Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
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4.1 MODELLIERUNG GEKOPPELTER EFFEKTE 41<br />
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beruht dar<strong>auf</strong>, die Nullstellen der Gleichung<br />
ausgehend von<br />
der Tangente <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Startwert �<br />
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zu bestimmen. Der Iterationsalgorithmus für<br />
den £ �����<br />
-ten Schritt lautet:<br />
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(4.8)<br />
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symbolisiert die Jacobimatrix der zu lösenden Gleichung und die<br />
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Newton-Korrektur ¨¤<br />
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Für die partitionierte Lösung e<strong>in</strong>es gekoppelten Problems wird e<strong>in</strong> Black Box-<br />
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Verfahren“ angestrebt, d.h. die Lösung der Teilprobleme wird durch domänenspezifische<br />
Simulatoren bereitgestellt, die Korrekturen, die durch die Kopplungsbed<strong>in</strong>gungen<br />
entstehen, werden mittels äußerer Newton-Iteration ermittelt. Der Aufwand<br />
sowie die Schwierigkeit der Newton-Methode liegt dar<strong>in</strong>, die Jacobimatrix<br />
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zu berechnen. Mittels e<strong>in</strong>es Newton-Krylov-Verfahrens ist es �<br />
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möglich, die Newtonkorrektur ¢ zu ermitteln, ohne die Koeffizienten der<br />
Jacobimatrix konkret zu berechnen, <strong>in</strong>dem man das Produkt £<br />
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durch [106]:<br />
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D.h. zur Berechnung der Newtonkorrektur ¢ müssen nur Funktionsauswertungen<br />
gemacht werden, die Jacobimatrix selbst wird nicht explizit benötigt. Dieses<br />
matrixfreie Verfahren wurde schon mehrfach erfolgreich zur Behandlung oberflächen<strong>gekoppelter</strong><br />
Probleme im Bereich mikromechanischer Bauelemente e<strong>in</strong>gesetzt<br />
(z.B. [4, 9, 64, 158]). Da sich hier die Anwendung des Newton-Verfahrens <strong>auf</strong><br />
die an der Grenzfläche zwischen beiden physikalischen Domänen wirksamen Koppelterme<br />
beschränkt – die Teilprobleme werden mittels domänenspezifischer Simulatoren<br />
getrennt gelöst – reduziert sich die Dimension der Koppelterme von drei<br />
<strong>auf</strong> zwei, und das Verfahren wird daher auch als Oberflächen-Newton-Verfahren“<br />
”<br />
( Surface Newton method“) bezeichnet.<br />
”<br />
Mit Hilfe des Fixpunktsatzes läßt sich nachweisen, daß das Newton-Verfahren quadratisch<br />
konvergiert, solange der Startwert <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er genügend kle<strong>in</strong>en Umgebung<br />
der gesuchten Lösung gewählt wird. Um den Konvergenzbereich zu erweitern,<br />
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kann<br />
auch hier ¨<br />
e<strong>in</strong> Dämpfungsfaktor e<strong>in</strong>geführt werden, und der Iterationsalgorithmus<br />
4.8 modifiziert sich zu:<br />
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(4.9)<br />
(4.10)<br />
Homotopieverfahren: Die Anwendung von Homotopieverfahren (auch: Fortsetzungsverfahren)<br />
stellt e<strong>in</strong>e Möglichkeit dar, für die oben dargestellten Verfahren<br />
globale Konvergenz zu erhalten. Das gekoppelte Problem muß dazu <strong>in</strong> Abhängigkeit<br />
von e<strong>in</strong>em geeigneten Homotopieparameter t formuliert werden. Das Pr<strong>in</strong>zip<br />
der Methode besteht dar<strong>in</strong>, von e<strong>in</strong>em e<strong>in</strong>fach zu berechnenden Problem oder e<strong>in</strong>em<br />
Problem mit bereits bekannter Lösung zu starten und durch Variation von t kont<strong>in</strong>uierlich<br />
e<strong>in</strong>e Lösungsschar zu durchl<strong>auf</strong>en, bis man die gewünschte Lösung des<br />
schwieriger zu behandelnden Problems erhält. Die Vorteile dieser Methode liegen