Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...

5.4 MIXED-LEVEL-ANSATZ ZUR MODELLIERUNG VON SQFD 143
Das entsprechende verallgemeinerte Kirchhoffsche Netzwerk ist in Abb. 5.35 abgebildet.
Beschreibende Variablenpaare sind nun neben elektrischer Spannnung und Strom ¡
die mechanische Auslenkung ¥ und die Kraft £
sowie, als interne Variable des Dämp-
fungsmodells, der Druck � und der Massenfluß ¢ . Das Makromodell enthält neben dem
Dämpfungsmodell Kompaktmodelle für die mikromechanischen Federn, die auf analytischen
Formeln für die Biegung eines Balkens beruhen:
£
��£ ¥ � ¡
�
�
§
�
£ ¢
¡¡
�
¡
� ¥
(5.45)
(mit ¡ Elastizitätsmodul, ¢�¡ Breite, £ ¡ ¡ �
Dicke und Länge ¡
der mikromechanischen
Feder), ein Modell für die Trägheitskraft der Platte: £ � ¥ ¨�¡
und ein Kom-
� � ¤
paktmodell für den elektrostatischen Antrieb, das im wesentlichen aus der Kraft auf einen
Plattenkondensator mit veränderlichem Plattenabstand besteht und die
£
angelegte elektri-
� �
sche Spannung in eine mechanische Auslenkung wandelt:
�
� ¡
� §
£
¨
¦ � ¢ � £ £ � � (5.46)
¦ ��� � �
¡ § ¨
(mit Dielektrizitätskonstante des Vakuums bzw. relative
¡ ¦ ¦
Dielektrizitätskonstante
von Luft, elektrische Spannung, £�¡ variabler Abstand der Platte zur
¡
Gegenelektrode
und Fläche der � ¢ � Platte).
Mit diesem Modell kann nun die Antwort des Systems auf verschiedene Anregungen untersucht
werden. Zunächst wurde ein Spannungspuls zwischen Platte und Gegenelektrode
angelegt, wie er in Abb. 5.36a dargestellt ist. Graph b in Abb. 5.36 zeigt die daraus re-
sultierende Auslenkung der nichtperforierten Platte
� §
�
für Umgebungsdrücke zwischen
1 mbar und 1 bar. Für Drücke oberhalb von 100 mbar ist die Platte bereits überkritisch
gedämpft, erwartungsgemäß verringert sich aber die Dämpfung durch Löcher in der Platte,
was in Graph c derselben Abbildung für die Platte mit der Perforation �©� � verdeutlicht
ist, sie oszilliert auch noch für Drücke bis zu 1 bar. Vergleicht man für einen festen Umgebungsdruck
verschieden perforierte Platten, so zeigen die Platten mit dem größten Anteil
von Lochfläche an der Gesamtfläche erwartungsgemäß auch die geringste Dämpfung
(Abb. 5.36d). Untersuchungen wie diese sind beispielsweise wichtig für die Dimensionierung
von Beschleunigungssensoren, die weder zu sehr überschwingen noch zu stark
gedämpft sein sollen. Je nach Anwendung ist daher die Perforation geeignet zu wählen,
um die Dämpfungseigenschaften des Systems zu optimieren.
Die Antwort des Systems auf eine Anregung mit sinusförmiger Spannung ist in den Abbildungen
5.37 und 5.38 dargestellt. In Abb. 5.37 wird das System mit einer Sinusspannung
der Frequenz 48 kHz und einer Schwingungsamplitude von 10 V angeregt. Die Platte
schwingt mit ungefähr der doppelten Erregerfrequenz, da die elektrische Spannung quadratisch
in die Anregungskraft eingeht. Nach einer entsprechenden Einschwingzeit, die
vom Umgebungsdruck und der Perforation der Platte, also von der Dämpfung abhängt,
schwingt die Platte mit dieser Frequenz um die neue Gleichgewichtslage. Überlagert
man der Wechselspannung eine Gleichspannung (hier DC ¡ 5 V), so schwingt die Platte
hauptsächlich mit der Anregungsfrequenz. Das Signal enthält zusätzlich einen Anteil
der doppelten Frequenz, der aber aufgrund seiner kleinen Amplitude nicht in Erscheinung
tritt. Wie zu erwarten ist, sind die Einschwingzeiten für perforierte Platten aufgrund