Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...

5.4 MIXED-LEVEL-ANSATZ ZUR MODELLIERUNG VON SQFD 135
Zr
p=p a
p
max
Kompaktmodell
(Randeffekte)
FN-Modell
sinusförmige
Bewegung δh
b
Fluidfilmdicke
h0 Abbildung 5.25: Modell zur Berechnung
der Reaktionskräfte auf eine
sich sinusförmig gegenüber einer festen
Oberfläche bewegende lange Rechteckplatte.
Die mittels der Reynoldsgleichung
berechnete Druckverteilung unter
der Platte ist auf das Modell
¨
projiziert.
¢
Das Kompaktmodell berücksichtigt
die Einflüsse der Ränder.
Es zeigte sich, daß sich als Kompaktmodell zur Modellierung des Randeinflusses im
¨
wesentlichen
ein ¢
fluidischer Widerstand eignet, der weitestgehend wie der fluidische Widerstand
einer Kanalströmung mit rechteckigem Querschnitt skaliert (z.B. [20]):
¢
¨ ¡ �¨ ¦
�
�
�¡ ¡
¡
�
£
�
� (5.42)
�
Hierbei bedeuten die variable Spalthöhe, � �
£
�
die Gesamtlänge der Plattenumrandung,
der hydraulische Durchmesser, ¦
�¡ die effektive Viskosität der Luft, abhängig von
der herrschenden Knudsenzahl, und ¨ eine geometrische Konstante, deren Wert sich aus
dem Verhältnis � � �
�
bezeichnet hier den sogenannten An-
¡ �¡ bestimmt [20]. Die Länge
laufbereich, die Strecke vom Rand der Platte zur Mitte hin, die benötigt wird, um das
” ideale“ Strömungs- und Druckprofil unterhalb der Platte auszubilden, das bei der Ableitung
der Reynoldsgleichung zugrundegelegt wird. Diese Anlaufstrecke �
�¡ ¢ skaliert mit
der Fluidfilmdicke : �
� �
�¡
�
¡
¡ � � £
¡�§ ¡ � � §
, wobei ein geometrischer Fitparameter ist, der
über FEM-Simulationen bestimmt wurde. Dabei ergab sich ein Wert von (bei
festgelegtem ¨ �
¨
¢
), d.h. der Bereich über den sich die nichtideale Druck- und Geschwindigkeitsverteilung
erstreckt, beträgt ca. die Hälfte der Fluidfilmdicke . Für alle weiteren
Berechnungen wurde dieser Wert für beibehalten.
Für den Fall der langen Rechteckplatten wurden alle Randknoten des Finiten Netzwerkes
zu einem Knoten zusammengefaßt und über das Kompaktmodell mit dem Knoten für
den Umgebungsdruck � �
verbunden (siehe Abb. 5.25). Für komplexere Berandungen, bei
denen keine so uniformen Druckverteilungen an den Rändern vorliegen, wie z.B. im Falle
der gelochten Platte in Kap. 5.4.2, wurde die Möglichkeit geschaffen, jeden Randknoten
für sich mit einem eigenen Kompaktmodell zu verbinden, das den Randeinfluß beschreibt.
Die Länge � �
repräsentiert dann nicht mehr die Gesamtlänge der Plattenumrandung, sondern
jeweils die Distanz zwischen zwei benachbarten Knoten.
Alle im folgenden vorgestellten Ergebnisse wurden mit einem einmal kalibrierten Parametersatz
erhalten. Der Vergleich mit den entsprechenden FEM-Rechnungen zeigt eine
gute Übereinstimmung, Parametervariationen demonstrieren die Skalierbarkeit des Modells
über weite Bereiche. Abb. 5.26 zeigt die Amplitude der normierten Reaktionskraft
� ¢
für ¢ zwei verschiedene Squeezezahlen in Abhängigkeit vom Verhältnis
¢
für
�
den
Fall kleiner relativer Auslenkungen , d.h. den Gültigkeitsbereich der linearisierten
¡