Festigkeitslehre Prof. Beck Kapitel 6 - Institut für Allgemeine Mechanik

6. Balken und Rahmen 

• Struktur- und Verformungshypothesen 

• Voraussetzungen der linearen Balkentheorie 

• Bernoulli - Hypothese 

• Klassifizierung von Balkenquerschnitten 

• Einachsige Biegung symmetrischer Querschnitte 

• Biegedehnungen und neutrale Faserschicht 

• Biegespannungen 

• Flächenträgheitsmomente, Satz von Steiner, Hauptachsen 

• Biegung mit Längskraft 

INSTITUT FÜR ALLGEMEINE MECHANIK

INSTITUT FÜR ALLGEMEINE MECHANIK 

Struktur- und Verformungshypothesen 

-> Voraussetzungen der linearen Theorie dünner Balken 

Dünner Balken: Bauteil, dessen Maße senkrecht zur Balkenachse (Höhe, Breite) 

sehr viel kleiner als die Länge sind 

Biegelinie 

Einachsige Balkenbiegung

Zweiachsige Balkenbiegung: 


Geometrie kleine Verschiebungen 

Voraussetzungen

-> BERNOULLI - Hypothese 

Balkenverformung: dreidimensionales Problem 

� Vereinfachung: Berechnung in nur 

einer Dimension, der x-Dimension 

Was geschieht mit den anderen Dimensionen 

(y, z)? � Hypothese aufstellen 

BERNOULLI-Hypothese: 

• Balkenquerschnitte, die im unverformten 

Zustand senkrecht auf der Balkenachse 

standen, bleiben während der Deformation 

eben und senkrecht zur verformten 

Balkenachse 

• die Balkendicke ändert sich nicht (h = const. , 

b = const.) 


Die BERNOULLI-Hypothese 


�Ist völlig ausreichend zur Berechnung der meisten dünnwandigen Balkenkonstruktionen 

Vernachlässigt Schubdeformation infolge von Querkräften 

�Querschnitte bleiben dadurch in Wirklichkeit weder eben 

noch senkrecht zur Balkenachse

Klassifizierung von Balkenquerschnitten 

Doppelt-symmetrische 

Querschnitte 

einfach-symmetrische 

Querschnitte 

Gleiches Grundprinzip, aber steigender Rechenaufwand 


unsymmetrischer 

Querschnitt

Einachsige Biegung symmetrischer Querschnitte 

Fasern werden: 

- gestaucht 

- erfahren keine Längenänderung 

� neutrale Faser 

- gedehnt 



Welche Längenänderungen, Dehnungen und Spannungen liegen qualitativ bei 

diesem doppelt symmetrischen Querschnitt vor? 

Z-Koordinate Längenänderung Δl Dehnung ε Spannungen σ Maximum 

z < 0 Δl < 0 ε < 0 σ < 0 z = -h/2 

z = 0 Δl = 0 ε = 0 σ = 0 

z > 0 Δl > 0 ε > 0 σ > 0 z = h/2


Behauptung: 

„Die neutrale Faser geht sowohl bei einfach- als auch bei zweifach symmetrischen 

Querschnitten durch den Schwerpunkt“ 

�Die grundsätzlichen Aussagen über Spannung, Dehnung und 

Längenänderungen gelten für beide Profiltypen, ABER: 

z max2 , σ max2 ≠ z max1 , σ max1

Verlauf der Dehnungen und Lage der neutralen Faserschicht 

bei einachsiger Biegung eines einfach symmetrischen Querschnitts 

Der Koordinatenursprung wird in die neutrale Faser gelegt und liegt 

-> bezüglich y in der Symmetrieebene (-> Mitte des Querschnitts) 

-> bezüglich z außermittig im Schwerpunkt (-> Beweis folgt später) 


Biegespannungen 

Ziele: 

- Berechnung der Biegespannungen im Querschnitt 

- Beweis der Behauptung: „Die neutrale Faser geht bei sowohl bei einfach 

als auch bei doppelt symmetrischen Querschnitten durch den 

Schwerpunkt“ 


Berechnung der Biegedehnungen und -spannungen: 

