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Gesamter Stoff für die Berufsreifeprüfung Mathe Gesamter Stoff für die Berufsreifeprüfung Mathe
Mathe für die BRP zentral I Zahlen & Maße Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich GAUß ging nun her und setzte die Carl Friedrich GAUß ( 1777 – 1855 ) und benannte i als imaginäre Einheit. 2 √– 1 Damit lassen sich Quadratwurzeln aus negativen Zahlen wie folgt angeben: √− 4 = √4 ⋅ (−1) = √4 ⋅ √− 1 = ±2 i ±2 i Typisch Mathematiker! Machen aus etwas, was eben nicht existiert, nicht nur ein Problem, sondern gleich eine neue Theorie daraus! Nur zur Ansicht = i Gemeint sind die beiden Zahlen 2 i und −2 i Lieber Fredo, Ich möchte versuchen, ein Argument für die Existenz komplexer Zahlen anzuführen: auf den ersten Blick hast du natürlich Recht! Du befindest dich mit deiner Skepsis in literarischer Gemeinschaft mit Friedrich TORBERGs Schüler Gerber , der im gleichnamigen Roman seinen Mathelehrer Kupfer über den Sinn komplexer Zahlen befragt. Auch Zahlen wie 1, 2 oder 3 sind abstrakte Gedankengebilde. Sie nennen sich zwar natürliche Zahlen, aber niemand hat im Frühling z.B. eine Eins aus dem Boden sprießen sehen. Solche Zahlen ergeben erst dann Sinn, wenn wir sie mit Gegenständen verbinden, um sie z.B. zu zählen und damit quantitativ (mengenmäßig) zu erfassen. Als Kinder lernten wir die Namen der Zahlen und schließlich konnten wir sie in richtiger Reihenfolge nennen. Doch was sollen denn bedeuten? eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben . . . Der Sinn erschließt sich erst, wenn diesen Zahlen Objekte zugeordnet werden, wenn wir Utensilien zählen um ihre Anzahl festzustellen und Ordnungen zu schaffen. Auch mit der imaginären Einheit bzw. den komplexen Zahlen lassen sich Gesetzmäßigkeiten und Strukturen in Natur und Technik beschreiben und zwar einfacher als mit den uns gewohnten Zahlen. Wichtig ist, wie bei jeder Zahl und Rechnung, eine passende Deutung zu finden! Mit Hilfe der komplexen Zahlen, können z.B. Schwingungszustände, die Einsichten in Materiestrukturen verleihen, wesentlich leichter berechnet werden als mit den uns geläufigen Zahlen. Komplexe Zahlen finden u.a. auch in der Chaostheorie ihre Verwendung und sind heute aus Naturwissenschaft und Technik nicht mehr wegzudenken. manfred.ambach 14 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral I Zahlen & Maße Gebäudekomplex in Düsseldorf Woher der Name komplexe Zahlen? Wie ein Gebäudekomplex aus mehreren Häusern besteht, so setzt sich eine komplexe Zahl aus mehreren Gliedern (Ausdrücke, die mit + oder – verbunden sind) zusammen, die nicht addiert bzw. subtrahiert werden können. Beispiel: z = 4 + 3 . i Allgemein lässt sich eine komplexe Zahl z in sog. BINOMIAL-Form wie folgt darstellen: mit a, b R ( a und b sind reelle Zahlen ) i … imaginäre Einheit mit i = √− 1 Beispiel: z = 4 + 3 i Diese komplexe Zahl z wird in einer Ebene (flach und unendlich groß) als Pfeil dargestellt. Auf der waagrechten Achse wird a = 4 aufgetragen, auf der nach hinten gehenden Achse 3 i . Nur zur Ansicht Die komplexen Zahlen sind eine ganze Dimension größer als alle Zahlen, die wir bisher besprachen: Während sich natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen auf der waagrechten Achse (eindimensional) darstellen lassen, bedecken die Pfeilspitzen aller komplexen Zahlen jeden Punkt in einer (unendlich großen) Ebene (zweidimensional). manfred.ambach 15 pro-test.at
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Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Gebäudekomplex in Düsseldorf<br />
Woher der Name komplexe Zahlen?<br />
Wie ein Gebäudekomplex aus mehreren Häusern besteht, so setzt<br />
sich eine komplexe Zahl aus mehreren Gliedern (Ausdrücke, die mit<br />
+ oder – verbunden sind) zusammen, die nicht addiert bzw.<br />
subtrahiert werden können.<br />
Beispiel: z = 4 + 3 . i<br />
Allgemein lässt sich eine komplexe Zahl z in sog. BINOMIAL-Form wie folgt darstellen:<br />
mit a, b R ( a und b sind reelle Zahlen )<br />
i … imaginäre Einheit mit i = √− 1<br />
Beispiel: z = 4 + 3 i<br />
Diese komplexe Zahl z wird in einer<br />
Ebene (flach und unendlich groß) als<br />
Pfeil dargestellt.<br />
Auf der waagrechten Achse wird<br />
a = 4 aufgetragen, auf der nach<br />
hinten gehenden Achse 3 i .<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die komplexen Zahlen sind eine ganze Dimension größer als alle Zahlen, die wir bisher besprachen:<br />
Während sich natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen auf der waagrechten Achse (eindimensional)<br />
darstellen lassen, bedecken die Pfeilspitzen aller komplexen Zahlen jeden Punkt in einer (unendlich großen) Ebene<br />
(zweidimensional).<br />
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