Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...

118 5 MODELLIERUNG AUF SYSTEMEBENE
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Die Reynoldsgleichung 5.26 ist trotz ihrer Vereinfachungen gegenüber der allgemeineren
Navier-Stokes-Gleichung eine hoch nichtlineare Gleichung, die im allgemeinen nur
numerisch gelöst werden kann. Unter der Voraussetzung kleiner Filmdickevariationen
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, nominelle Filmdicke) und kleiner Druckvariationen
(mit � � § � � ¡ ¡ � � � ¢
Umgebungsdruck) kann sie
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linearisiert
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werden, und man
erhält für isotherme Bedingungen ( ) die linearisierte Reynoldsgleichung:
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(5.27)
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Sie weist dieselbe Form auf wie eine Diffusionsgleichung und ist damit einfacher zu lösen
als die allgemeine Reynoldsgleichung.
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Anmerkungen zur Fluid-Struktur-Kopplung:
Die Kopplung zwischen Fluidik und Mechanik ist in der Reynoldsgleichung direkt über
die Variation der Fluidfilmdicke enthalten, d.h. sie muß nicht über zusätzliche Koppelbedingungen
formuliert werden, wie dies im allgemeinen Fall nötig ist (siehe Kapitel
4.3.1). Auch in diesem Punkt erreicht man also eine Vereinfachung gegenüber der
Navier-Stokesschen Bewegungsgleichung.
Ansätze zur Modellierung von Squeeze-Film-Dämpfung
Tritt SQFD auf, z.B. bei senkrechter Bewegung einer Platte gegenüber eines Substrates,
kann die Reaktionskraft im Fluid immer in zwei Anteile aufgespalten werden, in einen
Anteil proportional zur Plattenauslenkung und einen Anteil proportional zur Plattengeschwindigkeit.
Der Anteil der Reaktionskraft, der proportional zur Plattenauslenkung ist,
wirkt als zusätzliche Federkraft und erhöht damit die Gesamtfederkraft des Systems. Der
zur Plattengeschwindigkeit proportionale Anteil stellt eine Reibungskraft dar, aufgrund
derer Energie dissipiert und das System gedämpft wird. Eine Kennzahl für die jeweilige
Dominanz eines der beiden Anteile ist die sogenannte ¢ Squeezezahl , eine dimensionslose,
geometrieabhängige Kennzahl, die für eine Rechteckplatte beispielsweise folgende
Form hat [19, 47]:
� § ¦ � ¢
¡ � � � (5.28)
¢
Sie hängt von der Viskosität ¦ des Fluids, der Frequenz � der Plattenbewegung, der Plattenbreite
¢ , der nominellen Filmdicke und dem Umgebungsdruck � �
ab. Für ¢ kleine
kann das Fluid zwischen den Platten entweichen und die Reibungskraft dominiert, für
¢ große dagegen überwiegt die Federkraft. Die Squeeze-Zahl, bei der Feder- und Dämpfungskraft
gleich sind, wird als kritische Squeeze-Zahl bezeichnet, ihre Größe variiert mit
der Strukturgeometrie.
Die Reynoldsgleichung läßt sich allgemein nur numerisch, für einige Fälle, insbesondere
für kleine Variationen der nominellen Fluidfilmdicke (d.h. für die linearisierte Form der
Gleichung) aber auch analytisch lösen. Analytische Lösungen für bestimmte Problemklassen
wie rechteckige oder kreisförmige Plattenpaare werden in [19, 47, 74] und, spe-
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