Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
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5.4 MIXED-LEVEL-ANSATZ ZUR MODELLIERUNG VON SQFD 135<br />
Zr<br />
p=p a<br />
p<br />
max<br />
Kompaktmodell<br />
(Randeffekte)<br />
FN-Modell<br />
s<strong>in</strong>usförmige<br />
Bewegung δh<br />
b<br />
Fluidfilmdicke<br />
h0 Abbildung 5.25: Modell zur Berechnung<br />
der Reaktionskräfte <strong>auf</strong> e<strong>in</strong>e<br />
sich s<strong>in</strong>usförmig gegenüber e<strong>in</strong>er festen<br />
Oberfläche bewegende lange Rechteckplatte.<br />
Die mittels der Reynoldsgleichung<br />
berechnete Druckverteilung unter<br />
der Platte ist <strong>auf</strong> das Modell<br />
¨<br />
projiziert.<br />
¢<br />
Das Kompaktmodell berücksichtigt<br />
die E<strong>in</strong>flüsse der Ränder.<br />
Es zeigte sich, daß sich als Kompaktmodell zur <strong>Modellierung</strong> des Rande<strong>in</strong>flusses im<br />
¨<br />
wesentlichen<br />
e<strong>in</strong> ¢<br />
fluidischer Widerstand eignet, der weitestgehend wie der fluidische Widerstand<br />
e<strong>in</strong>er Kanalströmung mit rechteckigem Querschnitt skaliert (z.B. [20]):<br />
¢<br />
¨ ¡ �¨ ¦<br />
�<br />
�<br />
�¡ ¡<br />
¡<br />
�<br />
£<br />
�<br />
� (5.42)<br />
�<br />
Hierbei bedeuten die variable Spalthöhe, � �<br />
£<br />
�<br />
die Gesamtlänge der Plattenumrandung,<br />
der hydraulische Durchmesser, ¦<br />
�¡ die effektive Viskosität der Luft, abhängig von<br />
der herrschenden Knudsenzahl, und ¨ e<strong>in</strong>e geometrische Konstante, deren Wert sich aus<br />
dem Verhältnis � � �<br />
�<br />
bezeichnet hier den sogenannten An-<br />
¡ �¡ bestimmt [20]. Die Länge<br />
l<strong>auf</strong>bereich, die Strecke vom Rand der Platte zur Mitte h<strong>in</strong>, die benötigt wird, um das<br />
” ideale“ Strömungs- und Druckprofil unterhalb der Platte auszubilden, das bei der Ableitung<br />
der Reynoldsgleichung zugrundegelegt wird. Diese Anl<strong>auf</strong>strecke �<br />
�¡ ¢ skaliert mit<br />
der Fluidfilmdicke : �<br />
� �<br />
�¡<br />
�<br />
¡<br />
¡ � � £<br />
¡�§ ¡ � � §<br />
, wobei e<strong>in</strong> geometrischer Fitparameter ist, der<br />
über FEM-Simulationen bestimmt wurde. Dabei ergab sich e<strong>in</strong> Wert von (bei<br />
festgelegtem ¨ �<br />
¨<br />
¢<br />
), d.h. der Bereich über den sich die nichtideale Druck- und Geschw<strong>in</strong>digkeitsverteilung<br />
erstreckt, beträgt ca. die Hälfte der Fluidfilmdicke . Für alle weiteren<br />
Berechnungen wurde dieser Wert für beibehalten.<br />
Für den Fall der langen Rechteckplatten wurden alle Randknoten des F<strong>in</strong>iten Netzwerkes<br />
zu e<strong>in</strong>em Knoten zusammengefaßt und über das Kompaktmodell mit dem Knoten für<br />
den Umgebungsdruck � �<br />
verbunden (siehe Abb. 5.25). Für komplexere Berandungen, bei<br />
denen ke<strong>in</strong>e so uniformen Druckverteilungen an den Rändern vorliegen, wie z.B. im Falle<br />
der gelochten Platte <strong>in</strong> Kap. 5.4.2, wurde die Möglichkeit geschaffen, jeden Randknoten<br />
für sich mit e<strong>in</strong>em eigenen Kompaktmodell zu verb<strong>in</strong>den, das den Rande<strong>in</strong>fluß beschreibt.<br />
Die Länge � �<br />
repräsentiert dann nicht mehr die Gesamtlänge der Plattenumrandung, sondern<br />
jeweils die Distanz zwischen zwei benachbarten Knoten.<br />
Alle im folgenden vorgestellten Ergebnisse wurden mit e<strong>in</strong>em e<strong>in</strong>mal kalibrierten Parametersatz<br />
erhalten. Der Vergleich mit den entsprechenden FEM-Rechnungen zeigt e<strong>in</strong>e<br />
gute Übere<strong>in</strong>stimmung, Parametervariationen demonstrieren die Skalierbarkeit des Modells<br />
über weite Bereiche. Abb. 5.26 zeigt die Amplitude der normierten Reaktionskraft<br />
� ¢<br />
für ¢ zwei verschiedene Squeezezahlen <strong>in</strong> Abhängigkeit vom Verhältnis<br />
¢<br />
für<br />
�<br />
den<br />
Fall kle<strong>in</strong>er relativer Auslenkungen , d.h. den Gültigkeitsbereich der l<strong>in</strong>earisierten<br />
¡