Quantitative Analyse von Protein-Massenspektren

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⎛ df1
⎜
⎜ dx1
J ( x)
= ⎜ ...
⎜ df m
⎜
dx
⎝ 1
...
...
...
df1
⎞
⎟
dxn
⎟
... ⎟
dfm
⎟
dx
⎟
n ⎠
Setzt man Gl. (3.6.1.4) in die Definition von (3.6.1.2) ein, so erhält man:
1 T
F(
x + h)
≅ L(
h)
≡ l(
h)
l(
h)
2
1 T
T T 1 T T
= f(x) f(x) + h J ( x)
f(x) + h J ( x)
J ( x)
h
2
2
T T 1 T T
= F(
x)
+ h J ( x)
f(x) + h J ( x)
J ( x)
h
2
(3.6.1.5)
(3.6.1.6)
Es ist derjenige Parameterschritt h gesucht, welcher L(h) minimiert: = argmin { L(
h)}
. Um
h zu finden, werden zunächst der Gradient und die Hesse-Matrix bestimmt:
'
g(
x)
= L ( h)
= J ( x)
''
H ( x)
= L ( h)
= J ( x)
T
f ( x)
+ J ( x)
T
J ( x)
T
J ( x)
h
h h
(3.6.1.7)
Man sieht, dass L ’’ (h) unabhängig von h ist. L ’’ (h) ist symmetrisch und wenn die Jacobi-
Matrix J vollen Rang hat, d.h. die Spalten von J sind linear unabhängig, dann ist F ’’ (h) positiv
definit. Der Schritt h, welcher die Kostenfunktion minimiert, kann gefunden werden, indem
T
T
L ' ( h)
= 0 ⇒ J ( x)
J ( x)
h = −J
( x)
f gelöst wird. Der LM-Algorithmus löst eine leichte
opt
T
T
Variation davon, nämlich: ( J ( x)
J ( x)
+ µ I ) h = −J
( x)
f . Der zusätzliche Parameter µ wird
opt
als „Dämpfungsfaktor“ verwendet. Ist µ>0, so ist die Koeffizienten-Matrix positiv definit und
somit zeigt hopt in eine absteigende Richtung. Für große Werte von µ wird ein kleiner Schritt
durchgeführt. Kleine µ Werte hingegen kommen am Ende der Optimierung zum Tragen, wenn
der gesuchte Parametervektor nahe am Optimum ist. Der Dämpfungsparameter wird bei jedem
Iterationsschritt angepasst, damit sichergestellt ist, dass die Kostenfunktion minimiert
wird. Ein weiterer Vorteil der Einführung dieses Parameters ist, dass Situationen in denen
J(x) T J(x) singulär wird, abgefangen werden. Sobald hopt bestimmt ist, wird der neue Parame-
tervektor x gesetzt: x : = x + αhopt
. Der Algorithmus ist in Abb. 3.6.1.1 zusammengefasst.