Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
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78 4 MODELLIERUNG AUF KONTINUIERLICHER FELDEBENE<br />
pazitäten und elektrische Leitwerte ermitteln.<br />
Numerisch wird die Kle<strong>in</strong>signalanalyse analog durchgeführt. Gemäß [151] folgt man e<strong>in</strong>em<br />
zweistufigen Simulationsschema. In e<strong>in</strong>em ersten Schritt werden zunächst die klassischen<br />
Halbleitergleichungen für den stationären Fall, d.h. für e<strong>in</strong>en<br />
¦<br />
festen Arbeits-<br />
£¢¡<br />
punkt , gelöst und daraus das<br />
£ �<br />
elektrische Potential sowie die räumlichen Ladungs-<br />
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£ � � £¢¡ £¢¡ £ �<br />
verteilungen und £<br />
berechnet:<br />
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div ¡ £<br />
�<br />
§<br />
£<br />
¨ � �<br />
im Halbleiter<br />
im Oxid<br />
(4.29)<br />
¡ ¨¦¤ § im Halbleiter (4.30)<br />
¢<br />
Hierbei bezeichnet ¡<br />
¢ die Dichte der ionisierten Donatoren im hier n-dotierten Silizi-<br />
¡<br />
umsubstrat, � die ¦ Elementarladung, die Dielektrizitätskonstante und ¤<br />
die Rekomb<strong>in</strong>ationsrate,<br />
die im vorliegenden Fall durch das Shockley-Read-Hall Modell beschrieben<br />
wird.<br />
Die Stromdichten ¡<br />
¢<br />
£<br />
und ¡ £<br />
für die Löcher bzw. die Elektronen erhält man aus dem Drift-<br />
Diffusionsmodell unter der Annahme e<strong>in</strong>er Boltzmannverteilung für die Ladungsträger:<br />
£ ¡<br />
¢<br />
£ ¡ ¡<br />
¡ ¨<br />
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¢<br />
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£<br />
£��<br />
(4.31)<br />
(4.32)<br />
£<br />
¢ und s<strong>in</strong>d die Beweglichkeiten für Elektronen und Löcher, ¨<br />
und ¢ ¨ bezeichnen<br />
die Quasi-Ferm<strong>in</strong>iveaus £ � und die <strong>in</strong>tr<strong>in</strong>sische Ladungsträgerdichte.<br />
An den Grenzflächen zwischen Halbleiter ( � ) und Oxid ( ¨<br />
) gilt außerdem für das elektrische<br />
Potential ¦<br />
:<br />
¦ �<br />
¡�� �<br />
¨<br />
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¡�� �<br />
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¦<br />
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�¥��� � ¡<br />
�<br />
wobei die Grenzflächenladungsdichte und ¢�� �<br />
Grenzfläche bezeichnen.<br />
¡<br />
¢��<br />
� (4.33)<br />
die Normalenableitung <strong>auf</strong> der<br />
Zur Berechnung der Kle<strong>in</strong>signalgrößen wird nun der Gleichspannung e<strong>in</strong>e kle<strong>in</strong>e<br />
Wechselspannung überlagert:<br />
���<br />
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������<br />
£ £ � � ���<br />
(4.34)<br />
Hierbei soll im allgeme<strong>in</strong>en ¡ ��� ¡ �<br />
(thermische Spannung) gelten, so daß ke<strong>in</strong>e La-<br />
� �<br />
dungsträgergeneration <strong>auf</strong>grund der angelegten Wechselspannung erfolgen kann.<br />
Da das Problem nun von der Zeit abhängt, müssen auch die grundlegenden Halbleitergleichungen<br />
zeitabhängig formuliert werden, und die Kle<strong>in</strong>signalantwort des Systems,
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