Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
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5.4 MIXED-LEVEL-ANSATZ ZUR MODELLIERUNG VON SQFD 143<br />
Das entsprechende verallgeme<strong>in</strong>erte Kirchhoffsche Netzwerk ist <strong>in</strong> Abb. 5.35 abgebildet.<br />
Beschreibende Variablenpaare s<strong>in</strong>d nun neben elektrischer Spannnung und Strom ¡<br />
die mechanische Auslenkung ¥ und die Kraft £<br />
sowie, als <strong>in</strong>terne Variable des Dämp-<br />
fungsmodells, der Druck � und der Massenfluß ¢ . Das Makromodell enthält neben dem<br />
Dämpfungsmodell Kompaktmodelle für die mikromechanischen Federn, die <strong>auf</strong> analytischen<br />
Formeln für die Biegung e<strong>in</strong>es Balkens beruhen:<br />
£<br />
��£ ¥ � ¡<br />
�<br />
�<br />
§<br />
�<br />
£ ¢<br />
¡¡<br />
�<br />
¡<br />
� ¥<br />
(5.45)<br />
(mit ¡ Elastizitätsmodul, ¢�¡ Breite, £ ¡ ¡ �<br />
Dicke und Länge ¡<br />
der mikromechanischen<br />
Feder), e<strong>in</strong> Modell für die Trägheitskraft der Platte: £ � ¥ ¨�¡<br />
und e<strong>in</strong> Kom-<br />
� � ¤<br />
paktmodell für den elektrostatischen Antrieb, das im wesentlichen aus der Kraft <strong>auf</strong> e<strong>in</strong>en<br />
Plattenkondensator mit veränderlichem Plattenabstand besteht und die<br />
£<br />
angelegte elektri-<br />
� �<br />
sche Spannung <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e mechanische Auslenkung wandelt:<br />
�<br />
� ¡<br />
� §<br />
£<br />
¨<br />
¦ � ¢ � £ £ � � (5.46)<br />
¦ ��� � �<br />
¡ § ¨<br />
(mit Dielektrizitätskonstante des Vakuums bzw. relative<br />
¡ ¦ ¦<br />
Dielektrizitätskonstante<br />
von Luft, elektrische Spannung, £�¡ variabler Abstand der Platte zur<br />
¡<br />
Gegenelektrode<br />
und Fläche der � ¢ � Platte).<br />
Mit diesem Modell kann nun die Antwort des Systems <strong>auf</strong> verschiedene Anregungen untersucht<br />
werden. Zunächst wurde e<strong>in</strong> Spannungspuls zwischen Platte und Gegenelektrode<br />
angelegt, wie er <strong>in</strong> Abb. 5.36a dargestellt ist. Graph b <strong>in</strong> Abb. 5.36 zeigt die daraus re-<br />
sultierende Auslenkung der nichtperforierten Platte<br />
� §<br />
�<br />
für Umgebungsdrücke zwischen<br />
1 mbar und 1 bar. Für Drücke oberhalb von 100 mbar ist die Platte bereits überkritisch<br />
gedämpft, erwartungsgemäß verr<strong>in</strong>gert sich aber die Dämpfung durch Löcher <strong>in</strong> der Platte,<br />
was <strong>in</strong> Graph c derselben Abbildung für die Platte mit der Perforation �©� � verdeutlicht<br />
ist, sie oszilliert auch noch für Drücke bis zu 1 bar. Vergleicht man für e<strong>in</strong>en festen Umgebungsdruck<br />
verschieden perforierte Platten, so zeigen die Platten mit dem größten Anteil<br />
von Lochfläche an der Gesamtfläche erwartungsgemäß auch die ger<strong>in</strong>gste Dämpfung<br />
(Abb. 5.36d). Untersuchungen wie diese s<strong>in</strong>d beispielsweise wichtig für die Dimensionierung<br />
von Beschleunigungssensoren, die weder zu sehr überschw<strong>in</strong>gen noch zu stark<br />
gedämpft se<strong>in</strong> sollen. Je nach Anwendung ist daher die Perforation geeignet zu wählen,<br />
um die Dämpfungseigenschaften des Systems zu optimieren.<br />
Die Antwort des Systems <strong>auf</strong> e<strong>in</strong>e Anregung mit s<strong>in</strong>usförmiger Spannung ist <strong>in</strong> den Abbildungen<br />
5.37 und 5.38 dargestellt. In Abb. 5.37 wird das System mit e<strong>in</strong>er S<strong>in</strong>usspannung<br />
der Frequenz 48 kHz und e<strong>in</strong>er Schw<strong>in</strong>gungsamplitude von 10 V angeregt. Die Platte<br />
schw<strong>in</strong>gt mit ungefähr der doppelten Erregerfrequenz, da die elektrische Spannung quadratisch<br />
<strong>in</strong> die Anregungskraft e<strong>in</strong>geht. Nach e<strong>in</strong>er entsprechenden E<strong>in</strong>schw<strong>in</strong>gzeit, die<br />
vom Umgebungsdruck und der Perforation der Platte, also von der Dämpfung abhängt,<br />
schw<strong>in</strong>gt die Platte mit dieser Frequenz um die neue Gleichgewichtslage. Überlagert<br />
man der Wechselspannung e<strong>in</strong>e Gleichspannung (hier DC ¡ 5 V), so schw<strong>in</strong>gt die Platte<br />
hauptsächlich mit der Anregungsfrequenz. Das Signal enthält zusätzlich e<strong>in</strong>en Anteil<br />
der doppelten Frequenz, der aber <strong>auf</strong>grund se<strong>in</strong>er kle<strong>in</strong>en Amplitude nicht <strong>in</strong> Ersche<strong>in</strong>ung<br />
tritt. Wie zu erwarten ist, s<strong>in</strong>d die E<strong>in</strong>schw<strong>in</strong>gzeiten für perforierte Platten <strong>auf</strong>grund