PHYSIK II Serie 8, Musterlösung

Prof. Dr. Danilo Pescia
Tel. 044 633 21 50
pescia@solid.phys.ethz.ch
1. Vieratomiges Molekül
PHYSIK II
Sommersemester 06
www.microstructure.ethz.ch
Serie 8, Musterlösung
Niculin Saratz
Tel. 044 633 23 28
saratz@phys.ethz.ch
Die Rotationsenergie des Moleküls Erot = 1
2 Θω2 rot entspricht der absorbierten Energie hν. Damit
haben wir
ωrot =
� 2hν
Θ
In beiden Fällen beträgt das Trägheitsmoment Θ = � 4
1 mr2 i = ma2 :
a) Θ = 4m( a
2 )2 = ma 2
b) Θ = 2m( a √ 2 ) 2 = ma 2
Mit den Werten m = 5 · 10 −27 kg und a = 1 · 10 −10 m und der aus der Absorptionskurve
ersichtlichen Absorptionsenergie hν = 2 meV erhalten wir ωrot = 3.58 · 10 12 s −1 .
2. Starrer Körper
Die potenzielle Energie ist U = mgz. Die kinetische ist T = 1
2Θω2 . Weiter gilt ω = ˙ϕ
und z(t) = Rϕ(t). Damit lässt sich die Lagrange-Funktion schreiben als
L = m
2 ˙z2 + Θ
� �2 ˙z
− mgz .
2 R
Daraus finden wir sofort die Euler-Lagrage-Gleichung für z(t):
�
¨z m + Θ
R2 �
= −mg .
Ihre Lösung ist eine gleichmässig beschleunigte Bewegung:
z(t) = −mg
m + Θ
R2 t2 2 .
Wir setzen nun z(t) = −z0 ein und lösen nach t auf:
� �
2z0
t = m +
mg
Θ
R2 �
Wir sehen, dass für Θ ≫ mR 2 → t ∝ √ Θ wird.
3. Torsion
2 m ˙z2 + 1
Für Rotationsbewegungen ist D = Θ ¨ϕ. Damit ist die Bewegungsgleichung Θ ¨ϕ = −δϕ was der
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BGL eines harmonischen Oszillators entspricht. Die Frequenz identifizieren wir sofort: ω =
4. Makromolekül
� δ
Θ .
Der Drehimpuls L des Makromoleküls ist bekannt. Kennen wir auch das Trägheitsmoment Θ des
Moleküls, so können wir die Rotationsgeschwindigkeit ω über folgende Beziehung leicht bestimmen:
L = Θω.
Die Hauptaufgabe besteht jetzt also in der Bestimmung des Trägheitsmoments: Θ = � r 2 ⊥ dm.
Im Folgenden bezeichne M die Gesamtmasse und R den Radius des Makromoleküls.
a) Da hier das Molekül als Kugel mit homogener Massenverteilung betrachtet wird, können
wir das Trägheitsmoment über ein Volumenintegral bestimmen. Wir wählen sinnvollerweise
Kugelkoordinaten.
In Kugelkoordinaten lautet das Volumenelement dV = r 2 sin θdrdθdφ.
Mit der Massendichte (pro Volumen) ρV gilt dann:
Θ =
�
r
Kugel
2 � R � π � 2π
⊥ρVdV = ρV
(r sinθ)
0 0 0
2 · r 2 R
sinθ dr dθ dφ = ρV
5
5 2π
� π
sin
0
3 =
θ dθ
R
ρV
5
5 2π
� π
sinθ (1 − cos 2 R
θ) dθ = ρV
5
5 2π
� 1
(1 − t 2 ) dt = 8π
15 R5ρV = 2
5 MR2
0
Die Rotationsgeschwindigkeit ω beträgt 6, 27 · 10 8 Hz.
b) Da hier das Molekül als Kugelschale mit homogener Massenverteilung angenommen wird,
können wir das Trägheitsmoment über ein Oberflächenintegral bestimmen. Wir wählen
wiederum am besten Kugelkoordinaten.
In Kugelkoordinaten lautet das Flächenelement dS = R2 sinθ dθ dφ. Mit der Massendichte
(pro Fläche) ρS gilt dann:
�
� π � 2π
Θ =
(R sinθ) 2 · R 2 sinθ dθ dφ = ρSR 4 � π
2π sin 3 θ dθ
r
Kugelschale
2 ⊥ρS dS = ρS
= 8π
3 R4 ρS = 2
3 MR2
Die Rotationsgeschwindigkeit ω beträgt 3, 76 · 10 8 Hz.
0
0
2
−1
0