Buchlösungen Prechtl Elektrotechnik 1 - Albino Troll - 13
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<strong>Elektrotechnik</strong> 1 (Beispiele)<br />
TU Wien<br />
<strong>Elektrotechnik</strong><br />
WS 2007
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
1. Zeit. Raum. Bewegung....................................................................................................... 7<br />
1.1. Laufweg des Lichts .................................................................................................... 7<br />
1.2. Atomare Abmessungen .............................................................................................. 7<br />
1.3. Entfernungen .............................................................................................................. 7<br />
1.4. Richtungen ................................................................................................................. 8<br />
1.5. Körper auf Kreisbahn................................................................................................. 9<br />
2. Körper und Teilchen. Masse und Stoffmenge.................................................................. 10<br />
2.1. Mittlere Massendichte.............................................................................................. 10<br />
2.2. Teilchendichte in Kochsalz, Germanium und Kupfer.............................................. 10<br />
2.3. Atome je Elementarwürfel ....................................................................................... 11<br />
2.4. Atomare Masseneinheit............................................................................................ 11<br />
2.5. Ionen in einer Lösung............................................................................................... 11<br />
3. Impuls und Kraft. Kraftfelder. Allgemeine Felder........................................................... 12<br />
3.1. Bremsen eines Fahrzeuges ....................................................................................... 12<br />
3.2. Neutronensterne ....................................................................................................... 12<br />
3.3. Beschleunigen eines Elektrons................................................................................. <strong>13</strong><br />
3.4. Coulomb-Wechselwirkung zweier Elektronen ........................................................ 14<br />
3.5. Coulomb-Kraft und Gravitationskraft...................................................................... 15<br />
4. Arbeit und Leistung. Energie. Wärme und Temperatur................................................... 15<br />
4.1. Normalprojektion ..................................................................................................... 15<br />
4.2. Homogenes Kraftfeld ............................................................................................... 16<br />
4.3. Zuggarnitur............................................................................................................... 17<br />
4.4. Crash-Testanlage...................................................................................................... 18<br />
4.5. Handhabungsgerät.................................................................................................... 18<br />
4.6. Wasserkraftwerk....................................................................................................... 19<br />
4.7. Brunnenpumpe ......................................................................................................... 19<br />
4.8. Energiestrom der Sonne ........................................................................................... 20<br />
4.9. Solarthermisches Kraftwerk..................................................................................... 21<br />
4.10. Anschlussleistung eines Durchlauferhitzers......................................................... 21<br />
5. Schwingungen und Wellen. Licht .................................................................................... 22<br />
5.1. Kenngrößen einer harmonischen Schwingung......................................................... 22<br />
5.2. Schallwelle ............................................................................................................... 22<br />
5.3. Elektromagnetische Welle........................................................................................ 23<br />
5.4. Ultrakurzwellenbereich ............................................................................................ 23<br />
5.5. Strahlstärke............................................................................................................... 23<br />
6. Elektrische Ladungen, Ströme und Spannungen.............................................................. 24<br />
6.1. Raumladungsdichte .................................................................................................. 24<br />
6.2. Ladung und Stromstärke .......................................................................................... 24<br />
6.3. Laden und Entladen.................................................................................................. 25<br />
6.4. Driftgeschwindigkeit................................................................................................ 26<br />
6.5. Faraday-Konstante ................................................................................................... 26<br />
6.6. Ladungstransport durch Ionen.................................................................................. 26<br />
6.7. Wasserstofferzeugung .............................................................................................. 27<br />
6.8. Herstellen von Kupferfolie....................................................................................... 27<br />
6.9. Vernickelung eines Blechteils.................................................................................. 28<br />
6.10. Das Elektronvolt................................................................................................... 28<br />
6.11. Reihenschaltung von Widerständen..................................................................... 29<br />
6.12. Parallelschaltung von Widerständen .................................................................... 30<br />
6.<strong>13</strong>. Leistung an einem Ohmschen Widerstand........................................................... 30<br />
6.14. Reichenschaltung Diode-Widerstand................................................................... 33<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 2 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
6.15. Stromaufnahme von Glühlampen......................................................................... 33<br />
6.16. Reihenschaltung von Glühlampen ....................................................................... 34<br />
6.17. Stromaufnahme einer Zuggarnitur ....................................................................... 35<br />
6.18. Antrieb eines Schiffskrans ................................................................................... 35<br />
6.19. Schleifmaschinenantrieb ...................................................................................... 36<br />
6.20. Beschleunigungsantrieb ....................................................................................... 36<br />
7. Physikalische Größen, Einheiten und Dimensionen ........................................................ 37<br />
7.1. Abgeleitete Dimensionen ......................................................................................... 37<br />
7.2. Abgeleitete Einheiten ............................................................................................... 38<br />
7.3. Einheiten des elektrostatischen cgs-Systems ........................................................... 38<br />
7.4. Aufstellen einer Zahlenwertgleichung ..................................................................... 39<br />
7.5. Aufstellen einer Größengleichung ........................................................................... 40<br />
7.6. Stefan-Boltzmann-Gesetz (nicht im Buch) .............................................................. 41<br />
7.7. Atomares Einheitensystem (au, nicht im Buch)....................................................... 42<br />
7.8. Loschmidt-Konstante (nicht im Buch)..................................................................... 43<br />
8. Stromkreise und einfache Stromkreiselemente ................................................................ 44<br />
8.1. Anwendung der Kirchhoff-Regeln........................................................................... 44<br />
8.2. Verzweigter Strom ................................................................................................... 45<br />
8.3. Erweitern einer Schaltung ........................................................................................ 46<br />
8.4. Ersatzwiderstand ...................................................................................................... 46<br />
8.5. Dreieck-Stern-Umwandlung .................................................................................... 47<br />
8.6. Stern-Polygon-Umwandlung.................................................................................... 48<br />
8.7. Ersatzwiderstand ...................................................................................................... 49<br />
8.8. Ersatzwiderstand ...................................................................................................... 49<br />
8.9. Ersatzwiderstand eines Zweitors.............................................................................. 50<br />
8.10. Widerstandskette .................................................................................................. 50<br />
8.11. Teilerregeln .......................................................................................................... 51<br />
8.12. Spannungsteiler .................................................................................................... 51<br />
8.<strong>13</strong>. Reihenschaltung von zwei Parallelschaltungen ................................................... 52<br />
8.14. Erforderliche Quellenspannung............................................................................ 52<br />
8.15. Erforderlicher Widerstand.................................................................................... 53<br />
8.16. Abgegebene Leistung von Spannungsquellen...................................................... 53<br />
8.17. Ersatzquelle einer Batterie ................................................................................... 54<br />
8.18. Grundstromkreis................................................................................................... 54<br />
8.19. Äquivalenz von linearen Quellen......................................................................... 55<br />
8.20. Ersatzschaltung des aktiven Zweipols.................................................................. 56<br />
8.21. Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle .................................................... 57<br />
8.22. Ersatzquellen ........................................................................................................ 58<br />
8.23. Messfehler bei Strommessung ............................................................................. 59<br />
8.24. Messfehler bei Spannungsmessung...................................................................... 60<br />
8.25. Messbereichserweiterung..................................................................................... 61<br />
8.26. Wirkungsgrad einer Spannungsquelle.................................................................. 61<br />
8.27. Leistungsumsatz im Grundstromkreis.................................................................. 62<br />
8.28. Nichtlineare Quellen ............................................................................................ 63<br />
8.29. Schaltung mit Stromquelle................................................................................... 64<br />
8.30. Strommessgerät .................................................................................................... 65<br />
8.31. Spannungsmessgerät ............................................................................................ 65<br />
8.32. Teilerschaltung..................................................................................................... 66<br />
8.33. Belasteter Spannungsteiler ................................................................................... 67<br />
8.34. Verlustleistung eines Photowiderstandes............................................................. 68<br />
8.35. Glühlampen mit Vorwiderstand........................................................................... 69<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 3 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.36. Lampenschaltung ................................................................................................. 70<br />
8.37. Stromkreis mit Lichtbogen................................................................................... 70<br />
8.38. Überbrücktes T-Glied........................................................................................... 71<br />
8.39. Wheatstone-Brücke .............................................................................................. 72<br />
8.40. Brückenschaltung zur Messwertumsetzung......................................................... 73<br />
8.41. Thomsonbrücke.................................................................................................... 74<br />
8.42. Transistorverstärker in Emitterschaltung ............................................................. 75<br />
8.43. Transistorverstärker in Kollektorschaltung.......................................................... 76<br />
8.44. Verstärkerschaltung.............................................................................................. 77<br />
8.45. Zweitorparameter ................................................................................................. 78<br />
8.46. Parameter einer Ersatzquelle................................................................................ 79<br />
8.47. Umsetzung und Übertragung einer Messgröße.................................................... 80<br />
8.48. Nichtlineares Stromkreiselement ......................................................................... 81<br />
8.49. Ersatzschaltung für eine Diode ............................................................................ 83<br />
8.50. Schaltung mit Diode............................................................................................. 84<br />
8.51. Diodenschaltung als UND-Gatter ........................................................................ 85<br />
8.52. Schaltung mit Dioden........................................................................................... 86<br />
8.53. Gleichrichter......................................................................................................... 87<br />
8.54. Gleichrichterschaltung ......................................................................................... 88<br />
8.55. Gleichrichter mit Zusatzspannung ....................................................................... 88<br />
8.56. Abschneiden einer positiven Spitze ..................................................................... 89<br />
8.57. Schaltung mit Dioden und Spannungsquellen ..................................................... 90<br />
8.58. Einfache Spannungsstabilisierung........................................................................ 91<br />
8.59. Spannungsquelle................................................................................................... 92<br />
8.60. Stromquelle .......................................................................................................... 93<br />
9. Das elektrische Feld ......................................................................................................... 94<br />
9.1. Elektrostatisches Feld............................................................................................... 94<br />
9.2. Elektrostatische Abschirmung.................................................................................. 94<br />
9.3. Tropfengenerator...................................................................................................... 95<br />
9.4. Streifenleitung .......................................................................................................... 95<br />
9.5. Bauvolumen eines Kondensators ............................................................................. 96<br />
9.6. Metallpapier-Kondensator........................................................................................ 97<br />
9.7. Drehkondensator ...................................................................................................... 98<br />
9.8. Kapazitive Anordnung mit verschiebbarer Platte .................................................... 99<br />
9.9. Plattenanordnung.................................................................................................... 100<br />
9.10. Elektromechanischer Wandler ........................................................................... 101<br />
10. Schaltungen mit Kondensatoren................................................................................. 102<br />
10.1. Anfangsstrom über einen Schalter ..................................................................... 102<br />
10.2. Umladevorgang .................................................................................................. 103<br />
10.3. Spannungsaufteilung in einer RC-Schaltung ..................................................... 104<br />
10.4. Spannungssprung an RC-Schaltung................................................................... 105<br />
