GAMM Rundbrief 2007/Heft 1

Will man den Umgang mit Ungleichungen automatisieren,
so kann man Intervalloperationen verwenden. Diese
zeichnen sich insbesondere durch die Eigenschaft aus,
dass reelle Ergebnisse von den intervallmäßig berechneten
Ergebnissen eingeschlossen werden. Die notwendigen
Fallunterscheidungen beim Umgang mit Ungleichungen
werden von den Intervalloperationen automatisch
durchgeführt. So sind beispielsweise bei der effizienten
Implementierung einer Intervallmultiplikation bereits 9
Fälle entsprechend der möglichen Lagen der Operandenintervalle
bzgl. 0 zu unterscheiden. Berechnet man also
auf einem Computer I – RA mit (Maschinen-) Intervalloperationen,
ergibt sich eine (Maschinen-) Intervallmatix
C als Ergebnis, welche die exakte Punktmatrix I – RA
sicher einschließt. Gilt dann abs(C)*allone < allone, so
ist bewiesen, dass die Matrix A regulär ist.
Dieser Ansatz lässt sich auf Intervallmatrizen A verallgemeinern.
Das folgende C-XSC-Programmfragment kann
dazu verwendet werden, zu zeigen, dass jede Punktmatrix
(es sind unendlich viele) innerhalb einer (echten) Intervallmatrix
regulär ist:
int n(3); //dimension of matrices
imatrix A( neumaier(n,3.25) );
imatrix R( inv(mid(A)) );
if (maxabs(eye(n)-R*A)*allone(n)