Festigkeitslehre Prof. Schmidt Kapitel 11 - Institut für Allgemeine ...

Prof. Dr.-Ing. R. Schmidt
Mechanik
Festigkeitslehre
c○ Copyright 2008 Prof. Dr.-Ing. R. Schmidt
Lehrstuhl und Institut für Allgemeine Mechanik
RWTH Aachen
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2. Auflage

Inhaltsverzeichnis
11 Stabilität elastischer Strukturen 1
11.1 Knicken zentrisch gedrückter Stäbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
11.2 Knicken als Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
11.2.1 Der 1.Eulersche Knickfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
11.2.2 Der 2.Eulersche Knickfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
11.2.3 Der 3.Eulersche Knickfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
11.2.4 Der 4.Eulersche Knickfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I

11 Stabilität elastischer Strukturen 1
11 Stabilität elastischer Strukturen
11.1 Knicken zentrisch gedrückter Stäbe
In diesem Kapitel wollen wir uns mit der Stabilität elastischer Strukturen beschäftigen, wo-
bei wir uns auf Fachwerkkonstruktionen sowie ebene Balken- und Rahmenkonstruktionen be-
schränken werden. Derartige Strukturen sind stabilitätsgefährdet, wenn in ihnen Bauteile bzw.
Strukturbereiche enthalten sind, die durch Druckkräfte belastet werden. Wir betrachten deshalb
zunächst in Abb.11.1 Druckstäbe mit unterschiedlichen Randbedingungen.
Abb. 11.1: Druckstäbe
Ist die Belastung P hinreichend klein, so erhält man lediglich eine Stauchung mit einer Längen-
änderung ∆ℓ = P ℓ/E I (siehe Gl.(4.?)), die linear mit der Druckkraft anwächst. Die Verfor-
mung ist so klein, dass man die Gleichgewichtsbedingungen zur Berechnung von Auflagerreak-
tionen und Schnittgrößen in der unverformten Konfiguration aufstellen kann. Das System hat
nur eine mögliche, nämlich die in Abb.11.1 vertikale Gleichgewichtslage. Diese ist stabil, da das
System bei einer Störung wieder in die Gleichgewichtslage zurückkehrt.
Erreicht die Belastung jedoch eine gewissen kritischen Wert, so kann der Stab, wie in Abb.11.1
dargestellt, bei einer Störung der vertikalen Gleichgewichtslage seitlich ausweichen. Diesen Vor-
gang nennt man Knicken. Der kritische Wert der Druckkraft , bei dem Knicken auftreten kann,

2 11 Stabilität elastischer Strukturen
wird im Folgenden mit PK bezeichnet und heißt kritische Last oder Knicklast.
Bei Überschreiten der Knicklast existieren also zwei mögliche Gleichgewichtslagen, die für den
zweifach gelenkig gelagerten Stab in Abb.11.2 bzw. für den einseitig eingespannten Stab in
Abb.11.3 dargestellt sind.
Abb. 11.2: Gleichgewichtslagen des gelenkig gelagerten Stabs für P > PK
Abb. 11.3: Gleichgewichtslagen des eingespannten Stabs für P > PK

