Einführung in die physikalischchemischen Übungen
Einführung in die physikalischchemischen Übungen
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<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>physikalischchemischen</strong><br />
<strong>Übungen</strong><br />
L.V. – Nr.: 646.521<br />
SS , 2-stündig<br />
Univ.Prof. Dr. V. Ribitsch
OPTISCHE MESSVERFAHREN
Optische Messverfahren<br />
In <strong>die</strong>sem Abschnitt sollen e<strong>in</strong>ige grundlegende optische<br />
Messverfahren diskutiert werden.<br />
� Absorptionsmessung<br />
� Reflexionsmessung<br />
� Polarisationsmessung<br />
� Spektrometer und Polychromatoren<br />
• Prismenspektrometer<br />
• Gitterspektrometer<br />
• Fabri-Perot-Spektrometer<br />
� Messverfahren für kurze Zeiten
Optische Messverfahren<br />
Absorptionsmessung /1<br />
Absorption und Dispersion hängen im klassischen Modell eng zusammen. Man beschreibt<br />
das optische Medium als e<strong>in</strong>e Sammlung von getriebenen harmonischer Oszillatoren der<br />
Form<br />
jω<br />
t<br />
m&x<br />
+ 2 δx& + kx = qE0e<br />
m ist <strong>die</strong> Masse e<strong>in</strong>es oszillierenden Teilchens, k <strong>die</strong> Federkonstante, q <strong>die</strong> Ladung auf der<br />
Masse, δ der Dämpfungsterm.<br />
Setzt man nun γ = 2δ/m und w2 0 = k/m und setzt als Lösung x = x0 exp jwt an, so bekommt<br />
man<br />
x<br />
0<br />
qE<br />
= 2<br />
m<br />
0<br />
2 ( ω −ω<br />
+ jγω)<br />
0<br />
Durch <strong>die</strong> erzwungene Schw<strong>in</strong>gung der Ladung q entsteht e<strong>in</strong> <strong>in</strong>duziertes elektrisches<br />
Dipolmoment<br />
2 jω<br />
t<br />
q E e<br />
P = x0<br />
=<br />
2<br />
m<br />
0<br />
2 ( ω −ω<br />
+ jγω)<br />
0<br />
Bei N Oszillatoren pro Volumen ist <strong>die</strong> <strong>in</strong>duzierte elektrische Polarisation P pro<br />
Volumene<strong>in</strong>heit durch P = Nqx gegeben. Die Polarisation ist jedoch <strong>in</strong> der<br />
Elektrodynamik auch mit der <strong>in</strong>duzierenden elektrischen Feldstärke E durch = ε −<br />
verknüpft.<br />
Die relative Dielektrizitätszahl ε hängt mit der Brechzahl n über n<br />
= ε zusammen.<br />
( 1) ε E<br />
P 0
Absorptionsmessung /2<br />
Durch Komb<strong>in</strong>ation erhält man<br />
Optische Messverfahren<br />
n<br />
2<br />
2<br />
Nq<br />
= 1+<br />
2<br />
ε m j<br />
Die Brechzahl n(ω) ist komplex und kann deshalb als n ω = n´<br />
− j geschrieben werden.<br />
Beachtet man, dass <strong>die</strong> Lichtgeschw<strong>in</strong>digkeit c im Medium von der Brechzahl n abhängt<br />
c = c 0/n<br />
2 ( ω −ω<br />
+ γω)<br />
und setzt <strong>die</strong>s <strong>in</strong> <strong>die</strong> Gleichung e<strong>in</strong>er ebenen Welle E = E 0 exp[j(wt-Kz)] e<strong>in</strong> und<br />
berücksichtigt, dass Km = nK 0 ist, so bekommt man<br />
E<br />
=<br />
E<br />
0<br />
e<br />
e<br />
0<br />
0<br />
( ) κ<br />
( ω t−n´<br />
K z ) −2xκz<br />
λ jK ( c t−n´<br />
z )<br />
=<br />
E<br />
−K<br />
0κz<br />
j<br />
0<br />
e<br />
0<br />
e<br />
0<br />
0
Absorptionsmessung /3<br />
Lichtquelle<br />
Optische Messverfahren<br />
Medium<br />
Referenz<br />
Aufbau zur Messung e<strong>in</strong>er Absorption<br />
Detektor<br />
Detektor
LAMBERT-BEER´SCHES<br />
GESETZ
Lambert-Beer'sches Gesetz<br />
Die Spektralphotometrie ermöglicht <strong>die</strong> Bestimmung der Konzentration von<br />
bestimmten Elementen <strong>in</strong> wässeriger Lösung und damit der chemischen<br />
Zusammensetzung e<strong>in</strong>es Materials.<br />
Sie beruht im Wesentlichen auf e<strong>in</strong>er gezielten Farbreaktion der Atome e<strong>in</strong>es<br />
Elements und deren Auswertung mit Hilfe des Lambert- Beer'schen Gesetzes.<br />
Bei der Spektralphotometrie wird <strong>die</strong> Lichtschwächung gemessen, <strong>die</strong> von der<br />
gewählten Wellenlänge des Lichts und den Eigenschaften der untersuchten<br />
Substanz abhängt.<br />
Grundlagen<br />
Licht besteht aus e<strong>in</strong>em kont<strong>in</strong>uierlichen Spektrum, der für das Auge sichtbare Bereich liegt<br />
bei Wellenlängen zwischen 400 - 760 nm. Unterhalb schließt sich der ultraviolette (UV) und<br />
oberhalb der <strong>in</strong>frarote (IR) Bereich des Lichts an. Diese beiden Bereiche s<strong>in</strong>d für das<br />
menschliche Auge nicht wahrnehmbar. Das Produkt aus der Wellenlänge λ und der<br />
Frequenz f e<strong>in</strong>er monochromatischen Lichtwelle ist gleich der Ausbreitungsgeschw<strong>in</strong>digkeit v<br />
des Lichtes.<br />
λ f = v<br />
v = c = 3 .10 8 m/s
Lambert-Beer'sches Gesetz<br />
Durchläuft monochromatisches Licht e<strong>in</strong>e Küvette (Glasbehälter mit 2 parallel zue<strong>in</strong>ander<br />
liegenden Begrenzungsflächen) mit e<strong>in</strong>er gefärbten Lösung, so wird e<strong>in</strong> Teil des Lichts<br />
absorbiert, e<strong>in</strong> anderer Teil wird an den Küvettenwänden reflektiert und der Rest<br />
durchgelassen. Wird das Absorptionsverhalten e<strong>in</strong>er Lösung bei verschiedenen<br />
Wellenlängen untersucht, so erhält man für jede Substanz e<strong>in</strong> von ihrer atomaren Struktur<br />
abhängiges, charakteristisches Absorptionsspektrum. Dieses Spektrum wird als<br />
Ext<strong>in</strong>ktionsspektrum bezeichnet.<br />
Ext<strong>in</strong>ktion<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
400 500 600 700 800<br />
Wellenlänge λ [nm]<br />
Das gemessene Ext<strong>in</strong>ktionsspektrum <strong>die</strong>nt zur chemischen Identifizierung der Substanz,<br />
sofern es nicht durch Störungen anderer Substanzen (z.B. Ionen e<strong>in</strong>es anderen Elements)<br />
und deren Absorptionsspektren <strong>in</strong> der Untersuchung überlagert wird.
