Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
40 4 MODELLIERUNG AUF KONTINUIERLICHER FELDEBENE<br />
woraus sich folgende Konvergenzbed<strong>in</strong>gung ableiten läßt:<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
¡<br />
�<br />
�<br />
�<br />
¡ �<br />
¢ �<br />
����� ����� � � �<br />
Bei komplexen Strukturen kann diese Bed<strong>in</strong>gung allerd<strong>in</strong>gs meist nicht analytisch<br />
abgeschätzt werden, so daß generelle Aussagen zur Konvergenz des Verfahrens oft<br />
nicht möglich s<strong>in</strong>d.<br />
Bei der partitionierten Lösung <strong>gekoppelter</strong> Probleme läßt sich das Gauß-Seidel-<br />
Verfahren e<strong>in</strong>fach über e<strong>in</strong>e sogenannte Lastvektorkopplung realisieren, d.h. die<br />
Ergebnisse, die man mittels der Teilproblemlöser erhält, werden wechselseitig<br />
als Lasten <strong>auf</strong> das jeweilig andere Teilproblem <strong>auf</strong>gebracht. Der zugehörige<br />
Algorithmus �<br />
lautet also:<br />
� ¡ ¡<br />
Setze<br />
¡<br />
�<br />
�<br />
,<br />
¡<br />
for : � Berechne �<br />
� �<br />
¡£¢ £<br />
�<br />
�<br />
; �<br />
¡£¤�£<br />
�<br />
�<br />
Berechne<br />
; � ¡<br />
� � ¡<br />
Setze � � ;<br />
¨<br />
¥<br />
Abbruchkriterium: � if �<br />
¨<br />
¡<br />
� ¥ � ¡<br />
then exit<br />
end for<br />
�<br />
�<br />
¢ �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�§¦ ¥ und<br />
�§¦ ¥<br />
�<br />
(4.6)<br />
Das Gauß-Seidel-Verfahren ist leicht <strong>in</strong> e<strong>in</strong>en partitionierten Lösungsansatz implementierbar<br />
und wird daher auch oft bei der Behandlung von Fluid-Struktur- bzw.<br />
Elektrostatik-Strukturkopplung e<strong>in</strong>gesetzt (siehe beispielsweise [64, 69, 129] oder<br />
<strong>in</strong> den Kapiteln 4.2 bzw. 4.3 <strong>in</strong> dieser Arbeit), hat jedoch den Nachteil, daß se<strong>in</strong>e<br />
Konvergenz im Falle starker Kopplung nicht gewährleistet ist. Für diese Fälle muß<br />
<strong>auf</strong> andere Verfahren zurückgegriffen werden.<br />
Sukzessive Überrelaxation (SOR): Mit Hilfe der sog. sukzessiven Überrelaxation<br />
( Successive Over-Relaxation“: SOR) kann das Konvergenzverhalten des Gauß-<br />
”<br />
Seidel-Verfahrens für den Fall starker Kopplung verbessert werden. Hierbei<br />
¨<br />
wird<br />
¨<br />
e<strong>in</strong> Relaxationsparameter e<strong>in</strong>geführt, so daß das Iterationsverfahren je<br />
¨<br />
nach<br />
¨ Wahl von entweder gedämpft oder beschleunigt wird. Die Iterationsvorschrift<br />
lautet hier:<br />
�<br />
�<br />
���<br />
¡¤£���¨<br />
� �<br />
� ¨��<br />
�<br />
� �<br />
� ¡¤£��¤¨ � £ ¨��<br />
� �<br />
� ¨��<br />
�<br />
�<br />
£<br />
�<br />
� � � ¢ ¨¤¡�£<br />
(4.7)<br />
¨<br />
¨ ¨<br />
¡<br />
¨<br />
¨�¡ �<br />
Für ergibt sich daraus das Gauß-Seidel-Verfahren. Mit dem SOR-Verfahren<br />
¨<br />
erhält man pr<strong>in</strong>zipiell auch Konvergenz im Falle starker ¨ Kopplung, wobei hier<br />
ggf. sehr kle<strong>in</strong>e Werte annehmen kann, was die Zahl der benötigten Iterationsschritte<br />
dann unter Umständen unakzeptabel hoch werden läßt. Die Wahl e<strong>in</strong>es optimalen<br />
Relaxationsparameters erfolgt <strong>in</strong> der Praxis meist empirisch.<br />
Newton-Verfahren: Das Newton-Verfahren weist e<strong>in</strong> weitaus besseres Konvergenzverhalten<br />
<strong>auf</strong> als Relaxationsverfahren, vor allem für stark gekoppelte Probleme. Es
Change language