Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...

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116 5 MODELLIERUNG AUF SYSTEMEBENE ¥ � Externe Volumenkräfte sind zu vernachlässigen ( (¤ ¡ � , laminare Strömung). ¡¨§ ). Die Geschwindigkeiten des Fluids in z-Richtung sind klein verglichen mit den Komponenten in lateraler Richtung und daher zu © � £ § � vernachlässigen: . Die lateralen Abmessungen der Platte sind viel größer als die Filmdicke mit ¡ � ¡¤£ § ��§ £ � . � � § ¢ � ¡ � � � § ¡ � � ¥ � � © Diese Annahmen vereinfachen die Navier-Stokes-Gleichung wesentlich, und wir erhalten somit für die drei Komponenten in -, ¥ - und ¥ -Richtung: � � � � � ¥ � � � ¥ � ¡ ¡ ¡ § � ¥ � � ¥ � � � ¦ ¦ ¡ � � ¥ � £ � ¥ � (5.13) � � � ¥ � (5.14) � : (5.15) Aus Gleichung 5.15 ersieht man, daß der Druck � nicht von der z-Koordinate abhängt. Daher lassen sich die Gleichungen 5.13 und 5.14 leicht zweifach über die Fluidfilmdicke in z-Richtung integrieren, und man erhält folgende Beziehungen für die Geschwindigkeitskomponenten £ und � in - und ¥ -Richtung: £ ¡ � ¡ � ¥ ¦ § ¥ ¦ § � � � � � � ¥ � � � � � ¥ ¦ � � � (5.16) � � � � � � � Hierbei � stellen � , , und Integrationskonstanten dar, die über die � Randbedingungen für die Geschwindigkeiten an den Platten festgelegt sind. Im allgemeinen kann man für die Geschwindigkeit des Fluids an den Platten Haftrandbedingungen annehmen, d.h. das Fluid bewegt sich mit derselben Geschwindigkeit wie die angrenzende Wand. Wann dies bei mikromechanischen Strukturen nicht mehr gerechtfertigt ist, und welche Korrekturen gegebenenfalls angewendet werden müssen, ist in Kapitel 4.3.2 dargestellt; im folgenden werden allerdings zunächst Haftrandbedingungen angenommen, d.h. es gilt für die Geschwindigkeiten £ und � : � ¥ ¦ � � (5.17) £ § � ¡ £ ¤ (5.18) £ £ � ¡ £ � (5.19) £ ��£ § � ¡ � ¤ (5.20) ��£ � ¡ �� (5.21)
5.3 SQUEEZE-FILM-DÄMPFUNG IN MIKROBAUELEMENTEN 117 Hierbei steht der Index ¥ für die obere, der Index ¢ für die untere Platte (s. Abb. 5.13), und man erhält folgende Beziehungen für die Geschwindigkeiten in - und ¥ -Richtung: £ ¡ ¨ ¥ � ¡ ¨ ¥ ¨ ¥ � ¦ � § ¨ ¥ � ¦ � § � � � � � ¥ � � £ ¤ �� ¤ ¨ ¥ ¨ ¥ � £ � � �� ¥ ¥ (5.22) (5.23) Setzt man die Gleichungen 5.22 und 5.23 in die Kontinuitätsgleichung (siehe Gleichung 4.24 in Kapitel 4.3.1) ein und integriert diese unter Einbeziehung der Randbedingungen 5.18 – 5.21 über die Filmdicke , so erhält man die allgemeine Reynoldsgleichung [51], wie sie in der Theorie der Lagerreibung angewendet wird: � � � ¨ � � § ¦ ¡ � � � � � � ¥ � � ¨ � � § ¦ ¡ � � ¥ � � � £ © � � � � ¨ £ £ � � £ ¤ � � § © ¤ � ¨ � £ � � � � ¨ � �� ¢ � � £ �� ¤ � § ¥ � � ¥ � � � � �� ¡¨§ (5.24) ¢ Die allgemeine Reynoldsgleichung 5.24 beschreibt die Einflüsse sowohl von vertikalen Änderungen der Filmdicke als auch von lateralen Bewegungen der beiden Oberflächen auf die Druckverteilung und damit auf die Strömung im Fluid unter der sich bewegenden Struktur. So liefern die beiden ersten Terme einen Beitrag aufgrund eines Druckgradienten (Poiseuille-Strömung), die Terme drei und vier in Gleichung 5.24 beschreiben die Durchflußleistung aufgrund der horizontalen Bewegung der beiden Platten, die Terme fünf bis sieben den Durchfluß aufgrund vertikaler Variation des Plattenabstandes und der letzte Term den Beitrag, der durch lokale Volumenänderung des Fluids entsteht und daher nur in kompressiblen Medien eine Rolle spielt. Eine laterale Bewegung ruft eine sogenannte Couette-Strömung hervor, bei der die Dämpfung dem Geschwindigkeitsgradienten proportional ist, die Variation in der Filmdicke erzeugt den sogenannten ” Squeeze- Film-Effekt“, bei dem die Dämpfung mit kleiner werdender Filmdicke stark zunimmt (Dämpfungskraft ¢¡ ). Für die Anwendung der allgemeinen Reynoldsgleichung im Hinblick auf die SQFD in mikromechanischen Strukturen werden die horizontalen Geschwindigkeiten der Platten null gesetzt, d.h. die Oberflächen bewegen sich nur senkrecht zueinander, und man erhält: � � � § ¦ � Bei polytroper Zustandsänderung gilt � ¡ � ¨ £ �¡ � � zu: � � § ¦ ¡ � ¡ � � ¦ � � � � ¡ ¡ � �� ¢� � �� £ � � (5.25) und Gleichung 5.25 vereinfacht sich § � � ¦ ¨ (5.26)
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Fakultät für Elektrotechnik und I
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Zusammenfassung Mikrosysteme werden
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Abstract The progressing miniaturiz
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Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung ¡
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INHALTSVERZEICHNIS VII 5.3.3 Unters
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1 Einleitung Mikrosystemtechnik: ei
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Entwurf und Modellierung von Mikros
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lem, die Kopplung zu parasitären E
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Literaturverzeichnis [1] ABAQUS, Hi
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LITERATURVERZEICHNIS 173 [28] R. B.
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LITERATURVERZEICHNIS 175 [56] R. H.
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LITERATURVERZEICHNIS 177 [84] NEXUS
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LITERATURVERZEICHNIS 183 [165] O. Z
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