Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...

64 4 MODELLIERUNG AUF KONTINUIERLICHER FELDEBENE
Für vertikal bezüglich eines Substrats bewegte Strukturen überwiegt die sog. ” Squeeze-
Film-Dämpfung“ (SQFD), auch als Schmierfilmdämpfung aus der Lagerreibung bekannt.
Durch die Kompression des Fluids im Spalt zwischen bewegter und fester Struktur tritt
hier zusätzlich zur Dämpfung eine Federkraft auf. Diese Art der Dämpfung bestimmt
typischerweise das dynamische Verhalten von vertikal bewegten Bauelementen, wie beispielsweise
von Beschleunigungssensoren [122], und wird in den Kapiteln 5.3 und 5.4
detailliert behandelt.
Gleichungen 4.25 und 4.26 bilden zusammen mit den Gleichungen der fluidischen
Domäne (Geichungen 4.22 und 4.24) und der strukturmechanischen Domäne (Gleichungen
4.11–4.13) die Basis für die Modellierung fluid-mechanisch gekoppelter Probleme.
Falls allerdings die Abmessungen der Struktur in die Größenordnung der mittleren freien
Weglänge der Fluidmoleküle kommen, kann die Kontinuumstheorie nicht mehr uneingeschränkt
angewendet werden, und es müssen Schlupf- und ” verdünnte Gaseffekte“
einbezogen werden. Auf diese Problematik wird im folgenden Kapitel eingegangen.
4.3.2 Grenzen der Kontinuumstheorie
Die Navier-Stokes-Gleichung 4.22 beruht auf der Kontinuumshypothese und ist daher
nur dann uneingeschränkt gültig, wenn die mittlere freie Weglänge in einer
Flüssigkeit viel kleiner ist als die für die Strömung maßgebliche Abmessung �
.
In Luft beträgt unter Normalbedingungen ca. 65 nm, so daß dies in Mikrobauelementen
nicht automatisch
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gewährleistet
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ist.
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Man
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klassifiziert
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Gasströmungen
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diesbezüglich über � £ ¢¡ die Knudsenzahl .
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Unterhalb
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liegt
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ein
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Kontinuum, oberhalb Molekularströmung vor. Im � £
Bereich dazwischen
spricht man von verdünnten Gasen“ und nimmt empirisch folgende Einteilung
”
vor, deren Grenzen allerdings je nach Problemgeometrie leicht variieren können [97]:
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Kontinuumströmung Schlupfströmung Übergangsströmung Molekularströmung
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Streng genommen ist nur für den Bereich der Kontinuumsströmung die Anwendung
der Navier-Stokes-Gleichung gerechtfertigt, für die anderen Bereiche muß die
Boltzmann-Transportgleichung verwendet werden. Hier haben sich bereits einige Methoden
zur näherungsweisen Berechnung des Stoßintegrals etabliert, weit verbreitet ist
z.B. das Bhatnagar-Gross-Krook-Modell (BGK-Modell) [16]. Numerisch effizienter als
die Boltzmann-Transportgleichung sind allerdings ” Direct-Simulation Monte Carlo“-
Methoden (DSMC) [14], die ebenfalls erfolgreich zur Berechnung von Strömungen
verdünnter Gase eingesetzt werden (z.B. [18]).
Für den Bereich der Schlupf- und Übergangsströmung ist es auch möglich, Kontinuumsnäherungen
abzuleiten, die es erlauben, weiterhin die Navier-Stokes-Gleichung zu
verwenden. Ausgehend von den Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie
sind lediglich die Randbedingungen für Geschwindigkeit und Temperatur sowie die Modelle
für den viskosen Spannungstensor und den Wärmestrom im Vergleich zur Kontinuumstheorie
zu modifizieren. Für den Bereich der Schlupfströmung sind die Abweichun-