10.5. Brückenschaltung mit Kondensator ................................................................... 106<br />
10.6. Umladung........................................................................................................... 107<br />
10.7. Kondensator-Reihenschaltung ........................................................................... 108<br />
10.8. Rechteckimpuls an RC-Kombination................................................................. 109<br />
10.9. Wechselanteil einer Spannung ........................................................................... 110<br />
10.10. Ausfiltern des Mittelwertes ................................................................................ 111<br />
10.11. Differentiation durch RC-Glied ......................................................................... 112<br />
10.12. Integration durch RC-Glied................................................................................ 1<strong>13</strong><br />
10.<strong>13</strong>. Operationsverstärker .......................................................................................... 114<br />
10.14. Periodisches Rechtecksignal an RCD-Kombination.......................................... 116<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 4 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
10.15. Laden eines Kondensators mit Spannungsbegrenzung ...................................... 117<br />
10.16. Laden eines Kondensators mit Parallelzweig..................................................... 118<br />
10.17. Ladungspumpe ................................................................................................... 119<br />
10.18. Schaltung mit veränderlicher Kapazität ............................................................. 120<br />
10.19. Kondensatormikrophon...................................................................................... 121<br />
10.20. Influenz............................................................................................................... 122<br />
11. Ergänzendes zum elektrischen Feld ........................................................................... 123<br />
12. Verteilte elektrische Ströme....................................................................................... 123<br />
12.1. Kupferdraht mit Silberüberzug........................................................................... 123<br />
12.2. Erforderlicher Leitungsquerschnitt .................................................................... 124<br />
12.3. Überspannungsableiter....................................................................................... 125<br />
12.4. Stromeinspeisung in Platte................................................................................. 126<br />
12.5. Widerstand eines keilförmigen Leiters .............................................................. 127<br />
12.6. Widerstand einer Scheibenhälfte........................................................................ 128<br />
12.7. Umlenkung......................................................................................................... 129<br />
12.8. Stromführung über einen Blechkegel................................................................. <strong>13</strong>0<br />
12.9. Flächenstromdichte ............................................................................................ <strong>13</strong>1<br />
12.10. Flächenstromverteilung...................................................................................... <strong>13</strong>1<br />
<strong>13</strong>. Elementare Methoden der Berechnung elektrischer Felder ....................................... <strong>13</strong>2<br />
<strong>13</strong>.1. Elektrisches Moment eines Moleküls ................................................................ <strong>13</strong>2<br />
<strong>13</strong>.2. Elektrsiches Moment einer Ladungsanordnung................................................. <strong>13</strong>2<br />
<strong>13</strong>.3. Dipolantenne ...................................................................................................... <strong>13</strong>3<br />
<strong>13</strong>.4. Drei Punktladungen............................................................................................ <strong>13</strong>4<br />
<strong>13</strong>.5. Quadrupol........................................................................................................... <strong>13</strong>5<br />
<strong>13</strong>.6. Elektrisches Feld zweier Linienleiter................................................................. <strong>13</strong>6<br />
<strong>13</strong>.7. Bündelleiter ........................................................................................................ <strong>13</strong>7<br />
<strong>13</strong>.8. Dreileiteranordnung ........................................................................................... <strong>13</strong>9<br />
<strong>13</strong>.9. Geladene Kreislinie............................................................................................ 141<br />
<strong>13</strong>.10. Elektronenoptische Anordnung.......................................................................... 143<br />
<strong>13</strong>.11. Maximalfeldstärke an Doppelleitung................................................................. 144<br />
<strong>13</strong>.12. Kugelkondensator............................................................................................... 145<br />
<strong>13</strong>.<strong>13</strong>. Halbgefüllter Kugelkondensator ........................................................................ 145<br />
<strong>13</strong>.14. Überschusselektronen......................................................................................... 146<br />
<strong>13</strong>.15. Widerstand in einer Flüssigkeit.......................................................................... 146<br />
<strong>13</strong>.16. Kapazität zweier Metallkugeln........................................................................... 147<br />
<strong>13</strong>.17. Störung eines Homogenfeldes............................................................................ 147<br />
<strong>13</strong>.18. Abschätzung der Leitfähigkeit ........................................................................... 148<br />
<strong>13</strong>.19. Ohmsche Beeinflussung..................................................................................... 149<br />
<strong>13</strong>.20. Zählrohr.............................................................................................................. 150<br />
<strong>13</strong>.21. Entwurf eines Hochspannungskondensators...................................................... 151<br />
<strong>13</strong>.22. Größtspannung eines Kabels.............................................................................. 152<br />
<strong>13</strong>.23. Querleitwerte eines Koaxialkabels..................................................................... 153<br />
<strong>13</strong>.24. Auslegung eines Koaxialkabels ......................................................................... 154<br />
<strong>13</strong>.25. Hochspanungsdurchführung............................................................................... 155<br />
<strong>13</strong>.26. Kabel mit geschichtetem Dielektrikum.............................................................. 156<br />
<strong>13</strong>.27. Koaxialkabel mit Führungsscheiben .................................................................. 157<br />
<strong>13</strong>.28. Zylindrische Anordnung .................................................................................... 158<br />
<strong>13</strong>.29. Geschwindigkeitsverteilung............................................................................... 159<br />
<strong>13</strong>.30. Elektronen auf Kreisbahn................................................................................... 160<br />
<strong>13</strong>.31. Potentialsteuerung .............................................................................................. 161<br />
<strong>13</strong>.32. Teilkapazitäten dreier koaxialer Rohre .............................................................. 162<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 5 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.33. Joule-Verluste in Blechteilen ............................................................................. 163<br />
<strong>13</strong>.34. Stromführung über Metallplatte......................................................................... 164<br />
<strong>13</strong>.35. Widerstand eines Engebereichs.......................................................................... 165<br />
<strong>13</strong>.36. Joule-Verluste in einer Hülse ............................................................................. 166<br />
<strong>13</strong>.37. Grabenkondensator............................................................................................. 167<br />
<strong>13</strong>.38. Kapazitätsbeitrag einer Abschrägung................................................................. 168<br />
<strong>13</strong>.39. Kreiszylinder im Transversalfeld....................................................................... 169<br />
<strong>13</strong>.40. Influenzierte Ladungsverteilung ........................................................................ 170<br />
<strong>13</strong>.41. Rotationsellipsoid............................................................................................... 171<br />
<strong>13</strong>.42. Spiegelung einer Punktladung an einer Ebene................................................... 172<br />
<strong>13</strong>.43. Spiegelung einer Punktladung an einer Kugel ................................................... 174<br />
<strong>13</strong>.44. Maximalspannung einer Metallkugel................................................................. 177<br />
<strong>13</strong>.45. Schrittspannung.................................................................................................. 178<br />
<strong>13</strong>.46. Kräfte an Punktladungen.................................................................................... 179<br />
<strong>13</strong>.47. Draht vor Metallplatte ........................................................................................ 180<br />
<strong>13</strong>.48. Feldstärke an einem Erdseil ............................................................................... 181<br />
<strong>13</strong>.49. Doppelleitung über dem Erdboden .................................................................... 182<br />
<strong>13</strong>.50. Drahtring vor Platte............................................................................................ 184<br />
14. Globale und lokale Eigenschaften elektrischer Felder............................................... 185<br />
14.1. Flächenladungsdichte......................................................................................... 185<br />
14.2. Elektrisches Feld an einer Grenzfläche.............................................................. 185<br />
14.3. Stromübertritt zwischen Metallen ...................................................................... 186<br />
14.4. Sprung der elektrischen Feldstärke .................................................................... 186<br />
14.5. Metallkugel in Grenzfläche................................................................................ 187<br />
14.6. Kondensator mit inhomogenen Dielektrikum.................................................... 188<br />
14.7. Restspannung eines Kondensators ..................................................................... 190<br />
14.8. Halbleiterübergang............................................................................................. 192<br />
14.9. Dielektrische Schicht mit Raumladungszone..................................................... 193<br />
14.10. Kondensator mit verschiebbarem Dielektrikum ................................................ 194<br />
14.11. Kapazitive Dickenkontrolle................................................................................ 195<br />
14.12. Feldstärke in Raumladungsschicht..................................................................... 196<br />
14.<strong>13</strong>. Ladungsaufteilung.............................................................................................. 197<br />
14.14. Raumladungswolke ............................................................................................ 198<br />
14.15. Vakuumröhre...................................................................................................... 199<br />
14.16. Inhomogene Leitfähigkeit .................................................................................. 200<br />
14.17. Elektretmikrophon.............................................................................................. 202<br />
14.18. Grenzflächenladung ........................................................................................... 203<br />
14.19. Durchschlagspannung ........................................................................................ 204<br />
14.20. Strom durch Oxidschicht.................................................................................... 205<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 6 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
1. Zeit. Raum. Bewegung<br />
1.1. Laufweg des Lichts<br />
Welche Strecke legt das Licht während einer Nanosekunde im leeren Raum zurück?<br />
8 −1<br />
−9<br />
s = c ⋅t<br />
= 2,<br />
998⋅10<br />
ms ⋅10<br />
s = 0,<br />
2998m<br />
0<br />
1.2. Atomare Abmessungen<br />
Welche ungefähren Durchmesser schreiben wir Atomkernen und ganzen Atomen zu?<br />
Angenommen, Sie könnten den Durchmesser eines Atomkerns auf 10cm vergrößern.<br />
Welchen Durchmesser hätte dann etwa ein Atom?<br />
D<br />
D<br />
K<br />
A<br />
−1<br />
10<br />
10<br />
10<br />
≈ 10<br />
−15<br />
−10<br />
≈ 10<br />
−15<br />
−10<br />
m<br />
m<br />
m 14<br />
= 10<br />
m<br />
14<br />
m⋅10<br />
= 10<br />
4<br />
m<br />
1.3. Entfernungen<br />
Wie groß ist der Erdumfang, der Abstand zwischen Erde und Mond und zwischen Erde und<br />
Sonne? Wie lange braucht ein Signal, das sich mit der maximal möglichen Geschwindigkeit<br />
ausbreitet, um diese Strecken zu durchlaufen?<br />
Erdumfang 400.000km<br />
Mond-Erde 385.000km<br />
Sonne-Erde<br />
11<br />
1, 5⋅10<br />
m<br />
t<br />
t<br />
t<br />
UE<br />
EM<br />
ES<br />
7<br />
U E 4⋅10<br />
m<br />
= ≈ = 0,<br />
<strong>13</strong>3s<br />
8 −1<br />
c0<br />
3⋅10<br />
ms<br />
8<br />
RME<br />
3,<br />
85⋅10<br />
m<br />
= ≈ = 1,<br />
28s<br />
8 −1<br />
c0<br />
3⋅10<br />
ms<br />
8<br />
RES<br />
3,<br />
85⋅10<br />
m<br />
= ≈ = 500s<br />
8 −1<br />
c 3⋅10<br />
ms<br />
0<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 7 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
1.4. Richtungen<br />
Eine beliebige Richtung e lässt sich in Bezug auf ein kartesisches Koordinatensystem durch<br />
e = cos α e + cos α e + cos α e angeben.<br />
eine Entwicklung der Art ( x ) x ( y ) y ( z ) z<br />
i) αx αy αz geometrisch<br />
ii) Berechnen Sie αx, αy und αz für die Richtung des Ortsvektors r QP eines Punktes<br />
Q, ( xQ,<br />
yQ,<br />
zQ<br />
) = ( 2,<br />
31m;<br />
1,<br />
98m;<br />
0,<br />
47m<br />
) , in Bezug auf den Punkt<br />
, x , y , z = 1,<br />
19m;<br />
3,<br />
05 ; 1,<br />
26m<br />
.<br />
( ) ( m<br />
P P P P<br />
r<br />
QP<br />
=<br />
= 1,<br />
12me<br />
r<br />
QP<br />
=<br />
( 2,<br />
31m<br />
−1,<br />
19m)<br />
e + ( 1,<br />
98m<br />
− 3,<br />
05m)<br />
e ( 0, 47m<br />
−1,<br />
26m)<br />
−1,<br />
07me<br />
1,<br />
12²<br />
m²<br />
+ 1,<br />
07²<br />
m²<br />
+ 0,<br />
79²<br />
m²<br />
= 1,<br />
739m<br />
rQP<br />
eQP<br />
=<br />
rQP<br />
= 0,<br />
64ex<br />
− 0,<br />
62ey<br />
− 0,<br />
45ez<br />
12<br />
3 123<br />
12<br />
3<br />
cos(<br />
αx<br />
) cos(<br />
α ) cos(<br />
α )<br />
y<br />
z<br />
α x = arccos(<br />
0,<br />
64)<br />
= 0,<br />
88<br />
α y = arccos(<br />
0,<br />
62)<br />
= 0,<br />
90<br />
α = arccos 0,<br />
45 = 1,<br />
z<br />
x<br />
y<br />
x<br />
( ) 10<br />
− 0,<br />
79me<br />
z<br />
)<br />
e<br />
y + z<br />
iii) Zeigen Sie, dass für eine Entwicklung dieser Art gilt:<br />
cos ² α cos²<br />
α + cos²<br />
α =<br />
( ) ( ) ( ) 1<br />
x<br />
+ y<br />
z<br />
r = r ⋅e<br />
= r ⋅cos<br />
α ⋅e<br />
+ r ⋅cosα<br />
⋅e<br />
+ r ⋅cosα<br />
⋅e<br />
x<br />
x<br />
� Betrag bilden (Pythagoras, nur ohne Wurzel angeschrieben)<br />
r²<br />
= r²<br />
⋅ cosα<br />
² + r²<br />
⋅ cosα<br />
² + r²<br />
⋅ cosα<br />
²<br />
( ) ( ) ( )<br />
x<br />
x<br />
1 = cos²<br />
α + cos²<br />
α + cos²<br />
α<br />
y<br />
y<br />
z<br />
y<br />
y<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 8 / 205<br />
z<br />
z<br />
z
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
1.5. Körper auf Kreisbahn<br />
Ein Körper (Sie können ihn als Punktmasse annehmen.) durchläuft eine Kreisbahn mit dem<br />
Radius r = 1,5m gleichförmig in der Umlaufzeit T = 0,6s. Geben Sie für jeden Punkt der<br />
Kreisbahn die Geschwindigkeit, die Beschleunigung und deren Richtung an.<br />
α<br />
t2 − t p = ⋅T<br />
2π<br />
Die Zeitdifferenz ist gleich der Umlaufzeit T mal dem<br />
eingeschlossenen Teilwinkel α (des gesamten Winkels 2π).<br />
r − r<br />
2 p<br />
v = lim<br />
2→P<br />
t2<br />
− tP<br />
Man lässt die Größe des Differenzvektors r2 P gegen 0<br />
streben, um den genauen Wert zu erhalten.<br />
r ⋅sinα<br />
v = lim ⋅eP<br />
α→0<br />
α ⋅T<br />
2π<br />
Der Differenzvektor kann aus dem Radius r und dem Winkel α (der gegen 0 strebt) berechnet<br />
werden.<br />
#<br />
2πr<br />
sinα<br />
= lim ⋅ ⋅eP<br />
α→0<br />
T α<br />
α 2πr<br />
2πr<br />
= lim ⋅ ⋅eP<br />
= ⋅eP<br />
= 15,<br />
7ms<br />
α→0<br />
α T T<br />
−1<br />
⋅e<br />
P<br />
sin(α) kann für sehr kleine α, z.B. lim<br />
mit α angenähert werden.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 9 / 205<br />