1. Mittelpunkt des Krümmungskreises bestimmen 

2. Krümmungsradius der neutralen Faser bestimmen 

3. Neutrale Faser ändert ihre Länge nicht! 

� 

4. Länge einer Faser an der Stelle z 

5. Dehnung einer Faser an der Stelle z 

Unverformtes Balkenelement 


Verformtes Balkenelement

Dehnung einer Faser an der Stelle z: 


Umrechnung Dehnung � Spannung 

Hookesches Gesetz 


Für einen doppelt symmetrischen Querschnitt ergibt sich


Beweis der Behauptung: 

„Die neutrale Faser geht sowohl bei einfach- als auch bei zweifach symmetrischen 

Querschnitten durch den Schwerpunkt“ 

-> Wohin muss der 

Koordinatenursprung gelegt werden, 

damit die Resultierende der 

Normalspannungen aller 

Flächenelemente dA nur das 

Biegemoment M y ergibt?


Zu erfüllende Bedingung: 

Die lineare Normalspannungsverteilung über den Querschnitt darf keine resultierende 

Längskraft zur Folge haben 

(statisches Moment)


Zusammenhang zwischen Krümmungsradius und Biegemoment 

Biegemoment: Kraft ∙ Hebelarm = ∫σ b(z) ∙ z dA

Axiales Flächenträgheitsmoment 

bzgl. der x-Achse 

Krümmung 

Bereits hergeleitete 

Biegespannungsgleichung 


Die Biegespannung hängt im 

Gegensatz zur Krümmung 

nicht von E ab !


Lineare Biegespannungsverteilung bei einem einfach symmetrischen Querschnitt

Lineare Biegespannungsverteilung bei einem doppelt 

symmetrischen Querschnitt 


Zum Vergleich 

Lineare Biegespannungsverteilung bei einem 

einfach symmetrischen Querschnitt

Beispiel: Rechteckquerschnitt 

-> Wie groß sind die Biegespannungen ? 


1. Bestimmung des axialen 

Flächenträgheitsmomentes I y


2. Bestimmung der Spannungen durch 

Einsetzen in die Biegespannungsformel 

(max. Spannung an oberem und 

unterem Rand) 

Der Verlauf zwischen diesen Randwerten ist linear

Weitere Vereinfachungen: 

Wiederstandsmoment eines 

Rechteckquerschnitts 


Widerstandsmoment

Flächenträgheitsmomente, Satz von STEINER 

„Das Flächenträgheitsmoment komplizierter Querschnitte 

ergibt sich aus der Summe bzw. Differenz der Einzelelemente, 

aus denen diese zusammengesetzt sind.“ 


-> Erhebliche Vereinfachung bei der Berechnung von I y komplizierter Querschnitte


Weitere Beispiele für Systeme mit identischen Symmetrieachsen der Teilquerschnitte:

Systeme mit parallel verschobenen Symmetrieachsen der Teilquerschnitte: 

(doppelt symmetrisch) 

Lage des Schwerpunktes: 


(einfach symmetrisch)

1. Schwerpunktlage bestimmen: 

2. (y,z)-Koordinatensystem in den Schwerpunkt legen 

3. Flächenträgheitsmomente der einzelnen Teilflächen 

bezogen auf den Gesamtschwerpunkt bestimmen 

(Satz von STEINER) 

4. Addieren 


Wie bestimmt man das Flächenträgheitsmoment eines zusammengesetzten Körpers?

Herleitung des Satzes von STEINER 

• Teilflächeneigenes KOS einführen 

• Infinitesimalen Flächenstreifen dA wählen 

• z-Koordinate vom Gesamt-SP aus 

bestimmen: 

• Mit der bekannten Formel das 

Flächenträgheitsmoment auf den 

Gesamtschwerpunkt bezogen bestimmen: 



Schwerpunktskoordinate 

im Teilflächen-KOS 

Axiales Flächenträgheitsmoment, 

bezogen auf den Teilflächen-SP 

� für eine Teilfläche 


� für den gesamten Querschnitt 

Flächeninhalt der Teilfläche 


Flächenträgheitsmoment der Teilfläche, 

Bezogen auf ihr lokales KOS 

„STEINER-Anteil“

Vereinfachung: dünnwandige Profile 

Dünnwandig: 

Dicke der einzelnen Stege ist 

deutlich kleiner als Höhe bzw. 

