Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...

4.1 MODELLIERUNG GEKOPPELTER EFFEKTE 39
genz erreicht ist (siehe Abb. 4.3). Man spricht hier von ” äußerer Iteration“ im Gegensatz
zur ” inneren Iteration“, die zur Lösung der einzelnen Teilprobleme durchgeführt wird.
Der Vorteil dieser Methode ist, daß bestehende, für die jeweilige physikalische Domäne
speziell entwickelte und damit problemangepaßte Simulatoren eingesetzt werden können.
Diese werden in einem leicht zu implementierenden Iterationsalgorithmus nacheinander
aufgerufen, ohne daß der Benutzer sich um die Verfahren zur Lösung der Teilprobleme
kümmern muß ( ” Black Box Plug-in Methode“). Da dieser Ansatz leicht und schnell zu
realisieren ist, findet er große Verbreitung und ist auch in zahlreichen kommerziell erhältlichen
Programmen zur Behandlung gekoppelter Probleme implementiert (z.B. elektromechanische
Kopplung in INTELLISENSE [61], MEMCAD [78], SOLIDIS [120]). Im
Falle straffer Kopplung, die beispielsweise in elektrostatisch betriebenen Bauelementen
im Bereich großer Spannungen oder bei in Fluiden bewegten mikromechanischen Strukturen
vorliegt, weist diese Methode allerdings Konvergenzschwierigkeiten auf. Durch die
Wahl eines effizienten und robusten Algorithmus zur Ausführung der äußeren Iteration
kann dieses Problem gemildert werden. Die bekanntesten und daher am häufigsten verwendeten
Verfahren sind Gauß-Seidel-artige Relaxationsverfahren, sukzessive Überrelaxation
(SOR), Newton- und Homotopie-Verfahren. Für Details sei auf die grundlegende
Literatur zu numerischen Methoden verwiesen, z.B. [8, 49, 108], die Grundzüge der genannten
Methoden sowie ihre Vor- und Nachteile sollen im folgenden aber kurz vorgestellt
werden. Betrachtet werde das gekoppelte Problem:
Durch Elimination des Vektors � erhält man die Beziehung
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¡ ¢ £ � (4.1)
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¡���£ �¤£ mit � £ � ¡¥¡�£¦¢ £ � ��§
(4.2)
welche gleichzeitig die Fixpunktform eines algebraischen Gleichungssystems darstellt.
Die Lösung ¨§ dieses Problems läßt sich mit © Hilfe eines Iterationsverfahrens nach der
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Iterationsvorschrift
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(4.3)
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erhalten, ©
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wobei gilt: .
Das Konvergenzverhalten des Iterationsverfahrens kann mit Hilfe des Fixpunktsatzes abgeschätzt
werden. Demnach konvergiert das Verfahren gegen den Fixpunkt § , falls gilt:
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Verfahren, bei denen diese Bedingung auf dem gesamten Definitionsbereich des Problems
erfüllt ist, heißen global konvergent“.
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(4.4)
Gauß-Seidel-Relaxationsverfahren: Das einfachste und daher sehr häufig angewendete
Iterationsverfahren ist das Gauß-Seidel-Relaxationsverfahren. Die Iterationsvorschrift
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lautet:
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(4.5)
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