SB_14.814B

werden durch Ansatzfunktionen approximiert. Die FE-Methode basiert auf einer
Energieformulierung und in der Regel wird das Prinzip der virtuellen Verschiebungen
und das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials oder auch das HAMILTONsche
Prinzip angewandt [Kno91].
Das Gesamtpotential eines Systems ist eine Addition der Verzerrungsenergie mit
dem Gesamtpotential aller äußeren Lasten [4.5].
Π = U + Π
a
= U - W
[4.5]
1
Π =
2
∫
σεdv −
∫
updv −
∫
uqds
[4.6]
wobei
W die Arbeit der äußeren Lasten,
σ innere mechanische Spannungen,
ε Dehnung,
p Volumen Kräfte,
q Oberflächenkräfte,
und u Verschiebungen sind.
Wird die Forderung δ Π = 0 verwendet, so werden die gesuchten Verschiebungen in
der gesamten Struktur ermittelt. Das Verschiebungsfeld wird mittels Finiten Elementen
in diskrete Teilbereiche unterteilt. Die Verschiebungen sind durch die Ansatzfunktionen
festgelegt. Übliche Ansatzfunktionen sind Polynome von linearer oder
quadratischer Ordnung. Die Freiheitsgrade bestimmen die Zahl der Knotenverschiebungen
jedes Elements, weiterhin sind die Knotenverschiebungen bei zwei aneinandergrenzenden
Elementen an gemeinsamen Knoten identisch. Durch die Ansatzfunktion
kann das Verschiebungsfeld diskret ausgedrückt und anschließend das
Potential in einer Matrizenform dargestellt werden [Sch00] [4.7].
1
Π = U 2
1
Π = 2
T
∫
v
T
T
T
( ND) EDN dvU − p N dvU − q N dsU
T
[ U K U ] − ( f + f + f )U
p
q
t
∫
v
∫
s
[4.7]
[4.8]
N : Matrix der Ansatzfunktion
D : Matrix der Differentialoperator
E : Matrix der elastischen Konstanten
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