Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
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2.2 GRUNDLEGENDER ANSATZ ZUR MODELLBILDUNG 13<br />
Gleichgewicht beschreiben [131]. Dies soll anhand zweier Beispiele aus der Praxis verdeutlicht<br />
werden, der elektrothermischen Kopplung <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Halbleiterbauelement und<br />
der thermoelektromechanischen Kopplung <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em mikromechanischen Wandler.<br />
Die elektrothermische Kopplung <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Halbleiterbauelement beispielsweise wird mit<br />
Hilfe der extensiven Zustandsvariablen Entropiedichte des Gitters ���<br />
, der Elektronen �¡<br />
und der Löcher �<br />
sowie der £ Elektronenkonzentration und der Löcherkonzentration ¢ p<br />
beschrieben. Die Zustandsgleichungen für die elektrochemischen Potentiale �¤ und �<br />
¢<br />
lassen sich aus den Ladungsträgerstatistiken ableiten und man erhält für den Fall, daß die<br />
elektrischen Ladungsträger sich im lokalen thermischen Gleichgewicht mit dem<br />
���<br />
Kristall-<br />
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gitter ( ) bef<strong>in</strong>den [146]:<br />
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��� (2.3)<br />
��� (2.4)<br />
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§<br />
mit quasistatisches ���<br />
elektrisches Potential, Boltzmannkonstante<br />
§ ¡<br />
und<br />
effektive <strong>in</strong>tr<strong>in</strong>sische Ladungsträgerkonzentrationen der Elektronen<br />
£¥����� £������¢<br />
bzw. Löcher. Die Zustandsgleichung für die Entropiedichte ��� :<br />
��� ¡ ����£ ��§<br />
§ � �<br />
(2.5)<br />
£<br />
� ¡ � £�� ������� � �<br />
kann über die Beziehung für die Wärmekapazität bestimmt werden.<br />
�<br />
Anders als bei der elektrothermischen Kopplung <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Halbleiter lassen sich im Falle<br />
der thermoelektromechanischen Kopplung <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em mikromechanischen Wandlerelement<br />
die Zustandsgleichungen l<strong>in</strong>earisieren. Der Zusammenhang zwischen den extensiven Zustandsvariablen<br />
(mechanischer Verzerrungstensor � � , dielektrische Verschiebung und<br />
Entropiedichte des Substrates ��� ) und den <strong>in</strong>tensiven Zustandsvariablen (mechanischer<br />
Spannungstensor ¥<br />
, � elektrische Feldstärke und Substrattemperatur ��� ) lautet dann:<br />
� ¥ �<br />
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(2.6)<br />
Hierbei stehen � ��<br />
, , �<br />
, � und �<br />
für die Tensoren der elastischen Konstanten, der elektrischen<br />
Permittivitäten, der piezoelektrischen Konstanten, der pyroelektrischen und<br />
�<br />
der<br />
thermoelastischen �<br />
Koeffizienten sowie für die Wärmekapazität des Wandlermaterials.<br />
Durch Gleichung 2.6 werden zum e<strong>in</strong>en direkte <strong>Effekte</strong> wie die Ausbildung von mechanischen<br />
Spannungen <strong>in</strong>nerhalb e<strong>in</strong>es Materials durch e<strong>in</strong>e erfolgte Dehnung, vermittelt über<br />
den Tensor der elastischen Konstanten � , sowie auch gekoppelte <strong>Effekte</strong> wie beispielsweise<br />
die thermische Ausdehnung e<strong>in</strong>es Materials <strong>auf</strong>grund e<strong>in</strong>er Temperaturänderung oder<br />
die Ausbildung e<strong>in</strong>er elektrischen Spannung <strong>auf</strong>grund e<strong>in</strong>er mechanischen Deformation<br />
(Piezoelektrizität) beschrieben.<br />
Die Beschreibung von Transporteigenschaften <strong>in</strong> der Nähe des thermodynamischen<br />
Gleichgewichts erfolgt mit Hilfe der irreversiblen Thermodynamik. Basierend <strong>auf</strong> den<br />
Bilanzgleichungen für die <strong>in</strong>nere Energie der Teilsysteme erhält man e<strong>in</strong>e Beziehung für
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