Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...

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62 4 MODELLIERUNG AUF KONTINUIERLICHER FELDEBENE in vektorieller Form folgendermaßen schreiben läßt: �¡ �� ¡ � � ��¡ �£¢�¡ � ��£ ¡ © £ ¥ £ � � ¦ � ¡ �� ¨ � � Die linke Seite der Gleichung enthält Inertialterme, die rechte £ Druckgradienten und ��¡ Zähigkeitsterme. Sie vereinfacht sich für inkompressible �¡ Flüssigkeiten ( � ¡¨§ ) weiter � ¦ ¡ � zu: £ ¡ � � � ¡ � ¡ ¡ � ¨ ¦ © £ ¥ £ £ �� ¡ � � (4.20) � �� Inkompressible Flüssigkeiten werden also lediglich durch einen Koeffizienten, die Scherviskosität ¦ , beschrieben. Die Volumen- oder Kompressibilitätsviskosität � , auch zweite ” Zähigkeit“ genannt, tritt nur bei kompressiblen Fluiden in Erscheinung, bei denen Volumenänderung möglich ist. Sie ist im allgemeinen in derselben Größenordnung wie die Scherviskosität [73]. Für Newtonsche Fluide (die Scherspannungen sind proportional zu den Geschwindigkeitsgradienten) kann i.a. mit der Stokes Hypothese � gearbeitet werden, § ¡ ¦ § � nach der zwischen Scher- und Volumenviskosität die Beziehung besteht. Gleichung 4.20 wird damit zu �¡ �� £ ¡ � � � ¡ �£¢�¡ � � ¡ � � © £ ¥ £ � � © £ ¥ £ � ��¦ � ¡ � ¨ ¨ ¡ � � � (4.21) � Eine wichtige Kenngröße für Strömungen in zähen Flüssigkeiten ist die dimensionslose Reynoldszahl: �¡ ¡ � � ¤¦¥ ¦ � £ ¥ £ £ �� ¡ � © (4.22) � (4.23) ¦ wobei � die Dichte und ¦ die Zähigkeit des Fluids, � eine charakteristische Geschwindigkeit und � eine charakteristische Länge der Strömung bezeichnen. Die Reynoldszahl stellt ein Maß für das Verhältnis von Trägheits- zu Reibungskräften in der Strömung dar und kennzeichnet damit den Übergang zwischen laminarer und turbulenter Strömung. Für kleine Reynoldszahlen dominieren die Reibungskräfte, d.h. es herrscht laminare Strömung. Ab Reynoldszahl¤¦¥ � ¨ � � einer kritischen überwiegen die Trägheitskräfte, und die Strömung turbulent.¤¦¥ � ¨ � � wird hängt von der Strömungsgeometrie ab und liegt beispielsweise im Falle einer Strömung durch ein zylindrisches Rohr bei ca. 2300. In mikromechanischen Strukturen sind die Strömungen aufgrund der kleinen Abmessungen oft laminar. �¨§ Zusammen mit Materialgesetzen ( � §�� § ¦�£ � § � � £ � ) liefert die Navier-Stokes- Gleichung 4.22 drei Gleichungen für vier Unbekannte: drei Geschwindigkeitskomponenten � � ¡ ��§ § § � � ( ) und Druck � . Ergänzt durch die Kontinuitätsgleichung � � �� £ ��£ � ¡ � � ¡ § § � (4.24) die die Massenerhaltung einer Flüssigkeit ausdrückt, läßt sich dann die Bewegung eines zähen Fluids vollständig beschreiben.
4.3 FLUID-STRUKTUR-WECHSELWIRKUNG 63 Fluid-Struktur-Wechselwirkung: Koppelbedingungen f mechanische Domäne v u fluidische Domäne Fluid-Struktur-Grenzfläche Abbildung 4.16: Schematische Darstellung eines fluid-mechanisch gekoppelten Problems: An der Grenzfläche Fluid-Struktur müssen Koppelbedingungen für die Kräfte ¡ , die Verschiebungen ¡ �¡ und £ die Geschwindigkeiten erfüllt sein. gungen für die Kräfte sein 3 : Die Indices � und Domäne. Wie bei der elektromechanischen Kopplung erfolgt auch bei der Fluid-Struktur- Wechselwirkung die Kopplung über die Grenzfläche zwischen den beiden beteiligten physikalischen Domänen. Dies ist in Abb. 4.16 veranschaulicht. Im allgemeinen handelt es sich hierbei um ein bidirektional gekoppeltes Problem, d.h. das Fluid übt auf die sich bewegende mechanische Struktur eine Kraft aus, wodurch diese deformiert wird, und dann wiederum die Geschwindigkeitsund Druckverteilung im Fluid beeinflußt. An der Grenzfläche Struktur-Fluid müssen daher folgende Koppelbedin- , die Verschiebungen � £ und die Geschwindigkeiten � � erfüllt � � ¡ ¡ � ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ stehen hier jeweils für die strukturmechanische bzw. die fluidische £ ¡ ¡ ¡ £¡ ¡ (4.25) Gemäß [46] läßt sich die � -te Komponente � � der Kraft eines Fluids auf eine angrenzende Fläche im allgemeinsten Fall darstellen als: � � ¡ ¢ � £ £ � � � � § � � � ¦ � � ¨ £ ¦ £¤£ � � � � � � � � � � ¡ � � ¢ £ � � �¦¥ (4.26) � � £�� £ � � � � � � wobei den bereits in Kapitel � 4.3.1 eingeführten Tensor für Impulsübertrag im Fluid bezeichnet, £ £ � ¡ das betrachtete Flächenelement und £ den Einheitsvektor der äußeren Flächennormalen. Der erste Summand stellt den Beitrag des Druckes � im Fluid dar, die weiteren Summanden den � Beitrag � aufgrund �� der ¡ Scherviskosität § des Fluids. Letzterer vereinfacht sich im Falle inkompressibler Medien ( ) noch weiter. � � Im Falle lateral gegenüber einem festen Substrat bewegter Strukturen überwiegt wegen mension§ der meist großen Aspektverhältnisse in mikromechanischen Bauelementen (laterale Di- vertikale Dimension) der zweite Summand. Man erhält dann die sog. Couette- Dämpfung (Gleitfilmdämpfung), bei der die Reaktionskraft proportional zum Geschwindigkeitsgradienten ist, der sich aufgrund der Plattenbewegung im Fluid senkrecht zur Platte ausbildet. Ein typisches Beispiel aus der Mikrosystemtechnik, bei dem dieser Dämpfungsmechanismus eine entscheidende Rolle spielt, sind mikromechanische Kammstrukturen, die u.a. in Resonatoren oder Beschleunigungssensoren eingesetzt werden [27, 164]. 3 Falls keine Schlupfrandbedingungen angenommen werden müssen (s. dazu Kapitel 4.3.2)
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6 Zusammenfassung und Ausblick Um d
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integrierte mikromechanische Drucks
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Ausblick Ausgehend von den in diese
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