Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
64 4 MODELLIERUNG AUF KONTINUIERLICHER FELDEBENE<br />
Für vertikal bezüglich e<strong>in</strong>es Substrats bewegte Strukturen überwiegt die sog. ” Squeeze-<br />
Film-Dämpfung“ (SQFD), auch als Schmierfilmdämpfung aus der Lagerreibung bekannt.<br />
Durch die Kompression des Fluids im Spalt zwischen bewegter und fester Struktur tritt<br />
hier zusätzlich zur Dämpfung e<strong>in</strong>e Federkraft <strong>auf</strong>. Diese Art der Dämpfung bestimmt<br />
typischerweise das dynamische Verhalten von vertikal bewegten Bauelementen, wie beispielsweise<br />
von Beschleunigungssensoren [122], und wird <strong>in</strong> den Kapiteln 5.3 und 5.4<br />
detailliert behandelt.<br />
Gleichungen 4.25 und 4.26 bilden zusammen mit den Gleichungen der fluidischen<br />
Domäne (Geichungen 4.22 und 4.24) und der strukturmechanischen Domäne (Gleichungen<br />
4.11–4.13) die Basis für die <strong>Modellierung</strong> fluid-mechanisch <strong>gekoppelter</strong> Probleme.<br />
Falls allerd<strong>in</strong>gs die Abmessungen der Struktur <strong>in</strong> die Größenordnung der mittleren freien<br />
Weglänge der Fluidmoleküle kommen, kann die Kont<strong>in</strong>uumstheorie nicht mehr une<strong>in</strong>geschränkt<br />
angewendet werden, und es müssen Schlupf- und ” verdünnte Gaseffekte“<br />
e<strong>in</strong>bezogen werden. Auf diese Problematik wird im folgenden Kapitel e<strong>in</strong>gegangen.<br />
4.3.2 Grenzen der Kont<strong>in</strong>uumstheorie<br />
Die Navier-Stokes-Gleichung 4.22 beruht <strong>auf</strong> der Kont<strong>in</strong>uumshypothese und ist daher<br />
nur dann une<strong>in</strong>geschränkt gültig, wenn die mittlere freie Weglänge <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er<br />
Flüssigkeit viel kle<strong>in</strong>er ist als die für die Strömung maßgebliche Abmessung �<br />
.<br />
In Luft beträgt unter Normalbed<strong>in</strong>gungen ca. 65 nm, so daß dies <strong>in</strong> Mikrobauelementen<br />
nicht automatisch<br />
¡<br />
gewährleistet<br />
�<br />
ist.<br />
�<br />
Man<br />
¡<br />
klassifiziert<br />
�<br />
Gasströmungen<br />
§<br />
diesbezüglich über � £ ¢¡ die Knudsenzahl .<br />
¡<br />
Unterhalb<br />
�<br />
liegt<br />
§<br />
e<strong>in</strong><br />
� £<br />
Kont<strong>in</strong>uum, oberhalb Molekularströmung vor. Im � £<br />
Bereich dazwischen<br />
spricht man von verdünnten Gasen“ und nimmt empirisch folgende E<strong>in</strong>teilung<br />
”<br />
vor, deren Grenzen allerd<strong>in</strong>gs je nach Problemgeometrie leicht variieren können [97]:<br />
§ § § � § § § § � § §�� § §�� � §<br />
� §<br />
§<br />
Kont<strong>in</strong>uumströmung Schlupfströmung Übergangsströmung Molekularströmung<br />
� £¤£<br />
� � £¤£<br />
� � £¤£<br />
� £¤¥<br />
Streng genommen ist nur für den Bereich der Kont<strong>in</strong>uumsströmung die Anwendung<br />
der Navier-Stokes-Gleichung gerechtfertigt, für die anderen Bereiche muß die<br />
Boltzmann-Transportgleichung verwendet werden. Hier haben sich bereits e<strong>in</strong>ige Methoden<br />
zur näherungsweisen Berechnung des Stoß<strong>in</strong>tegrals etabliert, weit verbreitet ist<br />
z.B. das Bhatnagar-Gross-Krook-Modell (BGK-Modell) [16]. Numerisch effizienter als<br />
die Boltzmann-Transportgleichung s<strong>in</strong>d allerd<strong>in</strong>gs ” Direct-Simulation Monte Carlo“-<br />
Methoden (DSMC) [14], die ebenfalls erfolgreich zur Berechnung von Strömungen<br />
verdünnter Gase e<strong>in</strong>gesetzt werden (z.B. [18]).<br />
Für den Bereich der Schlupf- und Übergangsströmung ist es auch möglich, Kont<strong>in</strong>uumsnäherungen<br />
abzuleiten, die es erlauben, weiterh<strong>in</strong> die Navier-Stokes-Gleichung zu<br />
verwenden. Ausgehend von den Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie<br />
s<strong>in</strong>d lediglich die Randbed<strong>in</strong>gungen für Geschw<strong>in</strong>digkeit und Temperatur sowie die Modelle<br />
für den viskosen Spannungstensor und den Wärmestrom im Vergleich zur Kont<strong>in</strong>uumstheorie<br />
zu modifizieren. Für den Bereich der Schlupfströmung s<strong>in</strong>d die Abweichun-