Lambert-Beer'sches Gesetz<br />
Die Lichtschwächung beim Durchgang des Lichts durch e<strong>in</strong>en Stoff wird als Ext<strong>in</strong>ktion<br />
bezeichnet. Die Schwächung wird durch Lichtstreuung (Änderung der Ausbreitungsrichtung)<br />
und Absorption verursacht.<br />
Die Größe der Ext<strong>in</strong>ktion bei e<strong>in</strong>er festen Wellenlänge hängt von 3 Faktoren ab:<br />
1. durchstrahlte Flüssigkeitsschichtdicke<br />
2. Konzentration c der absorbierenden Teilchen <strong>in</strong> der Flüssigkeit<br />
3. spezifischer Ext<strong>in</strong>ktionskoeffizient α (Materialkonstante) der absorbierenden Teilchen<br />
Luft Glas farbige Flüssigkeit Glas Luft<br />
I 0<br />
0<br />
I I´<br />
x<br />
dx<br />
Schichtdicke d<br />
I=I(d)<br />
Schichtmodell der Lichtschwächung
Lambert-Beer'sches Gesetz<br />
Die <strong>in</strong> der <strong>in</strong>f<strong>in</strong>itesimalen Schicht dx abgeschwächte Licht<strong>in</strong>tensität dI ist:<br />
dI = I´ - I<br />
dI = - k I dx<br />
Hier ist k der dekadische Ext<strong>in</strong>ktionskoeffizient der gelösten Substanz.<br />
Bei verdünnten Lösungen ist der dekadische Ext<strong>in</strong>ktionskoeffizient k proportional zur<br />
Konzentration c der gelösten Substanz.<br />
k = α c<br />
Dann gilt:<br />
dI = - α c I dx<br />
Die Integration für x = 0 mit I 0 und x = d mit I ergibt:<br />
I<br />
I<br />
∫<br />
I<br />
0<br />
ln<br />
dI<br />
I<br />
=<br />
I<br />
I<br />
0<br />
oder<br />
I<br />
0<br />
⋅e<br />
d<br />
= −α<br />
⋅c<br />
⋅∫<br />
dx<br />
0<br />
= −α<br />
⋅c<br />
⋅d<br />
−α<br />
⋅c⋅d<br />
α = spezifischer Ext<strong>in</strong>ktionskoeffizient<br />
c = Konzentration<br />
I = Licht<strong>in</strong>tensität<br />
d = durchstrahlte Schichtdicke<br />
Lambert-Beer'sches Gesetz
Lambert-Beer'sches Gesetz<br />
I 0 ist <strong>die</strong> auf <strong>die</strong> Probe e<strong>in</strong>fallende Licht<strong>in</strong>tensität. I ist <strong>die</strong> nach Durchqueren der<br />
Schichtdicke d der Probe noch vorhandene Licht<strong>in</strong>tensität.<br />
Aus dem Lambert-Beer'schen Gesetz folgt mit Hilfe des dekadischen Logarithmus:<br />
I<br />
log = α ⋅c<br />
⋅d<br />
⋅log<br />
e<br />
I0<br />
Den dekadischen Logarithmus des Verhältnisses I0 /I bezeichnet man als Ext<strong>in</strong>ktion E:<br />
I0<br />
E =<br />
log<br />
I<br />
Die <strong>E<strong>in</strong>führung</strong> des molaren dekadischen Ext<strong>in</strong>ktionskoeffizienten ε liefert:<br />
ε = α log e = 0,4343 α<br />
E = ε c d<br />
Bei konstanter Schichtdicke d ist <strong>die</strong> Ext<strong>in</strong>ktion E proportional zur Konzentration c der<br />
Lösung. Ist der molare dekadische Ext<strong>in</strong>ktionskoeffizient ε bekannt, so kann durch Messung<br />
der Ext<strong>in</strong>ktion E mit Hilfe der Beziehung E = ε c d e<strong>in</strong>e unbekannte Konzentration c bestimmt<br />
werden.<br />
Durch e<strong>in</strong>e Eichmessung wird ε an Lösungen der zu untersuchenden Substanz mit<br />
bekannten Konzentrationen bestimmt. Dazu wird e<strong>in</strong>e Verdünnungsreihe hergestellt.
