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Mathe für die BRP zentral II Algebra & Geometrie Beispiel: 2 x² + x – 6 = 0 a = 2 b = 1 c = – 6 x 1/2 = – 1 ± √ 1 2 – 4 . 2 . (– 6) 2 . 2 x 1/2 = x 1/2 = x 1 = 3 2 N 1 ( 3 2 /0) – 1 ± √ 49 4 – 1 ± 7 4 x 2 = – 2 N 2(−2/0) Beispiel: x² – 4 x + 4 = 0 a = 1 b = – 4 c = 4 x 1/2 = – (−4) ± √ (−4) 2 – 4 . 1 . 4 2 . 1 x 1/2 = x 1/2 = 4 ± √ 0 2 x 1/2 = 2 N(2/0) 4 ± 0 2 Man spricht von einer sog. Doppellösung. Beispiel: 3 x² + 2 x + 1 = 0 a = 3 b = 2 c = 1 Nur zur Ansicht x 1/2 = − 2 ± √ 2 2 – 4 . 3 . 1 2 . 3 x 1/2 = − 2 ± √ – 8 6 Da die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl keine reelle Zahl ergibt, besitzt die Gleichung keine reelle Lösung. → kein Nullpunkt Welcher der Nullpunkte mit N 1 bzw. N 2 bezeichnet wird, ist unerheblich. manfred.ambach 112 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral II Algebra & Geometrie Betrachten wir die letzten drei Beispiele, lässt sich folgendes erkennen: Rechnerisch hängen die Lösungsmöglichkeiten einer quadratischen Gleichung vom Wurzelinhalt der Auflösungsformel ab: Die allgemeine Norm(al)form einer quadratischen Gleichung lautet und die dazugehörige Auflösungsformel x 1/2 = a x 2 + b x + c = 0 – b ± √ b 2 – 4 . a . c 2 . a Den Wurzelinhalt, also b 2 – 4 a c , nennt man Diskriminante D discriminare ( lateinisch ): unterscheiden All unsere Berechnungen finden immer in den reellen Zahlen R satt. Demnach gilt: Ist D > 0, der Wurzelinhalt also positiv, besitzt die Gleichung 2 (reelle) Lösungen, ist D = 0, der Wurzelinhalt also null, besitzt die Gleichung 1 (reelle) Lösung, ist D < 0, der Wurzelinhalt also negativ, besitzt die Gleichung keine (reelle) Lösung. Nur zur Ansicht manfred.ambach 113 pro-test.at
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Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiel: 2 x² + x – 6 = 0 a = 2 b = 1 c = – 6<br />
x 1/2 =<br />
– 1 ± √ 1 2 – 4 . 2 . (– 6)<br />
2 . 2<br />
x 1/2 =<br />
x 1/2 =<br />
x 1 = 3<br />
2<br />
N 1 ( 3 2 /0)<br />
– 1 ± √ 49<br />
4<br />
– 1 ± 7<br />
4<br />
x 2 = – 2<br />
N 2(−2/0)<br />
Beispiel: x² – 4 x + 4 = 0 a = 1 b = – 4 c = 4<br />
x 1/2 =<br />
– (−4) ± √ (−4) 2 – 4 . 1 . 4<br />
2 . 1<br />
x 1/2 =<br />
x 1/2 =<br />
4 ± √ 0<br />
2<br />
x 1/2 = 2<br />
N(2/0)<br />
4 ± 0<br />
2<br />
Man spricht von einer sog. Doppellösung.<br />
Beispiel: 3 x² + 2 x + 1 = 0 a = 3 b = 2 c = 1<br />
Nur zur Ansicht<br />
x 1/2 = − 2 ± √ 2 2 – 4 . 3 . 1<br />
2 . 3<br />
x 1/2 = − 2 ± √ – 8<br />
6<br />
Da die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl<br />
keine reelle Zahl ergibt,<br />
besitzt die Gleichung keine reelle Lösung.<br />
→ kein Nullpunkt<br />
Welcher der Nullpunkte mit N 1 bzw. N 2 bezeichnet wird, ist unerheblich.<br />
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