Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
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116 5 MODELLIERUNG AUF SYSTEMEBENE<br />
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Externe Volumenkräfte s<strong>in</strong>d zu vernachlässigen ( (¤ ¡<br />
� , lam<strong>in</strong>are Strömung).<br />
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).<br />
Die Geschw<strong>in</strong>digkeiten des Fluids <strong>in</strong> z-Richtung s<strong>in</strong>d kle<strong>in</strong> verglichen mit den<br />
Komponenten <strong>in</strong> lateraler Richtung und daher zu © � £ § �<br />
vernachlässigen: .<br />
Die lateralen Abmessungen der Platte s<strong>in</strong>d viel größer als die Filmdicke<br />
mit ¡ � ¡¤£ § ��§ £<br />
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Diese Annahmen vere<strong>in</strong>fachen die Navier-Stokes-Gleichung wesentlich, und wir erhalten<br />
somit für die drei Komponenten <strong>in</strong> -, ¥<br />
- und ¥ -Richtung:<br />
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(5.15)<br />
Aus Gleichung 5.15 ersieht man, daß der Druck � nicht von der z-Koord<strong>in</strong>ate abhängt. Daher<br />
lassen sich die Gleichungen 5.13 und 5.14 leicht zweifach über die Fluidfilmdicke<br />
<strong>in</strong> z-Richtung <strong>in</strong>tegrieren, und man erhält folgende Beziehungen für die Geschw<strong>in</strong>digkeitskomponenten<br />
£ und �<br />
<strong>in</strong> - und ¥<br />
-Richtung:<br />
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(5.16)<br />
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Hierbei �<br />
stellen �<br />
, , und Integrationskonstanten dar, die über die �<br />
Randbed<strong>in</strong>gungen<br />
für die Geschw<strong>in</strong>digkeiten an den Platten festgelegt s<strong>in</strong>d. Im allgeme<strong>in</strong>en kann<br />
man für die Geschw<strong>in</strong>digkeit des Fluids an den Platten Haftrandbed<strong>in</strong>gungen annehmen,<br />
d.h. das Fluid bewegt sich mit derselben Geschw<strong>in</strong>digkeit wie die angrenzende Wand.<br />
Wann dies bei mikromechanischen Strukturen nicht mehr gerechtfertigt ist, und welche<br />
Korrekturen gegebenenfalls angewendet werden müssen, ist <strong>in</strong> Kapitel 4.3.2 dargestellt;<br />
im folgenden werden allerd<strong>in</strong>gs zunächst Haftrandbed<strong>in</strong>gungen angenommen, d.h. es gilt<br />
für die Geschw<strong>in</strong>digkeiten £ und � :<br />
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(5.17)<br />
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(5.19)<br />
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(5.21)