Reflexionsmessung<br />
Lichtquelle<br />
Chopper<br />
Optische Messverfahren<br />
Medium<br />
Referenz<br />
Referenz für Lock-In<br />
Detektor<br />
Detektor<br />
Aufbau zur Messung der Reflektivität<br />
Das Licht aus e<strong>in</strong>e Quelle wird <strong>in</strong> e<strong>in</strong>en Referenzstrahl und e<strong>in</strong>en Teststrahl aufgeteilt.<br />
Beide werden mit e<strong>in</strong>em Chopper-Rad getaktet. Das reflektierte Licht wird gesammelt und<br />
auf e<strong>in</strong>en Detektor gebracht. Die Reflexion kann spekular oder diffus se<strong>in</strong>.<br />
Anwendungen: Bestimmung von Schadstoffen <strong>in</strong> der Luft.<br />
Lock-In<br />
Lock-In<br />
Messung der <strong>in</strong>duzierten Transparenz oder der <strong>in</strong>duzierten<br />
Brechzahländerung <strong>in</strong> Halbleiterproben.<br />
Dabei müssen jedoch sehr kle<strong>in</strong>e Unterschiede der Reflektivität <strong>in</strong> der Gegenwart e<strong>in</strong>es<br />
großen Untergrundes bestimmt werden.
Polarisationsmessung<br />
Lichtquelle<br />
Optische Messverfahren<br />
Chopper Polarisator<br />
Analysator<br />
Medium<br />
Referenz<br />
Referenz für Lock-In<br />
Detektor<br />
Detektor<br />
Aufbau zur Messung der Polarisation<br />
Lock-In<br />
Lock-In<br />
Das Licht aus e<strong>in</strong>er Quelle wird <strong>in</strong> e<strong>in</strong>en Referenzstrahl und e<strong>in</strong>en Teststrahl aufgeteilt.<br />
Beide werden mit e<strong>in</strong>em Chopper-Rad getaktet. Der Polarisationszustand des Teststrahls<br />
wird <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Polarisator vor der Probe festgelegt. Nach der Transmission der Probe wird<br />
der Polarisationszustand mit e<strong>in</strong>em Analysator ausgemessen. Der restliche Aufbau ist<br />
analog zu weiter oben diskutierten Versuchsaufbauten.<br />
Die Messanordnung kann zum Beispiel benutzt werden, um den Kerr-Effekt oder <strong>die</strong><br />
Chiralität von Molekülen auszumessen
Spektrometer und Polychromatoren<br />
Optische Messverfahren<br />
Spektrometer <strong>die</strong>nen zur Messung der Wellenlängenabhängigkeit der Intensität<br />
von Licht. Dieses Licht kann entweder direkt von e<strong>in</strong>er Quelle abgeleitet se<strong>in</strong>,<br />
oder das Resultat e<strong>in</strong>es optischen Experimentes.<br />
• 1. Prismenspektrometer<br />
• 2. Gitterspektrometer<br />
• 3. Fabri-Perot-Spektrometer
1. Prismenspektrometer /1<br />
Optische Messverfahren<br />
E<strong>in</strong> gebräuchliches Spektrometer wenn <strong>die</strong> spektrale Auflösung nicht allzu hoch se<strong>in</strong> soll,<br />
ist das Prismenspektrometer.<br />
Nach Perez kann <strong>die</strong> Dispersion von Glas durch<br />
beschrieben werden.<br />
∑ ∞<br />
2 2<br />
−2<br />
−4<br />
−6<br />
−8<br />
2i<br />
n = A−<br />
1λ<br />
+ A0<br />
+ A1λ<br />
+ A2λ<br />
+ A3λ<br />
+ A4λ<br />
= Aiλ<br />
i=<br />
−1<br />
Für e<strong>in</strong>e bestimmte Glassorte s<strong>in</strong>d <strong>die</strong> Parameter:<br />
A -1 =<br />
A 0 =<br />
A 1 =<br />
A 2 =<br />
A 3 =<br />
A 4 =<br />
-1,0108077 . 10 -2<br />
2,2718929<br />
1,0592509 . 10 -2<br />
2,0816965 . 10 -4<br />
-7,6472538 . 10 -6<br />
4,9240991 . 10 -7
1. Prismenspektrometer /2<br />
Optische Messverfahren<br />
Bezeichnet man mit δ den W<strong>in</strong>kel zwischen dem e<strong>in</strong>fallenden Strahl vor dem Prisma und<br />
dem das Prisma verlassenden Strahl, so kann man <strong>die</strong> W<strong>in</strong>keldispersion<br />
dδ<br />
dδ<br />
dn<br />
D ω ≡ =<br />
dλ<br />
dn dλ<br />
Der zweite Term hängt nur vom Material ab, der erste Term beschreibt <strong>die</strong> Geometrie.<br />
Das Auflösungsvermögen e<strong>in</strong>es Prismenspektrographen ist über<br />
A<br />
≡<br />
λ<br />
∆λ<br />
def<strong>in</strong>iert. Wenn <strong>die</strong> optischen Elemente von genügender qualität s<strong>in</strong>d, dann hängt das<br />
Auflösungsvermögen des Spektrometers von der Beugung des Lichtes am E<strong>in</strong>trittsspalt<br />
ab.<br />
Typischerweise kann man e<strong>in</strong> Auflösungsvermögen 8 bei voll ausgeleuchtetem Prisma!)<br />
von A=2000 erreichen.