α→0
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
2. Körper und Teilchen. Masse und Stoffmenge<br />
2.1. Mittlere Massendichte<br />
Vergleichen Sie die mittleren Massendichten von Erde, Mond und Sonne.<br />
mE<br />
24<br />
= 5,<br />
97⋅10<br />
kg<br />
RE<br />
6<br />
= 6,<br />
37 ⋅10<br />
m<br />
Massen: mM<br />
22<br />
= 7,<br />
35⋅10<br />
kg Radien: RM<br />
6<br />
= 1,<br />
74⋅10<br />
m<br />
m<br />
30<br />
= 1,<br />
99⋅10<br />
kg<br />
R<br />
8<br />
= 6,<br />
91⋅10<br />
m<br />
m<br />
ρE<br />
=<br />
V<br />
ρ<br />
M<br />
E<br />
m<br />
=<br />
V<br />
m<br />
ρS<br />
=<br />
V<br />
S<br />
S<br />
E<br />
M<br />
M<br />
S<br />
24<br />
5,<br />
97 ⋅10<br />
kg<br />
=<br />
4π<br />
3<br />
22<br />
7,<br />
35⋅10<br />
kg<br />
=<br />
4π<br />
3<br />
30<br />
1,<br />
99⋅10<br />
kg<br />
=<br />
4π<br />
3<br />
6 ( 6,<br />
37 ⋅10<br />
m)<br />
6 ( 1,<br />
74⋅10<br />
m)<br />
8 ( 6,<br />
91⋅10<br />
m)<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
= 5,<br />
51⋅10<br />
kgm<br />
3<br />
= 3,<br />
3⋅10<br />
kgm<br />
3<br />
= 1,<br />
44⋅10<br />
kgm<br />
−3<br />
−3<br />
−3<br />
2.2. Teilchendichte in Kochsalz, Germanium und Kupfer<br />
Berechnen Sie die Dichte der Atome (Anzahl der Atome durch Volumen) in NaCl, Ge und<br />
Cu. Verwenden Sie dazu die stoffmengenbezogenen Massen M Na = 23g<br />
/ mol ,<br />
M Cl = 35g<br />
/ mol , M Ge = 73g<br />
/ mol , M Cu = 64g<br />
/ mol und die Massendichten<br />
3<br />
2, 16g<br />
/ cm , ρ<br />
3<br />
5, 36g<br />
/ cm , ρ<br />
3<br />
8, 92g<br />
/ cm .<br />
ρ NaCl =<br />
Ge =<br />
Cu =<br />
m = n ⋅ M = ρ ⋅V<br />
N = n ⋅ N A<br />
M NaCl = 1M<br />
Na + 1M<br />
Cl = 58g<br />
/ mol<br />
n ρ<br />
=<br />
V M<br />
N n<br />
= ⋅ N A<br />
V V<br />
ρNaCl<br />
=<br />
M NaCl<br />
3<br />
2,<br />
16g<br />
/ cm<br />
23 1<br />
22<br />
⋅ N A = ⋅6,<br />
02⋅10<br />
= 2,<br />
24⋅10<br />
cm<br />
58g<br />
/ mol mol<br />
� mal Faktor 2, weil Na + Cl, deshalb doppelt so viele Atome<br />
22 −3<br />
= 4,<br />
48⋅10<br />
cm<br />
⎛ N ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ V ⎠Ge<br />
ρGe<br />
= ⋅ N A<br />
M Ge<br />
3<br />
5, 369g<br />
/ cm<br />
23 −1<br />
22 −3<br />
=<br />
⋅6,<br />
02⋅10<br />
mol = 4,<br />
42⋅10<br />
cm<br />
73g<br />
/ mol<br />
� etwa gleich viele Atome wie bei NaCl<br />
⎛ N ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ V ⎠<br />
−3<br />
8, 92gcm<br />
23 −1<br />
22 −3<br />
= ⋅6,<br />
02⋅10<br />
mol = 8,<br />
39⋅10<br />
cm<br />
−1<br />
64gmol<br />
Cu<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 10 / 205<br />
S<br />
−3
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
2.3. Atome je Elementarwürfel<br />
NaCl, Ge und Cu kristallisieren in kubischen Gittern. Wie viele Atome sind bei diesen<br />
Substanzen im Elementarwürfel enthalten? Die Gitterkonstanten (= Seitenlängen der<br />
−10<br />
−10<br />
−10<br />
Elementarwürfel) betragen aNaCl = 5,<br />
63⋅10<br />
m , aGe = 5,<br />
65⋅10<br />
m , aCu = 3,<br />
6⋅10<br />
m .<br />
Verwenden Sie Ergebnisse aus Aufgabe 2.2.<br />
Anzahl der Atome im Elementarwürfel = Anzahldichte der Atme mal Elementarvolumen.<br />
N<br />
N E = VE<br />
V<br />
N 3<br />
= a<br />
V<br />
N<br />
22 −3<br />
−10<br />
3<br />
= 4,<br />
48⋅10<br />
cm ⋅ 5,<br />
63⋅10<br />
m = 8<br />
N<br />
N<br />
E<br />
E<br />
E<br />
NaCl<br />
Ge<br />
Cu<br />
22<br />
= 4,<br />
42⋅10<br />
cm<br />
22<br />
= 8,<br />
39⋅10<br />
cm<br />
−3<br />
−3<br />
⋅<br />
⋅<br />
( )<br />
−10<br />
3<br />
( 5,<br />
65⋅10<br />
m)<br />
≈<br />
−10<br />
3<br />
( 3,<br />
6⋅10<br />
m)<br />
≈ 4<br />
2.4. Atomare Masseneinheit<br />
8<br />
Die Definition des Mol fixiert zusammen mit der Avogadro-Konstanten den Wert der<br />
atomaren Masseneinheit 1u, der den 12ten Teil der Masse eines Atoms des Nuklids 12 C<br />
angibt. Bestimmen Sie diesen Wert.<br />
n =<br />
m<br />
N<br />
N<br />
N<br />
A<br />
nM<br />
= =<br />
N<br />
1<br />
1u<br />
= ⋅<br />
2<br />
m<br />
N<br />
M<br />
N<br />
A<br />
0,<br />
012kg<br />
/ mol<br />
=<br />
23<br />
6,<br />
022⋅10<br />
mol<br />
= 1,<br />
66⋅10<br />
−27<br />
kg<br />
−1<br />
= 1,<br />
99⋅10<br />
2.5. Ionen in einer Lösung<br />
−26<br />
kg<br />
0,012kg/mol weil 12 C,<br />
bei <strong>13</strong> C wären es<br />
0,0<strong>13</strong>kg/mol<br />
In 1l chemisch reinem Wasser wird 1mg Kochsalz gelöst. Wie groß sind dann die<br />
Teilchendichten der positiven Natriumionen und der negativen Chlorionen in der Lösung?<br />
Na: M = 23,<br />
0g<br />
/ mol Cl: M = 35,<br />
5g<br />
/ mol<br />
( M M )<br />
m = nNa<br />
⋅ M Na + nCl<br />
⋅ M Cl = n ⋅ Na + Cl<br />
Die n sind für gleiche Teilchenverteilung gleich.<br />
n =<br />
M<br />
Na<br />
m<br />
+ M<br />
Cl<br />
=<br />
N<br />
N<br />
A<br />
N N A ⋅ m<br />
=<br />
=<br />
V ( M Na + M Cl ) ⋅V<br />
58,<br />
5g<br />
⋅ mol ⋅10<br />
m<br />
= Anzahl der Moleküle = Anzahl der Na-Atome = Anzahl der Cl-Atome<br />
23<br />
−3<br />
6, 02⋅10<br />
mol ⋅10<br />
g<br />
22 −3<br />
16 −3<br />
= 1,<br />
03⋅10<br />
m = 1,<br />
03⋅10<br />
cm<br />
−3<br />
3<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 11 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
3. Impuls und Kraft. Kraftfelder. Allgemeine Felder<br />
3.1. Bremsen eines Fahrzeuges<br />
Ein Fahrzeug der Masse m = 800kg fährt auf einer geraden Straße mit der Schnelligkeit v =<br />
100km/h. Berechnen Sie den Impuls des Fahrzeuges und die mittlere Kraft, die aufgebracht<br />
werden muss, um das Fahrzeug innerhalb eines Zeitintervalls von Δt = 7s anzuhalten.<br />
p = m⋅<br />
v Da wir hier jedoch keine Vektorangaben haben, müssen wir mit skalaren<br />
Größen rechnen.<br />
3<br />
10 m<br />
3 kgm<br />
p = m⋅V<br />
= 800kg<br />
⋅100⋅<br />
= 22,<br />
2⋅10<br />
3600s<br />
s<br />
3<br />
Δv<br />
Δp<br />
22,<br />
2⋅10<br />
kgm kgm<br />
F = m⋅<br />
a = m ⋅ = =<br />
= 3<strong>13</strong>4 = 3<strong>13</strong>4N<br />
2<br />
2<br />
Δt<br />
Δt<br />
7s<br />
s<br />
3.2. Neutronensterne<br />
30<br />
Die sogenannten Neutronensterne besitzen etwa die Masse unserer Sonne ( ≈ 2⋅10<br />
kg ) und<br />
typische Durchmesser von etwa 20km. Ihre mittlere Massendichte ist ungefähr die eines<br />
Atomkerns.<br />
i) Wie groß ist diese mittlere Massendichte?<br />
ii) Wie schwer wäre nach dem Gravitationsgesetz von Newton ein Gewichtsstück der<br />
Masse von 1kg an der Oberfläche eines Neutronensterns?<br />
iii) Wie schwer wäre 1mm³ Neutronensternmaterie auf der Erde und welchen<br />
Durchmesser besäße eine Eisenkugel derselben Masse?<br />
i) Da wir nur den Durchmesser gegeben haben, müssen wir das Volumen des<br />
3<br />
4π<br />
⎛ d ⎞<br />
Neutronensterns mit der Kugelformel berechnen: V = ⎜ ⎟<br />
3 ⎝ 2 ⎠<br />
mN<br />
ρ N =<br />
VN<br />
mN<br />
=<br />
4π 3<br />
RN<br />
3<br />
30<br />
3mN<br />
⋅8<br />
6⋅<br />
2⋅10<br />
kg<br />
17 kg<br />
= =<br />
= 4,<br />
77 ⋅10<br />
3<br />
4 3<br />
3<br />
4πd<br />
N π ( 2⋅10<br />
m)<br />
m<br />
ii)<br />
2<br />
30<br />
m1m2<br />
−11<br />
Nm 1kg<br />
⋅ 2⋅10<br />
kg<br />
11<br />
F = G = 6, 67 ⋅10<br />
⋅<br />
= 3,<br />
335⋅10<br />
N<br />
2<br />
2<br />
2<br />
RN<br />
kg<br />
4 ( 2⋅10<br />
m)<br />
Achtung: Im Buch steht eine andere Lösung, weil mit 10km Radius statt 20km<br />
gerechnet wurde.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 12 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
iii) Wir berechnen zuerst die Masse der Neutronensternmaterie:<br />
17 kg −3<br />
3<br />
8<br />
m = ρ ⋅V<br />
= 4, 77 ⋅10<br />
⋅(<br />
10 m)<br />
= 4,<br />
77⋅10<br />
kg<br />
3<br />
m<br />
Um zu erhalten, wie schwer der die Materie auf der Erde ist, müssen wir die<br />
Gewichtskraft berechnen (nicht die Masse):<br />
8 m<br />
9<br />
FE = m ⋅ g = 4, 77⋅10<br />
kg ⋅9,<br />
81 = 4,<br />
68⋅10<br />
N<br />
2<br />
s<br />
3 kg<br />
Für die Berechnung der Eisenkugel brauchen wir zusätzlich die ρ Fe = 7,<br />
9⋅10<br />
. 3<br />
m<br />
3<br />
3<br />
4π<br />
⎛ dFe<br />
⎞ π ⋅ dFe<br />
mFe<br />
= ρ ⋅VFe<br />
= ρFe<br />
⋅ ⎜ ⎟ = ρFe<br />
⋅<br />
3 ⎝ 2 ⎠ 6<br />
d<br />
Fe<br />
=<br />
3<br />
m⋅<br />
6<br />
=<br />
ρ ⋅π<br />
3<br />
8<br />
4,<br />
77 ⋅10<br />
kg ⋅6<br />
3<br />
π ⋅7,<br />
9⋅10<br />
kg / m<br />
3<br />
= 48,<br />
67m<br />
3.3. Beschleunigen eines Elektrons<br />
−31<br />
Angenommen, ein freies Elektron ( me = 9,<br />
11⋅10<br />
kg,<br />
Q = −e<br />
) besitzt momentan die<br />
Geschwindigkeit Null und wird in einem elektrischen Feld der Stärke E = ( 100N<br />
/ C)e<br />
beschleunigt. In welche Richtung beginnt sich das Elektron zu bewegen? Welche<br />
Geschwindigkeit erreicht es nach Durchlaufen einer Strecke von 1cm und wie lang braucht es<br />
dazu?<br />
F = QE<br />
= −eE<br />
= −eEe<br />
Es bewegt sich entgegen der Richtung des elektrischen Feldes.<br />
Die Kraft F = −eEe<br />
ist auch gleich F = m⋅<br />
a .<br />
me<br />
⋅a<br />
= −eEe<br />
e<br />
a = − E<br />
me<br />
v = at<br />
1 2<br />
s = at<br />
2<br />
( Integrieren)<br />
v = 2as<br />
=<br />
e<br />
2<br />
m<br />
Es =<br />
−19<br />
2<br />
1,<br />
6⋅10<br />
C ⋅10<br />
kgm<br />
2<br />
⋅10<br />
−31<br />
2<br />
9,<br />
11⋅10<br />
kgs C<br />
t =<br />
v<br />
a<br />
=<br />
e<br />
e<br />
e<br />
2 Es<br />
me<br />
=<br />
e<br />
E<br />
m<br />
me<br />
2 s = 3,<br />
37 ⋅10<br />
e⋅<br />
E<br />
−8<br />
s<br />
−2<br />
m = 0,<br />
59⋅10<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite <strong>13</strong> / 205<br />
6<br />
m<br />
s
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
3.4. Coulomb-Wechselwirkung zweier Elektronen<br />
Skizzieren Sie maßstäblich richtig den Verlauf des Betrages der Kraft, mit der zwei<br />
−10<br />
Elektronen in Abständen von 0,<br />
5⋅10<br />
m bis m einander nach dem Coulomb-Gesetz<br />
abstoßen.<br />
10 −<br />
5,<br />
0⋅10<br />
Noch einige zusätzliche Angaben:<br />
−12<br />
ε = 8,<br />
854⋅10<br />
F / m<br />
0<br />
−19<br />
q = 1,<br />
602⋅10<br />
As<br />
Radius eines durchschnittlichen<br />
Atoms = 0,<br />
5⋅10<br />
−10<br />
1 Q1Q2<br />
= e …positives Vorzeichen weil Abstoßung<br />
4πε<br />
r<br />
F 2<br />
0<br />
1 q<br />
F(<br />
r)<br />
=<br />
4πε<br />
r<br />
0<br />
2<br />
2<br />
−12<br />
( 1,<br />
602⋅10<br />
C)<br />
2<br />
2<br />
Nm 1<br />
=<br />
⋅ = 2,<br />
306⋅10<br />
−12<br />
2 2<br />
4π<br />
⋅8,<br />
854⋅10<br />
C r<br />
m<br />
−28<br />
m<br />
N<br />
r<br />
Wir berechnen jetzt einige Werte, um die Abhängigkeit vom Radius skizzieren zu können:<br />
−28<br />
2<br />
−10<br />
2,<br />
306⋅10<br />
Nm<br />
−8<br />
F(<br />
0,<br />
5⋅10<br />
m)<br />
=<br />
= 9,<br />
23⋅10<br />
N<br />
−10<br />
2<br />
( 0,<br />
5⋅10<br />
m)<br />
−10<br />
−10<br />
F(<br />
5⋅10<br />
m)<br />
= 9,<br />
23⋅10<br />
N<br />
−10<br />
−8<br />
F(<br />
1⋅10<br />
m)<br />
= 2,<br />
3⋅10<br />
N<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 14 / 205<br />
2<br />
2
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
3.5. Coulomb-Kraft und Gravitationskraft<br />
Zwei gleichartige Teilchen stehen über die Coulomb-Kraft und über die Gravitationskraft<br />
miteinander in Wechselwirkung. Wie groß müsste das Verhältnis Ladung durch Masse sein,<br />
wäre der Betrag der Coulbomb-Kraft gleich dem der Gravitationskraft? Wie groß ist dieses<br />
Verhältnis für Elektronen?<br />
2<br />
2<br />
1 Q m<br />
⋅ = G 2<br />
2<br />
4πε<br />
r r<br />
0<br />
2<br />
Q<br />
= G ⋅ 4π<br />
⋅ε<br />
2<br />
0<br />
m<br />
⎛ Q ⎞<br />
⎜ ⎟ =<br />
⎝ m ⎠<br />
G ⋅ 4π<br />
⋅ε<br />
0 = 4π<br />
⋅8,<br />
854⋅10<br />
Verhältnis für ein Elektron:<br />
Qe−<br />
=<br />
m<br />
q<br />
m<br />
−19<br />
1,<br />
602⋅10<br />
C<br />
=<br />
= 1,<br />
76⋅10<br />
−31<br />
9,<br />
11⋅10<br />
kg<br />
e−<br />
e<br />
−12<br />
11<br />
2<br />
C<br />
Nm<br />
C<br />
kg<br />
2<br />
⋅6,<br />
67 ⋅10<br />
−11<br />
m<br />
N<br />
kg<br />
2<br />
2<br />
= 8,<br />
61⋅10<br />
4. Arbeit und Leistung. Energie. Wärme und Temperatur<br />
4.1. Normalprojektion<br />
Berechnen Sie den Wert FS der Kraft ( ) x ( ) y ( ) z<br />
−11<br />
C<br />
kg<br />
F = 1 , 28N<br />
e + − 4,<br />
<strong>13</strong>N<br />
e + 0,<br />
11N<br />
e auf die<br />
Verschiebungsrichtung es = 0, 71ex<br />
+ 0,<br />
63ey<br />
− 0,<br />
31ez<br />
. Sie können dazu die Formel<br />
F = F cos α + F cos α + F cos α verwenden. Wie ist diese Formel zu begründen?<br />
s<br />
F s<br />
=<br />
x<br />
( ) ( ) ( )<br />
x<br />
y<br />
y<br />
( 1, 28⋅<br />
0,<br />
71−<br />
4,<br />
<strong>13</strong>⋅<br />
0,<br />
62 − 0,<br />
11⋅<br />
0,<br />
31)<br />
N = −1,<br />
73N<br />
z<br />
z<br />
mathematische Begründung dafür:<br />
Fs = F cos(α )<br />
Diese Darstellung lässt sich auf entsprechend dem kartesischen Koordinatensystem zerlegen:<br />
F = F cos α<br />
F<br />
F<br />
x<br />
y<br />
z<br />
= F cos<br />
= F cos<br />
( )<br />
Fx<br />
( α )<br />
F<br />
y<br />
( α )<br />
Fz<br />
Der Cosinus des Winkels von Fs ergibt sich aus den Multiplikationen der Einzelwinkel (für<br />
cos α = cos α cos α + cos α cos α + cos α cos α<br />
alle Achsen): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )<br />
Fx x<br />
Fy<br />
y<br />
Fz<br />
Wir setzen in die Formel Fs = F cos(α ) ein:<br />
F = F cos α cos α + cos α cos α + cos α cos α<br />
[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]<br />
s Fx<br />
x<br />
Fy<br />
y<br />
Fz<br />
und heben z.B. Fx F cos(<br />
α F ) x<br />
F = F cos ( α ) + F cos(<br />
α ) + F cos(<br />
α )<br />
s<br />
x<br />
x<br />
= heraus – dadurch erhalten wir:<br />
y<br />
y<br />
z<br />
z<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 15 / 205<br />
z<br />
z
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
4.2. Homogenes Kraftfeld<br />
Zeigen Sie, dass ein räumlich konstantes Feld (Feldstärke an jedem Ort gleich) konservativ<br />
ist.<br />
konservatives Kraftfeld: Die Arbeit entlang einer geschlossenen Kurve ist Null.<br />
Wir zeichnen ein konstantes Kraftfeld, und zerlegen es in Feldrichtung in diskrete<br />
Teilstrecken Δx. Nun zeichnen wir eine beliebige geschlossene Kurve (mit Bezugssinn) ein.<br />
Da wir als Beweis nur endliche Werte addieren können, nähern wir die Kurve mit Hilfe des<br />
Teilstreckenrasters an. (Was eine geschlossene eckige Kurve ergibt.) Bewegen wir uns auf<br />
unserem Raster in Feldrichtung, gewinnen wir Arbeit, bewegen wir uns gegen die<br />
Feldrichtung, benötigen wir Arbeit, bewegen wir uns normal auf die Feldrichtung, wird keine<br />
Arbeit benötigt (Normalprojektion = 0). Wir beweisen die Richtigkeit für diese eckige<br />
Annäherung, da die Aussage auch für eine beliebig feine Zerlegung gelten muss (Δx � 0)<br />
A(<br />
C)<br />
=<br />
n<br />
∑<br />
k=<br />
1<br />
fsk<br />
⋅ s<br />
k<br />
Da wir ein konstantes Kraftfeld haben, ist f in jedem Punkt gleich und kann herausgehoben<br />
werden:<br />
A(<br />
C)<br />
= f<br />
n<br />
∑<br />
k=<br />
1<br />
s<br />
k<br />
Wir beginnen beim Startpunkt (mit Pfeil markiert) in Bezugsrichtung zu addieren. Ich werde<br />
nur immer gleich die Strecken addieren und nicht die Strecke aus den Koordinaten berechnen<br />
( 2 −1)<br />
= 1,<br />
6 − 3 = 3,<br />
etc.<br />
Immer wenn wir uns normal zur Feldrichtung bewegen wird keine<br />
Kraft benötigt.<br />
( 1 + 1+<br />
3 + 1−1<br />
− 3 −1−<br />
1)<br />
= ⋅0<br />
= 0<br />
A = f ⋅<br />
f<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 16 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
4.3. Zuggarnitur<br />
Der elektrische Antrieb einer Zuggarnitur nimmt beispielsweise während eines Fahrspiels die<br />
6<br />
Leistung (Siehe Skizze) auf ( 1MW<br />
= 10 W ) .<br />
i) Wie groß ist die während dieses Fahrspiels insgesamt verbrauchte elektrische<br />
Energie?<br />
ii) Wie groß ist die mittlere aufgenommene Leistung?<br />
W<br />
=<br />
t<br />
2<br />
∫ P(<br />
t)<br />
dt = ∑ Pk<br />
⋅ Δ<br />
t<br />
1<br />
k<br />
t<br />
k<br />
I. Wir berechnen jeweils die Fläche unter der Kurve:<br />
W = W + W + W<br />
gses<br />
120s<br />
⋅7MW<br />
W1<br />
=<br />
= 420MJ<br />
2<br />
W2<br />
= 2MW<br />
⋅600s<br />
= 1,<br />
2GJ<br />
− 7MW<br />
⋅60s<br />
W3<br />
=<br />
= −210MJ<br />
2<br />
W = 420MJ<br />
+ 1,<br />
2GJ<br />
− 210MJ<br />
= 1,<br />
41GJ<br />
ges<br />
1<br />
2<br />
3<br />
Die Lösung kann auch mittels Integration erfolgen:<br />
120s<br />
120s<br />
2 2<br />
7MW<br />
7MW<br />
t²<br />
7MW<br />
⋅120<br />
s 1 7MW<br />
⋅120s<br />
W1<br />
= ∫ ⋅t<br />
⋅dt<br />
= ⋅ =<br />
⋅ =<br />
120s<br />
120s<br />
2 0 120s<br />
2 2<br />
0<br />
II. Für die mittlere Leistung müssen wir auch die Zeit berücksichtigen, in der keine<br />
Leistung benötigt wird (Stillstand).<br />
Wges<br />
1,<br />
41GJ<br />
P = = = 1,<br />
68MW<br />
t 840s<br />
ges<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 17 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
4.4. Crash-Testanlage<br />
In einer Crash-Testanlage wird ein Fahrzeug samt Schlitten, m = 900kg, über einen<br />
elektrischen Linearmotor durch eine Strecke s = 20m mit der konstanten Kraft F = 5kN<br />
gleichförmig beschleunigt.<br />
i) Wie groß ist die dazu nötige elektrische Energie in kWh bei Vernachlässigung<br />
aller Verluste?<br />
ii) Wie groß ist die erreichte Endgeschwindigkeit?<br />
Währen des anschließenden Aufprallvorganges wird das Fahrzeug innerhalb einer Strecke<br />
von s1 = 80cm zum Stillstand gebracht.<br />
iii) Wie groß ist die mittlere Kraft, die dabei auf einen fiktiven, angegurteten<br />
Insassen, m1 = 80kg, wirkt?<br />
3<br />
5<br />
5 5<br />
5 h<br />
I. Wel = F ⋅ s = 5⋅10<br />
N ⋅ 20m<br />
= 10 Nm = 10 J = 10 Ws = 10 W ⋅ = 0,<br />
0278kWh<br />
3600<br />
II.<br />
2<br />
m⋅<br />
v<br />
Wkin<br />
= Wel<br />
=<br />
2<br />
5 2<br />
2Wel<br />
2⋅10<br />
kgm m<br />
v = =<br />
= 14,<br />
9<br />
2<br />
m 900kgs<br />
s<br />
III. Die kinetische Energie muss gleich der Kraft auf den Insassen sein (Kraft erzeugt<br />
Gegenkraft).<br />