Knicken als Eigenwertproblem 3
Die in Abb.11.2 und 11.3 links dargestellten Gleichgewichtslagen sind labil, denn bei der ge-
ringsten Störung kehrt das betreffende Sytem nicht mehr in diese Gleichgewichtslage zurück,
sondern knickt aus und nimmt die jeweils rechts dargestellte Gleichgewichtslage ein. Diese ist
stabil, denn bei einer Störung des Gleichgewichts kehrt das System in diese Lage zurück.
Abschließend sei noch erwähnt, dass auch nach Überschreiten der kritischen Last sowohl in der
labilen als auch in der stabilen, ausgeknickten Konfiguration die Belastung weiter erhöht wer-
den kann. In der labilen, vertikalen Gleichgewichtslage wächst dann dann die Längenänderung
nach Gl.(4.?) weiter linear mir der Druckkraft an.
Auch nach dem Ausknicken kann das System weiter belastet werden. Wir befinden uns hier
aber im Bereich großer Verschiebungen, sodass unsere in Kapitel 6 getroffenen Voraussetzungen
(w ≪ h) der linearen Balkentheorie nicht mehr erfüllt sind. Will man die Verschiebungen
eines ausgeknickten Stabs bei einer bestimmten Last P > PK berechnen, so muss man eine
Balkentheorie höherer Ordnung (geometrisch nichtlineare Balkentheorie) verwenden. Darauf
können wir jedoch im Rahmen dieser Vorlesung nicht eingehen.
11.2 Knicken als Eigenwertproblem
Wir wollen nun die Knicklasten für einige technisch wichtige Systeme bestimmen und betrachten
dazu die so genannten vier Eulerschein Knickfälle (Leonard Euler (1707-1783)).
11.2.1 Der 1. Eulersche Knickfall
Dieser Knickfall wurde bereits in Abb.11.1 bzw. Abb.11.2 dargestellt. In Abb.11.4 wird nun das
Gleichgewicht am verformten System untersucht. Das Momentengleichgewicht um das Festlager
A liefert zunächst H = 0. Aus dem Kräftegleichgewicht erhält man dann Az = 0 sowie Ax = P .

4 11 Stabilität elastischer Strukturen
Abb. 11.4: Auflagerkräfte und Schnittgrößen beim 1.Eulerschen Knickfall
In Abb.11.4 wurden die positiven Schnittgrößen an einem positiven Schnittufer gemäß der im
Vorlesungsteil Statik getroffenen Konventionen eingezeichnet. Das Momentengleichgewicht um
die Schnittstelle x liefert:
� M0 = 0 : M (x) = PK w (x) . (11.1)
Mit Hilfe der Differentialgleichung der Biegelinie Gl.(6.158) erhält man
Somit folgt
oder
wobei die Ableitung
eingeführt wurde.
EI w ′′ (x) = −M (x) (11.2)
= −PK w (x) (11.3)
EI w ′′ (x) + PK w (x) = 0 (11.4)
w ′′ (x) + λ 2 w (x) = 0 , (11.5)
λ 2 = PK
EI
(11.6)

Knicken als Eigenwertproblem 5
Gl.(11.5) ist eine homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung. Ihre Lösung lautet
w (x) = c1 sin λx + c2 cosλx . (11.7)
Dies kann leicht gezeigt werden, wenn man Gl.(11.7) und deren zweite Ableitung in Gl.(11.5)
einsetzt. Die zweite Ableitung erhält man durch zweimaliges Differenzieren über
w ′ (x) = c1 λ cosλx − c2 λ sin λx (11.8)
w ′′ (x) = −c1 λ 2 sin λx − c2 λ 2 cosλx . (11.9)
Einsetzen von Gl.(11.9) und Gl.(11.7) in die Differentialgleichung Gl.(11.5) liefert nun
−c1 λ 2 sin λx − c2 λ 2 cos λx + λ 2 (c2 sin λx + c2 cosλx) = 0 . (11.10)
Man erkennt, dass die Differentialgleichung durch den Lösungsansatz Gl.(11.7) tatsächlich iden-
tisch befriedigt wird.
Der Lösungsansatz Gl.(11.7) muss die geometrischen Randbedingungen
und
erfüllen. Gl.(11.7) liefert mit Gl.(11.11) bzw. Gl.(11.12)
Aus Gl.(11.13) folgt
Aus Gl.(11.14) folgt mit Gl.(11.15)
w (0) = 0 (11.11)
w (l) = 0 (11.12)
c1 sin 0 + c2 cos 0 = 0 , (11.13)
c1 sin λℓ + c2 cos λℓ = 0 . (11.14)
c2 = 0 . (11.15)
c1 sin λℓ = 0 . (11.16)

