Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
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5.3 SQUEEZE-FILM-DÄMPFUNG IN MIKROBAUELEMENTEN 115<br />
5.3.1 Squeeze-Film-Dämpfung <strong>in</strong> Mikrobauelementen<br />
Squeeze-Film-Dämpfung (SQFD, Schmierfilmdämpfung oder auch Gasfilmdämpfung)<br />
ist e<strong>in</strong> <strong>in</strong> der Lagerreibung (Tribologie) bekanntes Phänomen, das auch das dynamische<br />
Verhalten vieler mikromechanischer Bauelemente bestimmt (z.B. [122]). Sie spielt e<strong>in</strong>e<br />
Rolle, wenn sich Strukturen vertikal gegene<strong>in</strong>ander oder gegen e<strong>in</strong>e nicht bewegliche<br />
Oberfläche bewegen, wobei sich e<strong>in</strong> schmaler Fluid- oder Gasfilm zwischen den beiden<br />
Strukturteilen bef<strong>in</strong>det. SQFD äußert sich, wie bereits <strong>in</strong> Kap. 4.3.5 erörtert, <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er<br />
Reaktionskraft <strong>auf</strong> die sich bewegende Struktur, die <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e Dämpfungskraft und e<strong>in</strong>e Federkraft<br />
<strong>auf</strong>geteilt werden kann. Kann das Fluid frei aus dem Spalt entweichen, wie es<br />
bei langsamer Bewegung der Struktur geschieht, überwiegt die Dämpfungskraft; ist dies<br />
nicht der Fall, so kommt es <strong>auf</strong>grund der Kompressibilität des Gases zu e<strong>in</strong>er zusätzlichen<br />
Federkraft.<br />
Zur <strong>Modellierung</strong> von SQFD-<strong>Effekte</strong>n exisitieren bereits aus der Lagertribologie bekannte<br />
Ansätze, die das Problem schon <strong>auf</strong> kont<strong>in</strong>uierlicher Feldebene h<strong>in</strong>sichtlich des gegebenen<br />
Sachverhaltes vere<strong>in</strong>fachen. Aus der komplexen Navier-Stokes-Gleichung läßt sich<br />
damit die sogenannte Reynoldsgleichung ableiten, der e<strong>in</strong>e Mittelung über die Höhe des<br />
Fluidfilms zugrundeliegt, was zu e<strong>in</strong>er beträchtlichen Reduzierung der Freiheitsgrade und<br />
damit zu e<strong>in</strong>er erheblichen Vere<strong>in</strong>fachung des Modells führt.<br />
Ableitung der allgeme<strong>in</strong>en Reynoldsgleichung<br />
Um die allgeme<strong>in</strong>e Reynoldsgleichung<br />
aus der Navier-<br />
Stokes-Gleichung abzuleiten,<br />
gehen wir gemäß [48, 51] vor<br />
und betrachten e<strong>in</strong> Fluid, das<br />
sich zwischen zwei starren<br />
Oberflächen bef<strong>in</strong>det. Der ver-<br />
tikale Abstand<br />
zwischen den<br />
beiden Flächen sei viel kle<strong>in</strong>er<br />
als ihre lateralen Abmessungen,<br />
ihre Oberflächen müssen dabei<br />
nicht notwendigerweise parallel<br />
se<strong>in</strong>. Abb. 5.13 verdeutlicht<br />
die Anordnung sowie die Ori-<br />
h<br />
0<br />
b0<br />
z<br />
h=h(x,y)<br />
x<br />
Abbildung 5.13: Anordnung zur Ableitung der<br />
Reynoldsgleichung.<br />
entierung der Platten im kartesischen Koord<strong>in</strong>atensystem; £ , � © und bezeichnen die<br />
Geschw<strong>in</strong>digkeitskomponenten <strong>in</strong> -, ¥<br />
- und ¥ -Richtung.<br />
Es seien folgende Voraussetzungen gegeben, die <strong>in</strong> der Lagerreibung wie auch bei vielen<br />
Problemstellungen <strong>in</strong> der Mikromechanik gerechtfertigt s<strong>in</strong>d:<br />
Die Trägheitskräfte s<strong>in</strong>d vernachlässigbar kle<strong>in</strong> gegenüber den Reibungskräften<br />
l 0<br />
u b<br />
v b<br />
u a<br />
va<br />
y