2<br />
m1<br />
⋅v<br />
= F1<br />
⋅ s1<br />
2<br />
2<br />
−1<br />
2<br />
m1v<br />
80kg<br />
⋅(<br />
14,<br />
9ms<br />
) F1<br />
= =<br />
= 11,<br />
1kN<br />
2s<br />
2⋅<br />
0,<br />
8m<br />
1<br />
4.5. Handhabungsgerät<br />
Von einem Handhabungsgerät H (siehe<br />
Skizze) sollen Werkstücke der Masse m =<br />
20kg entlang einer vertikalen Kreisbahn<br />
vom Ort 1 an den Ort 2 gebracht werden,<br />
wobei<br />
500 Stück/Stunde zu fördern sind. Wie<br />
groß ist die dafür benötigte mittlere<br />
Leistung? Vernachlässigen Sie für diese<br />
Abschätzung alle Energieverluste.<br />
Da wir wissen, dass normal auf die Kraftrichtung (g also nach unten) keine Arbeit benötigt<br />
wird, sind die 2,5m belanglos und wir weiters wissen, dass wir Arbeit, die wir zu viel<br />
reinstecken (Kreisbogen geht über Punkt 2) wieder zurückbekommen, können wir einfach nur<br />
mit der Höhe rechnen.<br />
W = m ⋅ g ⋅h<br />
1<br />
P = W<br />
1<br />
Stück<br />
t<br />
=<br />
Stück<br />
mgh<br />
t<br />
m 500<br />
= 20kg<br />
⋅9,<br />
81 ⋅3m<br />
⋅ = 81,<br />
8W<br />
s²<br />
3600s<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 18 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
4.6. Wasserkraftwerk<br />
i) Berechnen Sie den Energiestrom, der einem Wasserdurchsatz von 1m³/s bei einer<br />
Fallhöhe von 1m in einer Wasserturbine zukommt.<br />
ii) Angenommen, in einer Turbinen-Generator-Einheit werden ca. 70% des primären<br />
Energiestroms in eine elektrische Leistung von 150MW umgesetzt. Wie groß ist<br />
bei einer Fallhöhe von 43m der erforderliche Wasserdurchsatz?<br />
I. Die Dichte von Wasser wird als bekannt vorausgesetz.<br />
= mgh<br />
II.<br />
W pot<br />
P =<br />
W<br />
t<br />
=<br />
mgh<br />
t<br />
ρ ⋅V<br />
⋅ g ⋅ h kg 1m³<br />
m<br />
= = 1000 ⋅ ⋅9,<br />
81 ⋅1m<br />
= 9810W<br />
t<br />
m³<br />
1s<br />
s²<br />
ρ ⋅V<br />
⋅ g ⋅h<br />
Pmech<br />
⋅η<br />
= η = Pel<br />
t<br />
6 2 3 2<br />
V Pel<br />
150⋅10<br />
kgm m s<br />
= =<br />
t η ⋅ g ⋅ h 0,<br />
7⋅1000kg<br />
⋅ 43m<br />
⋅9,<br />
81m<br />
⋅ s<br />
4.7. Brunnenpumpe<br />
3<br />
m<br />
= 508<br />
s<br />
Eine elektromotorisch angetriebene Brunnenpumpe soll Wasser aus 6m Tiefe mit einem<br />
Volumenstrom von 2000 l/h fördern. Der Wirkungsgrad der Pumpe beträgt etwa 40%, der des<br />
Motors etwa 70%. Ein Motor welcher Leistung (= abgegebene mechanische Leistung) ist<br />
dazu erforderlich?<br />
mgh Vρgh<br />
P = = =<br />
η t η t<br />
P<br />
P<br />
3 kg m<br />
m ⋅1000<br />
⋅9,<br />
81 ⋅6m<br />
3<br />
m s = 82W<br />
0,<br />
4⋅<br />
3600s<br />
2 2<br />
Achtung: Da die vom Motor abgegebene mechanische Leistung gefragt ist, ist der<br />
Wirkungsgrad des Motors selbst egal. Dieser η M wäre nur von Bedeutung, wenn die vom<br />
Motor aufgenommene Leistung gefragt wäre.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 19 / 205<br />
3
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
4.8. Energiestrom der Sonne<br />
26<br />
Die Sonne sendet insgesamt einen Energiestrom von 3, 85⋅10<br />
W aus.<br />
i) Wie groß ist die Energiestromdichte an der Sonnenoberfläche? (Sonnenradius<br />
8<br />
RS = 6, 91⋅10<br />
m )<br />
ii) Wie groß ist die Stromdichte der Sonnenenergie beim Eintritt in die<br />
Erdatmosphäre auf der Verbindungslinie Erde-Sonne? (Abstand<br />
11<br />
RSE = 1, 5⋅10<br />
m )<br />
iii) Etwa 30% der insgesamt auf die Erdatmosphäre treffenden Sonnenstrahlung<br />
werden sofort reflektiert. Wie groß ist ungefähr der Storm an Sonnenenergie,<br />
der die Erdoberfläche erreicht? Was passiert letztlich mit diesem<br />
Energiestrom?<br />
I.<br />
S<br />
S<br />
PS<br />
=<br />
A<br />
S<br />
=<br />
P<br />
3,<br />
85 ⋅10<br />
4π<br />
W<br />
MW<br />
26<br />
S<br />
2<br />
4πRS =<br />
= 64,<br />
2<br />
m<br />
8 2<br />
2<br />
( 6,<br />
91⋅10<br />
m)<br />
II. Wir haben die Energiestromdichte an der Sonnenoberfläche berechnet. Wir<br />
können die Energiestromdichte an der Erdoberfläche also direkt über den<br />
Radius der Erde von der Sonne und dem Energiestrom berechnen, oder über<br />
die bereits bekannte Dichte an der Sonnenoberfläche.<br />
2<br />
2<br />
8<br />
2<br />
PS<br />
SS<br />
⋅ 4πR<br />
⎛ R ⎞<br />
6 W ⎛<br />
S<br />
S<br />
6,<br />
91⋅10<br />
m ⎞ kW<br />
SE<br />
= = = S 64,<br />
2 10<br />
1,<br />
36<br />
2<br />
2 S<br />
=<br />
2<br />
11<br />
2<br />
4 RSE<br />
4 R ⎜<br />
SE R ⎟ = ⋅<br />
SE<br />
m ⎜<br />
1,<br />
5 10 m ⎟<br />
π π ⎝ ⎠<br />
⎝ ⋅ ⎠ m<br />
III. Wir berechnen den Flächeninhalt der Erde (als Kreis angenommen, Wölbung<br />
wird vernachlässigt).<br />
2<br />
3 W<br />
6 2<br />
17<br />
PE = ( 1− refl)<br />
SEπ<br />
RE<br />
= 0,<br />
7 ⋅1,<br />
36⋅10<br />
π ( 6,<br />
37 ⋅10<br />
m)<br />
= 1,<br />
21⋅10<br />
W<br />
2<br />
m<br />
Dieser Energiestrom wird wieder von der Erde abgestrahlt.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 20 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
4.9. Solarthermisches Kraftwerk<br />
In einem solarthermischen Kraftwerk wird<br />
Sonnenenergie der Energiestromdichte S über<br />
nachgeführte Spiegel Sp in der Form parabolischer<br />
Zylinder (siehe Skizze) der Länge (senkrecht zur<br />
Zeichenebene) L = 4m und der Weite a = 1m jeweils<br />
ein Rohr R (Länge L) zugeführt, das entlang der<br />
Brennlinie verläuft. Das Rohr wird von Wasser<br />
( c = 4, 19kJ<br />
/( kgK))<br />
mit dem Volumenstrom<br />
V & = 0,<br />
1 l / s durchsetzt. Nehmen Sie einen Spiegel- und<br />
Absorptionswirkungsgrad von zusammen 75% an und<br />
berechnen Sie die Temperaturerhöhung des Wassers<br />
nach Durchlaufen des Rohres.<br />
Der Spiegel konzentriert das Licht der Höhe a (1m) auf die Länge L (4m) des Rohres R. Die<br />
2<br />
effektive Fläche ist also A = a ⋅ L = 4m .<br />
ρ ⋅V<br />
⋅c<br />
⋅ Δϑ<br />
Thermische Leistung: P = ηaLS =<br />
= ρ ⋅V&<br />
⋅c<br />
⋅ Δϑ<br />
t<br />
Temperaturerhöhung:<br />
kW<br />
0, 75⋅1m<br />
⋅ 4m<br />
⋅0,<br />
8<br />
ηaLS<br />
2<br />
Δϑ = =<br />
m = 5,<br />
73K<br />
= 5,<br />
73°<br />
C<br />
V&<br />
ρc<br />
l kg kWs<br />
0,<br />
1 ⋅1<br />
⋅ 4,<br />
19<br />
s l kgK<br />
4.10. Anschlussleistung eines Durchlauferhitzers<br />
Angenommen, Sie wollen einen elektrischen Durchlauferhitzer ohne Speicher entwerfen, der<br />
einen Wasserstrom von 0,1 l/s von 10°C auf 60°C erwärmt. Wie groß ist die mindestens<br />
erforderliche elektrische Anschlussleistung? (Spezifische Wärmekapazität von Wasser:<br />
c = 4, 19kJ<br />
/( kgK)<br />
)<br />
W<br />
therm<br />
= m ⋅c<br />
⋅ Δϑ<br />
W m⋅<br />
c ⋅ Δϑ<br />
ρ ⋅V<br />
⋅c<br />
⋅ Δϑ<br />
kg<br />
Pel<br />
= = =<br />
= ρ ⋅V&<br />
⋅c<br />
⋅ Δϑ<br />
= 1000 ⋅0,<br />
1⋅10<br />
3<br />
t t t<br />
m<br />
= 20,<br />
95kW<br />
−3<br />
m<br />
s<br />
3<br />
3<br />
⋅ 4,<br />
19⋅10<br />
J<br />
kgK<br />
⋅50K<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 21 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
5. Schwingungen und Wellen. Licht<br />
5.1. Kenngrößen einer harmonischen Schwingung<br />
Die Schwingung in einem Punkt einer schallabstrahlenden Fläche werde durch<br />
3 −1<br />
α = ( 3µm)<br />
⋅sin[<br />
( 9,<br />
43⋅10<br />
s ) t]<br />
beschrieben. Geben sie die Amplitude, die Schwingungsbreite,<br />
die Frequenz, die Kreisfrequenz und die Periodendauer dieser Schwingung an.<br />
Amplitude aˆ = 3µm<br />
Schwingungsbreite 2 aˆ = 6µm<br />
Kreisfrequenz<br />
3 −1<br />
ω = 9,<br />
43⋅10<br />
s<br />
Frequenz<br />
3 −1<br />
ω 9,<br />
43⋅10<br />
s<br />
f = =<br />
= 1,<br />
5kHz<br />
2π<br />
2π<br />
Periodendauer<br />
1<br />
T = = 0,<br />
67ms<br />
f<br />
5.2. Schallwelle<br />
Stellen Sie eine harmonische Schallwelle in Luft (Ausbreitungsgeschwindigkeit c ≈ 340m<br />
/ s )<br />
mit der Verschiebungsamplitude aˆ = 10µm<br />
und der Frequenz f = 440Hz<br />
durch eine<br />
Sinusfunktion dar.<br />
( kx − t)<br />
a = aˆ<br />
sin ω<br />
aˆ<br />
= 10µm<br />
3<br />
ω = 2πf<br />
= 2π<br />
⋅ 440Hz<br />
= 2,<br />
76⋅10<br />
s<br />
3 −1<br />
ω 2,<br />
76⋅10<br />
s<br />
−1<br />
k = =<br />
= 8,<br />
<strong>13</strong>m<br />
−1<br />
c 340ms<br />
−1<br />
−1 3 −1<br />
( 8,<br />
<strong>13</strong>m<br />
⋅ x − 2,<br />
76⋅10<br />
s t)<br />
a = 10 µm<br />
⋅<br />
⎡ ⎛ x t ⎞⎤<br />
Kann auch mit der Formel a = aˆ<br />
sin⎢2π<br />
⎜ − ⎟⎥<br />
berechnet werden.<br />
⎣ ⎝ λ T ⎠⎦<br />
λ =<br />
T<br />
=<br />
c<br />
f<br />
340ms<br />
= −<br />
440s<br />
1 1<br />
=<br />
f 440s<br />
−1<br />
−1<br />
1<br />
= 0,<br />
77m<br />
= 2,<br />
27ms<br />
⎡ ⎛ x t ⎞⎤<br />
a = 10µm⎢2π<br />
⎜ − ⎟⎥<br />
⎣ ⎝ 0,<br />
77m<br />
2,<br />
27ms<br />
⎠⎦<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 22 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
5.3. Elektromagnetische Welle<br />
In einer elektromagnetischen Sinuswelle der Frequenz f = 10GHz<br />
liegen der erste und der<br />
26. Nulldurchgang in einem Abstand von 3,47mm. Berechnen Sie die Kreiswellenzahl und<br />
die Wellenlänge.<br />
Achtung: 26 Nulldurchgänge entsprechen 25 Halbwellen!<br />
26 −1<br />
nλ<br />
= = 12,<br />
5<br />
2<br />
3,<br />
47mm<br />
12,<br />
5⋅<br />
λ = 3,<br />
47mm<br />
→ λ = = 0,<br />
2776mm<br />
12,<br />
5<br />
2π<br />
2π<br />
−1<br />
k = =<br />
= 22633,<br />
95m<br />
− 3<br />
λ 0,<br />
2776⋅10<br />
m<br />
Achtung: Obwohl in der Angabe 3,47mm steht, wird im Buch bei der Lösung mit 347mm<br />
gerechnet.<br />
5.4. Ultrakurzwellenbereich<br />
Der UKW-Bereich des Hörfunks benutzt das Frequenzband von 87,5MHz bis 108MHz.<br />
Welchem Wellenlängenbereich entspricht das?<br />
c<br />
λ1<br />
=<br />
f<br />
0<br />
1<br />
c<br />
λ2<br />
=<br />
f<br />
0<br />
8 −<br />
3⋅10<br />
ms<br />
=<br />
6<br />
87,<br />
5⋅10<br />
s<br />
8<br />
3⋅10<br />
ms<br />
=<br />
6<br />
108⋅10<br />
s<br />
1<br />
−1<br />
−1<br />
−1<br />
= 3,<br />
43m<br />
= 2,<br />
78m<br />
Das Frequenzband von 87,5MHz bis 108MHz liegt im Wellenlängenbereich von 2,78m bis<br />
3,43m.<br />
5.5. Strahlstärke<br />
Eine annähernd punktförmige Strahlungsquelle emittiert räumlich gleichmäßig verteilt den<br />
Energiefluss P = 73J<br />
/ s in den umgebenden Raum. Wie groß ist die Strahlstärke?<br />
Strahlstärke<br />
P 73W<br />
W<br />
I = = = 5,<br />
81<br />
Ω 4πsr<br />
sr<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 23 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
6. Elektrische Ladungen, Ströme und Spannungen<br />
6.1. Raumladungsdichte<br />
Zur Erhöhung der Ladungsträgerkonzentration in halbleitendem Silizium (1cm³ Silizium<br />
22<br />
enthält 5⋅10<br />
Atome) werden in das Kristallgitter der 4-wertigen Si-Atome z.B. 5-wertige<br />
Phosphoratome eingebaut (n-Dotierung). Die P-Atome stellen das überschüssige<br />
Valenzelektron zur Stromleitung ab. Eine typische Dotierungsrate ist ein P-Atom in einer<br />
Million Si-Atome. Wie groß ist die mittlere Ladungsdichte des Gitters allein?<br />
N<br />
N<br />
n<br />
n<br />
n<br />
Si<br />
p<br />
Si<br />
p<br />
= 10<br />
e,<br />
frei<br />
→ ρ<br />
10<br />
=<br />
1<br />
6<br />
= 5⋅10<br />
−6<br />
= n<br />
Gitter<br />
22<br />
⋅ n<br />
p<br />
cm<br />
Si<br />
−3<br />
→ ρ<br />
= −ρ<br />
= 10<br />
e,<br />
frei<br />
e,<br />
frei<br />
−6<br />
⋅5<br />
⋅10<br />
= 8⋅10<br />
22<br />
= −e<br />
⋅ n<br />
−3<br />
cm<br />
e,<br />
frei<br />
C<br />
cm<br />
−3<br />
3<br />
= 5⋅10<br />
16<br />
= −16⋅10<br />
cm<br />
−19<br />
−3<br />
C ⋅5<br />
⋅10<br />
6.2. Ladung und Stromstärke<br />
16<br />
cm<br />
−3<br />
= −8⋅10<br />
Durch den Querschnitt eines Leiters wird elektrische Ladung mit den in der Skizze<br />
dargestellten Zeitverläufen verschoben.<br />
i) Berechnen Sie für jeden Fall<br />
die Stromstärken in den<br />
einzelnen Zeitabschnitten.<br />
ii) Zeichnen Sie maßstabsgerecht<br />
die jeweiligen Zeitverläufe der<br />
Stromstärken.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 24 / 205<br />
−3<br />
C<br />
cm<br />
3
Kurve 1:<br />
I<br />
1<br />
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
−3<br />
10 C −<br />
= = 10<br />
1s<br />
Kurve 2:<br />
I<br />
I<br />
I<br />
1<br />
2<br />
3<br />
−3<br />
10 C<br />
= = 10<br />
1s<br />
= 0A<br />
3<br />
−3<br />
A<br />
A<br />
−3<br />
10 A<br />
= −2<br />
= −2⋅10<br />
1s<br />
Kurve 3:<br />
2π<br />
ω =<br />
T<br />
Iˆ<br />
= Qˆ<br />
⋅ω<br />
= 10<br />
( ωt)<br />
−3<br />
Q(<br />
t)<br />
= Qˆ<br />
sin<br />
I(<br />
t)<br />
= Q&<br />
( t)<br />
= Qˆ<br />
cos( ωt)<br />
⋅ω<br />
= Iˆ<br />
cos<br />
14243<br />
4<br />
A<br />
mal innerer Ableitung<br />
−3<br />
( ωt)<br />
2π<br />
C ⋅ = 314,<br />
16mA<br />
−3<br />
20⋅10<br />
s<br />
6.3. Laden und Entladen<br />
Mit einer Hochspannungsquelle wird elektrische Ladung über einen Ladestrom getrennt, der<br />
30s lang mit einer mittleren Stärke von 10 -5 A fließt. In einer Funkenentladung, die etwa 10 -6 s<br />
dauert, gleicht sich die Ladung wieder aus. Wie groß ist die mittlere Stärke des<br />
Entladestromes?<br />
Da sich die beiden Vorgänge ausgleichen, muss gelten: I 1t1<br />
= I2t2<br />
t1<br />
−5<br />
30s<br />
I2 = I1<br />
= 10 A = 300A<br />
−6<br />
t 10 s<br />
2<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 25 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
6.4. Driftgeschwindigkeit<br />
In einer Kupferschiene mit dem rechteckigen Querschnitt 1 cm× 7cm<br />
fließt ein Gleichstrom<br />
der Stärke I = 300A<br />
. Berechnen Sie die zugehörige Driftgeschwindigkeit der<br />
Leitungselektronen. (Cu: ρ = 8, 9g<br />
/ cm³<br />
, M = 64g<br />
/ mol , jedes Atom stellt im Mittel ein<br />
Leitungselektron zur Verfügung)<br />
Dichte der Leitungselektronen:<br />
23 −1<br />
−3<br />
N N Aρ<br />
6, 022⋅10<br />
mol ⋅8,<br />
9gcm<br />
22 −<br />
ne<br />
= = =<br />
= 8,<br />
37 ⋅10<br />
cm<br />
−1<br />
V M<br />
64gmol<br />
elektrische Stromdichte:<br />
I<br />
J = = −e<br />
⋅ ne<br />
⋅vD<br />
A<br />
Driftgeschwindigkeit:<br />
I<br />
− A<br />
vD<br />
= − = 2<br />
− 19<br />
Aen 7cm<br />
⋅1,<br />
6⋅10<br />
As ⋅8,<br />
37 ⋅10<br />
e<br />
6.5. Faraday-Konstante<br />
300 −3<br />
= −3,<br />
2⋅10<br />
22 −3<br />
cm<br />
3<br />
cm<br />
s<br />
= −32<br />
Beim Ladungstransport in Flüssigkeiten spielt die Faraday-Konstante F = eN A eine Rolle.<br />
Berechnen Sie den Wert.<br />
−19<br />
23 −1<br />
F = eN A = 1,<br />
602⋅10<br />
C ⋅6,<br />
022⋅10<br />
mol = 96486C<br />
/ mol<br />
6.6. Ladungstransport durch Ionen<br />
Beim sogenannten Galvanisieren werden positiv geladene Metallionen als Ladungsträger<br />
benutzt. Sie wandern zur negativ geladenen Elektrode (Kathode) und bilden dort einen<br />
dünnen Überzug. Wie groß ist die zu transportierende Ladungsmenge, um auf diese Weise<br />
1,118mg einwertigen Silbers (Ionenladung = e) an der Kathode abzuscheiden?<br />
( = 0,<br />
108kg<br />
/ mol )<br />
M Ag<br />
Masse m = nM Stoffmenge<br />
A N N n = / Faraday-Konstante<br />
Q = eN = n⋅<br />
e⋅<br />
N<br />
A<br />
=<br />
m<br />
M<br />
Ag<br />
⋅ F =<br />
−6<br />
, 118⋅10<br />
kg ⋅ mol<br />
⋅9,<br />
6486⋅10<br />
0,<br />
108kg<br />
1 4<br />
C<br />
mol<br />
µm<br />
s<br />
F = eN A<br />
= 1,<br />
00C<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 26 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
6.7. Wasserstofferzeugung<br />
i) Berechnen Sie die Elektrizitätsmenge, die nötig ist, um 1kg Wasserstoffgas (H2)<br />
durch Elektrolyse von Wasser (Abscheiden von H + -Ionen, M = 1g/mol) zu<br />
gewinnen.<br />
ii) Wie groß ist die dazu benötigte elektrische Energie in kWh, wenn die Spannung an<br />
der Elektrolysezelle 2V beträgt?<br />
i)<br />
3<br />
m 10 g<br />
Q = I ⋅t<br />
= e⋅<br />
N = n ⋅e<br />
⋅ N A = ⋅e<br />
⋅ N A = ⋅1,<br />
6⋅10<br />
M 1g<br />
/ mol<br />
−19<br />
As ⋅6,<br />
022⋅10<br />
23<br />
1<br />
7<br />
= 9,<br />
63⋅10<br />
C<br />
mol<br />
ii)<br />
7<br />
6<br />
6 Wj<br />
W = U ⋅ I ⋅t<br />
= U ⋅Q<br />
= 2V<br />
⋅9,<br />
63⋅10<br />
As = 192,<br />
6MJ<br />
= 192,<br />
6⋅10<br />
Ws = 192⋅10<br />
= 53,<br />
5kWh<br />
3600<br />
6.8. Herstellen von Kupferfolie<br />
Zur Herstellung einer Kupferfolie werden zweiwertige Kupferionen an einer langsam<br />
rotierenden Trommel galvanisch abgeschieden (Skizze). Wie groß ist die<br />
Abzugsgeschwindigkeit v einzustellen, wenn eine Stromstärke von 30A gewählt wird?<br />
(Kupfer: M = 63,<br />
7g<br />
/ mol , ρ = 8, 9g<br />
/ cm³<br />
)<br />
Volumenstrom<br />
m<br />
V& &<br />
= = b ⋅δ<br />
⋅ v<br />
ρ<br />
Massenstrom<br />
N&<br />
M<br />
m&<br />
= n&<br />
M =<br />
N A<br />
Ladungsstrom I = 2eN&<br />
(Weil es zweiwertige Kupferionen sind)<br />
m&<br />
M<br />
v = =<br />
ρ ⋅b<br />
⋅δ<br />
N A<br />
N&<br />
M<br />
=<br />
ρbδ<br />
2eN<br />
A<br />
I<br />
ρbδ<br />
−1<br />
63,<br />
7gmol<br />
⋅30A<br />
=<br />
3 −1<br />
−3<br />
2⋅<br />
96,<br />
4⋅10<br />
Asmol ⋅8,<br />
9gcm<br />
⋅15cm⋅10<br />
−3<br />
cm m<br />
= 0,<br />
0742 = 2,<br />
67<br />
cm s h<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 27 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
6.9. Vernickelung eines Blechteils<br />
Ein Metallblech von insgesamt 200cm² Oberfläche soll in einem Nickelsalzelektrolyten mit<br />
einer galvanisch abzuscheidenden Nickelschicht versehen werden. Zur Abscheidung des<br />
Nickels wird die Stromstärke I = 5A eingestellt, wobei die Stromausbeute für die Reduktion<br />
der Ni 2+ -Ionen 85% beträgt. Nach welcher Zeit hat die Nickelschicht eine Dicke von 50µm<br />
erreicht? (Nickel: ρ = 9, 0g<br />
/ cm³<br />
, M = 58,<br />
7g<br />
/ mol )<br />
Abzuscheidende Masse:<br />
−3<br />
−4<br />
2<br />
−6<br />
9⋅10 kg ⋅ 200⋅10<br />
m ⋅50⋅10<br />
m<br />
−3<br />
m = ρ Ad =<br />
= 9⋅10<br />
kg<br />
−6<br />
3<br />
10 m<br />
Anzahl der Ni 2+ -Ionen:<br />
N<br />
N A m<br />
=<br />
M<br />
23 −1<br />
6,<br />
022⋅10<br />
mol ⋅9<br />
⋅10<br />
=<br />
−3<br />
−1<br />
58,<br />
7⋅10<br />
kgmol<br />
Ladungsmenge:<br />
Q = 2 eN = η ⋅ I ⋅t<br />
−3<br />
kg<br />
22<br />
= 9,<br />
23⋅10<br />
−19<br />
22<br />
2eN<br />
2⋅1,<br />
6⋅10<br />