6 11 Stabilität elastischer Strukturen
Diese Gleichung hat die Lösungen
und
c1 = 0 (11.17)
sin λℓ = 0 =⇒ λℓ = π, (2 π, . . .) . (11.18)
Die erste Lösung (c1 = 0) ist die so genannte triviale Lösung, denn sie führt mit c2 = 0 (siehe
Gl.(11.14)) im Lösungsansatz Gl.(11.7) zu w(x) = 0 (keine Auslenkung). Dies beschreibt die
vertikale, labile Gleichgewichtslage in Abb.bild10.2.
Die zweite Lösung (sin λℓ = 0) ist die so genannte nicht triviale Lösung. Im Hinblick auf später
zu behandelnde komplizierte Fälle sei angemerkt, dass man die nicht triviale Lösung eines
homogenen Gleichungssystems auch ermitteln kann, indem man die Koeffizientendeterminante
zu Null setzt. Im Falle des obigen Gleichungssystems, bestehend aus Gl.(11.13) und (11.14) ist
diese
D =
� �
� �
� 0 1 �
� �
� �
� sin λℓ cosλℓ �
(11.19)
= 0 cosλℓ − 1 sin λℓ (11.20)
= − sin λℓ (11.21)
und somit folgt aus D = 0 wie in Gl.(11.18) die Lösung sin λℓ = 0.
Diese nicht trivivale Lösung liefert eine Reihe ausgezeichneter Werte (siehe Gl.( 11.18))
λ = π
ℓ ,
� 2 π
ℓ
, . . .
und damit ausgezeichneter Werte für die Knicklast Pk (siehe Gl.(11.6))
PK =
EI π2
ℓ 2 ,
�
EI (2π) 2
ℓ 2
�
, . . .
�
(11.22)
, (11.23)
für die eine zweite, ausgelenkte Gleichgewichtslage möglich ist. Die λ-Werte in (Gl.(11.22)) hei-
ßen Eigenwerte des Problems. Von praktischer Bedeutung sind nur der kleinste Eigenwert und

Knicken als Eigenwertproblem 7
die kleinste Knicklast, da bei deren Erreichen der Stab infolge einer Störung der Ausgangslage
bereit versagt. Das Stabilitätskriterium für den 1.Eulerschen Knickfall lautet also
P <
E I π2
ℓ 2
. (11.24)
Wir wollen jetzt noch die Gleichung der Biegelinie für den ausgeknickten Stab berechnen. Dazu
gehen wir von dem Lösungsansatz Gl.(11.7) aus und sehen Gl.(11.15) ein. Man erhält
und mit dem kleinsten Eigenwert aus Gl(11.12) folgt
w(x) = c1 sin λx (11.25)
w(x) = c1 sin π c
ℓ
. (11.26)
Man erkennt, dass die Integrationskonstante c1 unbestimmt bleibt. Aus Gl.(11.26) können wir
deshalb nicht die Verschiebungen selbst, sondern nur die Form der Biegelinie ermitteln. Wir
erhalten
w(0) = 0 , (11.27)
�
1
w
2 ℓ
�
= c1 , (11.28)
w(ℓ) = 0 . (11.29)
Die Biegelinie, beschrieben durch Gl.(11.25) ist die in Abb.11.5 links dargestellte Sinus-Halb-
welle. Sie wird als erste Eigenform oder Knickform bezeichnet.
Abb. 11.5: Erste und zweite Eigenform für den 1.Eulerschen Knickfall