Breite des Profils 

� t



Biegung mit Längskraft 


-> Wie sieht die Spannungsverteilung bei Biegung mit Längskraft aus? 

-> Wo liegt die neutrale Faser? 

Spannungsverteilung 

Neutrale Faser 

z 


Gestauchte Faser 

Neutrale Faser 

Gedehnte Faser


Zweiachsige Biegung symmetrischer Querschnitte 

-> Schnittmomente um die y –Achse (wie bisher) und die z-Achse (zusätzlich) 

Direkte Übertragung / Überlagerung der Resultate für einachsige Biegung 

�Zweiachsige Biegung 

Problem: Übertragung der Vorzeichen 

positives M y � positives z � Zugspannungen 

ABER: 

positives M z � positives y � Druckspannungen 

Lösung: Anpassung der Vorzeichen von Längsdehnung 

und Biegespannung

Flächenträgheitsmomente, Hauptachsen 

(Beispiel: Rechteckquerschnitt) 

einachsig zweiachsig 


Rechenvereinfachung für drehsymmetrische Querschnitte: 

Das polare Flächenträgheitsmoment (siehe auch Abschnitt „Torsion“) 


Doppelt symmetrisches Profil 


Satz von STEINER für I y und I z 

Nach wie vor gilt: 

Analog hierzu: 


Vorgehensweise bei zusammengesetzten Querschnitten: 

Bestimmung des Schwerpunktkoordinatensystems in 

einem Querschnitt aus Elementen, deren 

Schwerpunkte nicht in einem Punkt zusammenfallen: 

Y-Richtung 

Z-Richtung 

Bestimmung der Flächenträgheitsmomente aus dem 

Satz von STEINER: 

Y-Richtung 

Z-Richtung 



(reine Biegung, keine überlagerten Zug-/ Druckbeanspruchungen) 

Biegespannungen bei positivem Biegemoment M y 


Biegespannungen bei positivem Biegemoment M z 


Achtung: Vorzeichen! 


-> Wo liegt die neutrale Faser? 


Neutrale Achse: 

Punkte maximaler 

Zug- und Druckspannung 

treten im größtmöglichen 

Abstand zur neutralen 

Achse auf (P 1, P 2). 


Zweiachsige Biegung mit Längskraft 

Addition von zur 

Biegespannungsverteilung: 

Wo liegt die neutrale Achse im Falle einer Biegung mit überlagerter 

Längskraft? 


Neutrale Achse: 

Punkte maximaler 

Zug- und Druckspannung 

treten nach wie vor im 

größtmöglichen Abstand 

zur neutralen Achse auf 

(P 1, P 2). 


Biegung unsymmetrischer Querschnitte 

• Axiale Flächenträgheitsmomente und Deviationsmoment 

• Ermittlung der Hauptträgheitsachsen 

• Biegespannung 

• Zweiachsige Biegung mit Längskraft 



Axiale Flächenträgheitsmomente und Deviationsmoment 

Querschnitt 

Koordinatensystem 

Symmetrisch oder 

doppelt symmetrisch 

Entlang der Symmetrieachsen 

ausgerichtet 

unsymmetrisch 

Keine Symmetrieachse � 

vergleichbare Ausrichtung 

finden (y‘-z‘-KOS)

Zur Berechnung unsymmetrischer Querschnitte 

benötigen wir: 

Flächenträgheitsmoment um 

die y-Achse 

Flächenträgheitsmoment um 

die z-Achse 

NEU: Deviationsmoment oder 

Zentrifugalmoment 


Für symmetrische Querschnitte gilt: 

Bei unsymmetrischen Querschnitten werden daher die 

Teilflächendeviationsmomente bezüglich der Schwerpunkte 

symmetrischer Teilflächen ebenfalls 0: 



Wie werden die Flächenträgheitsmomente unsymmetrischer Querschnitte bestimmt? 

