Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...

42 4 MODELLIERUNG AUF KONTINUIERLICHER FELDEBENE
in ihrer Robustheit, sie ist allerdings in der Regel aufwendig, da für die gewünschte
Lösung zunächst eine Reihe anderer Probleme gelöst werden müssen. Allerdings
erlaubt es diese Methode auch, Lösungen im instabilen Bereich von gekoppelten
Problemen zu erhalten, wie beispielsweise von E.-R. König für den Fall der elektromechanischen
Kopplung gezeigt wurde [68, 69].
Semianalytische Lösung:
Einen Spezialfall der beiden oben genannten Lösungsansätze bildet der semianalytische
Lösungsansatz, der zur schnellen und effizienten Lösung gekoppelter Probleme eingesetzt
werden kann und daher hier noch Erwähnung finden soll.
Teile des Bauelementes werden mittels vereinfachter, analytischer Modelle beschrieben,
der Rest des Bauelements wird numerisch modelliert, z.B. mittels Finiter-Element-
Methoden (FEM). Die koppelnden Variablen werden über die Modellgrenzen ausgetauscht.
Dieser Ansatz ist physikalisch basiert und stellt eine schnelle und Rechenzeit
sparende Methode zur Lösung gekoppelter Probleme dar. Allerdings hängt seine Genauigkeit
stark von den vorgenommenen Idealisierungen ab und ist daher auf einfache Geometrien
und Materialgesetze beschränkt.
Ein Beispiel für einen semianalytischen Ansatz ist die in Kap. 4.2.2 vorgestellte Plattenkondensatornäherung,
die unter gewissen Voraussetzungen in elektromechanisch gekoppelten
Berechnungen eingesetzt werden kann. Die elektrostatische Feldanalyse mittels
Finiter-Element- oder Randelementmethoden wird hier durch eine analytische Kraftberechnung
ersetzt, was eine schnellere Behandlung des Problems ermöglicht. Ein weiteres
Beispiel für die erfolgreiche Anwendung semianalytischer Methoden findet sich in [10],
angewendet auf den Fall viskoser Dämpfung bei gelochten mikromechanischen Membranen,
einem fluid-mechanisch gekoppelten Problem. Hier werden für die Dämpfungskraft
auf einzelne Bereiche der Membranen analytische Ausdrücke abgeleitet, die dann
als zusätzliche Lasten in die mechanische FEM-Simulation des dynamischen Membranverhaltens
eingeführt werden.
Zusammenfassend kann festgestellt werden, daß die Wahl des Verfahrens zur Lösung gekoppelter
Probleme i.a. stark problemabhängig ist. Kopplungen über das Volumen, wie
beispielsweise beim piezoelektrischen Effekt oder der thermischen Ausdehnung, können
in der Regel simultan gelöst werden und sind zum Teil auch schon so in kommerzielle
Programme implementiert. Bei oberflächengekoppelten Problemen fällt die Wahl eines
Lösungsverfahrens schwerer, da hier getrennte, nicht überlappende Simulationsgebiete
vorliegen, deren optimale Behandlung am effektivsten oft mittels speziell angepaßter numerischer
Verfahren erfolgen kann. Meist wird daher ein partitionierter Ansatz favorisiert,
da dann auf vorhandene, speziell auf die jeweilige physikalische Domäne zugeschnittene
Simulatoren zurückgegriffen werden kann. Wie bereits dargelegt, bleibt hier das Problem
der zuverlässigen Konvergenz der äußeren Iteration zu lösen, da sich das Konvergenzverhalten
der einzelnen Iterationsverfahren für komplexe Fälle nicht immer vorhersagen läßt.
Für zwei wichtige Spezialfälle oberflächengekoppelter Phänomene, die elektromechanischen
Kopplung und die Fluid-Struktur-Wechselwirkung, wird diese Problematik im weiteren
Verlauf dieses Kapitels vertieft und anhand von ausgewählten Beispielen diskutiert.