8 11 Stabilität elastischer Strukturen
Höhere Knicklasten und damit verbundene Knickformen sind weniger von praktischem Inter-
esse. Man müsste sich dann vorstellen, dass man einen idealen Stab ohne jegliche Störung des
Gleichgewichts über die erste Knicklast hinaus bis zur zweiten oder weiteren höheren Knicklast
in Gl.(11.23) belasten kann. Nach Erreichen der zweiten Knicklast ergäbe sich mit dem zweiten
Eigenwert (siehe Gl.(11.22)) aus Gl.(11.25) die zweite Eigenform
Dies liefert
w(x) = c1 sin 2 π x
ℓ
. (11.30)
w(0) = 0 , (11.31)
�
1
w
4 ℓ
�
�
1
w
2 ℓ
�
�
3
w
4 ℓ
�
Diese zweite Eigenform ist in Abb.11.5 rechts dargestellt.
11.2.2 Der 2. Eulersche Knickfall
= c1 , (11.32)
= 0 , (11.33)
= −c1 . (11.34)
w(ℓ) = 0 . (11.35)
Das Knicken des bereits in Abb.11.1 und Abb.11.3 dargestellten eingespannten Stabs wird als
2.Eulerscher Knickfall bezeichnet. In Abb.11.6 ist er nochmals zur Ermittlung der Schnitt-
größen am verformten System dargestellt.

Knicken als Eigenwertproblem 9
Abb. 11.6: Auflager- und Schnittreaktionen beim 2.Eulerschen Knickfall
Das Momentengleichgewicht um die Schnittstelle x liefert nun
� M0 = 0 : M(x) = −PK (w0 − w(x)) , (11.36)
wobei w0 die unbekannte Verschiebung am freien Ende bezeichnet. Mit Hilfe der Differential-
gleichung der Biegelinie Gl.(6.158) ergibt sich nun
Man erhält somit die Differentialgleichung
oder
w ′′ (x) = PK
E I (w0 − w(x)) . (11.37)
w ′′ (x) + PK PK
w(x) =
E I E I w0 . (11.38)
wobei wieder abkürzend λ 2 nach Gl.(11.6) verwendet wurde.
w ′′ (x) + λ 2 w (x) = λ 2 w0 , (11.39)
Gl.(11.39) ist eine inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung. Ihre Lösung lautet
w(x) = c1 sin λx + c1 cosλx + w0 . (11.40)

10 11 Stabilität elastischer Strukturen
Dies kann verifiziert werdenm indem man analog Gl.(11.8)–Gl.(11.10) diesen Lösungsanstz und
seine mit Gl.(11.9) identsche zweite Ableitung in die Differentialgleichung Gl.(11.39) einsetzt.
Die geometrischen Randbedingungen für den Lösungsansatz Gl.(11.40) lauten (siehe Abb.11.6)
Außerdem war bereits in Gl.(11.36) abkürzend
w(0) = 0 , (11.41)
w ′ (0) = 0 . (11.42)
w(ℓ) = w0
(11.43)
gesetzt worden. Gl.(11.40) und ihre mit Gl.(11.8) identische erste Ableitung liefern nun mit
Gl.(11.41)–Gl.(11.43)
Aus Gl.(11.45)
Damit liefert Gl.(11.44)
und Gl.(11.44) ergibt
Diese Gleichung hat die Lösungen
c1 sin 0 + c2 cos 0 + w0 = 0 , (11.44)
c1 λ cos 0 − c2 λ sin 0 = 0 , (11.45)
c1 sin λℓ + c2 cosλℓ + w0 = w0 . (11.46)
c1 = 0 . (11.47)
c2 = −w0 (11.48)
c2 cosλℓ = 0 . (11.49)
c2 = 0 (11.50)

