Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
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120 5 MODELLIERUNG AUF SYSTEMEBENE<br />
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Burgdorfer [21] Hsia, Domoto [57] Mitsuya [83]<br />
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Randbed. 1. Ordnung 2. Ordnung 2. Ordnung (modif.) §<br />
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gültig � £ ¨ �<br />
bis � £ �<br />
Tabelle 5.1: Änderungen <strong>in</strong> der effektiven Viskosität für verschiedene Modelle zur<br />
Berücksichtigung der verdünnten Gas-<strong>Effekte</strong>“ im SQFD-Modell. (<br />
” § Bei diesem Modell<br />
wurde zur Ableitung der Randbed<strong>in</strong>gungen die Geschw<strong>in</strong>digkeit der<br />
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Moleküle am<br />
§<br />
Ort von der Wand entfernt betrachtet (siehe Grundlagen zu verdünnten � Gasen <strong>in</strong><br />
Kap. 4.3.2), es wird auch als Modell 1,5. Ordnung bezeichnet.).<br />
<strong>in</strong> der die verdünnten-Gas-<strong>Effekte</strong>“ formal durch e<strong>in</strong>e effektive Viskosität berücksichtigt<br />
”<br />
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werden:<br />
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Die Funktion £ �<br />
hängt dabei von der Form der angewendeten Randbed<strong>in</strong>gungen ab.<br />
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Verschiedene Ansätze sowie deren Gültigkeitsbereich s<strong>in</strong>d <strong>in</strong> Tabelle 5.1 <strong>auf</strong>gelistet. Alle<br />
Ansätze gehen dabei von der Navier-Stokes-Gleichung aus, liefern also allenfalls im Bereich<br />
der Schlupfströmung, d.h. für Knudsenzahlen kle<strong>in</strong>er als 1, zuverlässige Lösungen.<br />
Für das Modell von Mitsuya wird die Gültigkeit bis zu Knudsenzahlen von ca. 2-3 angegeben,<br />
e<strong>in</strong>e Aussage, die aber noch durch umfassendere Experimente unterstützt werden<br />
sollte.<br />
E<strong>in</strong>en allgeme<strong>in</strong> gültigen Ansatz verfolgen Fukui und Kaneko [39], die für die typische<br />
Gleitlageranordnung (vgl. Abb. 5.13) mittels l<strong>in</strong>earisierter Boltzmanngleichung die Massenflüsse<br />
berechnen<br />
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und<br />
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e<strong>in</strong>e<br />
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Viskosität ist<br />
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Funktion<br />
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der <strong>in</strong>versen Knudsenzahl und<br />
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Poiseuilleschen Durchflußrate (mit , ¢£¢ ¨ ¨<br />
Akkomodationskoeffizi-<br />
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enten der beiden Platten) und hat die Form:<br />
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(5.31)<br />
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kann über die Lösung der ¢¥¢ ¨ ¨<br />
l<strong>in</strong>earisierten Boltzmanngleichung berechnet<br />
werden und ist im allgeme<strong>in</strong>en e<strong>in</strong> komplizierter, für die praktische Anwendung unhandlicher<br />
Ausdruck. Fukui und Kaneko [40]<br />
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haben<br />
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daher<br />
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mittels<br />
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Reihenentwicklung Nähe-<br />
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drei Knudsenzahlbereiche ( ; und )<br />
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ermittelt, die e<strong>in</strong>e Genauigkeit von 1% <strong>auf</strong>weisen. Daraus wurde e<strong>in</strong>e numerische Näherung<br />
von Veijola [135] abgeleitet, die für Knudsenzahlen zwischen 0 und 880 mit e<strong>in</strong>er<br />
Genauigkeit von 5% gilt und ihrer E<strong>in</strong>fachheit wegen <strong>in</strong> vielen Fällen <strong>in</strong> der Modellie-
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