Modellierung gekoppelter Effekte in Mikrosystemen auf ...
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5.2 MAKROMODELLIERUNG MIT KONZENTRIERTEN VARIABLEN 107<br />
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variiert gemäß der <strong>in</strong> [126] abgeleiteten Beziehung:<br />
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für den hydrostatischen Druck, £<br />
� für die Dicke der Pumpmembran,<br />
für den Elastizitätsmodul und �<br />
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für die Poissonzahl. Die ortsabhängige Membrandurch-<br />
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ergibt sich daraus gemäß:<br />
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(5.8)<br />
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Nach dem Anschlagen bleibt konstant und die freitragende Länge �<br />
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sich mit zunehmendem Anschmiegen der Membran an die Gegenelektrode. Der an der<br />
Gegenelektrode anliegende Flächenanteil der Membran wird aus der Kräftebilanz herausgenommen,<br />
die verbleibende Membranfläche kann dann näherungsweise als lange,<br />
rechteckige Membran (2D-Näherung) <strong>auf</strong>gefaßt werden [139]. Damit ergibt sich für die<br />
Mittenauslenkung und die Biegel<strong>in</strong>ie der Membran £ �<br />
nach [126]:<br />
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(5.9)<br />
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� (5.10)<br />
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Der elektrostatische Druck <strong>auf</strong>grund der anliegenden elektrischen Spannung wird über<br />
e<strong>in</strong>e Mittelung der elektrischen Kraft über die Membranbiegel<strong>in</strong>ie berechnet und zum<br />
hydrostatischen Druck h<strong>in</strong>zuaddiert, wobei wegen des großen Aspektverhältnisses e<strong>in</strong><br />
paralleler Feldverl<strong>auf</strong> zwischen Membran und Gegenelektrode angenommen wird. Aus<br />
der Biegel<strong>in</strong>ie der Membran 5.8 bzw. 5.10 läßt sich dann die Volumenverdrängung und<br />
damit © � der Massenfluß berechnen, der als konzentrierte through-“ Variable über die<br />
”<br />
Term<strong>in</strong>als an den angeschlossenen Netzwerkknoten übergeben wird.<br />
Analytische Formeln enthalten meist, und so auch hier, Vere<strong>in</strong>fachungen gegenüber der<br />
<strong>in</strong> der Regel viel komplexeren Wirklichkeit. Daher müssen Fitparameter e<strong>in</strong>geführt werden,<br />
um das Betriebsverhalten nicht nur qualitativ, sondern auch quantitativ richtig wiedergeben<br />
zu können. Das Kompaktmodell für die elektrostatische Antriebse<strong>in</strong>heit enthält<br />
mehrere Fitparameter, deren physikalisch-<strong>in</strong>tuitive Bedeutung und Wirkung aber genau<br />
bekannt ist, und für die daher gezielte Parameterextraktionsstrategien entwickelt werden<br />
können [143]. Sie werden mit Hilfe der gekoppelten FEM-Simulationen aus Kap. 4.2.4<br />
und Messungen kalibriert.<br />
Wie aus den statischen Kennl<strong>in</strong>ien <strong>in</strong> Abb. 5.7 zu ersehen ist, zeigt das resultierende Kompaktmodell<br />
e<strong>in</strong>e sehr gute Übere<strong>in</strong>stimmung mit den aus FEM-Rechnungen gewonnenen<br />
Ergebnissen (vgl. auch Kap. 4.2.4) und Messungen. Die Bedeutung physikalisch basierter<br />
<strong>Modellierung</strong> wird deutlich aus Abb. 5.8, <strong>in</strong> der das Kompaktmodell nur durch Änderung<br />
von Modellparametern <strong>auf</strong> e<strong>in</strong>en Membranantrieb mit veränderter Geometrie extrapoliert<br />
wird, ohne dabei die e<strong>in</strong>mal extrahierten Fitparameter zu ändern. Die Übere<strong>in</strong>stimmung<br />
mit den FEM-Ergebnissen und den Meßkurven belegt die Skalierbarkeit des Modells und<br />
macht die Vorteile e<strong>in</strong>er physikalisch basierten Kompaktmodellierung für Design- und<br />
Optimierungsstudien offensichtlich.