Knicken als Eigenwertproblem 11
und
cosλℓ = 0 =⇒ λℓ = 1
π ,
2
� �
3
π , . . .
2
(11.51)
Die erste Lösung (c2 = 0) ist die triviale Lösung, denn sie führt mit c1 = 0 (Gl.(11.47)) und
w0 = 0 (aus Gl.(11.48)) im Lösungsansatz Gl.(11.40) zu w(x) = 0 (keine Auslenkung). Dies
entspricht der vertikalen, labilen Gleichgewichtslage in Abb.11.3.
Die zweite Lösung (cosλℓ = 0) ist die nicht triviale Lösung, die sich analog Kapitel 2.2.1 auch
ergibt, wenn man die Koeffizientendeterminante des homogenen Gleichungssystems aus den
Gl.(11.38)–Gl.(11.40) Null setzt. Nach Division von Gl.(11.45) durch λ und Streichen von w0
auf beiden Seiten von Gl.(11.46) lautet diese
D =
�
�
�
�
� 0 1 1 �
�
�
�
�
� 1 0 0 �
�
�
�
�
� sin λℓ cosλℓ 0 �
(11.52)
= − cosλℓ (11.53)
und somit folgt aus D = 0 wie in Gl.(11.51) die Lösung cosλℓ = 0 .
Die nicht triviale Lösung Gl.(11.51) liefert die Eigenwerte
λ = 1 π
2 ℓ ,
und damit über Gl.(11.6) die Knicklasten PK
PK =
E I π2
2 ,
(2 ℓ)
�
3 π
2 ℓ
�
E I π 2
� 2
3 ℓ� 2
, . . .
�
, . . .
�
(11.54)
, (11.55)
für die eine zweite, ausgelenkte Gleichgewichtslage möglich ist. Das Stabilitätskriterium für den
2.Eulerschen Knickfall lautet mit der kleinsten Knicklast aus Gl.(11.55)
P <
E I π2
(2 ℓ) 2
. (11.56)

12 11 Stabilität elastischer Strukturen
Die Gleichung der Biegelinie für den ausgeknickten Stab ergibt sich aus dem Lösungsansatz
Gl.(11.40) nach Einsetzen der in Gl.(11.47) und Gl.(11.48) ermittelten Integrationshilfen als
w(x) = −w0 cosλx + w0
(11.57)
= w0 (1 − cosλx) . (11.58)
Die Verschiebung w0 des freien Stabendes bleibt unbestimmt. Für den kleinsten Eigenwert in
Gl.(11.54) erhält man aus Gl.(11.57) die erste Eigenform
Dies liefert
w(x) = w0
�
1 − cos
π x
�
2 ℓ
. (11.59)
w(0) = 0 . (11.60)
w(ℓ) = w0 . (11.61)
Der einseitig eingespannte Stab knickt also in Form einer Cosinus-Halbwelle aus. Die Knickform
ist in Abb.11.7 links dargestellt.
Abb. 11.7: Erste und zweite Eigenform für dem 2.Eulerschen Knickfall
Mit dem zweiten Eigenwert in Gl.(11.54) ergibt sich aus Gl.(11.57) die zweite Eigenform
w(x) = w0
�
1 − cos
�
3 π x
2 ℓ
. (11.62)

Knicken als Eigenwertproblem 13
Dies liefert
w(0) = 0 , (11.63)
�
1
w
3 ℓ
�
�
2
w
3 ℓ
�
Diese zweite Eigenform ist in Abb.11.7 rechts dargestellt.
11.2.3 Der 3. Eulersche Knickfall
= w0 , (11.64)
= 2 w0 , (11.65)
w(ℓ) = w0 . (11.66)
In Abb.11.8 ist ein Druckstab dargestellt, der an einem Ende eingespannt und am anderen
Ende verschieblich gelenkig gelagert ist. Das System ist einfach statisch unbestimmt.
Abb. 11.8: Auflager- und Schnittreaktionen beim 3.Eulerschen Knickfall
Das Momentengleichgewicht am verformten System um die Schnittstelle x liefert
� M0 = 0 : M(x) = PK w(x) − B x . (11.67)

