Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...

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120 5 MODELLIERUNG AUF SYSTEMEBENE £ £ � Burgdorfer [21] Hsia, Domoto [57] Mitsuya [83] � ��£ � � ��£ � � � ��£ � � � ��£ � �¡ � ¡ £ � � � Randbed. 1. Ordnung 2. Ordnung 2. Ordnung (modif.) § § § § � � £¤£ � § ¨ gültig � £ ¨ � bis � £ � Tabelle 5.1: Änderungen in der effektiven Viskosität für verschiedene Modelle zur Berücksichtigung der verdünnten Gas-Effekte“ im SQFD-Modell. ( ” § Bei diesem Modell wurde zur Ableitung der Randbedingungen die Geschwindigkeit der � Moleküle am § Ort von der Wand entfernt betrachtet (siehe Grundlagen zu verdünnten � Gasen in Kap. 4.3.2), es wird auch als Modell 1,5. Ordnung bezeichnet.). in der die verdünnten-Gas-Effekte“ formal durch eine effektive Viskosität berücksichtigt ” ¦ werden: ¦ ¡ � (5.30) £ �¦� �¡ £ � Die Funktion £ � hängt dabei von der Form der angewendeten Randbedingungen ab. � £ Verschiedene Ansätze sowie deren Gültigkeitsbereich sind in Tabelle 5.1 aufgelistet. Alle Ansätze gehen dabei von der Navier-Stokes-Gleichung aus, liefern also allenfalls im Bereich der Schlupfströmung, d.h. für Knudsenzahlen kleiner als 1, zuverlässige Lösungen. Für das Modell von Mitsuya wird die Gültigkeit bis zu Knudsenzahlen von ca. 2-3 angegeben, eine Aussage, die aber noch durch umfassendere Experimente unterstützt werden sollte. Einen allgemein gültigen Ansatz verfolgen Fukui und Kaneko [39], die für die typische Gleitlageranordnung (vgl. Abb. 5.13) mittels linearisierter Boltzmanngleichung die Massenflüsse berechnen � und ¡ daraus ¨ eine � verallgemeinerte £ Reynoldsgleichung ableiten. Die � § effektive � £ Viskosität ist £��§ nun ��§ eine �� Funktion � ��¡ der inversen Knudsenzahl und der ¨ Poiseuilleschen Durchflußrate (mit , ¢£¢ ¨ ¨ Akkomodationskoeffizi- ¨ enten der beiden Platten) und hat die Form: ¦ �¡ ¡ � ¢¤¢ � £��§ ¨ ��§ ¨ �� ¦ (5.31) £��§ ��§ �� kann über die Lösung der ¢¥¢ ¨ ¨ linearisierten Boltzmanngleichung berechnet werden und ist im allgemeinen ein komplizierter, für die praktische Anwendung unhandlicher Ausdruck. Fukui und Kaneko [40] § haben § daher § mittels � Reihenentwicklung Nähe- � § §�� ¡ § §�� rungen ¡ £ � ¡ � für ¡ £ � drei Knudsenzahlbereiche ( ; und ) £ ermittelt, die eine Genauigkeit von 1% aufweisen. Daraus wurde eine numerische Näherung von Veijola [135] abgeleitet, die für Knudsenzahlen zwischen 0 und 880 mit einer Genauigkeit von 5% gilt und ihrer Einfachheit wegen in vielen Fällen in der Modellie-
5.3 SQUEEZE-FILM-DÄMPFUNG IN MIKROBAUELEMENTEN 121 rung von Mikrobauelementen, wie auch in dieser Arbeit, eingesetzt wird: ¦ �¡ ¡ � §�� £ Die Ableitung von Gleichung 5.32 erfolgte für diffuse Reflexion ��¡ der � Gasmoleküle ¡ an � ¨ beiden Platten, d.h. , was meist für praktische Anwendungen angenommen ¨ wird. Für den Fall unterschiedlicher Akkomodation an den beiden £ Platten ��§ oder ��§ �� anderer ¨ Koeffizienten muß erneut mit Hilfe der linearisierten Boltzmanngleichung ¢£¢ ¨ berechnet werden. Dies ist in [134] für ausgewählte Fälle durchgeführt. 5.3.2 Finiter-Netzwerk-Ansatz zur Modellierung der Reynoldsgleichung � ¦ � � �¡ £¢ (5.32) Die Reynoldsgleichung stellt eine sehr gute Näherung dar, Squeeze-Film-Dämpfungseffekte effizient und akkurat zu beschreiben, solange die in Kap. 5.3.1 gemachten Voraussetzungen gegeben sind. Sie ist aber in der Regel nicht in kommerziell erhältliche Programme implementiert. Ziel ist es daher, die beträchtliche Vereinfachung gegenüber der Navier-Stokes-Gleichung möglichst flexibel, d.h. auch für beliebige Bauelementegeometrie, nutzbar und den Ansatz für die Systemsimulation in einer Standardsimulationsumgebung zugänglich zu machen, um so Dämpfungseffekte in adäquater Weise in der Simulation ganzer Mikrosysteme berücksichtigen zu können. Zu diesem Zweck wird der in Abb. 5.14 skizzierte Finite Netzwerk-Ansatz (FN-Modell) verfolgt: Mittels eines Konvertierungsprogrammes wird aus einem zweidimensionalen Finite-Element-Modell eine Netzliste erstellt, die alle relevanten Daten des Modells enthält, wie beispielsweise Abstände zwischen den Knoten, ihre Relation zueinander und die ihnen zugeordneten Flächen. Das zugrundeliegende physikalische Modell besteht aus der über die Fluidfilmdicke integrierten Kontinuitätsgleichung: FEM-Modell δh i Finite Netzliste Qik p i p k Systemsimulator ��£ �¥¤¡ � � � £ Bilanzgleichungen VHDL-AMS � �� £ � £ � � � ¡¨§ (5.33) Abbildung 5.14: Finiter-Netzwerk-Ansatz zur Lösung der Reynoldsgleichung innerhalb eines Standard-Systemsimulators. Jeder Knoten des FN wird durch drei � Variable charakterisiert, ¢ � den Massenfluß , den Druck � und die lokale Änderung � der Spalthöhe ¢ � � £ . �
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Zusammenfassung Mikrosysteme werden
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Abstract The progressing miniaturiz
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Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung ¡
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Entwurf und Modellierung von Mikros
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Literaturverzeichnis [1] ABAQUS, Hi
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LITERATURVERZEICHNIS 173 [28] R. B.
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LITERATURVERZEICHNIS 175 [56] R. H.
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