Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...

5.3 SQUEEZE-FILM-DÄMPFUNG IN MIKROBAUELEMENTEN 115
5.3.1 Squeeze-Film-Dämpfung in Mikrobauelementen
Squeeze-Film-Dämpfung (SQFD, Schmierfilmdämpfung oder auch Gasfilmdämpfung)
ist ein in der Lagerreibung (Tribologie) bekanntes Phänomen, das auch das dynamische
Verhalten vieler mikromechanischer Bauelemente bestimmt (z.B. [122]). Sie spielt eine
Rolle, wenn sich Strukturen vertikal gegeneinander oder gegen eine nicht bewegliche
Oberfläche bewegen, wobei sich ein schmaler Fluid- oder Gasfilm zwischen den beiden
Strukturteilen befindet. SQFD äußert sich, wie bereits in Kap. 4.3.5 erörtert, in einer
Reaktionskraft auf die sich bewegende Struktur, die in eine Dämpfungskraft und eine Federkraft
aufgeteilt werden kann. Kann das Fluid frei aus dem Spalt entweichen, wie es
bei langsamer Bewegung der Struktur geschieht, überwiegt die Dämpfungskraft; ist dies
nicht der Fall, so kommt es aufgrund der Kompressibilität des Gases zu einer zusätzlichen
Federkraft.
Zur Modellierung von SQFD-Effekten exisitieren bereits aus der Lagertribologie bekannte
Ansätze, die das Problem schon auf kontinuierlicher Feldebene hinsichtlich des gegebenen
Sachverhaltes vereinfachen. Aus der komplexen Navier-Stokes-Gleichung läßt sich
damit die sogenannte Reynoldsgleichung ableiten, der eine Mittelung über die Höhe des
Fluidfilms zugrundeliegt, was zu einer beträchtlichen Reduzierung der Freiheitsgrade und
damit zu einer erheblichen Vereinfachung des Modells führt.
Ableitung der allgemeinen Reynoldsgleichung
Um die allgemeine Reynoldsgleichung
aus der Navier-
Stokes-Gleichung abzuleiten,
gehen wir gemäß [48, 51] vor
und betrachten ein Fluid, das
sich zwischen zwei starren
Oberflächen befindet. Der ver-
tikale Abstand
zwischen den
beiden Flächen sei viel kleiner
als ihre lateralen Abmessungen,
ihre Oberflächen müssen dabei
nicht notwendigerweise parallel
sein. Abb. 5.13 verdeutlicht
die Anordnung sowie die Ori-
h
0
b0
z
h=h(x,y)
x
Abbildung 5.13: Anordnung zur Ableitung der
Reynoldsgleichung.
entierung der Platten im kartesischen Koordinatensystem; £ , � © und bezeichnen die
Geschwindigkeitskomponenten in -, ¥
- und ¥ -Richtung.
Es seien folgende Voraussetzungen gegeben, die in der Lagerreibung wie auch bei vielen
Problemstellungen in der Mikromechanik gerechtfertigt sind:
Die Trägheitskräfte sind vernachlässigbar klein gegenüber den Reibungskräften
l 0
u b
v b
u a
va
y