Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...

4.3 FLUID-STRUKTUR-WECHSELWIRKUNG 65
gen von der Kontinuumsströmung sogar so gering, daß hier die klassische Navier-Stokes-
Gleichung verwendet werden kann, der ” verdünnte Gas-Effekt“ wird hier lediglich über
modifizierte Randbedingungen berücksichtigt [13]. Dies drückt sich aus in Geschwindigkeitsschlupf
und einem Temperatursprung an der Grenzfläche Gas-Wand, die durch die
größere mittlere freie Weglänge der Moleküle und der damit verbundenen reduzierten
Zahl an Stößen zustandekommen. In den hier betrachteten Situationen spielen Temperaturdifferenzen
keine oder nur eine sehr untergeordnete Rolle, daher wird im weiteren
Verlauf nur auf die modifizierten Geschwindigkeitsrandbedingungen eingegangen. Ausgehend
von einer Analyse des Impulsübertrages von Gasmolekülen auf eine isotherme
Oberfläche erhält man aus der Beziehung für die Schlupfgeschwindigkeit £ ¡ des Fluids in
der Nähe einer Wand, die sich mit der Geschwindigkeit £¡ bewegt
£ ¡
¡
�
¢ £ � §
� £���¨
¨
� £ �
�
¨ £¢
¤ (4.27)
mittels Taylorentwicklung für £ um � £ die Schlupfrandbedingungen in allgemeinster
¡
Form � �
[14]:
§ ¨ � �
¨
� � £
¨ � £
¡
� � § � � �
�
£¢
(4.28)
¡ £
¨ £ ¡ £ ¡
bedeutet hier die Tangentialgeschwindigkeit der Gasmoleküle in £ � einer definierten Ent-
¨ fernung von der Wand und den Akkomodationskoeffizienten für den Impulsübertrag,
der angibt, welcher Anteil der Moleküle diffus (und nicht spiegelnd) reflektiert wird.
¢
wird meist an einem Ort, der eine mittlere freie Weglänge £ � von der Wand entfernt
ist, betrachtet, andernfalls ändern sich die
¡
Vorfaktoren
�
in der Taylorentwicklung 4.28.
Für den Akkomodationskoeffizienten ¨
wird in vielen technischen ¨ Anwendungen ,
d.h. vollständig diffuse Reflexion angenommen. kann aus Messungen bestimmt werden
¨
und variiert u.a. mit der Oberflächenbeschaffenheit und dem Material der Wand sowie der
Umgebungstemperatur. Eine Zusammenstellung gemessener Werte findet sich in [114]
und [134]. Zur Beschreibung der Schlupfströmung genügen in der Regel Schlupfrandbedingungen
erster Ordnung, d.h. die Taylorreihe 4.28 wird nach dem ersten Glied abgebrochen.
Für den Bereich der Übergangsströmung müssen auch höhere Ordnungen mitgenommen
werden, zusätzlich dazu muß der viskose Spannungstensor modifiziert werden,
z.B. mittels des Burnett Spannungstensors [14]. Beskok und Karniadakis [14] erhalten
auf diese Weise ein Modell, das es ermöglicht, den Gasfluß in Kanälen und Röhren für
den gesamten Knudsenbereich zu berechnen.
In einigen Fällen der Mikrosystemtechnik kann zur Beschreibung des Übergangs zwischen
Kontinuums- und Molekularströmung eine effektive Viskosität eingeführt werden,
deren Wert mit zunehmender mittlerer freier Weglänge abnimmt [12]. Damit gelingt es
dort, das Verhalten von Mikrobauelementen im Bereich der verdünnten Gase phänomenologisch
zu beschreiben (z.B. [6, 128]), die Qualität der Ergebnisse hängt aber stark vom
gegebenen Problem und dem Modell für die effektive Viskosität ab.
Die Auswirkungen, die sich für Schlupf- und Übergangsbereich im Spezialfall der
Schmierfilmtheorie (Squeeze-Film-Dämpfung) ergeben, werden in Kap. 5.3.1 diskutiert,
wo auch die Ableitung des Modells für diesen Spezialfall aus der Navier-Stokes-
Gleichung erfolgt.