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Gesamter Stoff für die Berufsreifeprüfung Mathe Gesamter Stoff für die Berufsreifeprüfung Mathe
Mathe für die BRP zentral V Stochastik absolute Häufigkeit H i = H(x i ) Gibt an, wie oft eine Merkmalsausprägung in der Stichprobe vorkommt. H1 = H (x1 ) = H (2) = 1, H2 = H (x2 ) = H (3) = 1, H3 = H (x3 ) = H (6) = 1, H4 = H (x4 ) = H (8) = 3, H5 = H (x5 ) = H (9) = 2, H6 = H (x6 ) = H (12) = 2 relative Häufigkeit h i Arithmetisches Mittel x̅ Es gilt offensichtlich: H 1 + H 2 + H 3 + … + H k = ∑ H i = n 6 Nur zur Ansicht k i=1 ∑ H i = H 1 + H 2 + H 3 + H 4 + H 5 + H 6 = 1 + 1 + 1 + 3 + 2 + 2 = 10 = n i=1 h i = H i n h 1 = H 1 = 1 = 0,1 = 10 % n 10 h 2 = H 2 = 1 = 0,4 = 10 % n 10 h 3 = H 3 = 1 = 0,3 = 10 % n 10 h 4 = H 4 = 3 = 0,1 = 30 % n 10 h 5 = H 5 = 2 = 0,1 = 20 % n 10 h 6 = H 6 = 2 = 0,1 = 20 % n 10 h 1 + h 2 + h 3 + … + h k = ∑ h i = 1 = 100 % k i=1 Der Mittelwert wird bestimmt, weil sich statistische Untersuchungen immer nur auf Stichproben beziehen können. Bei Folgerungen für die Gesamtheit stellt das arithmetische Mittel x̅ der Stichprobe den besten Schätzwert für den Mittelwert μ der Grund-Gesamtheit dar. x̅ = x 1. H 1 + x 2 . H 2 + … + x k . H k n x̅ = 2 . 1 + 3 . 1 + 6 . 1 + 8 . 3 + 9 . 2 + 12 . 2 10 Die relative Häufigkeit kann in Prozent angegeben werden, indem der errechnete Wert mit 100 multipliziert wird. k = 1 n . ∑ x i . H i i=1 = 7,7 Das bedeutet: Im Durchschnitt greift jede(r) Jugendliche dieser Stichprobe im Unterricht nach 7,7 Minuten erstmals zum Handy. # manfred.ambach 344 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral V Stochastik (Empirische) Standardabweichung bzw. Streuung s s = √ Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, inwieweit die Daten der Stichprobe vom Mittelwert abweichen. So könnten z.B. alle Jugendlichen nach exakt 7,7 Minuten erstmals zum Handy gegriffen haben. Dann wäre das arithmetische Mittel ebenfalls x̅ = 7,7 Minuten, die Streuung aber in diesem Fall s = 0, weil keine der Einzel-Daten vom arithmetischen mittelabweichte. s = √ (x 1 − x̅) 2 . H 1 + (x 2 − x̅) 2 . H 2 + … + (x k − x̅) 2 . H k n Als grobe Orientierung dient: Die Erfahrung lehrt, s dass < 1 Streuungen eher kleine Streuung 1 ≤ s ≤ 1, 3 mittlere Streuung s > 1, 3 s < 1 große Streuung kleine Abweichungen Nur zur Ansicht Median Med ( Zentralwert ) (2 − 7,7) 2 . 1 + (3 − 7,7) 2 . 1 + (6 − 7,7) 2 . 3 + (8 − 7,7) 2 . 3 + (9 − 7,7) 2 . 2 + (12 − 7,7) 2 . 