Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
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42 4 MODELLIERUNG AUF KONTINUIERLICHER FELDEBENE<br />
<strong>in</strong> ihrer Robustheit, sie ist allerd<strong>in</strong>gs <strong>in</strong> der Regel <strong>auf</strong>wendig, da für die gewünschte<br />
Lösung zunächst e<strong>in</strong>e Reihe anderer Probleme gelöst werden müssen. Allerd<strong>in</strong>gs<br />
erlaubt es diese Methode auch, Lösungen im <strong>in</strong>stabilen Bereich von gekoppelten<br />
Problemen zu erhalten, wie beispielsweise von E.-R. König für den Fall der elektromechanischen<br />
Kopplung gezeigt wurde [68, 69].<br />
Semianalytische Lösung:<br />
E<strong>in</strong>en Spezialfall der beiden oben genannten Lösungsansätze bildet der semianalytische<br />
Lösungsansatz, der zur schnellen und effizienten Lösung <strong>gekoppelter</strong> Probleme e<strong>in</strong>gesetzt<br />
werden kann und daher hier noch Erwähnung f<strong>in</strong>den soll.<br />
Teile des Bauelementes werden mittels vere<strong>in</strong>fachter, analytischer Modelle beschrieben,<br />
der Rest des Bauelements wird numerisch modelliert, z.B. mittels F<strong>in</strong>iter-Element-<br />
Methoden (FEM). Die koppelnden Variablen werden über die Modellgrenzen ausgetauscht.<br />
Dieser Ansatz ist physikalisch basiert und stellt e<strong>in</strong>e schnelle und Rechenzeit<br />
sparende Methode zur Lösung <strong>gekoppelter</strong> Probleme dar. Allerd<strong>in</strong>gs hängt se<strong>in</strong>e Genauigkeit<br />
stark von den vorgenommenen Idealisierungen ab und ist daher <strong>auf</strong> e<strong>in</strong>fache Geometrien<br />
und Materialgesetze beschränkt.<br />
E<strong>in</strong> Beispiel für e<strong>in</strong>en semianalytischen Ansatz ist die <strong>in</strong> Kap. 4.2.2 vorgestellte Plattenkondensatornäherung,<br />
die unter gewissen Voraussetzungen <strong>in</strong> elektromechanisch gekoppelten<br />
Berechnungen e<strong>in</strong>gesetzt werden kann. Die elektrostatische Feldanalyse mittels<br />
F<strong>in</strong>iter-Element- oder Randelementmethoden wird hier durch e<strong>in</strong>e analytische Kraftberechnung<br />
ersetzt, was e<strong>in</strong>e schnellere Behandlung des Problems ermöglicht. E<strong>in</strong> weiteres<br />
Beispiel für die erfolgreiche Anwendung semianalytischer Methoden f<strong>in</strong>det sich <strong>in</strong> [10],<br />
angewendet <strong>auf</strong> den Fall viskoser Dämpfung bei gelochten mikromechanischen Membranen,<br />
e<strong>in</strong>em fluid-mechanisch gekoppelten Problem. Hier werden für die Dämpfungskraft<br />
<strong>auf</strong> e<strong>in</strong>zelne Bereiche der Membranen analytische Ausdrücke abgeleitet, die dann<br />
als zusätzliche Lasten <strong>in</strong> die mechanische FEM-Simulation des dynamischen Membranverhaltens<br />
e<strong>in</strong>geführt werden.<br />
Zusammenfassend kann festgestellt werden, daß die Wahl des Verfahrens zur Lösung <strong>gekoppelter</strong><br />
Probleme i.a. stark problemabhängig ist. Kopplungen über das Volumen, wie<br />
beispielsweise beim piezoelektrischen Effekt oder der thermischen Ausdehnung, können<br />
<strong>in</strong> der Regel simultan gelöst werden und s<strong>in</strong>d zum Teil auch schon so <strong>in</strong> kommerzielle<br />
Programme implementiert. Bei oberflächengekoppelten Problemen fällt die Wahl e<strong>in</strong>es<br />
Lösungsverfahrens schwerer, da hier getrennte, nicht überlappende Simulationsgebiete<br />
vorliegen, deren optimale Behandlung am effektivsten oft mittels speziell angepaßter numerischer<br />
Verfahren erfolgen kann. Meist wird daher e<strong>in</strong> partitionierter Ansatz favorisiert,<br />
da dann <strong>auf</strong> vorhandene, speziell <strong>auf</strong> die jeweilige physikalische Domäne zugeschnittene<br />
Simulatoren zurückgegriffen werden kann. Wie bereits dargelegt, bleibt hier das Problem<br />
der zuverlässigen Konvergenz der äußeren Iteration zu lösen, da sich das Konvergenzverhalten<br />
der e<strong>in</strong>zelnen Iterationsverfahren für komplexe Fälle nicht immer vorhersagen läßt.<br />
Für zwei wichtige Spezialfälle oberflächen<strong>gekoppelter</strong> Phänomene, die elektromechanischen<br />
Kopplung und die Fluid-Struktur-Wechselwirkung, wird diese Problematik im weiteren<br />
Verl<strong>auf</strong> dieses Kapitels vertieft und anhand von ausgewählten Beispielen diskutiert.