Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...

16 2 MODELLIERUNG VON MIKROSYSTEMEN
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� Die ¥ ¡
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§¥ zu zugehörige
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konjugierte
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Zustandsgröße
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ergibt sich dann
aus der Integration der verteilten Flußgröße über die Grenzfläche . Als Pendant
zu den verallgemeinerten Kräften und Flüssen auf kontinuierlicher Feldebene bilden
und ein Paar zueinander konjugierter konzentrierter Fluß- und Potentialgrößen (verallgemeinerter
Fluß und verallgemeinertes Potential ), für die im Gesamtsystem entsprechende
Erhaltungssätze gelten: die Teilsysteme bilden Kirchhoffsche Netze, in denen
die konzentrierten Fluß- und Potentialgrößen über das Klemmenverhalten der Teilsystemmodelle
ausgetauscht werden. Für die Flüsse an den Knoten folgt aus der Flußerhaltung
die sogenannte Knotenregel und aus der Eindeutigkeit des Potentials
für die Potentialdifferenzen �
� §
�
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entlang einer geschlossenen Masche die Maschenregel
, analog zu Maschen- und Knotenregel, die für die elektrischen Größen
Strom und Spannung allgemein bekannt sind. Der traditionelle Einsatz von Kirchhoffschen
Netzwerken im Bereich elektrischer Netzwerke kann also entsprechend der obigen
Vorgehensweise auch auf andere physikalische Energiedomänen (z.B. Fluidik, Mechanik,
etc.) erweitert werden. Man spricht nun von Verallgemeinerten Kirchhoffschen Netz-
”
werken“( Generalized Kirchhoffian Networks“), in denen als verallgemeinerte Fluß-
”
oder through“- Variable und als verallgemeinertes Potential oder across“-Variable
” ”
bezeichnet werden. In Tabelle 2.1 sind für einige ausgewählte physikalische Domänen
zueinander konjugierte Variablenpaare und und die dazugehörige Erhaltungsgröße
aufgeführt. In der Regel wählt man Variablenpaare, deren Produkt eine Leistung ergibt.
Ein beispielhaftes verallgemeinertes Kirchhoffsches
Netzwerk, in dem elektrische und
fluidische Domäne miteinander gekoppelt
sind, ist in Abb. 2.4 dargestellt. Die Massenerhaltung
findet ihren Ausdruck in der
©�� Knotenregel für den
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Massenfluß
�
, für
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die � hydrostatischen
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Druckdifferenzen
§
gilt die Maschenregel .
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Die Kopplung zwischen elektrischer und
fluidischer Domäne erfolgt
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über das Wandlerelement
, das je �
einen Anschluß
( Terminal“) für jede Domäne besitzt. Bei
”
�
kann es sich beispielsweise um eine
�
elektrostatisch angetriebene Membran einer
Mikromembranpumpe handeln.
U, I
elektrische
Domäne
Σ
fluidische Domäne
p, w
B1 B2
w = 0
m
ΣΔ
p = 0
B3
Abbildung 2.4: Beispiel für ein
verallgemeinertes Kirchhoffsches Netzwerk,
in dem fluidische und elektrische
Energiedomäne miteinander gekoppelt
sind [139].
Eingebettet in eine thermodynamische Theorie steht mit der Methode der verallgemeinerten
Kirchhoffschen Netze ein leistungsfähiges und gut fundiertes Konzept zur Verfügung,
Mikrosysteme und die ihnen innewohnenden Kopplungen auf Systemebene behandeln zu
können und auch zusammen mit der elektrischen Beschaltung simulieren und optimieren
zu können. Es stellt sich allerdings das Problem, Kompaktmodelle für die einzelnen
Teilsysteme abzuleiten. Antworten auf die Frage, wie man, ausgehend von einer kontinuierlichen
Feldbeschreibung, auf systematischem Wege zu Kompaktmodellen für einzelne
Teilsysteme kommt, gibt es bis jetzt aber nur ansatzweise. Einige Ansätze dazu sowie
ihre Umsetzung werden in Kapitel 5.1 vorgestellt, klassifiziert und bewertet. Hier wird