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Gesamter Stoff für die Berufsreifeprüfung Mathe Gesamter Stoff für die Berufsreifeprüfung Mathe
Mathe für die BRP zentral IV Analysis Zerlegen wir die gesuchte Fläche in unzählig viele Rechtecke, lassen wir also n immer größer werden. Damit wird wohl Δx = x 2−x 1 immer kleiner. n Für eine so unendlich kleine Breite schreibt man dx. Somit lautet der Inhalt eines unendlich schmalen Rechtecks A = y . dx Bemerkungen: Δ ( Delta: griechisch: D, steht für Differenz ) d steht für kleinste Differenzen dx ist ein feststehender Begriff und darf nicht als d . x gedeutet werden! Summieren wir die Inhalte der unendlich vielen und unendlich schmalen Rechtecke, so erhalten wir den gesuchten Flächeninhalt A: A = ∫ y ⋅ dx Nur zur Ansicht x 2 x 1 x 1 ... untere ( kleinere, links liegende ) Grenze x 2 ... obere ( größere, rechts liegende ) Grenze Was zu merken ist: Das Integral berechnet immer den Inhalt jener Fläche, die innerhalb der sog. Grenzen x1 und x2 vom Funktionsgraphen und der x-Achse begrenzt wird. manfred.ambach 316 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral IV Analysis Beispiel: Bestimme den Inhalt jener Fläche, die im Intervall [ – 2 ; 3 ] vom Graphen der Funktion f(x) = 1 der x-Achse begrenzt wird? 2 x 2 + 1 und Berechnung per Hand: 3 A = ∫ y . dx = ∫ ( 1 2 x2 + 1) . dx = [ 1 2 . x 3 3 −2 3 −2 Um den Sachverhalt zu veranschaulichen, stellen wir die Funktion grafisch dar. + 1 . x] 3 −2 Wir sollen den Inhalt jener Fläche bestimmen, die innerhalb der Grenzen x 1 = – 2 und x 2 = 3 von der Funktion und der x-Achse begrenzt ist. Das ist die gelb markierte Fläche. Integrieren wir die Funktion von x 1 = – 2 bis x 2 = 3 , dann erhalten wir den Inhalt der gesuchten Fläche, denn das Integral bestimmt ja immer jene Fläche innerhalb der Grenzen, die dort vom Funktionsgraph und der x-Achse begrenzt ist. = [ x3 6 Nur zur Ansicht y = f(x) = 1 2 x 2 + 1 = ( 3 3 + 3) − ( (−2)3 + (−2)) = 65 E 2 = 10,83 E 2 6 6 Es wird immer obere – untere Grenze gerechnet! 6 + x] 3 −2 = E ... steht für Längen-Einheit E 2 ... steht für Flächen-Einheit manfred.ambach 317 pro-test.at
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Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Beispiel:<br />
Bestimme den Inhalt jener Fläche, die im Intervall [ – 2 ; 3 ] vom Graphen der Funktion f(x) = 1<br />
der x-Achse begrenzt wird?<br />
2<br />
x 2 + 1 und<br />
Berechnung per Hand:<br />
3<br />
A = ∫ y . dx = ∫ ( 1<br />
2 x2 + 1) . dx = [ 1<br />
2 . x 3<br />
3<br />
−2<br />
3<br />
−2<br />
Um den Sachverhalt zu veranschaulichen,<br />
stellen wir die Funktion grafisch dar.<br />
+ 1 . x]<br />
3<br />
−2<br />
Wir sollen den Inhalt jener Fläche bestimmen, die innerhalb<br />
der Grenzen x 1 = – 2 und x 2 = 3 von der Funktion und der<br />
x-Achse begrenzt ist.<br />
Das ist die gelb markierte Fläche.<br />
Integrieren wir die Funktion von x 1 = – 2 bis x 2 = 3 ,<br />
dann erhalten wir den Inhalt der gesuchten Fläche, denn<br />
das Integral bestimmt ja immer jene Fläche innerhalb der<br />
Grenzen, die dort vom Funktionsgraph und der x-Achse<br />
begrenzt ist.<br />
= [ x3<br />
6<br />
Nur zur Ansicht<br />
y = f(x) = 1<br />
2<br />
x 2 + 1<br />
= ( 3 3<br />
+ 3) − ( (−2)3<br />
+ (−2)) = 65<br />
E 2 = 10,83 E 2<br />
6<br />
6<br />
Es wird immer<br />
obere – untere<br />
Grenze<br />
gerechnet!<br />
6<br />
+ x]<br />
3<br />
−2<br />
=<br />
E ... steht für Längen-Einheit<br />
E 2 ... steht für Flächen-Einheit<br />
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