Schwerpunkt des Gesamtsystems 

Schwerpunkt des Teilsystems 

Für ein infinitesimales 

Flächenelement gilt: 

Wie bei symmetrischen Querschnitten: Teilflächenträgheitsmoment + Steineranteil

Wie wird das Deviationsmoment bestimmt? 

Schwerpunkt des Gesamtsystems 

Schwerpunkt des Teilsystems 


Deviationsmoment der Teilfläche 

(bei symm. Querschnitten = 0) 

Statische Momente der Teilfläche 


Deviationssmoment der Teilfläche, 

Bezogen auf ihr lokales KOS 

„Steiner-Anteil“

Ermittlung der Hauptträgheitsachsen 


Wie wird das KOS in ein nichtsymmetrisches Profil gelegt, damit ein Biegemoment 

in eine Achsrichtung nur gerade Biegung hervorruft? 

Bei symmetrischen Profilen: KOS 

in Symmetrieebenen legen 

Schlussfolgerung: 

Wenn das Deviationsmoment = 0 

ist liegen die Koordinatenachsen 

richtig 

Das KOS wird gedreht, bis das Deviationsmoment = 0 ist 

In symmetrischen Profilen ist das 

Deviationsmoment = 0

Koordinaten des Punktes P in einem um 

den Winkel gedrehten KOS: 

Flächenträgheitsmoment um die η-Achse 


oder 

∫ ∫ ∫ 


Analog wird das Flächenträgheitsmoment 

um die ζ-Achse berechnet: 

Formel für das Flächenträgheitsmoment 


oder 


Analog wird das Deviationsmoment 

berechnet: 

Formel für das Deviationsmoment 




Bedingung: Das Deviationsmoment 

soll verschwinden 

Bei bekannten Flächenträgheits- und 

Deviationsmomenten entspricht dem Winkel, um 

den das KOS gedreht werden muss, um das 

Deviationsmoment verschwinden zu lassen


Analogiebetrachtung: 

Spannungen = f(ϕ) im ebenen Spannungszustand ↔ Flächenträgheitsmomente = f(ϕ) 

Winkellage der 

Hauptspannungsachsen 

Winkellage der 

Hauptträgheitsachsen


Analog zum MOHR‘schen Spannungskreis: der MOHR‘sche Trägheitskreis




Zerlegung des Biegemomentes auf die Hauptträgheitsachsen (zeichnerisch oder rechnerisch) 

Einsetzten in die bereits bekannte Biegespannungsformel


Die Bestimmung der neutralen Achse erfolgt ebenfalls wie bereits bekannt 

Reine Biegung 

-> neutrale Achse 

geht durch den 

Schwerpunkt 

Die Koordinaten der Punkte P 1 und P 2 mit den maximalen Zug- bzw. Druckspannungen 

können abgelesen werden

Zweiachsige Biegung mit Längskraft 

bekannte Formel für Biegung 

mit Längskraft 


-> neutrale Achse 

geht nicht durch 

den Schwerpunkt 

Die Koordinaten der Punkte P 1 und P 2 mit den maximalen Zug- bzw. Druckspannungen 

können wiederum abgelesen werden


Vorgehensweise bei Biegung unsymmetrischer Querschnitte 

Wähle geeignetes y-z Koordinatensystem 

zur Bestimmung der Flächenträgheitsmomente 

Bestimme Flächenträgheitsmomente 


Bestimme Winkel ϕ für Deviationsmoment I y‘z‘ = 0 

Transformiere I y -> I y‘ und I z -> I z‘ 

Zerlege Biegemoment in Anteile M y‘ und M z‘ 

Rechne zweiachsige Biegung in y‘ – z‘ Koordinaten

Die Biegelinie 

• Differentialgleichung der Biegelinie 

• Balken mit mehreren Bereichen 

• Statisch unbestimmte Systeme 

• Randbedingungen bei speziellen Lagerungen 

• Differentialgleichung 4. Ordnung der Biegelinie 


Differentialgleichung der Biegelinie 

Biegelinie (schematisch) 

Bisher geklärt: - Spannungsverteilung im Querschnitt 

- Bestimmung der Punkte mit den max. bzw. min. 