2. Gitterspektrometer /1<br />
Detektor<br />
Optische Messverfahren<br />
In e<strong>in</strong>em Gitterspektrometer wird e<strong>in</strong> Beugungsgitter als dispersives Element verwendet.<br />
Licht tritt durch e<strong>in</strong>en E<strong>in</strong>trittsspalt e<strong>in</strong> und wird durch den Hohlspiegel M1 <strong>in</strong> paralleles<br />
Licht umgewandelt. Wie bei e<strong>in</strong>er L<strong>in</strong>se wird der Öffnungsw<strong>in</strong>kel durch e<strong>in</strong>e Numerische<br />
Apertur charakterisiert. Das parallele Licht wird durch das Gitter G <strong>in</strong> se<strong>in</strong>e spektralen<br />
Anteile zerlegt. E<strong>in</strong>e bestimmte Richtung wird durch den Hohlspiegel M2 auf den<br />
Austrittsspalt fokussiert. H<strong>in</strong>ter <strong>die</strong>sem bef<strong>in</strong>det sich der Detektor.<br />
Alternativ kann anstelle der Komb<strong>in</strong>ation aus Spalt und Detektor e<strong>in</strong> e<strong>in</strong>- oder<br />
zweidimensionaler Detektor verwendet werden. Dies kann e<strong>in</strong>e Diodenzeile, e<strong>in</strong>e CCD-<br />
Zeile oder e<strong>in</strong> flächenhafter CCD-Detektor se<strong>in</strong>.
2. Gitterspektrometer /2<br />
Optische Messverfahren<br />
Um e<strong>in</strong>e optimale Empf<strong>in</strong>dlichkeit zu erreichen müssen <strong>die</strong> folgenden Voraussetzungen<br />
erfüllt se<strong>in</strong>:<br />
• Das zu untersuchende Licht muss e<strong>in</strong>en zur Numerischen Apertur des<br />
Gitterspektrometers passenden Öffnungsw<strong>in</strong>kel haben. Ist der Öffnungsw<strong>in</strong>kel zu<br />
ger<strong>in</strong>g, wird das Gitter nicht voll ausgeleuchtet: <strong>die</strong> mögliche Auflösung wird nicht<br />
erreicht.<br />
• Die Spaltöffnung muss so bemessen se<strong>in</strong>, dass genügend Licht passieren kann und<br />
dass <strong>die</strong> Beugung noch ke<strong>in</strong>en bestimmenden E<strong>in</strong>fluss auf <strong>die</strong> Messung hat.<br />
• Die Anzahl L<strong>in</strong>ien pro Länge des Gitters muss zum gewünschten<br />
Wellenlängenumfang und zur gewünschten Auflösung passen.<br />
• Der Austrittsspalt (oder <strong>die</strong> Grösse der Pixel der CCD) muss an den E<strong>in</strong>trittsspalt<br />
angepasst se<strong>in</strong>.
I<br />
2. Gitterspektrometer /3<br />
Optische Messverfahren<br />
Die Abbildung zeigt den Intensitätsverlauf <strong>in</strong> Abhängigkeit der Anzahl beleuchteter Gitterstriche<br />
N. Wenn e<strong>in</strong> Gitter <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Gitterspektrometer nicht richtig ausgeleuchtet ist, verliert man sehr<br />
schnell sehr viel an Intensität auf dem Detektor.<br />
Gitter Gitter<br />
I<br />
Intensität des gebeugten Lichtes als Funktion der Anzahl beleuchteter Spalte.<br />
L<strong>in</strong>ks ist e<strong>in</strong>e Übersicht, rechts <strong>die</strong> Detailansicht. Von unten nach oben s<strong>in</strong>d N = 3,6 und 12 beleuchtete<br />
Spalte dargestellt. Die sonstigen Gitterparameter s<strong>in</strong>d α = 1 und ε =0.1
3. Fabri-Perot-Spektrometer /1<br />
Lichtquelle<br />
Optische Messverfahren<br />
Wenn e<strong>in</strong>e sehr hohe spektrale Auflösung gefordert ist, verwendet man häufig Fabri-Perot-<br />
Spektrometer.<br />
Bei <strong>die</strong>sen Spektrometern wird Licht <strong>in</strong> e<strong>in</strong>en optischen Resonator e<strong>in</strong>gekoppelt. Da das Licht<br />
teilweise mit sich selber <strong>in</strong>terferiert, können nur Eigenmoden des Resonators oder Frequenzen<br />
<strong>in</strong> deren Nähe durch den Resonator propagieren.<br />
Wenn R <strong>die</strong> für beide Spiegel gleiche Reflektivität ist, und M = 4R/(1-R²) ist, dann wird <strong>die</strong><br />
transmittierte Intensität<br />
I<br />
I max<br />
ϕ =<br />
2<br />
1+ M ⋅ s<strong>in</strong><br />
( )<br />
( )<br />
ϕ<br />
ϕ ist dabei <strong>die</strong> Phasenveschiebung beim Umlauf um den Resonator.<br />
t<br />
Detektor
Optische Messverfahren<br />
3. Fabri-Perot-Spektrometer /2<br />
Die Abbildung zeigt den Intensitätsverlauf als Funktion der Phase ϕ für M=[15803601520]<br />
I<br />
pH<br />
Kennl<strong>in</strong>ie e<strong>in</strong>es Fabri-Perot-Inerferometers für Reflektivitäten von 0.6, 0.8, 0.9 und 0.95<br />
beziehungsweise Werte von M von 15, 80, 360 und 1520 (von oben)
Optische Messverfahren<br />
Messverfahren für kurze Zeiten /1<br />
Die Messung ultrakurzer Pulse sowie <strong>die</strong> Messung von Vorgängen, <strong>die</strong> kürzer als etwa e<strong>in</strong>e ps<br />
s<strong>in</strong>d, s<strong>in</strong>d mit re<strong>in</strong> elektrischen Verfahren nicht möglich.<br />
Die beste Zeitauflösung erreichen optische Verfahren und elektrooptische Verfahren.<br />
E<strong>in</strong> optischer Korrelator besteht aus e<strong>in</strong>em<br />
Strahlteiler, <strong>in</strong> dem der ankommende Puls geteilt<br />
wird, e<strong>in</strong>er Verzögerungsleitung, <strong>die</strong> e<strong>in</strong>en Puls<br />
zeitlich verzögert, sowie e<strong>in</strong>em nichtl<strong>in</strong>earen<br />
Medium, <strong>in</strong> dem <strong>die</strong> beiden Pulse überlagert werden.<br />
Retroreflektor<br />
KDP<br />
Filter<br />
Detektor<br />
Zweiphotonenfluoreszenz zur Messung von kurzen Pulsen.<br />
Die Frequenzverdoppelung ist nicht der e<strong>in</strong>zige nichtl<strong>in</strong>earoptische<br />
Effekt der zur Erzeugung e<strong>in</strong>er Korrelation zweiter<br />
Ordnung benützt werden kann. Die Abbildung zeigt schematisch<br />
e<strong>in</strong>en Aufbau zur Zwei-Photonen-Absorption <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Flüssigkeit.<br />
Wieder ist <strong>die</strong> Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit, e<strong>in</strong>e Absorption bei der<br />
halben Wellenlänge des e<strong>in</strong>gestrahlten Lichtes zu erhalten<br />
proportional zum Quadrat der Intensität.