14 11 Stabilität elastischer Strukturen
Die Differentialgleichung der Biegelinie lautet mit Gl.(6.158)
also
Mit der Abkürzung Gl.(11.6) folgt schließlich
w ′′ (x) = − PK B
w(x) − x , (11.68)
E I E I
w ′′ (x) + PK B
w(x) = − x . (11.69)
E I E I
w ′′ (x) + λ 2 w(x) = − B
x . (11.70)
E I
Die Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung lautet
w(x) = c1 sin λx + c2 cosλx − B
E I
1
x . (11.71)
λ2 Dies kann wiederum leicht bewiesen werden, indem man diesen Lösungsansatz und seine mit
Gl.(11.9) identische zweite Ableitung in die Differentialgleichung Gl.(11.70) einsetzt.
Die geometrischen Randbedingungen für den Lösungsansatz Gl.(11.71) lauten (siehe Abb.11.8)
Gl.(11.71) und ihre erste Ableitung
liefern nun mit den Gl.(11.72)–Gl.(11.74)
w(0) = 0 , (11.72)
w(ℓ) = 0 , (11.73)
w ′ (ℓ) = 0 . (11.74)
w ′ (x) = c1 λ cosλx − c2 λ sin λx − B
E I
c1 sin λℓ + c2 cosλℓ − B
E I
c1 λ cosλℓ − c2 λ sin λℓ − B
E I
1
λ 2
(11.75)
c1 sin 0 + c2 cos 0 = 0 , (11.76)
1
ℓ = 0 , (11.77)
λ2 1
= 0 . (11.78)
λ2

Knicken als Eigenwertproblem 15
Aus Gl.(11.76) folgt
Damit liefert Gl.(11.78)
B
E I
Aus Gl.(11.77) ergibt sich mit Gl.(11.79)–Gl.(11.80)
also
Diese Gleichung hat die Lösungen
und
c2 = 0 . (11.79)
1
λ 2 = c1 λ cosλℓ (11.80)
c1 sin λℓ − c1 λ ℓ cosλℓ = 0 , (11.81)
c1 (sin λℓ − λ ℓ cosλℓ) = 0 . (11.82)
c1 = 0 (11.83)
sin λℓ − λ ℓ cosλℓ = 0 . (11.84)
Die erste Lösung (c1 = 0) ist die triviale Lösung, denn sie führt mit c2 = 0 (Gl.(11.79) und
B = 0 (aus Gl.(11.80)) im Lösungsansatz Gl.(11.71) zu w(x) = 0 (keine Auslenkung). Dies
entspricht einer vertikalen, labilen Gleichgewichtslage in Abb.11.8.
Die zweite Lösung (Gl.(11.84)) ist die nichttriviale Lösung, die sich wie in Kapitel 2.2.1 darge-
stellt auch ergibt, wenn man die Koeffizientendeterminante des homogenen Gleichungssystems

16 11 Stabilität elastischer Strukturen
aus den Gl.(11.76)–Gl.(11.78) Null setzt. Diese lautet
D =
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
= −1
=
0 1 0
sin λℓ cosλℓ − ℓ
E I λ 2
λ cosλℓ −λ sin λℓ − 1
E I λ 2
�
− sin λℓ
1
+ λ cos λℓ
E I λ2 �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ℓ
E I λ2 �
(11.85)
(11.86)
1
(sin λℓ − λ cosλℓ) , (11.87)
E I λ2 und somit folgt aus D = 0 wie in Gl.(11.84) sinλℓ − λ cosλℓ = 0.
Die nichttriviale Lösung Gl.(formel11.84) liefert
Diese Gleichung wird in Abb.11.9 graphisch ausgewertet.
Man erhält als kleinste Lösung
und somit als kleinsten Eigenwert
und über Gl.(11.6) als kleinste Knicklast
PK =
λ ℓ = tan λℓ . (11.88)
λ ℓ = 4, 4933 (11.89)
λ =
4, 4933
ℓ
E I (4, 4933)2
ℓ 2 ≈
Das Stabilitätskriterium für den 3.Eulerschen Knickfall lautet also
p <
E I π2
(0, 7 ℓ) 2
(11.90)
E I π2
(0, 7 ℓ) 2 . (11.91)
. (11.92)

