009/P7, 2010/P7<br />
Kegelvolumen: 2006/G1-1b<br />
Koordinatengleichung: → Ebenengleichung<br />
Längenberechnung: → Abstand zweier Punkte<br />
Lage zwischen Gerade und Ebene: 2004/P6, 2006/P6,<br />
2007/G2-a, 2008/P7, 2008/G1-a, 2009/P7<br />
Lage zwischen zwei Geraden: 2006/G2-2<br />
Lage zwischen zwei Ebenen: 2007/P7, 2009/G2-1a<br />
Lineare Gleichungssysteme: 2005/P6, 2007/P6<br />
Lineare Unabhängigkeit: 2009/P6<br />
Register: Analytische Geometrie<br />
Lotfußpunkt berechnen: 2004/P6, 2004/P8, 2004/G1-b,<br />
2005/G1-b, 2005/G2-1c, 2006/G2-1b, 2007/G1-a, 2007/G2-b,<br />
2010/G2-1a<br />
Mitte zweier Punkte: 2005/G2-1b, 2006/G1-1a, 2007/G2-b,<br />
2010/G1-b<br />
Normalengleichung: 2007/P7, 2008/P8<br />
Parametergleichung: → Ebenengleichung<br />
Punkte im Koordinatensystem:<br />
2004/G1-a, 2005/G1-a, 2006/G2-1a, 2007/G2-a,<br />
2008/G2-1a, 2009/G2-1a, 2010/G1-b, 2010/G2-1a<br />
Register<br />
Punktprobe: 2004/P6, 2005/G1-c, 2009/G1-b, 2010/P6,<br />
2010/G1-a<br />
Pyramidenvolumen: 2006/G1-1b, 2008/G1-b<br />
Schnitt zwischen Gerade und Ebene: 2004/G1-c,<br />
2004/G2-1a, 2005/G1-a, 2005/G1-c, 2006/G2-1a,<br />
2010/G2-1a<br />
Schnitt zweier Geraden: 2005/G2-1b, 2006/G2-1a,<br />
2009/G2-1a<br />
Schnitt zweier Ebenen: 2006/P7, 2010/G1-c<br />
Spiegelungen: 2005/P8, 2009/P8, 2010/P8, 2010/G1-b,<br />
2010/G2-1a<br />
Teilverhältnisse bestimmen: 2004/G2-2, 2006/G1-2,<br />
2008/G2-2, 2010/G2-2<br />
Trapezfläche: 2004/G1-b, 2006/G2-1b, 2009/G2-1b<br />
Windschiefe Geraden: 2006/G2-2<br />
Winkelberechnungen:<br />
2004/G1-a, 2004/G2-1b, 2005/G1-a, 2005/G2-1b,<br />
2007/G2-c, 2008/G1-a, 2008/G2-1a, 2009/G1-a,<br />
2009/G2-1a, 2010/G1-a, 2010/G2-1a<br />
____________________________________________________<br />
Bedeutung der Abkürzungen:<br />
: Prüfung 2010, Pflichtteil, Aufgabe 6<br />
: Prüfung 2010, Wahlteil, analytische<br />
Geometrie 2, Aufgabe 1a<br />
45