Messverfahren für kurze Zeiten /2<br />
Optische Messverfahren<br />
Untergrundfreier Korrelator. Die Nichtl<strong>in</strong>earität <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Material wie KDP<br />
(Kaliumdihydrogenphosphat) <strong>die</strong>nt zur Korrelation.<br />
Die Messanordnung e<strong>in</strong>e untergrundsfreie Messung.<br />
Um <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Verdopplerkristall e<strong>in</strong> Signal bei der Frequenz 2ω zu erzeugen, muss sowohl der<br />
Ort der beiden Impulse übere<strong>in</strong>stimmen wie auch der resultierende k-Vektor. In der Abbildung<br />
ist <strong>die</strong> Orientierung des Kristalls so gewählt, dass zwei Photonen aus dem gleichen Teilstrahl<br />
ke<strong>in</strong> frequenzverdoppeltes Photon erzeugen können, da ihre k-Vektoren nicht mit der<br />
Gitterorientierung kompatibel s<strong>in</strong>d. Nur wenn zwei Photonen aus je aus e<strong>in</strong>em der beiden<br />
Teilstrahlen sich überlagern, stimmt <strong>die</strong> Impulsbed<strong>in</strong>gung und e<strong>in</strong> frequenzverdoppeltes<br />
Photon kann entstehen.
Wellen - Optische Sensoren<br />
Optische Instrumente – Grundlagen /6<br />
Abbildungsmaßstab des Objektivs<br />
Zusammen mit der Gaußschen Abbildungsgleichung für L<strong>in</strong>sen folgt:<br />
B b ⎛ 1 1 ⎞ ∆ + f ∆<br />
( ∆ + f ) ⎜<br />
⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
fob<br />
ob<br />
β ob = = = ob<br />
G g ⎜<br />
− = − =<br />
fob<br />
∆ + f ⎟<br />
1<br />
ob fob<br />
Abbildung und Vergrößerung e<strong>in</strong>es Objekts<br />
durch das Mikroskop<br />
Also gilt:<br />
β =<br />
Zur experimentellen Bestimmung des<br />
Abbildungsmaßstabes benützt man als<br />
Beobachtungsgegenstand e<strong>in</strong>e Skala<br />
(Objektskala).<br />
Das Bild der Objektskala stellt man zuerst scharf<br />
e<strong>in</strong>. Dann ersetzt man das Okular durch e<strong>in</strong>en<br />
Tubuse<strong>in</strong>schub mit e<strong>in</strong>er weiteren Skala<br />
(Zwischenbildskala), und br<strong>in</strong>gt <strong>die</strong>se an <strong>die</strong><br />
Stelle des Zwischenbildes.<br />
Mit der Zwischenbildskala vermisst man dann<br />
e<strong>in</strong>e möglichst große Strecke des Bildes der<br />
Objektskala.<br />
Aus den so gewonnenen Messwerten B und G<br />
lässt sich dann der Abbildungsmaßstab<br />
bestimmen.<br />
ob<br />
∆<br />
f<br />
ob
Optische Messverfahren II
Optische Messverfahren<br />
Licht kann durch se<strong>in</strong>e thermischen, energetische oder mechanischen<br />
Wirkungen gemessen werden.<br />
Thermische Wirkungen nutzt man aus, wenn <strong>die</strong> aus Licht absorbierte<br />
Wärmemenge (zum Beispiel bei e<strong>in</strong>em Pyrometer/Bolometer) oder <strong>die</strong><br />
absorbierte Leistung (zum Beispiel e<strong>in</strong> Schwarzer Körper mit e<strong>in</strong>em<br />
def<strong>in</strong>ierten Wärmeleck an <strong>die</strong> Umgebung) zu e<strong>in</strong>er Temperaturerhöhung<br />
führt, <strong>die</strong> dann wie im Kapitel Temperatur gemessen werden kann.<br />
Licht hat e<strong>in</strong>e Energiedichte, das heißt, e<strong>in</strong> federnd gelagerter Spiegel<br />
wird durch den der Energiedichte äquivalenten Druck ausgelenkt. Dieser<br />
Effekt hat nur bei sehr präzisen Messungen oder sehr kle<strong>in</strong>en Spiegeln<br />
e<strong>in</strong>en E<strong>in</strong>fluss.<br />
Äußerer Photoeffekt: Bändermodelle für Metalle und Halbleiter.