Knicken als Eigenwertproblem 17
Abb. 11.9: Zur Ermittlung der Eigenwerte des 3.Eulerschen Knickfalls
Setzt man die in Gl.(11.79) und Gl.(11.80) ermittelten Integrationskonstanten in den Lösungs-
ansatz Gl.(11.71) ein, so erhält man die Biegelinie für den ausgeknickten Stab in der Form
Dies liefert mit Gl.(11.88)
w(x) = c1 sin λx − c1 λ x cosλℓ (11.93)
= c1 (sin λx − λ x cos λℓ) . (11.94)
w(0) = 0 ,

18 11 Stabilität elastischer Strukturen
w(ℓ) = c1 (sin λℓ − λ ℓ cosλℓ) (11.95)
= c1 cosλℓ (tanλℓ − λ ℓ) = 0 (11.96)
Eine Auswertung der Gl.(11.94) für den kleinsten Eigenwert in Gl.(11.89) liefert
w
w
� �
ℓ
4
� �
ℓ
2
�
3
w
3 ℓ
�
Die erste Knickform ist in Abb.11.10 dargestellt.
= 1, 15 c1 , (11.97)
= 1, 27 c1 , (11.98)
= 0, 51 c1 . (11.99)
Abb. 11.10: Erste Eigenform für den 3.Eulerschen Knickfall
11.2.4 Der 4. Eulersche Knickfall
In Abb.11.11 ist ein zweiseitig eingespannter Druckstab dargestellt, an dessem einem Ende
die Längsverschiebung in axialer Richtung infolge einer Kraft P durch eine geeignete Führung
zugelassen wird. Das System ist zweifach statisch unbestimmt.

Knicken als Eigenwertproblem 19
Abb. 11.11: Auflager- und Schnittreaktionen beim 4.Eulerschen Knickfall
Die Auflagerreaktionen wurden für den Fall einer symmetrischen verformten Konfiguration ein-
gezeichnet, da man zeigen kann, dass die Knicklast der ersten symmetrischen Knickfigur kleiner
ist als die der ersten unsymmetrischen Knickfigur.
Das Momentengleichgewicht am verformten System um die Schnittstelle x ergibt
� M0 = 0 : M(x) = PK w(x) − MB (11.100)
Damit lautet die Differentialgleichung der Biegelinie
also
oder mit der Abkürzung Gl.(11.6)
w ′′ (x) = − PK MB
w(x) +
E I E I
w ′′ (x) + PK MB
w(x) =
E I E I
w ′′ (x) + λ 2 w(x) = MB
E I
(11.101)
(11.102)
. (11.103)

20 11 Stabilität elastischer Strukturen
Die Lösung dieser inhomogenen Gleichung ist
w(x) = c1 sin λx + c2 cosλx + MB
E I
1
λ 2
(11.104)
Der Beweis erfolgt wiederum durch Einsetzen von Gl.,(11.104) und der mit Gl.(11.9) identi-
schen zweiten Ableitung in die Differentialgleichung Gl.(11.103).
Die geometrischen Randbedingungen für den Lösungsansatz Gl.(11.104) lauten
w(0) = 0 , (11.105)
w ′ (0) = 0 , (11.106)
w ′
�
1
2 ℓ
�
= 0 . (11.107)
Einsetzen in den Lösungsansatz Gl.(11.104) und seine mit Gl.(11.8) identische erste Ableitung
liefern nun mit Gl.(11.104)–Gl.(11.106)
Aus Gl.(11.108) folgt
Damit liefert Gl.(11.109)
c1 sin 0 + c2 cos 0 + MB
E I
1
= 0 , (11.108)
λ2 λ c1 cos 0 + λ, c2 sin 0 = 0 , (11.109)
λ c1 cos 1
2 λℓ + λ c2 sin 1
λℓ = 0 . (11.110)
2
c2 = − MB
E I
Schließlich ergibt sich aus Gl.(11.110)–Gl.(11.112)
Diese Gleichung hat die Lösungen
MB
E I
1
λ
1
λ 2
. (11.111)
c1 = 0 . (11.112)
1
sin λ ℓ = 0 . (11.113)
2
MB = 0 (11.114)

