Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...

5.2 MAKROMODELLIERUNG MIT KONZENTRIERTEN VARIABLEN 107
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variiert gemäß der in [126] abgeleiteten Beziehung:
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� mit � § £���¨ � � (5.7)
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�¡ Hierbei steht �
für den hydrostatischen Druck, £
� für die Dicke der Pumpmembran,
für den Elastizitätsmodul und �
biegung
für die Poissonzahl. Die ortsabhängige Membrandurch-
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ergibt sich daraus gemäß:
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(5.8)
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Nach dem Anschlagen bleibt konstant und die freitragende Länge �
verkleinert
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sich mit zunehmendem Anschmiegen der Membran an die Gegenelektrode. Der an der
Gegenelektrode anliegende Flächenanteil der Membran wird aus der Kräftebilanz herausgenommen,
die verbleibende Membranfläche kann dann näherungsweise als lange,
rechteckige Membran (2D-Näherung) aufgefaßt werden [139]. Damit ergibt sich für die
Mittenauslenkung und die Biegelinie der Membran £ �
nach [126]:
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¡ § § § § § �
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(5.9)
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� (5.10)
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Der elektrostatische Druck aufgrund der anliegenden elektrischen Spannung wird über
eine Mittelung der elektrischen Kraft über die Membranbiegelinie berechnet und zum
hydrostatischen Druck hinzuaddiert, wobei wegen des großen Aspektverhältnisses ein
paralleler Feldverlauf zwischen Membran und Gegenelektrode angenommen wird. Aus
der Biegelinie der Membran 5.8 bzw. 5.10 läßt sich dann die Volumenverdrängung und
damit © � der Massenfluß berechnen, der als konzentrierte through-“ Variable über die
”
Terminals an den angeschlossenen Netzwerkknoten übergeben wird.
Analytische Formeln enthalten meist, und so auch hier, Vereinfachungen gegenüber der
in der Regel viel komplexeren Wirklichkeit. Daher müssen Fitparameter eingeführt werden,
um das Betriebsverhalten nicht nur qualitativ, sondern auch quantitativ richtig wiedergeben
zu können. Das Kompaktmodell für die elektrostatische Antriebseinheit enthält
mehrere Fitparameter, deren physikalisch-intuitive Bedeutung und Wirkung aber genau
bekannt ist, und für die daher gezielte Parameterextraktionsstrategien entwickelt werden
können [143]. Sie werden mit Hilfe der gekoppelten FEM-Simulationen aus Kap. 4.2.4
und Messungen kalibriert.
Wie aus den statischen Kennlinien in Abb. 5.7 zu ersehen ist, zeigt das resultierende Kompaktmodell
eine sehr gute Übereinstimmung mit den aus FEM-Rechnungen gewonnenen
Ergebnissen (vgl. auch Kap. 4.2.4) und Messungen. Die Bedeutung physikalisch basierter
Modellierung wird deutlich aus Abb. 5.8, in der das Kompaktmodell nur durch Änderung
von Modellparametern auf einen Membranantrieb mit veränderter Geometrie extrapoliert
wird, ohne dabei die einmal extrahierten Fitparameter zu ändern. Die Übereinstimmung
mit den FEM-Ergebnissen und den Meßkurven belegt die Skalierbarkeit des Modells und
macht die Vorteile einer physikalisch basierten Kompaktmodellierung für Design- und
Optimierungsstudien offensichtlich.