Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...

4.1 MODELLIERUNG GEKOPPELTER EFFEKTE 41
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beruht darauf, die Nullstellen der Gleichung
ausgehend von
der Tangente in einem Startwert �
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zu bestimmen. Der Iterationsalgorithmus für
den £ �����
-ten Schritt lautet:
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(4.8)
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symbolisiert die Jacobimatrix der zu lösenden Gleichung und die
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Newton-Korrektur ¨¤
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.
Für die partitionierte Lösung eines gekoppelten Problems wird ein Black Box-
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Verfahren“ angestrebt, d.h. die Lösung der Teilprobleme wird durch domänenspezifische
Simulatoren bereitgestellt, die Korrekturen, die durch die Kopplungsbedingungen
entstehen, werden mittels äußerer Newton-Iteration ermittelt. Der Aufwand
sowie die Schwierigkeit der Newton-Methode liegt darin, die Jacobimatrix
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zu berechnen. Mittels eines Newton-Krylov-Verfahrens ist es �
allerdings
möglich, die Newtonkorrektur ¢ zu ermitteln, ohne die Koeffizienten der
Jacobimatrix konkret zu berechnen, indem man das Produkt £
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durch [106]:
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D.h. zur Berechnung der Newtonkorrektur ¢ müssen nur Funktionsauswertungen
gemacht werden, die Jacobimatrix selbst wird nicht explizit benötigt. Dieses
matrixfreie Verfahren wurde schon mehrfach erfolgreich zur Behandlung oberflächengekoppelter
Probleme im Bereich mikromechanischer Bauelemente eingesetzt
(z.B. [4, 9, 64, 158]). Da sich hier die Anwendung des Newton-Verfahrens auf
die an der Grenzfläche zwischen beiden physikalischen Domänen wirksamen Koppelterme
beschränkt – die Teilprobleme werden mittels domänenspezifischer Simulatoren
getrennt gelöst – reduziert sich die Dimension der Koppelterme von drei
auf zwei, und das Verfahren wird daher auch als Oberflächen-Newton-Verfahren“
”
( Surface Newton method“) bezeichnet.
”
Mit Hilfe des Fixpunktsatzes läßt sich nachweisen, daß das Newton-Verfahren quadratisch
konvergiert, solange der Startwert in einer genügend kleinen Umgebung
der gesuchten Lösung gewählt wird. Um den Konvergenzbereich zu erweitern,
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kann
auch hier ¨
ein Dämpfungsfaktor eingeführt werden, und der Iterationsalgorithmus
4.8 modifiziert sich zu:
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(4.9)
(4.10)
Homotopieverfahren: Die Anwendung von Homotopieverfahren (auch: Fortsetzungsverfahren)
stellt eine Möglichkeit dar, für die oben dargestellten Verfahren
globale Konvergenz zu erhalten. Das gekoppelte Problem muß dazu in Abhängigkeit
von einem geeigneten Homotopieparameter t formuliert werden. Das Prinzip
der Methode besteht darin, von einem einfach zu berechnenden Problem oder einem
Problem mit bereits bekannter Lösung zu starten und durch Variation von t kontinuierlich
eine Lösungsschar zu durchlaufen, bis man die gewünschte Lösung des
schwieriger zu behandelnden Problems erhält. Die Vorteile dieser Methode liegen