Knicken als Eigenwertproblem 21
und
sin 1
λℓ = 0 . (11.115)
2
Die erste Lösung (MB = 0) ist die triviale Lösung, denn sie führt mit c2 = 0 (Gl.(11.111))
und Gl.(11.112) im Lösungsansatz Gl.(11.104) zu w(x) = 0 (keine Auslenkung), also zu der
vertikalen, labilen Gleichgewichtslage in Abb.11.11.
Die zweite Lösung (Gl.(11.115)) ist die nicht triviale Lösung. Analog der in Kapitel 2.2.1 dar-
gestellten Vorgehensweise erhält man sie auch, wenn man die Koeffizientendeterminante des
homogenen Gleichungssystems aus den Gl.(11.108)–Gl.(11.110) Null setzt.
Diese lautet
D =
und somit folgt aus D = 0 wie in Gl.(11.115)
Die nicht triviale Lösung Gl.(11.115) liefert
oder
�
�
�
1
�
0 1
�
E I λ
�
�
�
�
�
2
�
�
�
�
�
λ 0 0 �
�
λ ℓ λ ℓ �
λ cos λ sin 0
�
�
2 2
sin 1
λℓ = 0 .
2
(11.116)
λ ℓ = 2 π , (4 π , . . . ) (11.117)
λ =
2 π
ℓ
,
� 4 π
ℓ
�
, . . .
und damit ausgezeichnete Werte für die Knicklast PK (siehe Gl.(11.6))
PK =
E I π2
�
1
2 ℓ� 2 ,
�
E I π 2
� 1
4 ℓ� 2
, . . .
für die eine zweite ausgelenkte Gleichgewichtslage möglich ist.
�
(11.118)
, (11.119)

22 11 Stabilität elastischer Strukturen
Das Stabilitätskriterium für den 4.Eulerschen Knickfall lautet also mit der kleinsten kritischen
Last aus Gl.(11.119)
P <
E I π2
� 1
2 ℓ� 2 . (11.120)
Mit den in Gl.(11.111) und Gl.(11.112) bestimmten Integrationskonstanten erhält man für die
Biegelinie des ausgeknickten Stabs aus Gl.(11.104)
Dies liefert
und für den kleinsten Eigenwert (λ ℓ = 2 π) in Gl.(11.117)
w
w
� �
ℓ
4
� �
ℓ
2
�
3
w
4 ℓ
�
= c2
= c2
= c2
�
cos 1
�
λℓ − 1
4
�
cos 1
�
λℓ − 1
2
�
cos 3
�
λℓ − 1
4
w(x) = c2 (cosλx − 1) . (11.121)
w(0) = 0 (11.122)
= c2
�
cos 1
�
π − 1
2
= − c2 , (11.123)
= c2 (cosπ − 1) = − 2 c2 , (11.124)
= c2
�
cos 3
�
π − 1
2
= − c2 , (11.125)
w(ℓ) = c2 (cos λℓ − 1) = c2 (cos 2 π − 1) = 0 . (11.126)
Die erste Knickform ist in Abb.11.12 links dargestellt. In ähnlicher Weise erhält man mit
dem zweiten Eigenwert (λ ℓ = 4 π) in Gl.(11.117) aus der Biegelinie Gl.(11.121) die zweite
symmetrische Eigenform, die in Abb.11.12 rechts dargestellt ist.

Knicken als Eigenwertproblem 23
Abb. 11.12: Erste und zweite symmetrische Eigenform für den 4.Eulerschen Knickfall