Licht /2<br />
Licht<br />
Schließlich ergibt sich für <strong>die</strong> langwellige Grenze<br />
λ<br />
G<br />
h ⋅c<br />
= =<br />
Φ + ϕ<br />
A<br />
1,<br />
24µm<br />
( Φ + ϕ )[ eV ]<br />
Die Photokathoden s<strong>in</strong>d demnach nur bis zu e<strong>in</strong>er bestimmten Wellenlänge<br />
empf<strong>in</strong>dlich.<br />
Je länger <strong>die</strong> noch zu detektierende Wellenlänge se<strong>in</strong> soll, desto niedriger muss<br />
<strong>die</strong> Austrittsarbeit des Kathodenmateriales se<strong>in</strong>. Häufig werden für den<br />
sichtbaren Bereich CsSb und Na/K/Sb- Verb<strong>in</strong>dungen verwendet.<br />
A
Photozelle und Photovervielfacher /1<br />
Licht<br />
Photozelle (l<strong>in</strong>ks) und Photovervielfacher (rechts).<br />
Die Abbildung zeigt l<strong>in</strong>ks den Aufbau e<strong>in</strong>er Photozelle. Die durch das Licht aus der<br />
Photokathode K herausgelösten Elektronen werden durch <strong>die</strong> Spannung zur Anode h<strong>in</strong><br />
beschleunigt. Der entstehende Strom wird als Spannungsabfall über dem Widerstand R<br />
gemessen. Um Stöße der Elektronen zu vermeiden muss der Raum zwischen<br />
Photokathode und Anode evakuiert se<strong>in</strong>. Die Spektrale Empf<strong>in</strong>dlichkeit hängt vom<br />
verwendeten Kathodenmaterial ab.<br />
Im Durchschnitt werden für jedes absorbierte Photon etwa 0.1 Elektronen emittiert. Um<br />
e<strong>in</strong>en Strom von 1 pA zu bekommen, müssen also 10 -12 /(1,6 x 10 -19 )=6,25 x 10 7 Photonen<br />
absorbiert werden, was bei e<strong>in</strong>er Photonenenergie von 2 eV e<strong>in</strong>er Lichtleistung von 20 pW<br />
entspricht. Da es schwierig ist kle<strong>in</strong>ere Ströme zu messen, ist sie <strong>die</strong> praktische Grenze der<br />
Empf<strong>in</strong>dlichkeit.
Licht<br />
Photozelle und Photovervielfacher /2<br />
Um auch e<strong>in</strong>zelne Photonen detektieren zu können verwendet man Photovervielfacher<br />
(Photo Multiplier), wie <strong>in</strong> der Abbildung zuvor gezeigt. Dabei werden <strong>die</strong> emittierten<br />
Photoelektronen über e<strong>in</strong>e Spannung von etwa 100 V beschleunigt und auf e<strong>in</strong>e<br />
Zwischenelektrode geschickt.<br />
Ihre k<strong>in</strong>etische Energie bewirkt, dass mehr als 1 Elektron, im allgeme<strong>in</strong>en v Elektronen, für<br />
jedes e<strong>in</strong>treffende Elektron freigesetzt werden. Die von der Anode aufgefangene<br />
Elektronenzahl ist für n solcher Verstärkungsstufen v n . Bei 10 Stufen und e<strong>in</strong>em v = 4,78<br />
würde für jedes Photon 6 250 000 Elektronen erzeugt.<br />
Da bei e<strong>in</strong>er Photozelle oder e<strong>in</strong>em Photovervielfacher nur sehr kle<strong>in</strong>e Kapazitäten<br />
vorkommen, können Frequenzen bis zu 10 GHZ detektiert werden. Dabei ist zu beachten,<br />
dass <strong>die</strong> Laufzeiten im Detektor e<strong>in</strong>ige Nanosekunden betragen können.<br />
Die Abbildung zeigt das Bändermodell für den<br />
<strong>in</strong>nern Photoeffekt.<br />
Neben der Anregung vom Valenzband <strong>in</strong>s<br />
Leitungsband mit der Energie größer als E 9<br />
können auch Anregungen vom Valenzband <strong>in</strong><br />
Fremdatomzustände (Energie E A) oder von<br />
von Fremdatomzuständen <strong>in</strong>s Leitungsband<br />
(hier auch mit E A) auftreten.<br />
Innerer Photoeffekt für Halbleiter.
