Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...

5.3 SQUEEZE-FILM-DÄMPFUNG IN MIKROBAUELEMENTEN 119
ziell für mikromechanische Strukturen, in [163] aus der linearisierten Reynoldsgleichung
abgeleitet.
Einen relativ universellen Lösungsansatz verfolgt Darling [28], der die linearisierte
Reynoldsgleichung für den Fall mikromechanischer Plattenstrukturen mittels der Methode
der Greenschen Funktion löst. Dabei ist es möglich, auch Lösungen für Fälle zu finden,
in denen das Fluid nicht an allen Plattenrändern frei entweichen kann, was in mikromechanischen
Strukturen meist gegeben ist. Die Schwierigkeit der Methode liegt jedoch
darin, die geeigneten Eigenfunktionen zu finden, die zur Ableitung der Greenschen Funktion
benötigt werden, besonders wenn die Geometrie der Struktur komplexer, also nicht
rechtwinklig ist, und/oder die Platten Löcher aufweisen. Für solche Fälle kann man die
strukturelle Ähnlichkeit von Gleichung 5.27 zu anderen diffusionsartigen, partiellen Differentialgleichungen
wie der Wärmediffusionsgleichung ausnutzen, die in bestehenden
Finite-Element-Simulationsprogrammen schon implementiert sind. Unter der Voraussetzung,
daß die Gültigkeit der linearisierten Reynoldsgleichung gegeben ist, können so auch
für komplexere Geometrien die Reaktionskräfte des Fluids auf die sich bewegende Struktur
berechnet werden (siehe z.B. [10, 77, 122, 157] und Kap. 5.3.3 in dieser Arbeit).
Wird der Gültigkeitsbereich der linearisierten Reynoldsgleichung verlassen, muß die allgemeine
Reynoldsgleichung gelöst werden. Sadd und Stiffler [96] gelingt dies im Falle
von Rechteck- und Kreisplatten für kleine Squeeze-Zahlen analytisch. Im allgemeinen
muß dies aber numerisch geschehen, z.B. mittels der Methode der Finiten Differenzen
wie in [156, 157].
Es existieren bereits auch einige Ansätze, SQFD-Effekte basierend auf der Reynoldsgleichung
in Modelle auf Systemebene zu integrieren, um das dynamische Verhalten des
Gesamtsystems berechnen zu können. Meist beruhen sie darauf, daß für eine bestimmte,
vorgegebene Geometrie eine analytische Lösung gefunden werden kann, die dann
auf Kompakt- oder Makromodellebene, beispielsweise in äquivalente Netzwerke, umgesetzt
wird [135, 137]. Diese Ansätze sind aber meist auf spezielle Geometrien oder
auf die linearisierte Reynoldsgleichung beschränkt. Daher wird in Kap. 5.3.2 dieser Arbeit
ein Finiter Netzwerk-Ansatz realisiert, der ebenfalls in das Modell eines Gesamtsystems
integriert werden kann, aber auch erlaubt, komplexe Geometrien sowie nichtlineares
Dämpfungsverhalten zu untersuchen.
Grenzen der Kontinuumstheorie
Für den Fall, daß die mittlere freie Weglänge in dieselbe Größenordnung wie die geometrischen
Abmessungen des betrachteten Bauelementes kommt, müssen, wie bereits in
Kapitel 4.3.2 dargelegt, die aus der Kontinuumstheorie abgeleiteten Modelle modifiziert
werden. Im Falle der Schmierfilmtheorie existieren dafür einige Ansätze in der Literatur.
Der einfachste Ansatz besteht darin, die Reynoldsgleichung unter Verwendung von
Schlupfrandbedingungen aus der Navier-Stokes-Gleichung abzuleiten. Das Ergebnis ist
eine modifizierte Reynoldsgleichung:
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(5.29)