As ⋅9,<br />
23⋅10<br />
t = =<br />
= 6951,<br />
94s<br />
ηI<br />
0,<br />
85⋅<br />
5A<br />
6.10. Das Elektronvolt<br />
Zur Angabe von Energiemengen wird bei mikroskopischen Prozessen häufig die Einheit<br />
Elektronvolt (1eV) verwendet. Sie ist erklärt als Energiemenge, die ein Teilchen mit der<br />
Elementarladung e beim Durchlaufen einer Spannung von 1V erhält. Drücken Sie 1eV in der<br />
Einheit Joule aus.<br />
1eV<br />
= e⋅U<br />
= 1,<br />
602⋅10<br />
−19<br />
As ⋅1V<br />
= 1,<br />
602⋅10<br />
−19<br />
Ws = 1,<br />
602⋅10<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 28 / 205<br />
−19<br />
J
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
6.11. Reihenschaltung von Widerständen<br />
Durch die in der Skizze dargestellten Reihenschaltung von Widerständen fließt ein<br />
Gleichstrom I = 20mA.<br />
i)<br />
ii)<br />
i) Wie groß sind die Teilspannungen U1, U2, U3 (Bezugssinne beachten!) und wie<br />
groß ist die Gesamtspannung U?<br />
ii) Wie groß sind die Leistungen an den einzelnen Widerständen und wie groß ist<br />
die Gesamtleistung?<br />
U1<br />
= R1<br />
⋅ I = 10Ω<br />
⋅20mA<br />
= 0,<br />
2V<br />
U 2 = R2<br />
⋅(<br />
− I ) = −120Ω⋅<br />
20mA<br />
= −2,<br />
4V<br />
U3<br />
= R3<br />
⋅ I = 120Ω<br />
⋅ 20mA<br />
= 2,<br />
4V<br />
U = U −U<br />
+ U = 0,<br />
2V<br />
+ 2,<br />
4V<br />
+ 2,<br />
4V<br />
= 5V<br />
1<br />
2<br />
3<br />
P1<br />
= U1I<br />
= 4mW<br />
P2<br />
= −U<br />
2I<br />
= 48mW<br />
P3<br />
= −U<br />
3I<br />
= 48mW<br />
P = P + P + P = 4mW<br />
+ 48mW<br />
+ 48mW<br />
= 100mW<br />
1<br />
2<br />
3<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 29 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
6.12. Parallelschaltung von Widerständen<br />
An der in der Skizze dargestellten Parallelschaltung von Widerständen liegt die Spannung<br />
U = 5V.<br />
i) Wie groß sind die Teilströme I1, I2, I3? (Bezugssinne beachten!)<br />
ii) Wie groß sind die Leistungen an den einzelnen Widerständen und wie groß ist<br />
die Gesamtleistung?<br />
i)<br />
ii)<br />
I<br />
I<br />
I<br />
1<br />
2<br />
3<br />
U<br />
=<br />
R1<br />
5V<br />
= = 500mA<br />
10Ω<br />
−U<br />
− 5V<br />
= = = −416,<br />
7mA<br />
R2<br />
120Ω<br />
U<br />
=<br />
R<br />
5V<br />
=<br />
120Ω<br />
= 416,<br />
7mA<br />
3<br />
P1<br />
= U ⋅ I1<br />
= 5V<br />
⋅500mA<br />
= 2,<br />
5W<br />
P2<br />
= U ⋅(<br />
− I2<br />
) = 5V<br />
⋅(<br />
+ 416,<br />
7mA)<br />
= 208mW<br />
P3<br />
= U ⋅ I3<br />
= 5V<br />
⋅ 416,<br />
7mA<br />
= 208mW<br />
P = P + P + P = 2,<br />
5W<br />
+ 208mW<br />
+ 208mW<br />
= 2,<br />
92W<br />
1<br />
2<br />
3<br />
6.<strong>13</strong>. Leistung an einem Ohmschen Widerstand<br />
Zwischen den Anschlüssen eines Ohmschen Widerstandes von R = 1Ω liegen elektrische<br />
Spannungen mit den in Skizzen angegebenen Zeitverläufen.<br />
i) Berechnen Sie für jeden Fall die Stromstärken und die Momentanleistungen.<br />
Wie groß ist jeweils die mittlere Leistung?<br />
ii) Zeichnen Sie maßstabsgerecht die Zeitverläufe der Ströme und<br />
Momentanleistungen.<br />
iii) Wie groß sind die mittleren Leistungen, wenn Sie<br />
a. den n-fachen Widerstandswert bei gleichen Spannungsverläufen<br />
verwenden<br />
b. die Scheitelwerte der Spannungen bei gleichem Widerstand auf den nfachen<br />
Wert erhöhen?<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 30 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
Spannungsverlauf 1:<br />
U 1V<br />
I = = = 1A<br />
R 1Ω<br />
P = P = U ⋅ I = 1V<br />
⋅1A<br />
= 1W<br />
Widerstand auf den n-fachen Wert erhöhen:<br />
2<br />
U<br />
P =<br />
n⋅<br />
R<br />
P<br />
Pneu<br />
=<br />
n<br />
Spannung um das n-fache erhöhen:<br />
2<br />
= n P<br />
P neu<br />
Spannungsverlauf 2:<br />
U 1V<br />
I1<br />
= = = 1A<br />
R 1Ω<br />
U −1V<br />
I2<br />
= − = = −1A<br />
R 1Ω<br />
P1<br />
= U ⋅ I1<br />
= 1V<br />
⋅1A<br />
= 1W<br />
P2<br />
= −U<br />
⋅ I2<br />
= −1V<br />
⋅<br />
P1<br />
+ P2<br />
2W<br />
P = = = 1W<br />
2 2<br />
( −1A)<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 31 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
mittlere Leistung bei n-fachem Widerstand:<br />
P1<br />
P2<br />
+<br />
n n 1<br />
Pneu = = P<br />
2 n<br />
mittlere Leistung bei n-facher Spannung:<br />
2<br />
2<br />
( nU ) ( − nU )<br />
+<br />
2 2<br />
R R n P1<br />
+ n P2<br />
2<br />
Pneu =<br />
=<br />
= n P<br />
2<br />
2<br />
Spannungsverlauf 3:<br />
U 1V<br />
I1<br />
= = = 1A<br />
R 1Ω<br />
U −1V<br />
I2<br />
= − = = −1A<br />
R 1Ω<br />
P1<br />
= I1<br />
⋅U<br />
= 1W<br />
P2<br />
= I2<br />
⋅(<br />
−U<br />
) = 1W<br />
5ms<br />
⋅ P1<br />
+ 5ms<br />
⋅ P2<br />
1W<br />
P =<br />
= = 0,<br />
5W<br />
20ms<br />
2<br />
Es ergeben sich wieder die gleichen Faktoren wie bei den anderen Beispielen.<br />
Spannungsverlauf 4:<br />
U ( t)<br />
Uˆ<br />
sin<br />
I(<br />
t)<br />
= = =<br />
R R<br />
P(<br />
t)<br />
= U ( t)<br />
⋅ I(<br />
t)<br />
= 1V<br />
sin<br />
( ωt)<br />
1V<br />
sin(<br />
ωt)<br />
1Ω<br />
= 1Asin<br />
( ωt)<br />
2<br />
( ωt)<br />
⋅1Asin(<br />
ωt)<br />
= 1W<br />
sin ( ωt)<br />
Die Faktoren ergeben sich wieder gleich.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 32 / 205
i)<br />
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
6.14. Reichenschaltung Diode-Widerstand<br />
i) Zeichnen Sie maßstabsgerecht die Spannungs-Strom-Kennlie der Reihenschaltung<br />
(Skizze) einer Diode D mit der idealisierten Spannungs-Strom-Kennlinie<br />
(Skizze 2) und eines 2Ω Widerstandes für den Bereich 0 ≤ I ≤ 1A.<br />
ii) Welche Leistungen werden jeweils im Widerstand und in der Diode für I = 0,5A<br />
und für I = 1A umgesetzt?<br />
U D R<br />
= U + U = 0 , 7V<br />
+ 2Ω<br />
⋅ I<br />
Für das Zeichnen des Diagramms ist<br />
wesentlich<br />
U = 0,<br />
7V<br />
+ 2Ω<br />
⋅1A<br />
= 2,<br />
7V<br />
ii)<br />
P<br />
P<br />
P<br />
P<br />
max<br />
D0,<br />
5 A<br />
D1<br />
A<br />
R0<br />
, 5 A<br />
R1<br />
A<br />
= 0,<br />
7V<br />
⋅0,<br />
5A<br />
= 350mW<br />
= 0,<br />
7V<br />
⋅1A<br />
= 700mW<br />
= I<br />
2<br />
⋅ R =<br />
( 0,<br />
5A)<br />
2<br />
= 1A<br />
⋅ 2Ω<br />
= 2W<br />
2<br />
⋅ 2Ω<br />
= 500mW<br />
6.15. Stromaufnahme von Glühlampen<br />
Auf einer Glühlampe für einen Autoscheinwerfer sind z.B. die Daten 12V, 15W angegeben.<br />
Wie groß ist die zugehörige Stromstärke?<br />
P 15W<br />
P = U ⋅ I → I = = = 1,<br />
25A<br />
U 12V<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 33 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
6.16. Reihenschaltung von Glühlampen<br />
Zwei Glühlampen 12V, 15W bzw. 12V, 40W besitzen Spannungs-Strom-Kennlinien<br />
(Skizze). Angenommen, Sie schalten die beiden Lampen in Reihe an 12V (Skizze 2).<br />
i) Welche Werte von Stromstärke und Spannung kommen jeder der beiden<br />
Lampen etwa zu?<br />
ii) Wie groß ist ungefähr die jeweils aufgenommene Leistung?<br />
iii) Welche der beiden Lampen leuchtet heller?<br />
15W 40W<br />
grafische Lösung aus dem Buch:<br />
Da die abgelesenen Spannungswerte der beiden Lampen (1,2V und 7,5V) beim grafisch<br />
ermittelten Strom nicht 12V ergeben, lässt sich daraus schließen, dass die Kennlinie U = U1 +<br />
U2 nicht richtig eingezeichnet ist.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 34 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
grafische Ermittlung der Werte:<br />
Man verschiebt ein Lineal parallel zur Spannungsachse und ermittelt bei den Schnittpunkten<br />
mit den U-I-Kennlinien der Glühbirnen jeweils die Spannungen. Ist deren Summe gleich der<br />
Gesamtspannung (12V), so kann man auf der Stromachse den korrekten Wert für I ablesen<br />
(und natürlich die Spannungen U1 und U2 notieren).<br />
Wir rechnen mit den Werten aus dem Buch weiter:<br />
P1<br />
= U1<br />
⋅ I = 11V<br />
⋅1,<br />
15A<br />
= 12,<br />
65W<br />
P = U ⋅ I = 1V<br />
⋅1,<br />
15A<br />
= 1,<br />
15W<br />
2<br />
2<br />
Am hellsten wird die 15W Lampe leuchte, weil sie am nahesten bei ihrer geforderten<br />
Leistung betrieben wird. Wäre sie darüber, würde sie natürlich abbrennen.<br />
6.17. Stromaufnahme einer Zuggarnitur<br />
Eine elektrisch betriebene Zuggarnitur hat auf ebener Strecke bei 80km/h den Fahrwiderstand<br />
(Bremskraft) 22,5kN zu überwinden. Wie groß ist bei einer Gleichspannungsversorgung von<br />
850V die dabei auftretende Stromstärke, wenn der Wirkungsgrad des Antriebs 85% beträgt?<br />
P mech<br />
3 1000m<br />
= F ⋅v<br />
= 22,<br />
5kN<br />
⋅80km<br />
/ h = 22,<br />
5⋅10<br />
N ⋅80<br />
= 500kW<br />
3600s<br />
Die mechanische Leistung muss gleich der elektrischen sein:<br />
η ⋅ Pel<br />
= Pmech<br />
P = U ⋅ I<br />
el<br />
3<br />
Pel<br />
Pmech<br />
500⋅10<br />
VA<br />
I = = =<br />
= 692,<br />
02A<br />
U η ⋅U<br />
0,<br />
85⋅<br />
850V<br />
Achtung: Im Buch wird entgegen der Angabe mit 750V gerechnet.<br />
6.18. Antrieb eines Schiffskrans<br />
Der elektrische Gleichstromantrieb eines Schiffskrans ist so ausgelegt, dass eine Last von<br />
100t mit der Geschwindigkeit 0,5m/s gehoben werden kann (Nennbetrieb). Der<br />
Gesamtwirkungsgrad beträgt ca. 75%, die Spannung des Bordnetzes ist 600V<br />
(Nennspannung). Wie groß ist der Motorstrom im Nennbetrieb?<br />
Pmech<br />
= Fv = mgh<br />
η ⋅ Pel<br />
= Pmech<br />
P = U ⋅ I<br />
el<br />
5<br />
−2<br />
Pel<br />
Pmech<br />
mgh 10 kg ⋅9,<br />
81ms<br />
⋅0,<br />
5ms<br />
I = = = =<br />
U ηU<br />
ηU<br />
0,<br />
75⋅<br />
600V<br />
−1<br />
= 1090A<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 35 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
6.19. Schleifmaschinenantrieb<br />
Der Antriebsmotor einer<br />
Schleifmaschine (Skizze) wird<br />
über einen Gleichspannungszwischenkreis<br />
mit U = 270V<br />
gespeist, wobei die maximale<br />
Stromaufnahme mit I = 40A<br />
begrenzt ist. Berechnen Sie die<br />
von der Schleifscheibe<br />
maximal aufzubringende<br />
Umfangskraft, wenn der Motor<br />
und die Getriebe zusammen<br />
den Wirkungsgrad η = 78%<br />
besitzen.<br />
D<br />
Pel U I Pmech<br />
F v F 2 n F D n<br />
2<br />
UI 0,<br />
78 270V<br />
40A<br />
F<br />
64,<br />
35N<br />
4<br />
D n<br />
10<br />
0,<br />
25m<br />
60s<br />
=<br />
η = η ⋅ ⋅ = = ⋅ = ⋅ π ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅π<br />
⋅<br />
η ⋅ ⋅<br />
= =<br />
π<br />
⋅π<br />
⋅<br />
6.20. Beschleunigungsantrieb<br />
In einer Werkzeugmaschine soll ein Gleichstrommotor einen Schlitten der Masse m = 50kg<br />
aus dem Stillstand gleichförmig beschleunigen (Skizze). Nach einer Wegstrecke s = 1m soll<br />
die Geschwindigkeit v = 4m/s betragen. Welche Spannung U muss das Speisegerät maximal<br />
liefern, wenn während des Vorgangs ein konstanter Strom von I = 10A eingeprägt wird, der<br />
Widerstand des elektrischen Kreises mit R = 2Ω anzusetzen ist und andere Verluste<br />
(Reibungsverluste) vernachlässigt werden können?<br />
( 4m<br />
/ s)<br />
2<br />
v =<br />
2<br />
v<br />
2as<br />
→ a = =<br />
2s<br />
2⋅1m<br />
2<br />
= 8m<br />
/ s<br />
2 kgm<br />
F = m⋅<br />
a = 50kg<br />
⋅8m<br />
/ s = 400 = 400N<br />
2<br />
s<br />
2<br />
kgm<br />
Pmech<br />
= F ⋅v<br />
= 400N<br />
⋅ 4m<br />
/ s = 1600 = 1600W<br />
3<br />
s<br />
Pe<br />
= Pmech<br />
+ PR<br />
2<br />
2<br />
= 1600W<br />
+ I R = 1600W<br />
+ ( 10A)<br />
⋅ 2Ω<br />
= 1800W<br />
Pe<br />
1800W<br />
U = = = 180V<br />
I 10A<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 36 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
7. Physikalische Größen, Einheiten und Dimensionen<br />
7.1. Abgeleitete Dimensionen<br />
Stellen<br />
Sie die physikalischen Dimensionen der Massendichte, der Kraft, der elektrischen<br />
Feldstärke, der Energie, der elektrischen Ladungsdichte, der elektrischen Spannung und des<br />
elektrischen Widerstandes als Potenzprodukte der Basisdimensionen der Länge, Masse, Zeit<br />
und elektrischen Stromstärke dar.<br />
ρ<br />
F<br />
E<br />
A<br />
ρ<br />
U<br />
R<br />
m<br />
Q<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
m⋅<br />
a<br />
A<br />
Q<br />
U<br />
I<br />
m<br />
V<br />
F<br />
Q<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
m<br />
3<br />
s<br />
−3<br />
= L M<br />
m⋅<br />
s<br />
2<br />
t<br />
= LMT<br />
ms<br />
2<br />
t It<br />
2<br />
ms<br />
2<br />
t ⋅ It<br />
2<br />
ms<br />
3<br />
t I ⋅ I<br />
= LMT<br />
−3<br />
Fs =<br />
ms ⋅ s<br />
2<br />
t<br />
2<br />
= L MT<br />
Q<br />
V<br />
=<br />
It<br />
3<br />
s<br />
−3<br />
= L TI<br />
2<br />
= L MT<br />
2<br />
= L MT<br />
−2<br />
I<br />
−1<br />
−2<br />
−3<br />
I<br />
−3<br />
I<br />
−2<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 37 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
7.2. Abgeleitete Einheiten<br />
Geben Sie die kohärenten SI-Einheiten für den elektrischen Widerstand, die Leistung, die<br />
Arbeit, die elektrische Ladung, die Kraft, die elektrische Flächenladungsdichte und die<br />
elektrische Feldstärke jeweils als Potenzprodukt der SI-Basiseinheiten (abgekürzte<br />
Schreibweise) und als Potenzprodukt der Einheiten Meter, Sekunde, Volt und Ampere an.<br />
[ R]<br />
[ P]<br />
[ A]<br />
[ Q]<br />
[ F]<br />
[ σ ]<br />
[ E]<br />
2<br />
kgm V<br />
= 1 = 1 2 3<br />
A s A<br />
2<br />
kgm<br />
= 1 = 1VA<br />
3<br />
s<br />
2<br />
kgm<br />
= 1 = 1VAs<br />
2<br />
s<br />
= 1As<br />
= 1As<br />
kgm VAs<br />
= 1 = 1 2<br />
s m<br />
As As<br />
= 1 = 1 2 2<br />
m m<br />
kgm V<br />
= 1 = 1 3<br />
As m<br />
7.3. Einheiten des elektrostatischen cgs-Systems<br />
Das elektrostatische cgs-System verwendet als Basiseinheit für die Länge, die Masse und die<br />
Zeit die Werte 1cm, 1g, 1s. Abgeleitete Einheiten sind u.a. 1dyn = 1gcm/s² für die Kraft und<br />
1 erg = 1gcm²/s² für die Arbeit. Die Proportionalitätskonstante 1/(4πε0) im Coulomb-Gesetz<br />
wird als 1 angenommen und damit auf die Einführung einer elektrischen Basiseinheit<br />
verzichtet. Geben Sie die kohärenten Einheiten der elektrischen Ladung, der Stromstärke, der<br />
Spannung und des Widerstandes dieses Einheitensystems als Potenzprodukte der<br />
Basiseinheiten an.<br />
1 Q1Q2<br />
2 2<br />
Coulomb Gesetz: F = e → [ Q ] = [ Fr ]<br />
4<br />
21 3<br />
πε<br />
0<br />
= 1<br />
1<br />
1 3<br />
2<br />
[ Q]<br />
= [ F ⋅ r ] = ( 1dyn)<br />
2 ⋅(<br />
1cm)<br />
= ( 1g)<br />
2 ( 1cm)<br />
2 ( 1s)<br />
⎡Q<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎣ t ⎥<br />
⎦<br />
⎡ A⎤<br />
⎢<br />
Q<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
⎡U<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎣ I ⎥<br />
⎦<br />
1 3<br />
[] I = = ( 1g)<br />
2 ( 1cm)<br />
2 ( 1s)<br />
1 3<br />
1 1<br />
− − −2<br />
[ U ] = = ( 1erg)(<br />
1g)<br />
2 ( 1cm)<br />
2 ( 1s)<br />
= ( 1g)<br />
2 ( 1cm)<br />
2 ( 1s)<br />
−1<br />
[ R]<br />
= = ( 1cm)<br />
( 1s)<br />
−2<br />
r<br />
2<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 38 / 205<br />
−1<br />
−1
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
7.4. Aufstellen einer Zahlenwertgleichung<br />
Die Elektrotheorie der Metalle liefert für den Zusammenhang zwischen der elektrischen<br />
Leitfähigkeit γ, der Wärmeleitfähigkeit λ und der absoluten Temperatur T das Wiedemannn-<br />
Franz-Lorenz-Gesetz<br />
2 2<br />
λ π ⎛ k ⎞<br />
= ⎜ ⎟<br />
γT<br />
3 ⎝ e ⎠<br />
−23<br />
wobei k = 1,<br />
381⋅10<br />
J / K die Boltzmann-Konstante und e die Elementarladung bedeuten.<br />
Leiten Sie daraus auf formal korrekte Weise eine Zahlenwertgleichung ab, die Zahlenwerte<br />
von λ in Bezug auf die Einheit W/(Kcm) durch Zahlenwerte von γ und T in Bezug auf die<br />
Einheiten m/(Ωmm²) bzw. K darstellt.<br />
λ<br />
λ<br />
W / Kcm<br />
W / Kcm<br />
⋅<br />
W<br />
Kcm<br />
2<br />
π ⎛ 1,<br />
381⋅10<br />
= ⎜<br />
−<br />
3 ⎝1,<br />
602⋅10<br />
2<br />
π ⎛ 1,<br />
381 ⎞<br />
= ⎜ ⎟<br />
3 ⎝1,<br />
602 ⎠<br />
2<br />
⋅10<br />
−8<br />
K ⋅10<br />
W<br />
J ⎞<br />
KAs ⎟<br />
⎠<br />
−23<br />
19<br />
−2<br />
2<br />
⋅γ<br />
2<br />
m / Ωmm<br />
2 2<br />
m W s<br />
⋅ 2 2<br />
K A s<br />
Alle Größen müssen sich aufheben:<br />
2 2<br />
2 2<br />
2 2<br />
Km<br />
W s mAK<br />
m W s mA<br />
W s<br />
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =<br />
2 2 2 2<br />
2 2 2 2<br />
W K A s Vm W A s V m WA s<br />
λ<br />
−4<br />
W / Kcm = 2, 445⋅10<br />
⋅γ<br />
m / Ωmm<br />
2<br />
⋅T<br />
K<br />
2<br />
m<br />
Ωmm<br />
2<br />
T<br />
K<br />
mAK<br />
⋅ −6<br />
V ⋅10<br />
m<br />
2<br />
⋅<br />
A V<br />
=<br />
V V<br />
⋅ K<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⋅γ<br />
A<br />
A<br />
3<br />
3<br />
2<br />
m / Ωmm<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 39 / 205<br />
= 1<br />
⋅T<br />
K
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
7.5. Aufstellen einer Größengleichung<br />
Angenommen, Sie finden in der Literatur für einen nichtlinearen elektrischen Widerstand die<br />
0,<br />
25<br />
Angabe R = 2, 36U<br />
, R in kΩ, U in kV<br />
U ⎛ I ⎞<br />
Leiten Sie daraus eine Größengleichung der Form = f ⎜<br />
⎟ mit U0 = 1kV ab, die keine<br />
U 0 ⎝ I0<br />
⎠<br />
Zahlenfaktoren enthält. Wie groß ist I0?<br />
R Rk<br />
Ω ⋅1kΩ<br />
→ Rk<br />
R<br />
= Ω<br />
U = U<br />
kΩ<br />
=<br />
kV<br />
⋅1kV<br />
= U<br />
2,<br />
36<br />
⋅U<br />
0,<br />
25<br />
kV<br />
R ⎛ U ⎞<br />
= 2,<br />
36⎜<br />
⎟<br />
1kΩ<br />
⎝1kV<br />
⎠<br />
kV<br />
⎛ U ⎞<br />
R = 2,<br />
36kΩ⎜<br />
⎟<br />
⎝1kV<br />
⎠<br />
0,<br />
25<br />
0,<br />
25<br />
=<br />
⋅U<br />
R<br />
R<br />
0<br />
0<br />
, wobei R0 gleich 1kΩ ist.<br />
Im Verbraucherbezugssystem ergibt sich<br />
U 1 ⎛ U<br />
⋅ =<br />
2,<br />
36 ⎜<br />
I kΩ<br />
⎝U<br />
0<br />
U<br />
U<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛U<br />
1 ⎞<br />
= ⎜ ⋅ ⎟<br />
⎝ I 2,<br />
36kΩ<br />
⎠<br />
� U rausziehen:<br />
U<br />
U<br />
0<br />
U<br />
U<br />
0<br />
⎛ U<br />
⎜<br />
⎝U<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
−3<br />
4<br />
1<br />
4<br />
4⎛<br />
1 ⎞<br />
= U ⎜ ⎟<br />
⎝ I ⋅2,<br />
36kΩ<br />
⎠<br />