2 10 Bemerkung: (1 Sollte 2,96 man ) 2 .3 ernsthaft (2 2,96 Statistik ) 2 .5 betreiben, (3 2,96 ) müsste 2 .7 ( 4man 2,96 jene ) 2 .6 Formel (5für 2,96) die 2 Streuung .2 verwenden, die s im Nenner nicht n, sondern n–1 stehen 23 hat. Diese wäre eigentlich die Streuung einer Stichprobe. Bei uns ist es gleichgültig, welche der beiden Varianten zur Anwendung kommt. s = 1,1601 ~ 1,16 1 ≤ s < 1,3 mittlere Abweichungen Minimum und Min s ≥ 1,3 kleinste große Merkmalsausprägung Abweichungen Min = 2 Maximum Max größte Merkmalsausprägung Max = 12 von Einzeldaten bezüglich des Mittelwertes bedeuten. Spannweite Max – Min Spannweite = 12 − 2 = 10 Reiht man die Daten der Stichprobe von klein nach groß, so ist Med jener Wert, unter und über dem sich jeweils ca. 50 % der Daten befindet. 2 3 6 8 8 8 9 9 12 12 = 3,13 Bei gerader Anzahl der Daten, wie hier mit n = 10, liegt in der "Mitte" kein Wert. In diesem Fall wählt man als Med das arithmetische Mittel der Werte links und rechts der "Mitte". # manfred.ambach 345 pro-test.at
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Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
absolute Häufigkeit<br />
H i = H(x i )<br />
Gibt an, wie oft eine Merkmalsausprägung in der Stichprobe vorkommt.<br />
H1 = H (x1 ) = H (2) = 1, H2 = H (x2 ) = H (3) = 1, H3 = H (x3 ) = H (6) = 1,<br />
H4 = H (x4 ) = H (8) = 3, H5 = H (x5 ) = H (9) = 2, H6 = H (x6 ) = H (12) = 2<br />
relative Häufigkeit h i<br />
Arithmetisches Mittel x̅<br />
Es gilt offensichtlich:<br />
H 1 + H 2 + H 3 + … + H k = ∑ H i = n<br />
6<br />
Nur zur Ansicht<br />
k<br />
i=1<br />
∑ H i = H 1 + H 2 + H 3 + H 4 + H 5 + H 6 = 1 + 1 + 1 + 3 + 2 + 2 = 10 = n<br />
i=1<br />
h i = H i<br />
n<br />
h 1 = H 1<br />
= 1 = 0,1 = 10 %<br />
n 10<br />
h 2 = H 2<br />
= 1 = 0,4 = 10 %<br />
n 10<br />
h 3 = H 3<br />
= 1 = 0,3 = 10 %<br />
n 10<br />
h 4 = H 4<br />
= 3 = 0,1 = 30 %<br />
n 10<br />
h 5 = H 5<br />
= 2 = 0,1 = 20 %<br />
n 10<br />
h 6 = H 6<br />
= 2 = 0,1 = 20 %<br />
n 10<br />
h 1 + h 2 + h 3 + … + h k = ∑ h i = 1 = 100 %<br />
k<br />
i=1<br />
Der Mittelwert wird bestimmt, weil sich statistische Untersuchungen immer nur auf<br />
Stichproben beziehen können. Bei Folgerungen für die Gesamtheit stellt das<br />
arithmetische Mittel x̅ der Stichprobe den besten Schätzwert für den Mittelwert μ<br />
der Grund-Gesamtheit dar.<br />
x̅ =<br />
x 1. H 1 + x 2 . H 2 + … + x k . H k<br />
n<br />
x̅ = 2 . 1 + 3 . 1 + 6 . 1 + 8 . 3 + 9 . 2 + 12 . 2<br />
10<br />
Die relative Häufigkeit kann in<br />
Prozent angegeben werden,<br />
indem der<br />
errechnete Wert mit 100<br />
multipliziert wird.<br />
k<br />
= 1<br />
n . ∑ x i . H i<br />
i=1<br />
= 7,7<br />
Das bedeutet:<br />
Im Durchschnitt greift jede(r) Jugendliche dieser Stichprobe im Unterricht<br />
nach 7,7 Minuten erstmals zum Handy.<br />
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