Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...

4.2 ELEKTROMECHANISCH GEKOPPELTE PROBLEME 53
Ein partitionierter Lösungsansatz dieser Art ist mittlerweile in verschiedene Simulationsumgebungen
implementiert (z.B. CFDRC [25], INTELLISENSE [61], MEMCAD [78],
SOLIDIS [120]), wobei in den meisten Fällen Randelementmethoden für die elektrostatische
Domäne verwendet werden. Der Nachteil der partitionierten Verfahren ist allerdings,
daß sie im Falle straffer Kopplung und in der Nähe von instabilen Lösungen, wie
beispielsweise der mechanischen Instabilität mit Anschlagen einer beweglichen Struktur
an eine feste Elektrode, nur schwer, langsam oder unter gewissen Umständen auch
überhaupt nicht konvergieren. Diese Schwierigkeit kann umgangen werden, indem statt
der elektrischen Spannung die elektrische Ladung als Steuerparameter eingeführt wird
und dadurch der Konvergenzbereich des Iterationsverfahrens erweitert wird [68, 69] (siehe
auch Kap. 4.1.2). Ausgehend von einem einfach zu berechnenden Anfangszustand
gelangt man durch die Änderung des Homotopieparameters, hier der elektrischen Ladung,
über eine kontinuierliche Folge von Zwischenschritten zum gewünschten Betriebszustand.
Durch den Wechsel von Spannungs- zu Ladungssteuerung wird es möglich, auch
instabile Arbeitspunkte ohne Konvergenzschwierigkeiten zu berechnen. Das Homotopieverfahren
wird dabei als äußere Schleife um die Iterationsschleife der elektromechanisch
gekoppelten Simulation realisiert (Details hierzu siehe [68]).
In dieser Arbeit wird zur Berechnung der elektromechanisch gekoppelten Probleme ein
partitionierter, iterativer Ansatz gemäß Abb. 4.9 verwendet, wobei die äußere Iteration
mittels eines relaxierten Gauß-Seidel-Verfahrens durchgeführt wird. Dabei wird ein semianalytisches
Verfahren eingesetzt, d.h. die strukturmechanischen Berechnungen werden
numerisch mit Hilfe des FEM-Programms ANSYS [7] durchgeführt, die elektrostatische
Anziehungskraft erhält man analytisch mittels der sogenannten ” differentiellen
Plattenkondensator-Näherung“. Hier werden die beiden Elektroden in kleine Elemente
unterteilt, wobei jedes für sich als paralleler Plattenkondensator aufgefaßt werden kann,
so daß sich die Kraft auf die Elektroden analytisch berechnet läßt:
£
�
¡
�
¦ ¦ §
¨
� �
£
�
�
�
(4.16)
(mit £ ¡ ¡ ¨
Kraft auf ¦ i.-tes ¦
Kondensatorelement, , Dielektrizitätskonstante �
¡
des Vakuums
bzw. relative Dielektrizitätskonstante, elektrische Spannung, £ ¡
¡
lokaler �
���
Abstand der Elektroden, Fläche des i-ten Elements). Dieses Verfahren bietet eine
große Rechenzeitersparnis, da es die elektrische Feldberechnung umgeht, kann aber nur
dann angewendet werden, wenn die Deformationen der Struktur viel kleiner als ihre lateralen
Dimensionen sind. Dies ist in vielen mikromechanischen Strukturen, wie auch bei
den in dieser Arbeit betrachteten Bauelementen, gegeben. Für Strukturen, wie beispielsweise
Torsionsspiegel, bei denen inhomogene Feldverteilungen auftreten, ist diese Näherung
jedoch weniger geeignet. Die Fehler, die aufgrund der Plattenkondensatornäherung
in diesen Feldbereichen auftreten, werden zu groß, so daß die elektrostatischen Anziehungskräfte
dann über eine exakte elektrische Feldberechnung ermittelt werden müssen,
um zuverlässige Ergebnisse gewährleisten zu können.