⎛ U<br />
= ⎜<br />
⎝U<br />
0<br />
⎞ ⎛ U 0 ⎞<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝ I ⋅2,<br />
36kΩ<br />
⎠<br />
⎛ U 0 ⎞<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎝ I ⋅2,<br />
36kΩ<br />
⎠<br />
Wir bilden den Kehrwert:<br />
3<br />
4<br />
⎛ U ⎞ ⎛ 2,<br />
36kΩ<br />
⋅ I ⎞<br />
⎜<br />
U ⎟ = ⎜<br />
0 U ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠<br />
U<br />
U 0<br />
⎛ 2,<br />
36kΩ<br />
⎞<br />
= ⎜ ⋅ I ⎟<br />
⎝ 1kV<br />
⎠<br />
⎛ I ⎞<br />
= ⎜<br />
I ⎟<br />
⎝ 0 ⎠<br />
1kV<br />
1<br />
I0<br />
= = A = 0,<br />
424<br />
2,<br />
46kΩ<br />
2,<br />
36<br />
4<br />
3<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
3<br />
A<br />
U<br />
R =<br />
I<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 40 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
7.6. Stefan-Boltzmann-Gesetz (nicht im Buch)<br />
Nach dem Gesetz von Stefan Boltzmann strahlt die Oberfläche eines ideal schwarzen Körpers<br />
4<br />
der absoluten Temperatur T einen Wärmestrom der Dichte q = σ ⋅T<br />
ab, wobei die Stefan-<br />
−23<br />
Boltzmann-Konstante σ mit der Boltzmann-Konstante k = 1,<br />
381⋅10<br />
J / K , der Planck-<br />
5 4<br />
−34<br />
2π<br />
k<br />
Konstante h = 6,<br />
626⋅10<br />
Js und der Lichtgeschwindigkeit c0 gemäß σ = ⋅ 3 2<br />
15 h c0<br />
zusammen hängt. Leiten Sie daraus auf formal korrekte Art eine Zahlenwertgleichung ab, in<br />
die Zahlenwerte der Temperatur in Bezug auf die Celsius-Skala einzusetzen sind und die<br />
W<br />
Zahlenwerte der Wärmestromdichte in Bezug auf die Einheit liefert.<br />
cm²<br />
q = q<br />
T<br />
=<br />
=<br />
W / cm ²<br />
W / cm ²<br />
W / cm ²<br />
W / cm ²<br />
( T + 273 , 15 )<br />
° C<br />
5<br />
2π<br />
σ = ⋅<br />
15<br />
q<br />
q<br />
q<br />
5,<br />
676<br />
=<br />
=<br />
⋅10<br />
W<br />
cm<br />
−23<br />
4<br />
( 1,<br />
381 ⋅10<br />
)<br />
−34<br />
3<br />
8<br />
( 6,<br />
626 ⋅10<br />
) ⋅ ( 2,<br />
998 ⋅10<br />
)<br />
²<br />
⋅<br />
W<br />
cm<br />
−8<br />
5,<br />
676<br />
5,<br />
676<br />
²<br />
= σ ⋅<br />
= q<br />
W<br />
2<br />
m K<br />
4<br />
( T + 273 , 15 )<br />
⋅10<br />
⋅10<br />
−8<br />
−8<br />
W / cm ²<br />
⋅1K<br />
° C<br />
⋅10<br />
( T + 273 , 15 )<br />
( T + 273 , 15 )<br />
4<br />
W<br />
m ²<br />
... Stefan − Boltzmann<br />
° C<br />
° C<br />
4<br />
K<br />
4<br />
4<br />
4<br />
2<br />
⋅<br />
K<br />
4<br />
−<br />
J<br />
J<br />
4<br />
3<br />
s<br />
s<br />
−4<br />
2<br />
W 10 m 4<br />
K<br />
2 4<br />
m K W<br />
4<br />
⎛ T°<br />
C ⎞<br />
= 0,<br />
0316 ⎜1<br />
+ ⎟<br />
⎝ 273 , 15 ⎠<br />
2<br />
3<br />
m<br />
2<br />
Ko nstante<br />
Anmerkung: Potenziert man derart große oder kleine Zahlen, kann es vorkommen, dass der<br />
Taschenrechner falsche Ergebnisse ausgibt. Man sollte diese also getrennt berechnen z.B.<br />
( ) 4 −34<br />
6,<br />
626⋅10<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 41 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
7.7. Atomares Einheitensystem (au, nicht im Buch)<br />
Zur Berechnung in der Atom- und Molekularphysik werden an Stelle der SI-Basiseinheiten<br />
Meter, Sekunde und Kilogramm manchmal als Basiseinheiten für die Länge, die Zeit und die<br />
h<br />
* h<br />
Masse der Bohr Radius 1u0<br />
= , die Atomsekunde 1s<br />
= und die<br />
2<br />
mel0α<br />
mec0α<br />
−31<br />
h<br />
−34<br />
Elektronenmasse 1me<br />
= 9,<br />
1095⋅10<br />
kg verwendet, wobei h = , h = 6,<br />
626⋅10<br />
Js<br />
2π<br />
2<br />
e<br />
(Planck Konstante) und α = (Feinstrukturkonstante) bedeuten.<br />
4πε0 hc0<br />
I) drücken Sie die Längeneinheit 1a0 und die Zeiteinheit 1s * durch die SI-<br />
Basiseinheiten aus.<br />
II) Geben Sie die kohärente Einheit für die Energie in diesem atomaren<br />
Einheitensystem an.<br />
i)<br />
−19<br />
2<br />
2 2<br />
( 1,<br />
6022⋅10<br />
) ⋅ 2π<br />
A s Vms<br />
α =<br />
⋅ = 7,<br />
297 ⋅10<br />
−12<br />
−34<br />
8<br />
2<br />
4π<br />
⋅8,<br />
854⋅10<br />
⋅6,<br />
626⋅10<br />
⋅ 2,<br />
998⋅10<br />
AsVAs m<br />
−34<br />
2<br />
6,<br />
626⋅10<br />
VAs s<br />
1a0<br />
=<br />
⋅ = 0,<br />
529⋅10<br />
−31<br />
8<br />
−3<br />
2π<br />
⋅9,<br />
1095⋅10<br />
⋅ 2,<br />
998⋅10<br />
⋅7,<br />
297 ⋅10<br />
kgm<br />
−10<br />
* a0<br />
0,<br />
529⋅10<br />
−17<br />
1s<br />
= =<br />
s = 2,<br />
419⋅10<br />
s<br />
8<br />
−3<br />
c ⋅α<br />
2,<br />
998⋅10<br />
⋅7,<br />
297 ⋅10<br />
ii)<br />
0<br />
[ ] [ m]<br />
−31<br />
2 [ L]<br />
2 [] t<br />
2<br />
au ⎛ a0<br />
⎞<br />
W au au ⋅ = me⎜<br />
= m<br />
* ⎟ e<br />
s<br />
au ⎝ ⎠<br />
= 9,<br />
1095⋅10<br />
⋅<br />
( c ⋅ )<br />
= α<br />
0<br />
2<br />
−10<br />
8<br />
−3<br />
2 m²<br />
−18<br />
( 2,<br />
998⋅10<br />
⋅7,<br />
297⋅10<br />
) ⋅kg<br />
= 4,<br />
360⋅10<br />
J ( 1Hartre)<br />
s²<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 42 / 205<br />
−3<br />
m
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
7.8. Loschmidt-Konstante (nicht im Buch)<br />
Die Loschmidt-Konstante n0 lässt sich durch<br />
n<br />
p<br />
0 = 0 definieren, wobei<br />
k ⋅T0<br />
p0<br />
5<br />
= 1, 0<strong>13</strong>⋅10<br />
Pa<br />
−23<br />
k = 1,<br />
3807 ⋅10<br />
J / K die Boltzmann-Konstante und dem Normaldruck<br />
bzw. T0 = 273,<br />
15K<br />
die Normaltemperatur bezeichnen.<br />
i) Wie ist n0 im Zusammenhang mit der Zustandsgleichung p ⋅ V = N ⋅k<br />
⋅T<br />
eines<br />
idealen Gases (Druck p, Volumen V, Teilchenzahl N, Temperatur R) zu<br />
interpretieren?<br />
ii) Berechnen Sie n0.<br />
i)<br />
speziell<br />
0<br />
p 0 ⋅ V0<br />
= N ⋅k<br />
⋅T0<br />
→ =<br />
k ⋅T0<br />
0<br />
0<br />
p<br />
N<br />
V<br />
0<br />
1 N ⋅ k N<br />
R 0 = ⋅ = …Teilchendichte eines idealen Gases unter Normalbedingungen<br />
k V V<br />
ii)<br />
n<br />
0<br />
5<br />
1, 0<strong>13</strong>⋅10<br />
NK<br />
25 −3<br />
⋅ = 2,<br />
686⋅10<br />
−23<br />
2<br />
= m<br />
1,<br />
3807 ⋅10<br />
⋅ 273,<br />
15 m NmK<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 43 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8. Stromkreise und einfache Stromkreiselemente<br />
8.1. Anwendung der Kirchhoff-Regeln<br />
Die in der Skizze dargestellte Schaltung aus idealen Spannungsquellen und Widerständen<br />
besitzt z = 6 Zweige.<br />
i) Stellen Sie für die k = 4 Knoten A bis D die Knotengleichungen auf. Wie<br />
viele davon sind voneinander unabhängig? (Hinweis: Eliminieren Sie<br />
nacheinander die Zweigströme I6, I5 usw.)<br />
ii) Geben Sie für die Fenster die Maschengleichung an. Können Sie noch eine<br />
weitere, davon unabhängige Maschengleichung finden?<br />
iii) Zeigen Sie, dass die voneinander unabhängigen Knoten- und<br />
Maschengleichungen zusammen mit den Elementgleichungen (Ohmsches<br />
Gesetz) genau ausreichen, um alle Zweigströme zu berechnen.<br />
Zuerst müssen wir die Bezugssinne willkürlich festlegen:<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 44 / 205
i) Die 4 Knoten<br />
I + I + I = 0<br />
4<br />
2<br />
1<br />
1<br />
+ I<br />
5<br />
3<br />
3<br />
2<br />
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
− I<br />
5<br />
6<br />
6<br />
− I − I − I<br />
I<br />
4<br />
= 0<br />
= 0<br />
I − I − I = 0<br />
ii) Die Maschen<br />
U −U<br />
+ U = U<br />
U<br />
1<br />
−U<br />
3<br />
2<br />
4<br />
+ U<br />
+ U<br />
5<br />
4<br />
−U<br />
6<br />
−U<br />
6<br />
5<br />
= U<br />
q<br />
q<br />
1<br />
= −U<br />
3<br />
q<br />
2<br />
Bei den Formeln müssen die Bezugssinne beachtet werden.<br />
Alle anderen Maschen hängen von diesen ab.<br />
iii)<br />
Wir haben 6 Zweigströme, also 6 Unbekannte.<br />
Wir können 6 mal das Ohmsche Gesetz anwenden, um die Spannungen U1 bis U6 in die<br />
Ströme I1 bis I6 umzurechnen. Weiters haben wir 3 unabhängige Knotengleichungen und 3<br />
unabhängige Maschengleichungen � 6 unabhängige Gleichungen für 6 unbekannte.<br />
8.2. Verzweigter Strom<br />
Durch den 5Ω-Widerstand der in der Skizze dargestellten Kombination von ohmschen<br />
I = 6A<br />
sin ωt<br />
.<br />
Widerständen fließt ein Wechselstrom der Stärke ( ) ( )<br />
i) Berechnen Sie die Ströme in den beiden anderen Widerständen, die Spannung<br />
zwischen A und B und die Spannung zwischen B und C.<br />
ii) Wie groß ist der zeitliche Mittelwert der in den drei Widerständen zusammen<br />
umgesetzt wird?<br />
i) Ströme und Spannungen<br />
Die Spannung an 5Ω und 15Ω ist die gleiche.<br />
5Ω<br />
U5Ω<br />
= 5Ω<br />
⋅6<br />
Asinωt<br />
= 15Ω<br />
⋅ I15Ω<br />
→ I15Ω<br />
= 6A<br />
= 2Asinωt<br />
15Ω<br />
I10Ω<br />
= I5Ω<br />
+ I15Ω<br />
= 8Asinωt<br />
U AB = U10Ω<br />
= 10Ω<br />
⋅8A<br />
sinωt<br />
= 80V<br />
sinωt<br />
U = U = U = 5Ω<br />
⋅6<br />
Asinωt<br />
= 30V<br />
sinωt<br />
BC<br />
5Ω<br />
15Ω<br />
ii) Mittlere Leistung<br />
Momentanleistung: P = I10Ω<br />
AB BC<br />
mittlere Leistung:<br />
Pˆ<br />
880W<br />
P = = = 440W<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
( U + U ) = 8 A⋅110V<br />
⋅sin<br />
ωt<br />
= 880W<br />
sin ωt<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 45 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.3. Erweitern einer Schaltung<br />
Wie und mit welchem Widerstand ist die Schaltung (Skizze) zu erweitern, damit der<br />
Ersatzwiderstand<br />
i) um 5% größer wird<br />
ii) um 5% kleiner wird<br />
Wir berechnen zuerst den Widerstand der Schaltung:<br />
R = 200Ω<br />
// <strong>13</strong>0Ω<br />
+ 70Ω<br />
= 100<br />
ges<br />
( ) Ω<br />
Wollen wir den Gesamtwiderstand erhöhen, brauchen wir einen Serienwiderstand:<br />
R , 05 = R + R → R = 0,<br />
05R<br />
= 5Ω<br />
ges ⋅ 1 ges + 5% + 5%<br />
ges<br />
Wollen wir den Gesamtwiderstand kleiner machen, brauchen wir einen Parallelwiderstand:<br />
R−5%<br />
Rges<br />
0,<br />
95Rges<br />
=<br />
R + R<br />
0,<br />
95<br />
=<br />
R<br />
R−5%<br />
+ R<br />
−5%<br />
−5%<br />
ges<br />
ges<br />
1<br />
Rges<br />
1+<br />
R−5%<br />
= 0,<br />
95<br />
0,<br />
95<br />
R−5%<br />
= Rges<br />
0,<br />
05<br />
= 19R<br />
ges<br />
= 1,<br />
9kΩ<br />
8.4. Ersatzwiderstand<br />
Berechnen Sie den Ersatzwiderstand für die in der Skizze angegebene<br />
Widerstandskombination.<br />
Man kann das Beispiel über Ersatzschaltungen lösen, indem man immer Widerstände zu<br />
neuen zusammenfasst. Mit etwas Übung kann man einfach hinsehen und das Netzwerk von<br />
hinten nach vorne auflösen:<br />
R ges<br />
( ( 5 k6<br />
+ 3k3)<br />
// 1k<br />
+ 4k6)<br />
// ( 2k2<br />
+ 3k3<br />
// 3k3)<br />
+ 1k<br />
= 3,<br />
26 Ω<br />
= k<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 46 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.5. Dreieck-Stern-Umwandlung<br />
Eine Dreieckschaltung von Widerständen (Skizze) soll durch eine bezüglich der<br />
Anschlussklemmen 1, 2, 3 äquivalente Sternkonfiguration ersetzt werden. Berechnen Sie die<br />
Widerstandswerte der Sternschaltung aus denen der Dreiecksschaltung. Zeigen Sie, dass bei<br />
einer Rückwärtsumwandlung analoge Beziehungen für die Leitwerte gelten.<br />
2R<br />
2R<br />
R<br />
10<br />
10<br />
10<br />
=<br />
R<br />
R<br />
R<br />
R<br />
R<br />
R<br />
10<br />
20<br />
30<br />
20<br />
30<br />
R12<br />
2R<br />
R<br />
=<br />
R<br />
R<br />
=<br />
12<br />
12<br />
12<br />
12<br />
+ R<br />
+ R<br />
+ R<br />
20<br />
30<br />
10<br />
= R<br />
= R<br />
12<br />
31<br />
=<br />
=<br />
=<br />
//<br />
//<br />
R12<br />
// ( R31<br />
+ R23)<br />
R23<br />
// ( R12<br />
+ R31)<br />
R31<br />
// ( R12<br />
+ R23)<br />
( )<br />
( ) ⎭ ⎬⎫<br />
R31<br />
+ R23<br />
− R10<br />
R + R − R<br />
12<br />
23<br />
10<br />
// ( R31<br />
+ R23)<br />
− R10<br />
+ R31<br />
// ( R12<br />
+ R23)<br />
− R10<br />
= R23<br />
// ( R12<br />
+ R31)<br />
= R12<br />
// ( R31<br />
+ R23)<br />
+ R31<br />
// ( R12<br />
+ R23)<br />
− R23<br />
// ( R12<br />
+ R31)<br />
( R + R ) R ( R + R ) R ( R + R )<br />
10<br />
R<br />
31<br />
31<br />
+ R<br />
31<br />
31<br />
+ R<br />
12<br />
2R12R31<br />
+ R + R<br />
23<br />
+ R<br />
R<br />
23<br />
23<br />
23<br />
+<br />
R<br />
=<br />
R<br />
12<br />
31<br />
12<br />
12<br />
12<br />
+ R<br />
31<br />
31<br />
31<br />
R12R31<br />
+ R + R<br />
23<br />
+ R<br />
23<br />
23<br />
+ R31R12<br />
+ R31R<br />
R + R + R<br />
23<br />
23<br />
−<br />
R<br />
23<br />
12<br />
− R<br />
23<br />
R<br />
12<br />
12<br />
+ R<br />
Die Widerstände im Zähler sind die Widerstände, die beim Dreieck vom zu berechnenden<br />
Punkt weggehen. Daraus folgt:<br />
R12R23<br />
R20<br />
=<br />
R12<br />
+ R23<br />
+ R31<br />
R23R31<br />
R30<br />
=<br />
R + R + R<br />
12<br />
23<br />
31<br />
Bei der Rücktransformation (Stern-Dreieck) ersetzt man die Widerstände durch deren<br />
Leitwerte.<br />
31<br />
− R<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 47 / 205<br />
23<br />
31<br />
+ R<br />
23<br />
R<br />
31
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.6. Stern-Polygon-Umwandlung<br />
Eine Sternumwandlung von n Widerständen gemäß der Skizze lässt sich bezüglich der<br />
Klemmen 1, 2 … n äquivalent, in eine vollständige Polygonschaltung von m(<br />
n −1)<br />
/ 2<br />
Widerständen umwandeln.<br />
i) Leiten Sie die Umwandlungsformel<br />
n<br />
Gk<br />
0 Gr<br />
0<br />
Gkr<br />
= GS<br />
= ∑ Gl<br />
0 für die Leitwerte ab.<br />
GS<br />
l=<br />
1<br />
ii) Warum ist die umgekehrte Umwandlung nur im Fall n = 3 möglich?<br />
i) Formel herleiten<br />
Dem Anschluss k wird der Strom<br />
I k = Gk<br />
0U<br />
k 0 = Gk<br />
0(<br />
ϕk −ϕ<br />
0 )<br />
zugeführt, wobei die Sternspannung Uk0 als Differenz ϕk −ϕ<br />
0 der „Knotenpotentiale“<br />
dargestellt wird. Weiters ist<br />
n<br />
n<br />
n<br />
1<br />
Ir = 0 …Knotenregel → ϕ 0 = ∑Gr<br />
0ϕr<br />
Gs<br />
= ∑Gl<br />
0<br />
∑<br />
r=<br />
1<br />
Damit folgt<br />
⎛ 1<br />
I = ⎜<br />
k Gk<br />
0 ϕ k −<br />
⎝ Gs<br />
also<br />
n Gk<br />
Gr<br />
0<br />
Ik = ∑ U<br />
= 1 G<br />
ii)<br />
n<br />
∑<br />
r=<br />
1<br />
G<br />
r0<br />
⎞ Gk<br />
ϕ ⎟ r =<br />
⎠ Gs<br />
0<br />
kr entspricht:<br />
r s<br />
0<br />
n<br />
∑<br />
l=<br />
1<br />
n<br />
I ∑ =<br />
Gs r=<br />
1<br />
l=<br />
1<br />
G<br />
= k<br />
r 1<br />
r 0<br />
G<br />
( ϕ −ϕ<br />
)<br />
Die Umkehrung ist i.a. nicht möglich, da sich<br />
Widerständen ergeben.<br />
kr<br />
U<br />
k<br />
kr<br />
n<br />
0<br />
( n −1)<br />
2<br />
Bedingungen zur Bestimmung von n<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 48 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.7. Ersatzwiderstand<br />
Berechnen Sie den Ersatzwiderstand der Schaltung aus der Skizze mit Hilfe der Formel für<br />
die Dreieck-Stern-Umwandlung.<br />
Wir wandeln die linken drei Widerstände von einem Dreieck in einen Stern um (man könnte<br />
es ebenso gut mit den rechten machen):<br />
RD<br />
= 220 + 1k<br />
+ 100 = <strong>13</strong>20Ω<br />
200Ω⋅100Ω<br />
R10<br />
=<br />
= 16,<br />
67Ω<br />
RD<br />
220Ω⋅1kΩ<br />
R20<br />
= = 166,<br />
7Ω<br />
RD<br />
100Ω<br />
⋅1kΩ<br />
R30<br />
= = 75,<br />
76Ω<br />
RD<br />
R = R + R + <strong>13</strong>0Ω<br />
// R + 220Ω<br />
= 164,<br />
77<br />
ges<br />
10<br />
( ) ( ) Ω<br />
20<br />
8.8. Ersatzwiderstand<br />
Berechnen Sie den Ersatzwiderstand für<br />
die in der Skizze dargestellte<br />
Kombination, wenn alle<br />
Einzelwiderstände den gleichen Wert T<br />
besitzen.<br />
30<br />
Wir wandeln die drei rechten Widerstände von einem Dreieck in einen Stern um, wir könnten<br />
auch die drei linken nehmen.<br />
R S<br />
R AB<br />
2<br />
R ⋅ R R R<br />
= = =<br />
R + R + R 3R<br />
3<br />
1 ⎛ R ⎞ R<br />
= ⎜ R + ⎟ + = R<br />
2 ⎝ 3 ⎠ 3<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 49 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.9. Ersatzwiderstand eines Zweitors<br />
Gegeben ist die Schaltung aus der Skizze.<br />
i) Berechnen Sie den Widerstand RAB bei<br />
a. offenem Ausgang CD<br />
b. kurzgeschlossenem Ausgang CD<br />
ii) Berechnen Sie den Widerstand RCD bei<br />
a. offenem Eingang AB<br />
b. kurzgeschlossenem Eingang AB<br />
i)<br />
offener Ausgang: RAB = ( ( 2 R // 2R<br />
+ R)<br />
// 2R<br />
+ 2R)<br />
// 2R<br />
= 2R<br />
// 3R<br />
= 1,<br />
2R<br />
Kurzschluss am Ausgang: = ( R // 2R<br />
+ 2R)<br />
// 2R<br />
= 1,<br />
14R<br />
ii)<br />
R AB<br />
offener Eingang: RCB = ( ( 2 R + 2R)<br />
// 2R<br />
+ R)<br />
// 2R<br />
// 2R<br />
= 0,<br />
7R<br />
Eingang kurzgeschlossen: = ( 2 R // 2R<br />
+ R)<br />
// 2R<br />
// 2R<br />
= 0,<br />
67R<br />
R CB<br />
8.10. Widerstandskette<br />
Berechnen Sie allgemein den<br />
Eingangswiderstand R der unendlichen<br />
Widerstandskette aus der Skizze.<br />
Hinweis: R ändert sich nicht beim<br />
Hinzufügen eines weiteren<br />
Kettengliedes.<br />
Da sich R durch hinzufügen eines weiteren Elements nicht ändert, können wir folgende<br />
Ersatzschaltung ansetzen:<br />
R = R<br />
R<br />
R<br />
2<br />
2<br />
1<br />
//<br />
( R + R)<br />
1<br />
2<br />
2<br />
+ RR + R R = 0<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
( R + R)<br />
R1<br />
2 =<br />
R + R + R<br />
+ RR + RR = R R + RR<br />
2<br />
2<br />
( ) ⎟ ⎛ ⎞<br />
2 1<br />
− + + = ⎜<br />
4R1<br />
R2<br />
R2<br />
4R1R<br />
2 R2<br />
1+<br />
−<br />
1<br />
R =<br />
⎜<br />
1<br />
2<br />
2 ⎝ R2<br />
⎠<br />
1<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 50 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.11. Teilerregeln<br />
Berechnen Sie den Strom durch den 47Ω-Widerstand in der Skizze.<br />
i) mit der Spannungsteilerregel<br />
ii) mit der Stromteilerregel<br />
Mit Spannungsteilerregel:<br />
47Ω<br />
// 220Ω<br />
U 2 = U q<br />
= 38V<br />
47Ω<br />
// 220Ω<br />
+ 2Ω<br />
U 2 38V<br />
I R = = = 0,<br />
81A<br />
R 47Ω<br />
2<br />
Mit Stromteilerregel:<br />
U q<br />
I =<br />
R1<br />
+ R2<br />
// R3<br />
R3<br />
I R = I<br />
R + R<br />
2<br />
3<br />
8.12. Spannungsteiler<br />
Um wie viel % ändert sich in der Schaltung aus der Skizze das Spannungsteilerverhältnis<br />
U 2 α = , wenn<br />
U1<br />