Licht<br />
Photowiderstand /1<br />
Bei e<strong>in</strong>em Photowiderstand ändert sich se<strong>in</strong> Leitwert mit der Anzahl vorhandener<br />
Ladungsträger.<br />
Wenn das Licht vollständig absorbiert wird, der Quantenwirkungsgrad η, <strong>die</strong><br />
Strahlungsleistung P, der Querschnitt des Widerstandes A und se<strong>in</strong>e Länge l s<strong>in</strong>d, ist <strong>die</strong><br />
Rate, mit der Ladungsträger <strong>in</strong>s Leitungsband angeregt werden<br />
1 P<br />
g = η<br />
A⋅<br />
l ηω<br />
Die Rekomb<strong>in</strong>ationsrate r hängt von der mittleren Lebensdauer τ und der<br />
Ladungsträgerkonzentration η ab. η<br />
r<br />
=<br />
Im Gleichgewicht ist <strong>die</strong> Rekomb<strong>in</strong>ationsrate r gleich der Generationsrate g. Die Anzahl<br />
Ladungsträger im Leitungsband ist also<br />
Man kann für den Strom im Halbleiter bei bekannter Beweglichkeit µ n schreiben<br />
τ<br />
1<br />
η = τη<br />
A⋅ l<br />
P<br />
ηω<br />
E<br />
=<br />
A = eµ<br />
nEA<br />
ρ<br />
I n
Optische Messverfahren 2<br />
Meistens wird Licht über den äußeren oder den <strong>in</strong>neren Photoeffekt detektiert.<br />
Mit dem äußeren Photoeffekt bezeichnet man <strong>die</strong> Anregung von Ladungsträgern aus dem<br />
Leitungs- oder Valenzband über <strong>die</strong> Vakuumenergie h<strong>in</strong>aus, wie es <strong>in</strong> der Abbildung<br />
schematisch dargestellt ist.<br />
Dass Metalle stabil s<strong>in</strong>d hängt damit zusammen, dass <strong>die</strong> Fermi-Energie um e<strong>in</strong>e<br />
Austrittsarbeit Φ A genannte Energie unter dem Vakuumenergieniveau liegt.<br />
Bei den Halbleitern kommt noch <strong>die</strong> Elektronenb<strong>in</strong>dungsenergie ϕ h<strong>in</strong>zu, <strong>die</strong> den Abstand<br />
der Valenzbandoberkante von der Fermienergie E F beschreibt.<br />
Folgende Ungleichung muss erfüllt se<strong>in</strong><br />
E = ηω<br />
≥ Φ A + ϕ<br />
Wir können <strong>die</strong> k<strong>in</strong>etische Energie der Elektronen E k<strong>in</strong> oder das dazu äquivalente Potential U e<br />
ausrechnen.<br />
E<br />
U<br />
k<strong>in</strong><br />
e<br />
=<br />
= ηω<br />
−Φ<br />
−ϕ<br />
E<br />
e<br />
k<strong>in</strong><br />
A<br />
ηω<br />
−Φ<br />
A −ϕ<br />
=<br />
e
Licht /2<br />
Licht<br />
Äußerer Photoeffekt: Bändermodelle für Metalle und Halbleiter.
Photowiderstand /2<br />
Licht<br />
l<br />
Die Transitzeit (Zeit zum Durchqueren des Widerstandes) sei ttr<br />
= .<br />
Dann ist der Verstärkungsfaktor<br />
µ nE<br />
M<br />
0<br />
=<br />
I<br />
I<br />
Ph<br />
=<br />
µ nτ<br />
E<br />
l<br />
τ<br />
=<br />
t<br />
und hängt nur vom Verhältnis der mittleren Ladungsträgerlebensdauer und zur Transitzeit<br />
zwischen den Elektronen ab.<br />
Die spektrale Empf<strong>in</strong>dlichkeit e<strong>in</strong>es Photoleiters basierend auf dem <strong>in</strong>neren Photoeffekt ist<br />
S<br />
( P)<br />
I M 0I Ph en en<br />
= = = M = M<br />
P P ηω<br />
h⋅<br />
c<br />
I<br />
λ 0<br />
Die Empf<strong>in</strong>dlichkeit steigt also l<strong>in</strong>ear mit der Wellenlänge an, solange <strong>die</strong> Grenzwellenlängen,<br />
<strong>die</strong> durch <strong>die</strong> m<strong>in</strong>imalen Energiesprünge gegeben ist, nicht erreicht werden.<br />
Photoleiter haben demnach e<strong>in</strong> ideales Quantenverhalten.<br />
Sie werden für das sichtbare Licht aus CdSe und CdS und für den <strong>in</strong>fraroten Bereich aus<br />
PbS, PbSe, PbTe und InSb hergestellt.<br />
tr<br />
λ
Photodiode /1<br />
In der Raumladungszone e<strong>in</strong>es pn-Überganges entstehen bei der Beleuchtung Elektron-<br />
Loch-Paare. Wie <strong>die</strong> l<strong>in</strong>ke Seite zeigt, werden <strong>die</strong> Elektronen zur n-Zone und <strong>die</strong> Löcher<br />
zur p-Zone beschleunigt. Dadurch nimmt <strong>die</strong> elektrische Feldstärke <strong>in</strong> der<br />
Raumladungszone und damit auch <strong>die</strong> Barrierenhöhe ab.<br />
Die Fermienergien verschieben sich, es entsteht e<strong>in</strong>e elektromotorische Kraft. Diese wird<br />
als photovoltaische Spannung UL außen abgegriffen.<br />
Der generierte Photostrom ist<br />
I Ph<br />
Analog ist <strong>die</strong> spektrale Empf<strong>in</strong>dlichkeit<br />
Licht<br />
Bändermodelle für den <strong>in</strong>neren Photoeffekt: l<strong>in</strong>ks unbeleuchtet und rechts beleuchtet.<br />
( P)<br />
= e⋅<br />
g(<br />
P)<br />
S<br />
I<br />
λ<br />
=<br />
I<br />
P<br />
P<br />
⋅ A⋅<br />
l = e⋅η<br />
ηω<br />
=<br />
I<br />
Ph<br />
( P)<br />
P<br />
en en<br />
= = λ<br />
ηω<br />
h⋅<br />
c
Photodiode /2<br />
Licht<br />
Anders als bei Photowiderständen gibt es hier ke<strong>in</strong>en durch <strong>die</strong> außen angelegte<br />
Spannung bed<strong>in</strong>gten Verstärkungsfaktor M 0.<br />
Photodioden s<strong>in</strong>d deshalb schneller und weniger empf<strong>in</strong>dlich.<br />
Da <strong>die</strong> Raumladungszone e<strong>in</strong>e sehr ger<strong>in</strong>ge Tiefe l hat, muss der Quantenwirkungsgrad η<br />
als wellenlängenabhängig angenommen werden.<br />
beleuchtet<br />
Kennl<strong>in</strong>ie e<strong>in</strong>er Photodiode (schwarz unbeleuchtet und blau beleuchtet).<br />
Wird <strong>die</strong> Photodiode <strong>in</strong> Sperrrichtung vorgespannt, dann ist der Potentialverlauf <strong>in</strong> der<br />
Raumladungszone steiler, entsprechend werden <strong>die</strong> von Licht generierten Ladungsträger<br />
schneller zu den Anschlüssen befördert: <strong>die</strong> Photodiode wird schneller.
