Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...

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126 5 MODELLIERUNG AUF SYSTEMEBENE b h 0 l sinusförmige Bewegung p=p a pmax Abbildung 5.17: FEM-Modell für numerische Berechnung der linearisierten Reynoldsgleichung für den Fall langer Rechteckplatte (links). Die dargestellte Platte bewegt sich sinusförmig gegenüber einer starren Platte im Abstand , es werden ideale Randbedin- gungen ( � ¡ � � , mit � � ¡ Umgebungsdruck) angenommen. Rechts: Druckverteilung unter der Rechteckplatte. gewählt, was bereits ziemlich gut einer unendlich langen Rechteckplatte entspricht, die Amplitude der Plattenbewegung betrug ein Hundertstel vom Plattenabstand, d.h. 0,01 m bei einer Fluidfilmdicke von 1 m zwischen den Platten, um die Voraussetzungen für die Gültigkeit der linearisierten Reynoldsgleichung zu gewährleisten. Für die Rechnung wurden lineare, quadrilaterale Elemente (ein Freiheitsgrad Temperatur bzw. Druck) verwendet, als Randbedingung wurde Umgebungsdruck ( � ¡ � � ) angenommen. Die resultierende Druckverteilung ist ebenfalls in Abb. 5.17 dargestellt, und zwar für den Fall der Abwärtsbewegung der oberen Platte, d.h. die Druckmaxima relativ zum Umgebungsdruck befinden sich in der Mitte der Platte. Durch Integration der Druckverteilung über die Fläche wird nun die Reaktionskraft auf die sich bewegende Platte berechnet. Der Vergleich der numerisch erhaltenen Ergebnisse mit der analytischen Lösung in Abb. 5.18 zeigt eine hervorragende Übereinstimmung, so daß für die weiteren Untersuchungen von der Zuverlässigkeit der numerischen Berechnungen auch für komplexere Geometrien ausgegangen werden kann. Für die Ableitung der Reynoldsgleichung wird gemäß Kapitel 5.3.1 vorausgesetzt, daß die Strömung d.h.¤ � im � Fluidfilm laminar ist, , daß � die § lateralen Abmessungen ¢ der Anordnung viel größer sind als � die Fluidfilmdicke ( ), daß also Randeffekte eine untergeordnete Rolle spielen, und daß die z-Komponenten der Geschwindigkeit vernachlässigbar klein sind. Im folgenden soll anhand detaillierter Untersuchungen für eine sinusförmig auf- und abbewegte lange Rechteckplatte geklärt ¥ werden, inwieweit diese Annahmen im Falle mikromechanischer Strukturen adäquat sind, und wann Abweichungen vom idealisierten Modell auftreten. Zu diesem Zwecke wurden Vergleichsrechnungen gemacht, in denen auf der Basis der FEM die vollständige Navier–Stokes–Gleichung für kompressible Strömung gelöst wurde. Verwendet wurde dazu das Programm FLOTRAN, das ¡ im Programmpaket ANSYS enthalten ist. Da das gewählte Seitenverhältnis von 0,01 bereits ziemlich gut dem Fall von in z-Richtung unendlich ausgedehnten Rechteckplatten der Breite ¢ entspricht, ist eine
5.3 SQUEEZE-FILM-DÄMPFUNG IN MIKROBAUELEMENTEN 127 normierte Kraft 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 Federkraft analytisch numerisch Reibungskraft 0 10 20 30 40 50 Squeezezahl σ Abbildung 5.18: Normierte Reibungs- und Federkraft auf eine lange Rechteckplatte in Abhängigkeit von der Squeezezahl ¢ : Vergleich zwischen analytischer und numerischer Lösung. Den Berechnungen liegt die linearisierte Reynoldsgleichung zugrunde. zweidimensionale Behandlung des Problems gerechtfertigt. Das Finite-Element-Modell sowie die Geometrie der Anordnung sind in Abb. 4.24 in Kapitel 4.3.5 dargestellt. Zur Berechnung werden quadrilaterale Fluidelemente mit den Geschwindigkeitskomponenten � � § , dem Druck � und der Temperatur � als Freiheitsgrade verwendet. Das Simulationsgebiet für das Fluid muß ausreichend groß gewählt werden, damit gewährleistet bleibt, daß seine äußeren Begrenzungen die Strömung zwischen den Platten nicht beeinflussen. Als Randbedingungen an den Platten werden Haftrandbedingungen angenommen, d.h. am Plattenrand hat das Gas/Fluid dieselbe Geschwindigkeit wie die Platte. Die obere Platte bewegt sich sinusförmig auf und ab, während die untere in Ruhe verbleibt. Der resultierende Druck an den Rändern der oberen Platte wird dann über die Flächen integriert und daraus die normierte Reaktionskraft auf die Platte berechnet. Variiert wurden Plattenbreite ¢ (5 m – 100 m), Plattenabstand (1 m – 5 m), Amplitude und Frequenz der Anregung sowie der Umgebungsdruck � � der Luft. Die resultierende Druck- bzw. Geschwindigkeitsverteilung zwischen den Platten während der Abwärtsbewegung der oberen Platte sind in den Abbildungen 5.19 und 5.20 dargestellt, die Plattenbreite ¢ betrug für diesen Fall 5 m, der Abstand der Platten 1 m. In beiden Abbildungen ist bereits zu erkennen, daß im Randbereich Nichtidealitäten, sowohl in der Geschwindigkeits- wie auch in der Druckverteilung, auftreten: Der Druck ist hier nicht unabhängig von der z-Koordinate, und die z-Komponente der Geschwindigkeit verschwindet nicht. Diese Abweichungen fallen um so mehr ins Gewicht, je kleiner � das ¢ Verhältnis ist, und sie schränken daher die Anwendbarkeit der Reynoldsgleichung für solche Fälle ein. Die oben angesprochenen Annahmen für die Ableitung der Reynoldsgleichung sollen im folgenden Punkt für Punkt einzeln Strömung,¤ untersucht werden. � Laminare : Die Reynoldszahl als Kennzahl für laminare bzw. turbu- � lente Strömung ¥ ¡ ist � � � � ¦ definiert . Bei den durchgeführten Simulationen liegen die auftretenden Geschwindigkeiten typischerweise in der Größenordnung von ¥ über¤
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Fakultät für Elektrotechnik und I
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Zusammenfassung Mikrosysteme werden
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Abstract The progressing miniaturiz
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Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung ¡
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Entwurf und Modellierung von Mikros
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2.2 GRUNDLEGENDER ANSATZ ZUR MODELL
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