Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
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62 4 MODELLIERUNG AUF KONTINUIERLICHER FELDEBENE<br />
<strong>in</strong> vektorieller Form folgendermaßen schreiben läßt:<br />
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Die l<strong>in</strong>ke Seite der Gleichung enthält Inertialterme, die rechte<br />
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Druckgradienten und<br />
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Zähigkeitsterme. Sie vere<strong>in</strong>facht sich für <strong>in</strong>kompressible<br />
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Flüssigkeiten ( � ¡¨§ ) weiter<br />
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(4.20)<br />
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Inkompressible Flüssigkeiten werden also lediglich durch e<strong>in</strong>en Koeffizienten, die Scherviskosität<br />
¦ , beschrieben. Die Volumen- oder Kompressibilitätsviskosität � , auch zweite<br />
”<br />
Zähigkeit“ genannt, tritt nur bei kompressiblen Fluiden <strong>in</strong> Ersche<strong>in</strong>ung, bei denen Volumenänderung<br />
möglich ist. Sie ist im allgeme<strong>in</strong>en <strong>in</strong> derselben Größenordnung wie die<br />
Scherviskosität [73]. Für Newtonsche Fluide (die Scherspannungen s<strong>in</strong>d proportional zu<br />
den Geschw<strong>in</strong>digkeitsgradienten) kann i.a. mit der Stokes Hypothese<br />
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gearbeitet werden,<br />
§ ¡ ¦ § �<br />
nach der zwischen Scher- und Volumenviskosität die Beziehung besteht.<br />
Gleichung 4.20 wird damit zu<br />
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(4.21)<br />
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E<strong>in</strong>e wichtige Kenngröße für Strömungen <strong>in</strong> zähen Flüssigkeiten ist die dimensionslose<br />
Reynoldszahl:<br />
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(4.22)<br />
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(4.23)<br />
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wobei � die Dichte und ¦ die Zähigkeit des Fluids, �<br />
e<strong>in</strong>e charakteristische Geschw<strong>in</strong>digkeit<br />
und �<br />
e<strong>in</strong>e charakteristische Länge der Strömung bezeichnen. Die Reynoldszahl<br />
stellt e<strong>in</strong> Maß für das Verhältnis von Trägheits- zu Reibungskräften <strong>in</strong> der Strömung dar<br />
und kennzeichnet damit den Übergang zwischen lam<strong>in</strong>arer und turbulenter Strömung.<br />
Für kle<strong>in</strong>e Reynoldszahlen dom<strong>in</strong>ieren die Reibungskräfte, d.h. es herrscht lam<strong>in</strong>are<br />
Strömung. Ab Reynoldszahl¤¦¥<br />
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� e<strong>in</strong>er kritischen überwiegen die Trägheitskräfte,<br />
und die Strömung turbulent.¤¦¥<br />
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� � wird hängt von der Strömungsgeometrie ab und liegt<br />
beispielsweise im Falle e<strong>in</strong>er Strömung durch e<strong>in</strong> zyl<strong>in</strong>drisches Rohr bei ca. 2300. In mikromechanischen<br />
Strukturen s<strong>in</strong>d die Strömungen <strong>auf</strong>grund der kle<strong>in</strong>en Abmessungen oft<br />
lam<strong>in</strong>ar.<br />
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Zusammen mit Materialgesetzen ( � §�� ��§ ¦�£ � § � � £ �<br />
) liefert die Navier-Stokes-<br />
Gleichung 4.22 drei Gleichungen für vier Unbekannte: drei Geschw<strong>in</strong>digkeitskomponenten<br />
� � ¡ ��§ § §<br />
� � ( ) und Druck �<br />
. Ergänzt durch die Kont<strong>in</strong>uitätsgleichung<br />
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(4.24)<br />
die die Massenerhaltung e<strong>in</strong>er Flüssigkeit ausdrückt, läßt sich dann die Bewegung e<strong>in</strong>es<br />
zähen Fluids vollständig beschreiben.