Photodiode /3<br />
Licht<br />
Wird <strong>die</strong> Vorspannung so groß, dass <strong>die</strong> Energie der vom Licht generierten Ladungsträger<br />
ausreicht weiter Ladungsträger zu generieren (Avalanche-Effekt oder Law<strong>in</strong>eneffekt), dann hat<br />
<strong>die</strong> dann Avalanche-Photodiode genannte Diode e<strong>in</strong>e <strong>in</strong>nere Verstärkung, <strong>die</strong> <strong>in</strong> besonderen<br />
Fällen zum Zählen e<strong>in</strong>zelner Photonen ausreicht.<br />
Die Strom-Spannungskennl<strong>in</strong>ie e<strong>in</strong>er Photodiode lässt sich analog zu der e<strong>in</strong>er gewöhnlichen<br />
Diode darstellen als<br />
U ⎛ e ⎞<br />
RT I = I S ⋅⎜<br />
e ⎟<br />
⎜<br />
−1<br />
⎟<br />
− I Ph<br />
⎝ ⎠<br />
( P)<br />
Photodiode (l<strong>in</strong>ks) und<br />
Photoelement (rechts)<br />
Je nach äußerer Beschaltung betreibt man <strong>die</strong> Photodiode als Photodiode (l<strong>in</strong>ks) oder als<br />
Photoelement (l<strong>in</strong>ks). Die Photodiode arbeitet im 3. Quadranten des Kennl<strong>in</strong>ienfeldes <strong>in</strong> der<br />
vorigen Abblildung, das Photoelement im vierten. Die Beschaltung mit e<strong>in</strong>em Widerstand R ist <strong>in</strong><br />
e<strong>in</strong>gezeichnet. Der Schnittpunkt der jeweiligen Arbeitsgeraden mit der Widerstandskennl<strong>in</strong>ie<br />
ergibt den Arbeitspunkt.<br />
Als Material für Photodioden wird bevorzugt Si verwendet, für den Infrarotbereich auch Ge und<br />
InSb
Phototransistor<br />
Phototransistor: l<strong>in</strong>ks Aufbau<br />
und rechts Ersatzschema.<br />
Die Abbildung zeigt, wie man <strong>die</strong> Empf<strong>in</strong>dlichkeit e<strong>in</strong>er Photodiode steigern kann, <strong>in</strong>dem man<br />
sie als Stromquelle an der Basis e<strong>in</strong>es Transistors verwendet.<br />
Die l<strong>in</strong>ke Seite zeigt e<strong>in</strong>en Querschnitt durch e<strong>in</strong>en Phototransistor, der sich von e<strong>in</strong>em<br />
gewöhnlichen Transistor durch se<strong>in</strong>en größeren Basis-Emitterbereich unterscheidet. Wenn der<br />
Transistor <strong>die</strong> Stromverstärkung β hat so ist der Kollektorstrom<br />
Entsprechend ist <strong>die</strong> spektrale Empf<strong>in</strong>dlichkeit<br />
S<br />
I<br />
λ<br />
Licht<br />
( P)<br />
+ β I ( P)<br />
= ( + β ) I ( P)<br />
ICEO = I Ph<br />
Ph 1 Ph<br />
=<br />
I<br />
P<br />
=<br />
( 1+<br />
β ) I Ph(<br />
P)<br />
eη(<br />
1+<br />
β ) eη(<br />
1+<br />
β )<br />
= = λ<br />
P<br />
ηω<br />
h⋅<br />
c
Photodiode /3<br />
Licht<br />
Wird <strong>die</strong> Vorspannung so groß, dass <strong>die</strong> Energie der vom Licht generierten Ladungsträger<br />
ausreicht weiter Ladungsträger zu generieren (Avalanche-Effekt oder Law<strong>in</strong>eneffekt), dann hat<br />
<strong>die</strong> dann Avalanche-Photodiode genannte Diode e<strong>in</strong>e <strong>in</strong>nere Verstärkung, <strong>die</strong> <strong>in</strong> besonderen<br />
Fällen zum Zählen e<strong>in</strong>zelner Photonen ausreicht.<br />
Die Strom-Spannungskennl<strong>in</strong>ie e<strong>in</strong>er Photodiode lässt sich analog zu der e<strong>in</strong>er gewöhnlichen<br />
Diode darstellen als<br />
U<br />
⎛ e ⎞<br />
RT I = I S ⋅⎜<br />
e ⎟<br />
⎜<br />
−1<br />
⎟<br />
− I Ph<br />
⎝ ⎠<br />
( P)<br />
Photodiode (l<strong>in</strong>ks) und<br />
Photoelement (rechts)<br />
Je nach äußerer Beschaltung betreibt man <strong>die</strong> Photodiode als Photodiode (l<strong>in</strong>ks) oder als<br />
Photoelement (l<strong>in</strong>ks). Die Photodiode arbeitet im 3. Quadranten des Kennl<strong>in</strong>ienfeldes <strong>in</strong> der<br />
vorigen Abblildung, das Photoelement im vierten. Die Beschaltung mit e<strong>in</strong>em Widerstand R ist <strong>in</strong><br />
e<strong>in</strong>gezeichnet. Der Schnittpunkt der jeweiligen Arbeitsgeraden mit der Widerstandskennl<strong>in</strong>ie<br />
ergibt den Arbeitspunkt.<br />
Als Material für Photodioden wird bevorzugt Si verwendet, für den Infrarotbereich auch Ge und<br />
InSb