Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
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16 2 MODELLIERUNG VON MIKROSYSTEMEN<br />
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� Die ¥ ¡<br />
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§¥ zu zugehörige<br />
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konjugierte<br />
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Zustandsgröße<br />
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¦<br />
ergibt sich dann<br />
aus der Integration der verteilten Flußgröße über die Grenzfläche . Als Pendant<br />
zu den verallgeme<strong>in</strong>erten Kräften und Flüssen <strong>auf</strong> kont<strong>in</strong>uierlicher Feldebene bilden<br />
und e<strong>in</strong> Paar zue<strong>in</strong>ander konjugierter konzentrierter Fluß- und Potentialgrößen (verallgeme<strong>in</strong>erter<br />
Fluß und verallgeme<strong>in</strong>ertes Potential ), für die im Gesamtsystem entsprechende<br />
Erhaltungssätze gelten: die Teilsysteme bilden Kirchhoffsche Netze, <strong>in</strong> denen<br />
die konzentrierten Fluß- und Potentialgrößen über das Klemmenverhalten der Teilsystemmodelle<br />
ausgetauscht werden. Für die Flüsse an den Knoten folgt aus der Flußerhaltung<br />
die sogenannte Knotenregel und aus der E<strong>in</strong>deutigkeit des Potentials<br />
für die Potentialdifferenzen �<br />
� §<br />
�<br />
¡<br />
� ¦ �<br />
entlang e<strong>in</strong>er geschlossenen Masche die Maschenregel<br />
, analog zu Maschen- und Knotenregel, die für die elektrischen Größen<br />
Strom und Spannung allgeme<strong>in</strong> bekannt s<strong>in</strong>d. Der traditionelle E<strong>in</strong>satz von Kirchhoffschen<br />
Netzwerken im Bereich elektrischer Netzwerke kann also entsprechend der obigen<br />
Vorgehensweise auch <strong>auf</strong> andere physikalische Energiedomänen (z.B. Fluidik, Mechanik,<br />
etc.) erweitert werden. Man spricht nun von Verallgeme<strong>in</strong>erten Kirchhoffschen Netz-<br />
”<br />
werken“( Generalized Kirchhoffian Networks“), <strong>in</strong> denen als verallgeme<strong>in</strong>erte Fluß-<br />
”<br />
oder through“- Variable und als verallgeme<strong>in</strong>ertes Potential oder across“-Variable<br />
” ”<br />
bezeichnet werden. In Tabelle 2.1 s<strong>in</strong>d für e<strong>in</strong>ige ausgewählte physikalische Domänen<br />
zue<strong>in</strong>ander konjugierte Variablenpaare und und die dazugehörige Erhaltungsgröße<br />
<strong>auf</strong>geführt. In der Regel wählt man Variablenpaare, deren Produkt e<strong>in</strong>e Leistung ergibt.<br />
E<strong>in</strong> beispielhaftes verallgeme<strong>in</strong>ertes Kirchhoffsches<br />
Netzwerk, <strong>in</strong> dem elektrische und<br />
fluidische Domäne mite<strong>in</strong>ander gekoppelt<br />
s<strong>in</strong>d, ist <strong>in</strong> Abb. 2.4 dargestellt. Die Massenerhaltung<br />
f<strong>in</strong>det ihren Ausdruck <strong>in</strong> der<br />
©�� Knotenregel für den<br />
�<br />
Massenfluß<br />
�<br />
, für<br />
�<br />
die � hydrostatischen<br />
¡<br />
Druckdifferenzen<br />
§<br />
gilt die Maschenregel .<br />
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Die Kopplung zwischen elektrischer und<br />
fluidischer Domäne erfolgt<br />
�<br />
über das Wandlerelement<br />
, das je �<br />
e<strong>in</strong>en Anschluß<br />
( Term<strong>in</strong>al“) für jede Domäne besitzt. Bei<br />
”<br />
�<br />
kann es sich beispielsweise um e<strong>in</strong>e<br />
�<br />
elektrostatisch angetriebene Membran e<strong>in</strong>er<br />
Mikromembranpumpe handeln.<br />
U, I<br />
elektrische<br />
Domäne<br />
Σ<br />
fluidische Domäne<br />
p, w<br />
B1 B2<br />
w = 0<br />
m<br />
ΣΔ<br />
p = 0<br />
B3<br />
Abbildung 2.4: Beispiel für e<strong>in</strong><br />
verallgeme<strong>in</strong>ertes Kirchhoffsches Netzwerk,<br />
<strong>in</strong> dem fluidische und elektrische<br />
Energiedomäne mite<strong>in</strong>ander gekoppelt<br />
s<strong>in</strong>d [139].<br />
E<strong>in</strong>gebettet <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e thermodynamische Theorie steht mit der Methode der verallgeme<strong>in</strong>erten<br />
Kirchhoffschen Netze e<strong>in</strong> leistungsfähiges und gut fundiertes Konzept zur Verfügung,<br />
Mikrosysteme und die ihnen <strong>in</strong>newohnenden Kopplungen <strong>auf</strong> Systemebene behandeln zu<br />
können und auch zusammen mit der elektrischen Beschaltung simulieren und optimieren<br />
zu können. Es stellt sich allerd<strong>in</strong>gs das Problem, Kompaktmodelle für die e<strong>in</strong>zelnen<br />
Teilsysteme abzuleiten. Antworten <strong>auf</strong> die Frage, wie man, ausgehend von e<strong>in</strong>er kont<strong>in</strong>uierlichen<br />
Feldbeschreibung, <strong>auf</strong> systematischem Wege zu Kompaktmodellen für e<strong>in</strong>zelne<br />
Teilsysteme kommt, gibt es bis jetzt aber nur ansatzweise. E<strong>in</strong>ige Ansätze dazu sowie<br />
ihre Umsetzung werden <strong>in</strong> Kapitel 5.1 vorgestellt, klassifiziert und bewertet. Hier wird