Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...

38 4 MODELLIERUNG AUF KONTINUIERLICHER FELDEBENE
Simultane Lösung:
Zur simultanen Lösung gekoppelter Probleme gibt es zwei Vorgehensweisen
(vgl. Abb. 4.2). Die exakteste und rigoroseste ist, ein gemeinsames mathematisches
Modell des gekoppelten Problems aufzustellen, dieses zu diskretisieren und zu lösen
(Abb. 4.2, links). Diese Methode weist keine Konvergenzprobleme bei straffer Kopplung
auf, erfordert aber den Einsatz problemspezifischer numerischer Methoden (z.B. Gebietszerlegungsmethoden,
nicht-konforme Gitter, etc.), die i.a. die Verwendung von Standardprogrammen
nicht erlauben und die Implementierung neuer Software erfordern. Daher ist
hier der Zeitaufwand für die Lösung eines Problems vergleichsweise hoch.
Eine zweite Möglichkeit, gekoppelte Probleme simultan zu lösen, besteht darin, die Einzelprobleme
samt Koppelbedingungen getrennt zu diskretisieren, zu einem diskretisierten
Gesamtproblem zusammenzufassen und dann simultan zu lösen. So können problemangepaßte
Diskretisierungsverfahren für die Teilprobleme angewendet werden (z.B. Randelementverfahren
für die Elektrostatik, Finite Elemente für Mechanik). Bei der Zusammenfassung
der diskretisierten Teilprobleme entstehen aber oft numerisch schwierig zu
behandelnde Gleichungssysteme, bei deren Lösung man beispielsweise mit der großen
Dimension der i.a. nichtlinearen Systeme oder mit voll besetzten und schlecht konditionierten
Jacobimatrizen zu kämpfen hat. Hier stellt also die Lösung des resultierenden
Gleichungssystems das eigentliche Problem dar. Diese Methode wird dennoch oft dem
Erstellen eines gemeinsamen mathematischen Modells vorgezogen, da der Aufwand, entsprechende
Lösungsverfahren bereitzustellen, in der Regel geringer ist als Techniken zur
Diskretisierung eines homogenen Modells zu entwickeln [106].
Partitionierte Lösung:
Bei der partitionierten Lösung (Abb. 4.3) werden die Teilprobleme separat diskretisiert
und gelöst, wozu auf bestehende, problemangepaßte Simulatoren für die jeweilige physikalische
Domäne zurückgegriffen werden kann. Die Kopplung zwischen beiden Teilproblemen
wird über den Austausch der koppelnden Variablen nach jeder Teilproblemlösung
innerhalb einer Iterationsschleife realisiert. Diese wird solange durchlaufen, bis Konver-
Abbildung 4.3: Lösungsansätze für
gekoppelte Probleme: Partitionierte
Lösung (nach [64]).
Teilproblem A Teilproblem B
mathem.
Modell A
Kopplungsbedingungen
diskretisiertes
diskretisiertes
Modell A Modell B
Lösung Lösung
Modell A
Modell B
Lösung Gesamtproblem
mathem.
Modell B