GAMM Rundbrief 2007/Heft 1

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Krämer
Figure 1. Simulationsergebnisse in single-precision (links) und double-precision (rechts).
Die Abfolge der mathematischen Operationen ist in beiden Fällen identisch.
Sind nun A und R Gleitkommamatrizen, so kann die hinreichende
Bedingung (1) unter Verwendung von gerichtet
gerundeten Gleitkommaoperationen wie folgt nachgewiesen
werden:
setround(down); //Rdg nach unten
C1= R*A-I;
setround(up); //Rdg nach oben
C2= R*A-I;
C= max(abs(C1), abs(C2));
x= allone; //alle x[i]=1
w= (C*x < x) //Rdg nach oben
Hat nun w den Wahrheitswert wahr so ist Bedingung (1)
sicher erfüllt, d. h. die Matrix A ist dann bewiesenermaßen
regulär. Sinnvollerweise sollte der Präkonditionierer R dabei
als Näherung an A -1 gewählt werden.
Bestimmt man C1, C2 und C wie gerade angegeben, so
gilt C1 � RA – I � C2 und damit 0 � |RA – I| = |I – RA|
� C, so dass aus Cx < x erst recht |I – RA| x < x folgt. Es
ist dabei zu beachten, dass eine Umschaltung des Rundungsmodus
mit setround solange wirksam bleibt, bis sie
durch eine erneute Umschaltung modifiziert wird. Dabei
beeinflusst der gewählte Rundungsmodus alle arithmetischen
Grundoperationen. setround(up) bewirkt die Rundung
in Richtung ��, wohingegen setround(down) die
Rundung Richtung �� erzwingt.
Rundbrief 1/2007
Es ist bemerkenswert, dass mit
setround(down)
C1= I- R*A;
setround(up);
C2= I- R*A;
im Allgemeinen weder C1 � I – RA � C2 noch C2 � I –
RA � C1 gelten. Wählt man z.B.
R = ⎛2 0⎞ , A = ⎛6 -7⎞ ,
⎝0 1⎠ ⎝0 20⎠
so berechnet sich C1 und C2 mit einer einstelligen Dezimalarithmetik
(der Leser sollte dies zur Übung einmal per
Hand nachrechnen) zu
C1 = ⎛-9 20⎞ , C2 = ⎛-10 10⎞ .
⎝ 0 -20⎠ ⎝ 0 -10⎠
Offensichtlich ist weder C1 noch C2 mit
I – R · A =
⎛-11 14⎞
⎝ 0 -19⎠
vegleichbar. Das Element C1 12 berechnet sich z.B. zu
down(0-down(2*(-7))=down(0-down(-14))=down
(0-(-20))=down(20)=20. Dabei soll down( ) bedeuten,
dass das exakte (Zwischen-)Ergebnis auf eine Dezimale
nach unten gerichtet gerundet wird, z.B. down(-12)=-20,
down(-300)=-300, down(13)=10, usw.