Quantitative Analyse von Protein-Massenspektren
Quantitative Analyse von Protein-Massenspektren Quantitative Analyse von Protein-Massenspektren
tionen zu berechnen, multipliziert man die Resultate beider Elemente miteinander und erhält KBr(2,1)KCl(2,3)=8 Isotopenkombinationen. Dies entspricht exakt der Anzahl von Termen, welche durch die Entfaltung des Polynoms gewonnen wurden (vgl. obige Tabelle). Für die Ermittlung aller Isotopenpermutationen werden lineare diophantische Gleichungen verwendet [Chang84]. Das besondere an diesen Gleichungen ist, dass nur ganzzahlige positive Lösungen erlaubt sind: 48 q ∑ j= 1 x j = n (3.4.5) xj ist der absolute Anteil des j-ten Isotops im Element. Seien z.B. drei Atome des Elements Sauerstoff in einem Molekül vorhanden. Sauerstoff hat drei stabile Isotope 16 O, 17 O und 18 O. Mit obiger Formel berechnet man, dass es insgesamt 10 Permutationen gibt: i x1= 16 O x2= 17 O x3= 18 O 1 3 0 0 2 2 1 0 3 2 0 1 4 1 2 0 5 1 1 1 6 1 0 2 7 0 3 0 8 0 2 1 9 0 1 2 10 0 0 3 Es gibt also K Isotopenkombinationen. Die Häufigkeit Pi, 1
⎛ ⎜ n! log Pi = log p ⎜ ⎝ x1! x2!... xq! = log = n ∑ u= 1 ( n! ) log ⎛ − log⎜ ⎝ q q ∏ u= 1 x u ( u) − log( v) + x log( p ) ∑∑ u= 1 v= 1 x1 1 p x 2 2 ... p x q ⎞ ⎛ xu! ⎟ + log⎜ ⎠ ⎝ q ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ = log ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎜ ⎝ q ∑ u= 1 q ∏ u= 1 u p x u u ⎞ ⎟ ⎠ q ∏ u= 1 n! u x ! u q ∏ u= 1 p x u u ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (3.4.7) Es bleibt noch das Problem bestehen, dass die Anzahl der Permutationen K i.d.R. sehr groß ist und die Berechnung von log(Pi) zeitaufwendig ist. Yergey hat 1983 einen Weg vorgeschlagen, wie man die Bestimmung von log(Pi) beschleunigen kann. Es werden zwei beliebige Permutationen in Relation gesetzt, mit dem Ergebnis, dass ein Großteil der Variablen weggekürzt wird [Yergey83]: P P i+ 1 i ⇒ P n! = n! i+ 1 q q xu pu u= 1 u= 1 q q ∏ ∏ ∏ u= 1 ⎛ = P ⎜ i ⎝ x q ! ∏ ∏ u u= 1 u= 1 u ' xu! = ' u p x u ' xu! p x ! ' u xu −x u q ∏ u= 1 q ∏ u= 1 ⎞ ⎟ ⎠ x x ' u u ! ! q ∏ u= 1 p ' u xu −x u = q ∏ u= 1 u ' xu! p x ! ' u xu −x u (3.4.8) Dieser Term wird im nächsten Schritt logarithmiert, wobei zur Vereinfachung der Schreibwei- se f u ' x ! ' u xu −xu : = pu definiert wird, d.h.: x ! log u ' u xu −xu ( P ) = log( P ) + log⎜ p ⎟ = log( P ) i+ 1 = log i q ( P ) + log( f ) i ∑ u= 1 ⎛ ⎜ ⎝ q ∏ ' x ! x ! u= 1 u Der Logarithmus von fu entspricht dabei: log ( f ) u ⎧ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩ x u ∑ ' v= xu + 1 log u u ⎞ ⎟ ⎠ ' ( v) − ( x − x ) log( p ) u 0 xu ' ( xu − xu ) log( pu ) − ∑log( v) u ' v= xu + 1 u x x x u u u i > x = x < x ⎛ + log ⎜ ⎝ ' u ' u ' u q ∏ u= 1 f u ⎞ ⎟ ⎠ (3.4.9) (3.4.10) 49
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⎛<br />
⎜<br />
n!<br />
log Pi<br />
= log p<br />
⎜<br />
⎝ x1!<br />
x2!...<br />
xq!<br />
= log<br />
=<br />
n<br />
∑<br />
u=<br />
1<br />
( n!<br />
)<br />
log<br />
⎛<br />
− log⎜<br />
⎝<br />
q<br />
q<br />
∏<br />
u=<br />
1<br />
x<br />
u<br />
( u)<br />
− log(<br />
v)<br />
+ x log(<br />
p )<br />
∑∑<br />
u=<br />
1 v=<br />
1<br />
x1<br />
1<br />
p<br />
x<br />
2<br />
2<br />
... p<br />
x<br />
q<br />
⎞ ⎛<br />
