Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
118 5 MODELLIERUNG AUF SYSTEMEBENE<br />
¢<br />
� (mit<br />
Die Reynoldsgleichung 5.26 ist trotz ihrer Vere<strong>in</strong>fachungen gegenüber der allgeme<strong>in</strong>eren<br />
Navier-Stokes-Gleichung e<strong>in</strong>e hoch nichtl<strong>in</strong>eare Gleichung, die im allgeme<strong>in</strong>en nur<br />
numerisch gelöst werden kann. Unter der Voraussetzung kle<strong>in</strong>er Filmdickevariationen<br />
¡ � ¡ ¢¡<br />
� � ¢<br />
�<br />
, nom<strong>in</strong>elle Filmdicke) und kle<strong>in</strong>er Druckvariationen<br />
(mit � � § � � ¡ ¡ � � � ¢<br />
Umgebungsdruck) kann sie<br />
¡<br />
l<strong>in</strong>earisiert<br />
�<br />
werden, und man<br />
erhält für isotherme Bed<strong>in</strong>gungen ( ) die l<strong>in</strong>earisierte Reynoldsgleichung:<br />
�<br />
�<br />
¡<br />
¨<br />
¢<br />
§<br />
�<br />
¡<br />
���<br />
¡<br />
¢<br />
§<br />
�<br />
¨<br />
(5.27)<br />
���<br />
¡¢¡ � ¡ ¢ ¡<br />
¢<br />
¡ � § ¦ § � � �<br />
¨ ¡ ¢¦¥ �¤£ mit , und .<br />
Sie weist dieselbe Form <strong>auf</strong> wie e<strong>in</strong>e Diffusionsgleichung und ist damit e<strong>in</strong>facher zu lösen<br />
als die allgeme<strong>in</strong>e Reynoldsgleichung.<br />
�<br />
Anmerkungen zur Fluid-Struktur-Kopplung:<br />
Die Kopplung zwischen Fluidik und Mechanik ist <strong>in</strong> der Reynoldsgleichung direkt über<br />
die Variation der Fluidfilmdicke enthalten, d.h. sie muß nicht über zusätzliche Koppelbed<strong>in</strong>gungen<br />
formuliert werden, wie dies im allgeme<strong>in</strong>en Fall nötig ist (siehe Kapitel<br />
4.3.1). Auch <strong>in</strong> diesem Punkt erreicht man also e<strong>in</strong>e Vere<strong>in</strong>fachung gegenüber der<br />
Navier-Stokesschen Bewegungsgleichung.<br />
Ansätze zur <strong>Modellierung</strong> von Squeeze-Film-Dämpfung<br />
Tritt SQFD <strong>auf</strong>, z.B. bei senkrechter Bewegung e<strong>in</strong>er Platte gegenüber e<strong>in</strong>es Substrates,<br />
kann die Reaktionskraft im Fluid immer <strong>in</strong> zwei Anteile <strong>auf</strong>gespalten werden, <strong>in</strong> e<strong>in</strong>en<br />
Anteil proportional zur Plattenauslenkung und e<strong>in</strong>en Anteil proportional zur Plattengeschw<strong>in</strong>digkeit.<br />
Der Anteil der Reaktionskraft, der proportional zur Plattenauslenkung ist,<br />
wirkt als zusätzliche Federkraft und erhöht damit die Gesamtfederkraft des Systems. Der<br />
zur Plattengeschw<strong>in</strong>digkeit proportionale Anteil stellt e<strong>in</strong>e Reibungskraft dar, <strong>auf</strong>grund<br />
derer Energie dissipiert und das System gedämpft wird. E<strong>in</strong>e Kennzahl für die jeweilige<br />
Dom<strong>in</strong>anz e<strong>in</strong>es der beiden Anteile ist die sogenannte ¢ Squeezezahl , e<strong>in</strong>e dimensionslose,<br />
geometrieabhängige Kennzahl, die für e<strong>in</strong>e Rechteckplatte beispielsweise folgende<br />
Form hat [19, 47]:<br />
� § ¦ � ¢<br />
¡ � � � (5.28)<br />
¢<br />
Sie hängt von der Viskosität ¦ des Fluids, der Frequenz � der Plattenbewegung, der Plattenbreite<br />
¢ , der nom<strong>in</strong>ellen Filmdicke und dem Umgebungsdruck � �<br />
ab. Für ¢ kle<strong>in</strong>e<br />
kann das Fluid zwischen den Platten entweichen und die Reibungskraft dom<strong>in</strong>iert, für<br />
¢ große dagegen überwiegt die Federkraft. Die Squeeze-Zahl, bei der Feder- und Dämpfungskraft<br />
gleich s<strong>in</strong>d, wird als kritische Squeeze-Zahl bezeichnet, ihre Größe variiert mit<br />
der Strukturgeometrie.<br />
Die Reynoldsgleichung läßt sich allgeme<strong>in</strong> nur numerisch, für e<strong>in</strong>ige Fälle, <strong>in</strong>sbesondere<br />
für kle<strong>in</strong>e Variationen der nom<strong>in</strong>ellen Fluidfilmdicke (d.h. für die l<strong>in</strong>earisierte Form der<br />
Gleichung) aber auch analytisch lösen. Analytische Lösungen für bestimmte Problemklassen<br />
wie rechteckige oder kreisförmige Plattenpaare werden <strong>in</strong> [19, 47, 74] und, spe-<br />
