Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
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40 4 MODELLIERUNG AUF KONTINUIERLICHER FELDEBENE<br />
woraus sich folgende Konvergenzbed<strong>in</strong>gung ableiten läßt:<br />
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Bei komplexen Strukturen kann diese Bed<strong>in</strong>gung allerd<strong>in</strong>gs meist nicht analytisch<br />
abgeschätzt werden, so daß generelle Aussagen zur Konvergenz des Verfahrens oft<br />
nicht möglich s<strong>in</strong>d.<br />
Bei der partitionierten Lösung <strong>gekoppelter</strong> Probleme läßt sich das Gauß-Seidel-<br />
Verfahren e<strong>in</strong>fach über e<strong>in</strong>e sogenannte Lastvektorkopplung realisieren, d.h. die<br />
Ergebnisse, die man mittels der Teilproblemlöser erhält, werden wechselseitig<br />
als Lasten <strong>auf</strong> das jeweilig andere Teilproblem <strong>auf</strong>gebracht. Der zugehörige<br />
Algorithmus �<br />
lautet also:<br />
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(4.6)<br />
Das Gauß-Seidel-Verfahren ist leicht <strong>in</strong> e<strong>in</strong>en partitionierten Lösungsansatz implementierbar<br />
und wird daher auch oft bei der Behandlung von Fluid-Struktur- bzw.<br />
Elektrostatik-Strukturkopplung e<strong>in</strong>gesetzt (siehe beispielsweise [64, 69, 129] oder<br />
<strong>in</strong> den Kapiteln 4.2 bzw. 4.3 <strong>in</strong> dieser Arbeit), hat jedoch den Nachteil, daß se<strong>in</strong>e<br />
Konvergenz im Falle starker Kopplung nicht gewährleistet ist. Für diese Fälle muß<br />
<strong>auf</strong> andere Verfahren zurückgegriffen werden.<br />
Sukzessive Überrelaxation (SOR): Mit Hilfe der sog. sukzessiven Überrelaxation<br />
( Successive Over-Relaxation“: SOR) kann das Konvergenzverhalten des Gauß-<br />
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Seidel-Verfahrens für den Fall starker Kopplung verbessert werden. Hierbei<br />
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wird<br />
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e<strong>in</strong> Relaxationsparameter e<strong>in</strong>geführt, so daß das Iterationsverfahren je<br />
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nach<br />
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lautet hier:<br />
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(4.7)<br />
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Für ergibt sich daraus das Gauß-Seidel-Verfahren. Mit dem SOR-Verfahren<br />
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erhält man pr<strong>in</strong>zipiell auch Konvergenz im Falle starker ¨ Kopplung, wobei hier<br />
ggf. sehr kle<strong>in</strong>e Werte annehmen kann, was die Zahl der benötigten Iterationsschritte<br />
dann unter Umständen unakzeptabel hoch werden läßt. Die Wahl e<strong>in</strong>es optimalen<br />
Relaxationsparameters erfolgt <strong>in</strong> der Praxis meist empirisch.<br />
Newton-Verfahren: Das Newton-Verfahren weist e<strong>in</strong> weitaus besseres Konvergenzverhalten<br />
<strong>auf</strong> als Relaxationsverfahren, vor allem für stark gekoppelte Probleme. Es