i) der Widerstand R2<br />
ii) der Widerstand R1<br />
iii) beide Widerstände<br />
um je 2% vergrößert werden?<br />
U<br />
R<br />
U<br />
U<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
U<br />
=<br />
U<br />
R<br />
=<br />
R<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
= α<br />
R2 steigt um 2%:<br />
R2(<br />
1+<br />
0,<br />
02)<br />
R2<br />
α 1 =<br />
= ( 1+<br />
0,<br />
02)<br />
R1<br />
R1<br />
R1 steigt um 2%:<br />
α ändert sich um 2%.<br />
R2<br />
R2<br />
α 2 =<br />
= ⋅0,<br />
98<br />
R1(<br />
1+ 0,<br />
02)<br />
R1<br />
α ändert sich um -2%<br />
beide steigen um 2%:<br />
R2(<br />
1+<br />
0,<br />
02)<br />
R2<br />
α 3 =<br />
=<br />
R1(<br />
1+<br />
0,<br />
02)<br />
R1<br />
α ändert sich nicht<br />
Der Widerstand bei der Spannungsquelle ändert nichts an dem Verhältnis.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 51 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.<strong>13</strong>. Reihenschaltung von zwei Parallelschaltungen<br />
Gegeben ist die Widerstandskombination aus der Skizze.<br />
i) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand zwischen den Anschlüssen A und B.<br />
ii) In welchem der Widerstände wird die größte Leistung umgesetzt, wenn<br />
zwischen den Anschlüssen A und B ein Strom der Stärke I fließt? (Raten Sie<br />
zuerst!)<br />
R = 10Ω<br />
// 2Ω<br />
+ 5Ω<br />
// 15Ω<br />
= 5,<br />
42Ω<br />
Raten: Die Größte Leistung wird nicht in den großen Widerständen (10E und 15E) auftreten,<br />
da hier der kleinste Strom fließt. Der Strom rinnt also hauptsächlich durch 2Ω und 5Ω. Da der<br />
5Ω der größere ist, wird hier die meiste Leistung verbraten werden.<br />
2Ω<br />
I1<br />
= I<br />
2Ω<br />
+ 10Ω<br />
2<br />
⎛ 1 ⎞<br />
P1<br />
= ⎜ ⋅ I ⎟ ⋅ R2<br />
= 0,<br />
28Ω<br />
⋅ I<br />
⎝ 6 ⎠<br />
10Ω<br />
I2<br />
= I<br />
10Ω<br />
+ 2Ω<br />
2<br />
⎛10<br />
⎞<br />
P2<br />
= ⎜ I ⎟ R2<br />
= 1,<br />
39W<br />
⎝12<br />
⎠<br />
P3<br />
= 2,<br />
88W<br />
P = 0,<br />
94W<br />
4<br />
2<br />
8.14. Erforderliche Quellenspannung<br />
Wie groß muss in der Schaltung aus der Skizze der<br />
Wert der Quellenspannung sein, damit durch den 5Ω-<br />
Widerstand ein Strom der Stärke 14A fließt?<br />
Durch die beiden 10Ω Widerstände fließen jeweils<br />
7A (doppelter Widerstand – halber Strom).<br />
= 14 A + 2⋅<br />
7A<br />
= 28A<br />
I ges<br />
Wir errechnen die erforderliche Spannung aus dem Strom und dem Gesamtwiderstand:<br />
U = 28 A 2Ω<br />
+ 10Ω<br />
// 10Ω<br />
// 5Ω<br />
= 126<br />
( ) V<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 52 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.15. Erforderlicher Widerstand<br />
Wie groß müssen Sie in der Schaltung aus der Skizze<br />
den Wert des Widerstandes R jeweils wählen, damit<br />
zwischen den Anschlüssen A und B die Spannungen U<br />
= 25V, 50V, 75V, 100V, 125V auftreten?<br />
Wir berechnen den Innenwiderstand der Quelle:<br />
R = 2Ω<br />
+ 20Ω<br />
// 50Ω<br />
= 16,<br />
29Ω<br />
i<br />
Weiters benutzen wird die Formel für<br />
Spannungsquellen:<br />
Ri<br />
U = U q − RiI<br />
= U q − U<br />
R<br />
RU = RU − RU<br />
R<br />
( U −U<br />
)<br />
q<br />
q<br />
RiU<br />
R = −<br />
U −U<br />
= −RU<br />
q<br />
i<br />
i<br />
Ri<br />
Ri<br />
= − =<br />
U q U q<br />
1− −1<br />
U U<br />
Wir erhalten folgende Werte:<br />
U R<br />
25V 5,43Ω<br />
50V 16,3Ω<br />
75V 48,9Ω<br />
100V ∞ (Leerlauf)<br />
125V negatives R nicht möglich !<br />
8.16. Abgegebene Leistung von Spannungsquellen<br />
Wie groß ist in der Schaltung aus der Skizze die<br />
von jeder der beiden idealen Spannungsquellen<br />
abgegebenen Leistung?<br />
R<br />
= 7,<br />
6Ω<br />
+ 4Ω<br />
// 6Ω<br />
= 10Ω<br />
20V<br />
I = = 2A<br />
> 0<br />
10Ω<br />
P = U ⋅ I = 50W<br />
> 0<br />
q1<br />
P<br />
ges<br />
q2<br />
= U<br />
q1<br />
q2<br />
⋅<br />
( − I ) = −10W<br />
< 0<br />
Die Quelle 2 (5V) also Leistung auf.<br />
Uq1<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 53 / 205<br />
Uq2
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.17. Ersatzquelle einer Batterie<br />
An den Polen einer Taschenlampenbatterie werden mit Hilfe eines einstellbaren<br />
Lastwiderstandes folgende Daten gemessen:<br />
I 0,2 0,4 0,6 A<br />
U 4,0 3,5 3,0 V<br />
Geben Sie die Parameter einer linearen Ersatzquelle für die Batterie an. Wie groß ist die<br />
maximal abgebbare Anschlussleistung?<br />
Wir zeichnen die Kennlinie in ein Diagramm ein.<br />
Aus dem Schnittpunkt mit der Spannungsachse<br />
erhalten wir U0 und aus dem Anstieg den<br />
Widerstand.<br />
U 0 = 4,<br />
5V<br />
ΔU<br />
0,<br />
5V<br />
Ri<br />
= = = 2,<br />
5Ω<br />
ΔI<br />
0,<br />
2V<br />
Die maximale Abgabeleistung erhalten wir bei<br />
Leistungsanpassung (Ra = Ri):<br />
2<br />
U I U<br />
0 k q<br />
Pmax<br />
= ⋅ = = 2,<br />
03W<br />
(wenn die Kennlinie bis dort linear ist)<br />
2 2 4R<br />
i<br />
8.18. Grundstromkreis<br />
Berechnen und zeichnen Sie maßstabgerecht für den in der<br />
Skizze angegebenen Grundstromkreis die Zusammenhänge<br />
i)<br />
U<br />
U q<br />
⎛ R ⎞ a = f ⎜<br />
⎟<br />
⎝ Ri<br />
⎠<br />
ii)<br />
I<br />
I K<br />
⎛ R ⎞ a = g ⎜<br />
⎟<br />
⎝ Ri<br />
⎠<br />
Ra<br />
i) U = U<br />
R + R<br />
ii)<br />
a<br />
i<br />
q<br />
→<br />
U<br />
U<br />
q<br />
Ra<br />
/ Ri<br />
=<br />
1+<br />
R / R<br />
a<br />
U q<br />
I =<br />
R + R<br />
i<br />
i<br />
a<br />
I<br />
k<br />
U<br />
=<br />
R<br />
q<br />
i<br />
→<br />
I<br />
I<br />
k<br />
1<br />
=<br />
1+<br />
R / R<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 54 / 205<br />
a<br />
i
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.19. Äquivalenz von linearen Quellen<br />
Es sind die beiden Quellen aus der Skizze zu untersuchen.<br />
i) Geben Sie die beschreibenden Gleichungen (Zusammenhang von<br />
Anschlussspannung und Anschlussstrom) für eine ideale Spannungsquelle mit<br />
Reihenwiderstand und für eine ideale Stromquelle mit Parallelwiderstand an.<br />
ii) Welche Bedingungen müssen die Parameter U1, Ri, Iq und R′ i erfüllen, damit<br />
sich die beiden Quellen bezüglich der äußeren Anschlüsse völlig gleich<br />
verhalten?<br />
iii) Zeigen Sie, dass diese Äquivalenz nicht für den inneren Leistungsumsatz gilt.<br />
i) Beschreibende Gleichungen<br />
Spannungsquelle: U = U q − I ⋅ Ri<br />
Stromquelle: U = Iq<br />
⋅ R′<br />
i − I ⋅ R′<br />
i<br />
ii) Parameter für gleiches Verhalten<br />
Wir machen einen Koeffizientenvergleich:<br />
Ri<br />
= R′<br />
i<br />
U = I ⋅ R′<br />
q<br />
q<br />
i<br />
iii)innere Leistungen<br />
Spannungsquelle:<br />
Stromquelle:<br />
Pq<br />
≠ P′<br />
q<br />
P ≠ P′<br />
V<br />
V<br />
Pq = U q ⋅ I<br />
2<br />
q<br />
′ = = ( I − I ) ⋅ R = −U<br />
⋅ I<br />
P = U ⋅ I<br />
q<br />
q<br />
PV 2<br />
= Ri<br />
⋅ I<br />
PV 2<br />
U<br />
Ri<br />
q<br />
i<br />
2<br />
U<br />
Ri<br />
q<br />
Um die Aussage zu widerlegen genügt mathematisch auch ein einziger Gegenbeweis. Wir<br />
sehen uns einfach beide Quellen im Leerlauf an. Bei der Spannungsquelle rinnt kein Strom<br />
(� keine Leistung), bei der Stromquelle rinnt Iq durch den Widerstand (� Leistung auch im<br />
Leerlauf)<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 55 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.20. Ersatzschaltung des aktiven Zweipols<br />
Ersetzen Sie die in der Skizze dargestellte Schaltung bezüglich der äußeren Anschlüsse<br />
i) durch eine ideale Spannungsquelle Uq mit Reihenwiderstand Ri<br />
ii) durch eine ideale Stromquelle Iq mit Parallelwiderstand R ′ i<br />
iii) Zeigen Sie, dass die Ersatzschaltungen für die Berechnung des inneren<br />
Leistungsumsatzes nicht brauchbar sind.<br />
i) Ersatzspannungsquelle<br />
R2<br />
U q = U S<br />
R2<br />
+ R1<br />
R1R2<br />
Ri<br />
= R1<br />
// R2<br />
=<br />
R + R<br />
ii) Ersatzstromquelle<br />
R = R<br />
I<br />
i<br />
q<br />
U<br />
=<br />
R<br />
1 //<br />
S<br />
1<br />
i<br />
1<br />
2<br />
R1R2<br />
R2<br />
=<br />
R1<br />
+ R2<br />
U a =<br />
R<br />
iii) ESB für P brauchbar?<br />
Spannungsquelle:<br />
P<br />
U<br />
= I<br />
Stromquelle: PI<br />
= Iq<br />
− I<br />
ursprüngliche Schaltung:<br />
2<br />
2<br />
S = R1<br />
⋅ I1<br />
+ R2(<br />
I2<br />
− I ) =<br />
U −U<br />
R<br />
2<br />
R<br />
i<br />
2 ( ) Ri<br />
2 2 2<br />
( ) U R 2 2<br />
S<br />
1<br />
P + = Iq<br />
+ Ri<br />
1 R2<br />
R1<br />
+ R2<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 56 / 205<br />
I
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.21. Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle<br />
Beim Ersetzen einer Kombination aus konstanten Widerständen und idealen unabhängigen<br />
Spannungs- und Stromquellen durch eine ideale Spannungsquelle mit Reihenwiderstand oder<br />
durch eine ideale Stromquelle mit Parallelwiderstand kann man so vorgehen:<br />
i) Berechnen des Ersatzwiderstandes der Ersatzquelle. Dazu werden alle<br />
unabhängigen Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und alle unabhängigen<br />
Stromquellen durch Unterbrechungen ersetzt.<br />
ii) Berechnen der Ersatz-Quellenspannung. Dazu wird der Leerlauf an den<br />
Ausgangsklemmen angenommen. Oder:<br />
iii) Berechnen des Ersatz-Quellenstroms. Die Ausgangsklemmen werden dazu<br />
kurzgeschlossen.<br />
Bestimmen Sie nach dieser Methode<br />
(ii) die Ersatzspannungsquelle (Uq, Ri)<br />
und (iii) die Ersatzstromquelle (Iq, R′) i<br />
für die Schaltung aus der Skizze.<br />
i) Ersatzwiderstand (Innenwiderstand der<br />
Ersatzquelle)<br />
R i<br />
= R<br />
( R + )<br />
5 + R2<br />
// 1 R4<br />
Der R3 ist völlig irrelevant, da der Ri der<br />
idealen Stromquelle schon ∞ ist.<br />
ii) Ersatzquellenspannung<br />
U<br />
U<br />
I<br />
U<br />
q1<br />
q2<br />
q3<br />
+ I<br />
:<br />
:<br />
:<br />
qges<br />
q3<br />
R2<br />
U q = U q1<br />
R1<br />
+ R4<br />
+ R2<br />
R1<br />
+ R4<br />
U q = U q2<br />
R1<br />
+ R4<br />
+ R2<br />
U = I ⋅ // R<br />
q<br />
= U<br />
⋅<br />
q1<br />
q3<br />
1<br />
( R1<br />
+ R4<br />
) // R2<br />
( R + R )<br />
4<br />
1<br />
R2<br />
+ U<br />
R + R + R<br />
iii) Ersatzquellenstrom<br />
2<br />
4<br />
2<br />
q2<br />
R1<br />
+ R4<br />
R + R + R<br />
1<br />
Wir berechnen das einfach aus der bereits bekannten Ersatzspannung:<br />
4<br />
2<br />
U<br />
I q =<br />
R<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 57 / 205<br />
q<br />
i
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.22. Ersatzquellen<br />
Die Ermittlung einzelner Ströme und Spannungen in einer Schaltung linearer<br />
Stromkreiselemente kann häufig durch folgende Methode vereinfacht werden:<br />
i) Auftrennen der Schaltung an der Stelle der gesuchten Größen (zwei Pole<br />
„freilegen“)<br />
ii) Bestimmen je einer Ersatzquelle für die beiden resultierenden Zweipole.<br />
iii) Berechnen der gesuchten Größe aus der Zusammenschaltung der beiden<br />
Ersatzquellen.<br />
Berechnen Sie auf diese Weise den Strom I in der Schaltung aus der Skizze.<br />
Wir wandeln nacheinander alle Schaltungsteile in Ersatzspannungsquellen um:<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 58 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
Diese Quellen werden wiederum zusammengefasst:<br />
R = 2 // 5,<br />
35 = 1,<br />
46Ω<br />
U<br />
i<br />
q<br />
⎛U<br />
q1<br />
U q<br />
= Ri<br />
⎜ +<br />
⎝ Ri1<br />
Ri<br />
( 15 −17,<br />
43)<br />
( 10 + 1,<br />
46)<br />
V<br />
I =<br />
= −0,<br />
21A<br />
Ω<br />
2<br />
2<br />
⎞ ⎛ 20 10,<br />
37 ⎞<br />
⎟ = 1,<br />
46Ω⎜<br />
+ ⎟A<br />
= 17,<br />
43V<br />
⎠ ⎝ 2 5,<br />
35 ⎠<br />
8.23. Messfehler bei Strommessung<br />
Im Stromkreis aus der Skizze ist der Strom durch<br />
den Widerstand R4 mit einem Amperemeter<br />
zwischen den Klemmen A und B zu messen. Wie<br />
groß darf der Instrumentenwiderstand R1 des<br />
Amperemeters höchstens sein, damit der Messfehler<br />
durch das Einfügen des Instruments höchstens 0,5%<br />
beträgt.<br />
Wir erstellen zuerst ein ESB:<br />
R i<br />
( R + R ) R + R = Ω<br />
= 30<br />
1<br />
2 // 3 4<br />
ohne Amperemeter:<br />
U q<br />
I =<br />
R<br />
0 (Kurzschlussstrom)<br />
i<br />
mit Amperemeter:<br />
U q<br />
IM<br />
=<br />
R + R<br />
i<br />
A<br />
max. Fehler:<br />
IM<br />
− I0<br />
f =<br />
I0<br />
Ri<br />
=<br />
Ri<br />
+ RA<br />
RA<br />
−1<br />
=<br />
Ri<br />
+ R<br />
RA<br />
< 0,<br />
005(<br />
RA<br />
+ Ri<br />
)<br />
0,<br />
095⋅<br />
RA<br />
< 0,<br />
005Ri<br />
30Ω<br />
⋅0,<br />
005<br />
RA<br />
<<br />
= 0,<br />
15Ω<br />
0,<br />
095<br />
A<br />
<<br />
0,<br />
005<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 59 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.24. Messfehler bei Spannungsmessung<br />
In der Schaltung aus der Skizze soll die Spannung zwischen den Punkten A und B mit einem<br />
Voltmeter gemessen werden. Wie groß muss der Innenwiderstand RU des Voltmeters sein,<br />
damit der Messfehler durch das Anschließen des Instruments höchstens 0,5% beträgt?<br />
Wir erstellen ein Ersatzschaltbild:<br />
= 10 k // 10k<br />
+ 2k<br />
= 5,<br />
45k<br />
R i<br />
( ) Ω<br />
Ausgangsspannung für unendlichen Widerstand: U U′<br />
0 = q<br />
R<br />
Ausgangsspannung für R: U m = U′<br />
q<br />
R + R<br />
Fehlerbetrag:<br />
f<br />
( R + R )<br />
fR = R − fR<br />
fR = R<br />
Ri<br />
R =<br />
i<br />
i<br />
= R<br />
f<br />
U′<br />
R<br />
q<br />
q<br />
U m −U<br />
0 R + Ri<br />
R<br />
= =<br />
= −1<br />
U<br />
i ( 1 − f )<br />
( 1−<br />
f ) ( 1−<br />
0,<br />
005)<br />
f<br />
i<br />
i<br />
= 5,<br />
45kΩ<br />
⋅<br />
0<br />
0,<br />
005<br />
U′<br />
q<br />
i<br />
−U<br />
′<br />
= 1,<br />
85MΩ<br />
R + R<br />
i<br />
( R + R )<br />
R −<br />
=<br />
R + R<br />
i<br />
i<br />
Ri<br />
=<br />
R + R<br />
Es ist ratsam, solche Beispiele immer über Ersatzquellen zu lösen (ich habe es direkt über<br />
Spannungsteiler versucht und man wird nur verwirrt und gibt dann auf).<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 60 / 205<br />
i
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.25. Messbereichserweiterung<br />
i) Ein Voltmeter besitze den Innenwiderstand RU. Sein Messbereich soll durch einen<br />
Vorwiderstand RV auf den p-fachen Wert vergrößert werden. Wie groß muss RV<br />
sein?<br />
ii) Ein Amperemeter besitze den Innenwiderstand RI. Sein Messbereich soll durch<br />
einen Parallelwiderstand (Shunt) RS auf den p-fachen Wert vergrößert werden.<br />
Wie groß muss RS sein?<br />
i) Spannungsteiler:<br />
R<br />
R<br />
( p −1)<br />
U<br />
( p −1)<br />
U<br />
V = → RV<br />
= R<br />
U U<br />
ii) Stromteiler:<br />
R<br />
R<br />
S<br />
I<br />
=<br />
I<br />
→ R<br />
=<br />
R<br />
S<br />
( p −1)<br />
I p −1<br />
1<br />
8.26. Wirkungsgrad einer Spannungsquelle<br />
Der Wirkungsgrad η einer Spannungsquelle mit<br />
Innenwiderstand (Skizze) ist erklärt als das<br />
Verhältnis der abgegebenen, im Außenwiderstand<br />
umgesetzten Leistung Pa zu von der idealen Quelle<br />
erzeugten Leistung Pq. Stellen Sie den<br />
Pa<br />
Wirkungsgrad η = als Funktion des<br />
P<br />
Widerstandsverhältnisses Ra/Ri dar.<br />
Pa<br />
UI<br />
η = = =<br />
P U I<br />
q<br />
q<br />
U<br />
U<br />
q<br />
q<br />
Ra<br />
=<br />
R + R<br />
a<br />
i<br />
Ra<br />
Ri<br />
=<br />
R<br />
1+<br />
R<br />
a<br />
i<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 61 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.27. Leistungsumsatz im Grundstromkreis<br />
Eine Spannungsquelle mit Innenwiderstand ist durch feste Werte Uq und Ri charakterisiert.<br />
2<br />
U q<br />
Die Größe P0<br />
= heißt „angebotene Leistung“ der Quelle.<br />
R<br />
i<br />
i) Berechnen Sie die von der idealen Quelle umgesetzte Leistung P, die nach<br />
außen abgegeben, in Ra umgesetzte Leistung Pa und die innere<br />
Verlustleistung Pi = Pq<br />
− Pa<br />
, alles als Funktion des Widerstandsverhältnisses<br />
Ra/Ri. Stellen Sie diese Kurve in einem gemeinsamen Diagramm für das<br />
Ra<br />
Intervall 0 ≤ ≤ 5 grafisch dar.<br />
Ri<br />
ii) Für welchen Wert Ra/Ri ist die abgegebene Leistung Pa maximal<br />
(Leistungsanpassung)? Wie groß ist diese „verfügbare Leistung“ im<br />
Verhältnis zur „angebotenen Leistung“ P0?<br />
Pa<br />
iii) Wie groß ist im Fall der Leistungsanpassung der Wirkungsgrad η = der<br />
P<br />
Spannungsquelle?<br />
Kurzschreibweisen (zur besseren Lesbarkeit, und zum Zeichnen):<br />
2<br />
U q Ra<br />
P 0 = r =<br />
R R<br />
i<br />
i) Quellenleistung:<br />
abgegebene Leistung<br />
innere Verlustleistung<br />
i<br />
2<br />
U q P0<br />
Pq<br />
= =<br />
Ra<br />
+ Ri<br />
1+<br />
r<br />
0 2<br />
Ra<br />
2<br />
2<br />
2<br />
U 2⎛<br />
R ⎞ a 1 2 Ri<br />
Pa<br />
= = U q<br />
U<br />
P<br />
R ⎜<br />
q<br />
R R ⎟ =<br />
=<br />
a ⎝ a + i Ra<br />
142<br />
4 43 4⎠<br />
⎛ Ra<br />
R ⎞ i<br />
Spannungsteiler<br />
⎜ +<br />
Ri<br />
R ⎟<br />
⎝ i ⎠<br />
P0<br />
P0<br />
r ( 1+<br />
r)<br />
P0<br />
− P0r<br />
P0<br />
= Pq<br />
− P = − =<br />
=<br />
2<br />
2<br />
1+ r 1+<br />
r 1+<br />
r 1+<br />
r<br />
Pi a<br />
( )<br />
( ) ( ) 2<br />
r<br />
q<br />
( ) 2<br />
1+<br />
r<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 62 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
ii) maximale Leistung<br />
P a<br />
0 r<br />
= P maximal für r = 1 � Ra = Ri � Pa,max = P0/4<br />
1 r<br />
( ) 2<br />
+<br />
iii) Wirkungsgrad<br />
Pa<br />
r 1<br />
r = 1 : η = = = =<br />
P 1+<br />
r 2<br />
q<br />
50%<br />
8.28. Nichtlineare Quellen<br />
Bei welchem Wert des Widerstands R wird von der in der Skizze angegebenen Quelle die<br />
größte elektrische Leistung geliefert? Wie groß ist diese?<br />
Wir berechnen den Maximalwert für die<br />
flachere Gerade:<br />
P = IU = I(<br />
10V<br />
− 62,<br />
5Ω<br />
⋅ I )<br />
dP<br />
= 10V<br />
− 2⋅<br />
62,<br />
5Ω<br />
⋅ I = 0<br />
dI<br />
I = 80mA<br />
� liegt außerhalb des Bereichs<br />
Wir berechnen den Maximalwert für die<br />
steilere Gerade:<br />
dP<br />
= 27,<br />
5V<br />
− 2⋅<br />
500Ω⋅<br />
I = 0<br />