Spannungen 

Bisher ungeklärt: - Wie sieht die Biegelinie des gesamten Balkens 

aus? 

- Wie lässt sie sich mathematisch beschreiben? 


Herleitung der Biegelinie 

Lokaler Krümmungsradius: 

Bogenlänge: 


Schritt 1: 

Zeigen, dass gilt Bogenlänge 


Bogenlänge 


Schritt 2: 

Untersuchung des Ausdrucks bzw. dessen Kehrwert 



Positives Biegemoment � negative Krümmung

Verkürzte Herleitung der Biegelinie entsprechend Skript: 

(Krümmung einer Linie in der Ebene) 


Neigungswinkel des Balkens sehr klein 

Positives Biegemoment � negative Krümmung

Biegung um die z-Achse 

�Analoges Vorgehen 


ABER: hier führt ein positives Biegemoment zu einer positiven Krümmung!

Beispiel: Biegelinie eines einseitig fest eingespannten Balkens 

Differentialgleichung der Biegelinie: 

Freischnitt: 


Momentengleichgewicht:


Randbedingungen zur 

Bestimmung der Konstanten

Verschiebung am Balkenende (x = l) 

Neigung am Balkenende (x = l) 


Balken mit mehreren Bereichen 


Modellierung einer Biegelinie mit 2 Bereichen durch 2 DGLs 

� Verknüpfung der beiden Biegelinien durch entsprechende Randbedingungen 

Balken liegt fest auf 

beiden Lagern auf 

2 Biegelinien DGLs � 

4 Integrationskonstanten 

� 4 RB zu bestimmen 

Kein Sprung im Übergang 

Kein Knick im Übergang

Statisch unbestimmte Systeme 

-> Wie groß sind die Auflagerkräfte dieses Systems? 


4 Unbekannte (2 Kräfte und 1 Moment 

in der Einspannung, 1 Kraft am 

Balkenende) aber nur 3 Gleichungen 

� Es fehlt eine Gleichung!


Lösung: Eine Lagerreaktion durch eine statisch unbestimmte Kraft / ein statisch 

unbestimmtes Moment ersetzen








Jedes System muss im Gegenzug eine zusätzliche Verformungsbedingung erfüllen, 

um sich zu verhalten wie das Ausgangssystem: 

Ausgangssystem 

(Keine Absenkung im Endpunkt) 

(Keine Neigung in der „Einspannung“) 

(Keine Absenkung in der „Einspannung“)

Kräftegleichgewichte: 


(Verformungsbedingung) 

� 4 Gleichungen für 4 Unbekannte

(Bereich I) 


Bestimmung der Schnittgrößen für beide Bereiche des Balkens 

(Bereich II)

Biegelinie im Bereich I 



Einsetzen der 

Randbedingungen

Biegelinie im Bereich II 



Bestimmung der Kraft A 


Verformungsbedingung: 

Integrationskonstanten:

Einsetzen aller bestimmten Größen -> Abschnittsweise Biegelinien 


Bestimmung der gesuchten Auflagerkräfte 


Mehrfach statisch unbestimmte Systeme 



Zusätzliche 

Verformungsbedingungen

Randbedingungen bei speziellen Lagerungen 

-> Elastische Lagerung: 


Randbedingungen dieser Konstellation: 

Verformungsbedingungen: 

Punkt auf Balken an Einspannung ist fix 


Kraft S: Statisch unbestimmt 

Neigung (Tangente) an Einspannung hat Steigung 0 

Absenkung am Endpunkt entspricht Längung des 

Stabes 

�Beeinflusst die Kraft S 

� Zusätzliche Gleichung zur Lösung des statisch 

unbestimmten Problems

-> Lagerung mit Versatz: 