xu!<br />
⎟ + log⎜<br />
⎠ ⎝<br />
q<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎟ = log<br />
⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎜<br />
⎝<br />
q<br />
∑<br />
u=<br />
1<br />
q<br />
∏<br />
u=<br />
1<br />
u<br />
p<br />
x<br />
u<br />
u<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
q<br />
∏<br />
u=<br />
1<br />
n!<br />
u<br />
x !<br />
u<br />
q<br />
∏<br />
u=<br />
1<br />
p<br />
x<br />
u<br />
u<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
(3.4.7)<br />
Es bleibt noch das Problem bestehen, dass die Anzahl der Permutationen K i.d.R. sehr groß ist<br />
und die Berechnung <strong>von</strong> log(Pi) zeitaufwendig ist. Yergey hat 1983 einen Weg vorgeschlagen,<br />
wie man die Bestimmung <strong>von</strong> log(Pi) beschleunigen kann. Es werden zwei beliebige Permutationen<br />
in Relation gesetzt, mit dem Ergebnis, dass ein Großteil der Variablen weggekürzt wird<br />
[Yergey83]:<br />
P<br />
P<br />
i+<br />
1<br />
i<br />
⇒ P<br />
n!<br />
=<br />
n!<br />
i+<br />
1<br />
q q<br />
xu<br />
pu<br />
u=<br />
1 u=<br />
1<br />
q q<br />
∏ ∏<br />
∏<br />
u=<br />
1<br />
⎛<br />
= P<br />
⎜ i<br />
⎝<br />
x<br />
q<br />
!<br />
∏<br />
∏<br />
u<br />
u=<br />
1<br />
u= 1 u<br />
'<br />
xu!<br />
=<br />
'<br />
u p<br />
x<br />
u<br />
'<br />
xu!<br />
p<br />
x !<br />
'<br />
u<br />
xu<br />
−x<br />
u<br />
q<br />
∏<br />
u=<br />
1<br />
q<br />
∏<br />
u=<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
x<br />
x<br />
'<br />
u<br />
u<br />
!<br />
!<br />
q<br />
∏<br />
u=<br />
1<br />
p<br />
'<br />
u<br />
xu<br />
−x<br />
u<br />
=<br />
q<br />
∏<br />
u= 1 u<br />
'<br />
xu!<br />
p<br />
x !<br />
'<br />
u<br />
xu<br />
−x<br />
u<br />
(3.4.8)<br />
Dieser Term wird im nächsten Schritt logarithmiert, wobei zur Vereinfachung der Schreibwei-<br />
se<br />
f<br />
u<br />
'<br />
x ! '<br />
u xu<br />
−xu<br />
: = pu<br />
definiert wird, d.h.:<br />
x !<br />
log<br />
u<br />
'<br />
u xu<br />
−xu<br />
( P ) = log(<br />
P ) + log⎜<br />
p ⎟ = log(<br />
P )<br />
i+<br />
1<br />
= log<br />
i<br />
q<br />
( P ) + log(<br />
f )<br />
i<br />
∑<br />
u=<br />
1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
q<br />
∏<br />
'<br />
x !<br />
x !<br />
u= 1 u<br />
Der Logarithmus <strong>von</strong> fu entspricht dabei:<br />
log<br />
( f )<br />
u<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎪<br />
= ⎨<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪⎩<br />
x<br />
u<br />
∑<br />
'<br />
v=<br />
xu<br />
+ 1<br />
log<br />
u<br />
u<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
' ( v)<br />
− ( x − x ) log(<br />
p )<br />
u<br />
0<br />
xu<br />
' ( xu<br />
− xu<br />
) log(<br />
pu<br />
) − ∑log(<br />
v)<br />
u<br />
'<br />
v=<br />
xu<br />
+ 1<br />
u<br />
x<br />
x<br />
x<br />
u<br />
u<br />
u<br />
i<br />
> x<br />
= x<br />
< x<br />
⎛<br />
+ log ⎜<br />
⎝<br />
'<br />
u<br />
'<br />
u<br />
'<br />
u<br />
q<br />
∏<br />
u=<br />
1<br />
f<br />
u<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(3.4.9)<br />
(3.4.10)<br />
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