Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...

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128 5 MODELLIERUNG AUF SYSTEMEBENE Symmetrieebene p max p=p a Abbildung 5.19: Druckverteilung zwischen zwei in z-Richtung unendlich ausgedehnten Rechteckplatten bei sinusförmiger Bewegung der oberen Platte. Abbildung 5.20: Geschwindigkeitsverteilung zu Abb. 5.19. maximal 0,2 m/s, die charakteristische Länge, hier der Abstand der beiden Platten betrug 1 m. Mit der Dichte von Luft , � ��§ § � ¡ � ¡ §�� ¦ � � � § m¡ ©� kg und der Viskosität von Luft Pa � § ¡ � �¥� � ��§�� von¤¦¥ s erhält man damit eine Reynoldszahl . Das heißt, daß die Voraussetzung für laminare Strömung bei den betrachteten Anordnungen gegeben ist. Da es sich hierbei um typische Strukturgrößen in der Mikromechanik handelt, ist diese Annahme also hinreichend allgemein gültig. Anwendbarkeit der linearisierten Reynoldsgleichung: Für die Linearisierung der allgemeinen Reynoldsgleichung wurde vorausgesetzt, daß die Amplitude der Plattenbewegung klein im Vergleich zur Filmdicke zwischen den beiden Strukturen ist. ¨ In ¡ Abb. 5.21 ¢¡ sind die �� ¢ � Reaktionskräfte für verschieden große relative Bewegungsamplituden über die Zeit aufgetragen. Die Rechnungen zeigen, daß bei Verwendung der linearisierten Gleichung die Amplitude der Reaktionskraft schon ¢ um ¨ ca. ¡ 1,3% zu klein � ¢¡ �� berechnet wird, wenn die relative Abstandsänderung von 0,01 auf 0,05 erhöht wird. Ab ¢¡ § § � § ist die Amplitude der Reaktionskraft � um mehr als 5% gegenüber dem Fall kleiner Bewegungsamplituden erhöht, der Verlauf weicht von der ursprünglichen Sinusform ab, wird zunehmend verzerrt und für große Squeezezahlen unsymmetrisch bezüglich der Nullinie, das heißt, der Zusammenhang zwischen Anregung und Reaktionskraft wird hoch nichtlinear. Möchte man also eine entsprechende Genauigkeit der Ergebnisse erreichen, so ist es ab einer relativen Auslenkung von 1/20, spätestens aber 1/10 der Fluidfilmdicke nicht mehr ratsam, die linearisierte Reynoldsgleichung zu verwenden. Die Lösung der allgemeinen Reynoldsgleichung ist jedoch in der Regel nicht in kommerziell erhältliche Programme implementiert, so daß eigene Lösungsverfahren entwickelt werden müssen. Der in Kap. 5.3.2 realisierte Finite-Netzwerk-Ansatz stellt hier eine Methode dar, auch nichtlineare Betriebszustände von Bauelementen innerhalb einer Standardsimulationsumgebung zu behandeln, da er die Reynoldsgleichung in nicht-
5.3 SQUEEZE-FILM-DÄMPFUNG IN MIKROBAUELEMENTEN 129 normierte Reaktionskraft normierte Reaktionskraft 0.3 0.2 0.1 0 −0.1 −0.2 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 σ=20 σ=1 linearisierter Form enthält. 10 20 t [μs] 10 20 t [μs] δh rel =0.01 δh rel =0.1 δh rel =0.2 δh rel =0.5 δh rel =0.01 δh rel =0.1 δh rel =0.2 δh rel =0.5 ¢¡ ¨ ¡ ¢ � �� ¡ � ¢ ¡ § § ¨ ¢ Abbildung 5.21: Navier-Stokesbasierte FEM-Simulationen der Reaktionskraft auf eine in z- Richtung unendlich ausgedehnte Rechteckplatte für unterschiedlich große Bewegungsamplituden der oberen Platte relativ zum Plattenabstand . Oben: Squeezezahl , unten: Squeezezahl . Ab � § § § � �� wird der Zusammenhang zwischen Anregung und Reaktionskraft deutlich nichtlinear. Die Kurvenform wird verzerrt und unsymmetrisch bezüglich der Nullinie. Variation der Plattenbreite: Abb. 5.22 zeigt die normierte Amplitude der Reaktionskraft und ihre Phasenverschiebung bezüglich der Anregung in Abhängigkeit von der Squeeze- ¢ zahl für Plattenbreiten ¢ zwischen 5 m und 100 m bei konstanter Fluidfilmhöhe ¡ � von m zwischen den beiden Platten. Die relative Auslenkung der oberen Platte wurde klein gegenüber gewählt ( Reynoldsgleichung gewährleistet war. Der Vergleich in Abb. 5.22 zwischen Ergebnissen, die mittels numerischer Lösung der linearisierten Reynoldsgleichung und Lösung der kompletten Navier-Stokes-Gleichung erhalten wurden, zeigt, daß die Amplitude und Phase der Reaktionskräfte erst für sehr große Werte des Verhältnisses von Plattenbreite ¢ � zu Fluidfilmdicke miteinander übereinstimmen. Dies ist auf Randeinflüsse zurück- ¨ ¢¡ £ �� § § § � ), so daß die Gültigkeit der linearisierten
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Zusammenfassung Mikrosysteme werden
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Abstract The progressing miniaturiz
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Entwurf und Modellierung von Mikros
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2.2 GRUNDLEGENDER ANSATZ ZUR MODELL
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