(Festes Widerlager am Balkenende) 

(Federndes Widerlager am Balkenende) 


Randbedingungen für beide Fälle: 

(Balken setzt am rechten Rand auf 

und komprimiert die Feder um Δl) 

(Die Federkompression beeinflusst 

die entgegengesetzte Kraft) 


(Balken setzt am rechten Rand genau auf 

dem vertikal unbeweglichen Lager auf)

Differentialgleichung 4. Ordnung der Biegelinie 


� Der Ausdruck E I w‘‘‘ entspricht der neg. Schnittgröße „Querkraft“ 

� Der Ausdruck E I w IV entspricht der Streckenlast

Wie groß ist die Durchbiegung am Balkenende? 

(Beispiel: einseitig fest eingespannter Balken) 


Geometrische Randbedingungen 

Keine Absenkung an der Einspannung 

Keine Biegung an der Einspannung 


Statische Randbedingungen 

Die Querkraft am Balkenende muss 

der Kraft F entsprechen 

Das Moment am Balkenende ist 0


Bestimmung der Integrationskonstanten durch Einsetzen der Randbedingungen


-> Absenkung bestimmen 


Schubspannung infolge Querkraft 

• Einführende Beobachtung 

• Balken mit symmetrischem Vollquerschnitt 

• Dünnwandige Querschnitte 


Einführende Beobachtung 


Nicht verbundene Schichten 

Verbundene Schichten 

Schubspannungen 


Schubspanungsverteilung im Querschnitt: 


Beispiel: Statisch bestimmter Balken mit konstanter Streckenlast 



Biegespannungsverlauf

Infinitesimales Element ins Gleichgewicht setzen: 

�Unterschiedliche Biegespannung an rechter und linker Seite 

�Zum Gleichgewicht ist eine Schubkraft erforderlich 




Statisches Moment der 

abgeschnittenen Fläche 



Schubspannungen stehen immer 

rechtwinklig zueinander 

� Die Resultierende aller 

Schubspannungen im Querschnitt 

entspricht der Querkraft

Berechnung des statischen Moments bei einfachen Geometrien 


Wie groß ist das statische Moment dieses Rechteckquerschnitts? 

Abgeschnittene Fläche A: 


Alternative: Integration 


Wie groß sind die Schubspannungen an der Stelle z? 


Wie groß sind die maximalen Schubspannungen? 



Wie groß ist das Verhältnis zwischen max. Schubspannung und max. Biegespannung beim 

einseitig eingespannten Balken mit Rechteckquerschnitt? 

Schlanker Balken: 

h

Alternative Betrachtung der abgeschnittenen Fläche 


Dünnwandige Querschnitte 

Herleitung wie zuvor 



Wie groß ist die Schubspannung in den einzelnen Abschnitten des U-Profils? 

Flächenträgheitsmoment: 

t


Statisches Moment:


Schubspannung:


Spannungsverlauf über das Profil


Statisches Moment, Teilfläche 1:


Statisches Moment, Teilfläche 2:


Statisches Moment, Teilfläche 1+2: 

Addition der beiden Anteile: 

Berechnung des stat. Moments an 3 Stellen:


Statisches Moment, Teilfläche 1+2:


Schubspannungen, obere und untere 

Faser:


Schubspannungen, Mittelfaser:

Symmetrisch zu Bereich 1 

� Schubspannungen sind gleich 


Statisches Moment, Schubspannungen:

Graphische Darstellung der Schubspannungen 


Resultierende Schubkräfte 

Allgemein gilt: 


Der Schubmittelpunkt 


-> An welcher Stelle muss die Querkraft angreifen, um mit den Resultierenden der 

Schubspannungen ins statische Momentengleichgewicht zu gelangen? 

Schubmittelpunkt 

Die Wirkungslinie der Querkraft muss 

durch den SMP gehen, ansonsten wird 

der Balken tordiert !

Festigkeitslehre Prof. Beck Kapitel 6 - Institut für Allgemeine Mechanik

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?