GAMM Rundbrief 2007/Heft 1

4. Konstruktive und Mathematische Optimierung
des Zehnerübertrags im Hannoverschen Modell
Anhand unserer vollständigen analytischen Beschreibung
der Getriebekinematik sowie eingehender konstruktiver
Studien möglicher Verbesserungen der Leibnizschen
Maschine durch Dr.-Ing. F. O. Kopp [8] im Rahmen der
ebenen Trigonometrie erfolgte deren mathematische
Mehrziel-Optimierung mit großer Unterstützung durch
Frau Dr.-Ing. Karin Wiechmann von unserem Institut. Es
sind fünf Gleichheits- und sechs Ungleichheitsnebenbedingungen
zu erfüllen. Die 8 Entwurfsvariablen sind: die
Radien der Muldenräder, Einzähne, Fünfhörner, Zweihörner
und Zählräder sowie die Drehwinkel der Muldenräder
und Zählräder und der maximale halbe Zweihorn-Spreizwinkel.
Die quadratische Zielfunktion enthält die drei Teilziele:
Muldenraddrehung durch Einzahn nahe bei 18°,
Drehung des nächstlinken Zählrades durch das Muldenrad
(angetrieben durch das Fünfhorn) nahe bei 36° und
halber Zweihorn-Spreizwinkel möglichst nahe bei 90°.
Das übergeordnete Optimierungsziel, die maximal zulässige
Stellenzahl des Eingabewerks, ist hieraus durch eine
Integer-Optimierung ermittelbar.
Hierzu wurde eine exakte l 1-Penalty-Funktion mit Hilfe
eines genetischen Algorithmus’ und eines jeweils nachgeschalteten
Abstiegsverfahrens verwendet.
Das Hannoversche Modell kommt mit dem Zählraddrehwinkel
von 31,55° dem Ziel von 36° am nächsten. Jedoch
wird damit nicht der größtmögliche Zweihorn-Spreizwinkel
von 146,64° erreicht, sondern nur 137,32°, was für 8 Eingabestellen
ausreichend ist. In Bild 4a,b,c werden die rechnerische
Darstellung eines Zehnerübertrags mit der Getriebe-
Calculemus
kinematik, die Formulierung des Optimierungsproblems
sowie ein Beispiel für die Nebenbedingungen gezeigt. In
Tabelle 1 sind die Ergebnisse mit den für die Hannoversche
Konstruktion gewählten Daten sowie die Integer-Optimierung
für die maximale Eingabestellenzahl dargestellt.
Als Ergebnis kommt das neu gebaute Hannoversche
Modell mit dem Zählraddrehwinkel von �GZR = 31,55°
dem Ziel von 36° am nächsten. Jedoch wird damit nicht
der größtmögliche Zweihornspreizwinkel von 2 · 73,32° =
146,64° (wie in Lauf 4) erreicht, sondern nur 2 · 68,66° =
137,32°, was für 8 Eingabestellen ausreichend ist.
Die maximale Zahl der Eingabestellen der Leibnizschen
Maschine ergibt sich zu n = 2 · (int[(�ZHmax - �ZHmin) /
��ZH] + 1), zahlenmäßig: n = 2 · (int[(73,32° - 19,13°) /
15,70°] + 1) = 2 · (int[3,45] + 1) = 8. Damit ergibt sich die
maximal mögliche Eingabestellenzahl der Leibnizschen
Vier-Spezies-Maschine zu n = 8, ein Ergebnis, was erstmals
auf analytische Weise gezeigt wurde. Es ist bemerkenswert,
dass Leibniz seine Maschine mit genau diesen
8 Eingabestellen gebaut hat.
Bild 3 (Seite 9 oben): Hannoversches Modell 2005
der Leibnizschen Vier-Spezies-Rechenmaschine mit
doppelten Staffelwalzen-Abständen, 6 Eingabe- und
12 Resultatstellen, sowie konstruktiven Optimierungen,
K. Popp†, E. Stein und F. O. Kopp (2005)
Rundbrief 1/2007
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