SB_14.814B

U : Vektor der Knotenverschiebungen aller Elemente
f
p
, f
t
und f
q
sind die äußeren Lastvektoren
Nach dem Variationsprinzip δ Π = 0 und bei bekanntem äußerem Lastvektor wird im
elastischen Fall die Knotenverschiebung berechnet mit [4.9].
U
= K
− 1
.
∗
f
[4.9]
Dadurch ergibt sich der Verzerrungstensorε ij
:
( + u )
1
ε
ij
= u
i,
j j,
i
[4.10]
2
Nach dem Hook´schen Gesetz kann der Spannungstensor abgeleitet werden.
Für nichtlineares Werkstoffverhalten wurde der Verzerrungstensor in einen elastischen,
einen thermischen und einen plastischen Anteil geteilt.
ε = ε + ε + ε
[4.11]
ij
p
ij
th
ij
e
ij
th
th th
ε
ij
ist der thermische Verzerrungsanteil und wird durch ε
ij
α ( T ) ΔTδ
ij
th
gegeben, wobei ( T )
= [4.12]
α die temperaturabhängigen Ausdehnungskoeffizienten sind.
p
Der plastische Anteil ε
ij
wird berechnet, wenn die Fließbedingung F=0 erfüllt ist. Die
Fließfunktion kann auch durch ein Potential beschrieben werden.
1
− σ
F
3
Die nach von Mises vorgeschlagene Fließfunktion ist durch ( )
2
[4.13] gegeben [Sch00].
Φ σ
ij
1
= Sij
S
2
σ
F
ist die Fließgrenze bei einachsiger Beanspruchung und S ij
der diviatorische
Anteil des Spannungstensors. Die Fließfläche ist im Spannungsraum durch die
Mantelfläche eines Zylinders dargestellt. Die plastische Verzerrung wurde mittels der
assoziierten Normalenregel gerechnet.
ij
p ∂Φ
& ε
ij
= λ [4.14] wobei λ ein Skalarer ist, der sich aus
∂σ
ij
pl
3ε
v
λ = [4.15] ergibt
2σ
ij
pl
ε
v
: ist die plastische Vergleichsdehnung oder die effektive plastische Verzerrung,
die die Verfestigung eines Werkstoffs definiert [Bäk02].
Darüber hinaus können plastische Verformungen durch eine Phasenumwandlung
generiert werden. Diese sind stets mit einer Verzerrung und einer Volumenänderung
des Gefüges verknüpft. Während eines thermo-mechanischen Verfahrens (Löten
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