dI<br />
I = 27,<br />
5mA<br />
� liegt nicht mehr auf der steileren Geraden<br />
Der Maximalwert muss also beim Schnittpunkt der beiden Geraden liegen. Das hätte man<br />
natürlich auch gleich sehen können, dass dort die größte Fläche eingeschlossen ist, aber<br />
wegen der Übung wär’s gewesen…<br />
P = 40mA⋅<br />
7,<br />
5V<br />
= 0,<br />
3W<br />
7,<br />
5V<br />
R = = 187,<br />
5Ω<br />
40mA<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 63 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.29. Schaltung mit Stromquelle<br />
Gegeben ist die Schaltung aus der Skizze.<br />
i) Berechnen Sie die Stromstärke im<br />
Zweig BC.<br />
ii) Zwischen den Klemmen A und B<br />
soll ein zusätzlicher Widerstand<br />
angeschlossen werden, dessen Wert<br />
dem Innenwiderstand der<br />
ursprünglichen Schaltung entspricht<br />
(Anpassung). Wie groß ist dieser<br />
Widerstand? Geben Sie den Strom<br />
durch den neuen Widerstand an.<br />
i) Strom durch RBC<br />
Ersatzschaltbild für Klemmen BC:<br />
I<br />
( 1k<br />
+ 3k3<br />
+ 4k7)<br />
Ri<br />
= 5k6<br />
//<br />
= 3,<br />
45kΩ<br />
1k<br />
I1<br />
= 20mA<br />
= 1,<br />
37mA<br />
14k6<br />
U = 5k6<br />
⋅1,<br />
37mA<br />
= 7,<br />
67V<br />
q<br />
RBC<br />
U q<br />
=<br />
R + R<br />
i<br />
BC<br />
7,<br />
67V<br />
= 1,<br />
14mA<br />
6,<br />
75Ω<br />
ii) Festlegen einer Ersatzspannungsquelle für AB:<br />
( 3k3<br />
+ 1k<br />
+ 3k3<br />
// 5k6)<br />
Ri<br />
= 4k7<br />
//<br />
1k<br />
I1<br />
= 20mA<br />
= 1,<br />
81mA<br />
11,<br />
08k<br />
U = 4k7<br />
⋅1,<br />
81mA<br />
= 8,<br />
49V<br />
q<br />
= 2,<br />
71kΩ<br />
Der angeschlossene Widerstand muss aus<br />
2,71kΩ sein.<br />
U q<br />
I =<br />
2R<br />
i<br />
8,<br />
49V<br />
= = 1,<br />
57mA<br />
2⋅<br />
2,<br />
71kΩ<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 64 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.30. Strommessgerät<br />
Ein Messwerk (oberer Zweig in der Skizze)<br />
besitzt den Innenwiderstand Ri = 40Ω und bei<br />
I = 0,6mA den Vollausschlag der Anzeige.<br />
Bestimmen Sie die Nebenwiderstände R1 und<br />
R2 für die angegebenen Strommessbereiche.<br />
Zweig für 3mA:<br />
R1 und R2 liegen parallel 40Ω. Da durch 40Ω 0,6mA fließen, müssen durch R1 + R2 2,4mA<br />
fließen. Die Spannung an R1 + R2 ist gleich URi<br />
U R 0,<br />
6mA⋅<br />
40Ω<br />
i<br />
R1<br />
+ R2<br />
= =<br />
= 10Ω<br />
2,<br />
4mA<br />
2,<br />
4mA<br />
Zweig für 150mA<br />
Wir setzen einen Stromteiler an (Strom verhält sich wie Widerstände, durch die er nicht rinnt)<br />
0,<br />
6mA<br />
R1<br />
0,<br />
6mA<br />
0,<br />
6mA<br />
= → R1<br />
= ( R1<br />
+ R2<br />
+ Ri<br />
) = 50Ω<br />
= 0,<br />
2Ω<br />
150mA<br />
R + R + R 150mA<br />
150mA<br />
1<br />
2<br />
Wir setzen wieder in die Formel oben ein:<br />
R = 10Ω<br />
− 0,<br />
2Ω<br />
= 9,<br />
8Ω<br />
2<br />
i<br />
8.31. Spannungsmessgerät<br />
Das Messwerk M aus der Skizze wird als Voltmeter mit einstellbarem Messbereich<br />
verwendet. Es besitzt den Innenwiderstand Ri = 40Ω und für I = 0,6mA den Vollausschlag der<br />
Anzeige. Bestimmen Sie die Vorwiderstände R1, R2, R3 für die angegebenen<br />
Spannungsmessbereiche.<br />
Spannung am Innenwiderstand: Ui = RiI<br />
max = 40Ω⋅<br />
0,<br />
6A<br />
= 24mV<br />
60mV<br />
− 24mV<br />
36mV<br />
R1<br />
=<br />
= = 60Ω<br />
0,<br />
6mA<br />
0,<br />
6mA<br />
3V<br />
− 60mV<br />
2,<br />
94V<br />
R2<br />
=<br />
= = 4,<br />
9kΩ<br />
0,<br />
6mA<br />
0,<br />
6mA<br />
30V<br />
− 3V<br />
27V<br />
R3<br />
= = = 45kΩ<br />
0,<br />
6mA<br />
0,<br />
6mA<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 65 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.32. Teilerschaltung<br />
Wie sind in der Schaltung aus der Skizze die Teilwiderstände R1 und R2 einzustellen, damit<br />
die Stromstärke durch den Verbraucherwiderstand genau Iv =1A beträgt?<br />
Ohmsches Gesetz: Stromteiler:<br />
U q R1<br />
⋅ ( R2<br />
+ RV<br />
)<br />
IV<br />
R1<br />
= Ri<br />
+<br />
=<br />
I R + R + R<br />
I R + R + R<br />
1<br />
10ΩR<br />
= 2Ω<br />
2<br />
U q U q ⋅ I ⎡ R1<br />
⋅ 2 V<br />
= = ⎢Ri<br />
+<br />
IV<br />
I ⋅ IV<br />
⎣ R1<br />
+ R2<br />
+ RV<br />
⎥<br />
⎦<br />
1 2<br />
R1<br />
10V<br />
2Ω(<br />
R1<br />
+ R2<br />
+ 6Ω)<br />
= 10Ω<br />
=<br />
+ R2<br />
+ 6Ω<br />
1A<br />
R<br />
V<br />
( R + R + 6Ω)<br />
2<br />
− 6ΩR<br />
− 32Ω<br />
= 0<br />
( R + R ) ⎤ R + R + R R ( R + R + R )<br />
+ R R + 6ΩR<br />
10ΩR<br />
= 2ΩR<br />
+ 2ΩR<br />
+ 2Ω⋅<br />
6Ω<br />
+ R R + 6ΩR<br />
1<br />
2<br />
10ΩR<br />
= 2ΩR<br />
+ 2Ω⋅10Ω<br />
− 2ΩR<br />
+ 2Ω⋅<br />
6Ω<br />
+ 10ΩR<br />
− R + 6ΩR<br />
R<br />
R<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+ 10ΩR<br />
− 2ΩR<br />
+ 2ΩR<br />
−10ΩR<br />
− 6ΩR<br />
− 2Ω⋅10Ω<br />
− 2Ω<br />
⋅6Ω<br />
= 0<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
R + R = 10Ω<br />
→ R = 10Ω<br />
− R<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
p<br />
R1<br />
= − ±<br />
1,<br />
2 2<br />
⎛ p ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
− q = −3Ω<br />
±<br />
2<br />
9Ω<br />
+ 32Ω<br />
Die negative Lösung ist irrelevant.<br />
R = Ω − R = 0,<br />
5969Ω<br />
2<br />
10 1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
V<br />
1<br />
2<br />
=<br />
1<br />
i<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
R<br />
1<br />
2<br />
V<br />
+ R + R<br />
= 3Ω<br />
± 6,<br />
403Ω<br />
→ R = 9,<br />
403Ω<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 66 / 205<br />
V<br />
1<br />
1<br />
2<br />
V
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.33. Belasteter Spannungsteiler<br />
Ein Spannungsteiler gemäß Skizze liegt an der starren<br />
Spannung U0 = 120V. Er soll bei Belastung mit dem Strom<br />
I = 0,3A die Spannung U = 42V liefern und bei Belastung mit<br />
I = 0,7A die Spannung U = 39V. Welche Werte sind für die<br />
Widerstände R1 und R2 zu wählen.<br />
U<br />
U<br />
0<br />
R1<br />
= U<br />
R1<br />
+ U<br />
⎛ U<br />
= R ⎜ 1 I +<br />
⎝ R2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
einsetzen: ⎟ ⎛ R ⎞ 1<br />
⎜<br />
0 = R1I<br />
+ U 1+ ⎝ R2<br />
⎠<br />
R<br />
1<br />
⎛ R ⎞ 1 3V<br />
⎜<br />
⎜1+<br />
=<br />
R ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
U<br />
0<br />
2<br />
U , muss für jedes Wertepaar gültig sein, U0 = konst.<br />
⎛ R ⎞<br />
⎛ 1<br />
R ⎞ 1<br />
⋅0,<br />
3A<br />
+ 42V<br />
⎜<br />
⎜1+<br />
R1<br />
0,<br />
7A<br />
39V<br />
1<br />
R ⎟ = ⋅ + ⎜ +<br />
2<br />
R ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎝ 2 ⎠<br />
120V<br />
= R<br />
78VR<br />
R<br />
2<br />
=<br />
1<br />
0,<br />
3<br />
0,<br />
4<br />
⎛ R ⎞ 1<br />
= R1I<br />
+ U ⎜<br />
⎜1+<br />
R ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
42VR1<br />
=<br />
78V<br />
− 0,<br />
3AR<br />
3VR<br />
3V<br />
+<br />
1<br />
R<br />
AR1<br />
→ 3V<br />
+ 3V<br />
R<br />
0,<br />
3A<br />
+ 42V<br />
+ 42V<br />
R1<br />
3V<br />
+ 3V<br />
42VR1<br />
78V<br />
− 0,<br />
3AR<br />
2<br />
1<br />
1<br />
R<br />
R<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
=<br />
0,<br />
4<br />
AR<br />
AR R + 42VR<br />
→ 78VR<br />
− 0,<br />
3AR<br />
R = 42VR<br />
=<br />
( 78V<br />
− 0,<br />
3AR<br />
)<br />
=<br />
2<br />
2<br />
3V<br />
⋅ 42V<br />
⋅ R + 3V<br />
⋅78V<br />
⋅ R − 3V<br />
⋅0,<br />
3A⋅<br />
R = 42V<br />
⋅0,<br />
4A<br />
⋅ R<br />
360V<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
42VR<br />
R = 17,<br />
7VAR<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0,<br />
4<br />
1<br />
0,<br />
4<br />
360V<br />
R1<br />
= = 20,<br />
339Ω<br />
17,<br />
7A<br />
42VR1<br />
R 2 = = 1,<br />
881Ω<br />
78V<br />
− 0,<br />
3AR<br />
1<br />
AR<br />
1<br />
AR<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 67 / 205<br />
1<br />
1
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.34. Verlustleistung eines Photowiderstandes<br />
In der in der Skizze skizzierten Schaltung für eine<br />
Lichtschranke ist der Photowiderstand R1 in einen<br />
Spannungsteiler eingebunden. R1 ändert sich zwischen<br />
10MΩ bei völliger Dunkelheit und 100Ω bei maximaler<br />
Beleuchtungsstärke. R3 stellt den Eingangswiderstand für den<br />
nachgeschalteten Grenzwertmelder dar. Wie groß ist die<br />
maximale Verlustleistung, die der Photowiderstand<br />
aufzunehmen hat?<br />
Ersatzquelle (besser als mit Spannungsteiler):<br />
Ri<br />
= R2<br />
// R3<br />
= 5kΩ<br />
R3<br />
U q = U = 4V<br />
R + R<br />
2<br />
3<br />
Maximale Verlustleistung für R1 = Ri = 5kΩ<br />
Die 5k liegen im Wertebereich des Photowiderstands:<br />
P<br />
v,<br />
max<br />
2<br />
U q<br />
=<br />
4R<br />
i<br />
= 0,<br />
8mW<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 68 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.35. Glühlampen mit Vorwiderstand<br />
Eine Glühlampe mit der Nennspannung UN = 12V, der Nennleistung PN = 40W und dem<br />
zugehörigen Nennstrom IN = PN/UN soll an einem 12V-Netz über einen Vorwiderstand mit<br />
der halben Nennleistung betrieben werden. Die Spannungs-Strom-Kennlinie der Lampe wird<br />
angenähert durch:<br />
3<br />
0, 25 0,<br />
75 ⎟ U ⎛ I ⎞ ⎛ I ⎞<br />
= ⎜<br />
⎟ + ⎜<br />
U N ⎝ I N ⎠ ⎝ I N ⎠<br />
Bestimmen Sie den Wert des Vorwiderstandes und die insgesamt von der Schaltung<br />
aufgenommene Leistung.<br />
PN<br />
I = = 3,<br />
3A<br />
U<br />
N<br />
Lampe:<br />
P<br />
P<br />
N<br />
kI<br />
=<br />
k I<br />
N<br />
N<br />
1 ⎛<br />
=<br />
4 ⎜<br />
⎝<br />
I<br />
I<br />
PN<br />
P =<br />
2<br />
⎛ I<br />
⎜<br />
⎝ I N<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
= x<br />
1 1 3 2<br />
= x + x<br />
2 4 4<br />
x1<br />
= −1,<br />
verwerfen<br />
2<br />
x2<br />
=<br />
3<br />
I =<br />
2<br />
I N<br />
3<br />
PN<br />
= 2,<br />
72A<br />
U = 2<br />
I<br />
= 7,<br />
35V<br />
2<br />
N<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
3 ⎛<br />
+<br />
4 ⎜<br />
⎝<br />
Widerstand:<br />
( 12 − 7,<br />
3)<br />
V<br />
R = = 1,<br />
71Ω<br />
2,<br />
72A<br />
P = 12V<br />
⋅ 2,<br />
72A<br />
= 32,<br />
7W<br />
G<br />
I<br />
I<br />
N<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
4<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 69 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.36. Lampenschaltung<br />
Zwei Glühlampen mit den Nenndaten (8V, 10W) bzw. (4V, 6W) sollen gemeinsam mit genau<br />
diesen Daten an einem 12V Netz betrieben werden. Das ist mit nur einem zusätzlichen<br />
Widerstand möglich. Geben Sie die Schaltung, den Widerstand und die im Widerstand<br />
zusätzlich verbrauchte Leistung an.<br />
Wie man sich die Schaltung am besten überlegt: U1 + U2 ist genau 12V, der Widerstand muss<br />
also parallel zu einer Lampe liegen. Da die 2. Lampe mehr Strom benötigt, muss der<br />
Widerstand den zusätzlichen Strom quasi an der 1. Lampe vorbeischleusen.<br />
I<br />
I<br />
1<br />
2<br />
10W<br />
= = 1,<br />
25<br />
8V<br />
6W<br />
= = 1,<br />
5A<br />
4V<br />
A<br />
I R = I2<br />
− I1<br />
= 0,<br />
25A<br />
U1<br />
8V<br />
R = = = 32Ω<br />
I R 0,<br />
25A<br />
P = U I = 8V<br />
⋅0,<br />
25A<br />
= 2W<br />
R<br />
1<br />
R<br />
8.37. Stromkreis mit Lichtbogen<br />
In der Anordnung aus der Skizze wird aus einer starren Gleichspannungsquelle über einen<br />
einstellbaren Widerstand R ein Lichtbogen B gespeist, dessen Strom-Spannungskennlinie<br />
näherungsweise durch den in der zweiten Skizze angegebenen hyperbolischen<br />
Zusammenhang mit festen Werten U1, I1 darstellbar ist. Berechnen und skizzieren Sie,<br />
qualitativ richtig, die Werte der bezogenen Stromstärke i = I/I1 als Funktion des bezogenen<br />
Widerstandes r = RI1/U1 für einen festen Wert der bezogenen Speisespannung u = Uq/U1.<br />
U<br />
q<br />
= RI + U<br />
B<br />
U q RI1<br />
I I<br />
= +<br />
U1<br />
U1<br />
I1<br />
I<br />
1<br />
u = ri +<br />
i<br />
2<br />
u + u − 4r<br />
i =<br />
2r<br />
= RI + U I / I<br />
1<br />
1 1<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 70 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.38. Überbrücktes T-Glied<br />
Zwischen den Eingangs- und Ausgangsgrößen des überbrückten T-Gliedes aus der Skizze<br />
bestehen allgemein die Beziehungen<br />
U1<br />
= Z11I1<br />
+ Z12I<br />
2<br />
U 2 = Z21I1<br />
+ Z22I<br />
2<br />
Geben Sie die speziellen Werte der vier Parameter Z1k an.<br />
Wir legen noch sämtliche Ströme fest (davon nur I3 unabhängig!):<br />
Maschen ansetzen:<br />
8Ω(<br />
I2<br />
+ I3<br />
) − 4Ω(<br />
I1<br />
− I3<br />
) = 0 → I3<br />
= 0,<br />
2I1<br />
− 0,<br />
4I<br />
2<br />
( I − I ) + 10Ω(<br />
I + I ) = ( 4 + 10 − 0,<br />
8)<br />
Ω⋅<br />
I + ( 10 + 1,<br />
6)<br />
8Ω<br />
⋅ I3<br />
+<br />
U1<br />
= 4Ω<br />
1 3<br />
= <strong>13</strong>,<br />
2Ω<br />
⋅ I1<br />
+ 11,<br />
6Ω<br />
⋅ I<br />
U 2 = 8Ω<br />
2 3<br />
= 11,<br />
6Ω⋅<br />
I + 14,<br />
8Ω<br />
⋅ I<br />
( I + I ) + 10Ω(<br />
I + I ) = ( 10 + 1,<br />
6)<br />
Ω ⋅ I + ( 8 + 10 − 3,<br />
2)<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
Ω ⋅ I<br />
2<br />
Ω ⋅ I<br />
Die Lösungen erhalten wir aus einem Koeffizientenvergleich mit den Formeln der Angabe:<br />
Z<br />
11<br />
= , 2Ω<br />
Z = Z = 11,<br />
6Ω<br />
Z = 14,<br />
8Ω<br />
<strong>13</strong> 12 21<br />
22<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 71 / 205<br />
2
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.39. Wheatstone-Brücke<br />
Berechnen und skizzieren Sie für feste Werte U1, R2, R3,<br />
R4 der in der Skizze angegebenen Brücke die<br />
Abhängigkeiten:<br />
i) U(R1) für R5<br />
→ ∞<br />
ii) I(R1) für R5 = 0<br />
2 4 1 3<br />
U = U 4 −U1<br />
=<br />
U q = U q<br />
( R1<br />
+ R2<br />
)( R3<br />
+ R4<br />
)<br />
R1R3<br />
x =<br />
R R<br />
2<br />
R4<br />
a =<br />
R<br />
3<br />
I =<br />
R R<br />
1<br />
2<br />
4<br />
2<br />
R1R<br />
x =<br />
R R<br />
R R − R R<br />
( R + R ) + R R ( R + R )<br />
3<br />
4<br />
3<br />
R R − R R<br />
R ⎛<br />
⎞<br />
2R4<br />
1 1 1<br />
b = ⎜ + + ⎟<br />
R3<br />
⎝ R2<br />
R3<br />
R4<br />
⎠<br />
2<br />
4<br />
4<br />
1<br />
3<br />
3<br />
4<br />
1<br />
2<br />
U<br />
q<br />
U<br />
=<br />
R<br />
R4<br />
R + R<br />
q<br />
3<br />
3<br />
4<br />
1−<br />
x<br />
1+<br />
bx<br />
1−<br />
x<br />
1+<br />
ax<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 72 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.40. Brückenschaltung zur Messwertumsetzung<br />
In einer Kraftmesseinrichtung wird die Kraft über<br />
zwei geeignet platzierte Dehnungsmessstreifen<br />
zuerst in Widerstandsänderungen +ΔR bzw. –ΔR<br />
und dann über die in der Skizze dargestellten<br />
Brückenschaltung in die Spannung UM umgesetzt.<br />
Geben Sie die Beziehung zwischen UM und ΔR<br />
für feste Werte Iq, R und RM an.<br />
Wir bezeichnen die Ströme:<br />
I<br />
U<br />
q = I1<br />
+ I2<br />
M<br />
= R<br />
M<br />
I<br />
M<br />
Wir stellen die Maschen auf:<br />
( R + ΔR)<br />
I1<br />
− ( R − ΔR)<br />
I2<br />
− RM<br />
I<br />
R I + I − R I − I + R I<br />
= 0<br />
( ) ( ) = 0<br />
1<br />
M<br />
2<br />
M<br />
subtrahieren das ganze (einige Schritte ausgelassen):<br />
ΔR<br />
I + I = ΔRI<br />
= 2 R + R I<br />
U<br />
M<br />
( ) ( )<br />
1<br />
=<br />
2<br />
Iq<br />
⎛ R<br />
2 ⎜<br />
⎜1+<br />
⎝ RM<br />
q<br />
ΔR<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
M<br />
M<br />
M<br />
M<br />
M<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 73 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.41. Thomsonbrücke<br />
Die Thomsonsche Widerstandsbrücke aus der Skizze<br />
dient zur Messung eines Widerstandes Rx durch den<br />
Vergleich mit dem Normalwiderstand RN. Dabei<br />
lassen sich die Widerstände gemeinsam gemäß<br />
R3 = kR2 und R4 = kR1 mit festem, bekanntem k<br />
einstellen. Leiten Sie die Abgleichbedingung<br />
(UM = 0) für die Brücke ab.<br />
Wir transformieren die Thomson Brücke in eine Wheatstonebrücke (Stern-Dreieck):<br />
R 3 = kR4<br />
R4<br />
= kR1<br />
Ra<br />
=<br />
R<br />
RLR2<br />
+ k + 1 R<br />
Rb<br />
= kR<br />
L<br />
( ) a<br />
Abgleichbedingung für Wheatstonebrücke (Spannungsteilerregel):<br />
( RN<br />
+ Ra<br />
) R4<br />
= ( Rx<br />
+ Rb<br />
) R1<br />
( RN<br />
+ Ra<br />
) kR1<br />
= ( Rx<br />
+ Rb<br />
) R1<br />
( RN<br />
+ Ra<br />
) k = Rx<br />
+ kRa<br />
R = kR<br />
x<br />
N<br />
2<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 74 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.42. Transistorverstärker in Emitterschaltung<br />
Wir<br />
zeichnen uns wieder alle Ströme ein:<br />
und erstellen alle Maschen:<br />
U<br />
U<br />
U<br />
A<br />
q<br />
q<br />
= 56Ω⋅<br />
= 1,<br />
5kΩ<br />
= 1,<br />
5kΩ<br />
I1<br />
− 3846Ω(<br />
301I<br />
B − I1)<br />
= 3902kΩ<br />
⋅ I1<br />
−1158kΩ<br />
⋅ I B<br />
( I2<br />
+ I B ) + 1,<br />
5kΩ⋅<br />
I2<br />
= 3kΩ<br />
⋅ I2<br />
+ 1,<br />
5kΩ<br />
⋅ I B<br />
( I2<br />
+ I B ) + 1kΩ<br />
⋅ I B + 56Ω<br />
⋅ I1<br />
= 56Ω<br />
⋅ I1<br />
+ 1,<br />
5kΩ⋅<br />
I2<br />
+ 2,<br />
5kΩ⋅<br />
I B<br />
aus den Formeln ergibt sich:<br />
I<br />
−3<br />
= 8,<br />
077⋅10<br />
S ⋅U<br />
+ 2,<br />
442⋅10<br />
I<br />
1<br />
B<br />
=<br />
2,<br />
722⋅10<br />
−5<br />
q<br />
S ⋅U<br />
q<br />
− 7,<br />
8<strong>13</strong>⋅10<br />
S ⋅U<br />
Das setzen wir in U A = −560Ω<br />
I A − I B + I1<br />
ein:<br />
U = −552Ω<br />
⋅ I − 4,<br />
45U<br />
…Formel für die Ersatzquelle<br />
A<br />
A<br />
q<br />
−5<br />
−7<br />
A<br />
S ⋅U<br />
A<br />
( )<br />
Ein Transistorverstärker V in<br />
Emitterschaltung mit der in der<br />
Skizze angegebenen<br />
Ersatzschaltung wird am Eingang<br />
1,2 mit einer linearen<br />
Spannungsquelle betrieben.<br />
Ersetzen Sie die gesamte Schaltung<br />
durch eine lineare Quelle<br />
bezüglich<br />
des Ausgangs 3,4.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 75 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.43. Transistorverstärker in Kollektorschaltung<br />
Ein Transistorverstärker V in Kollektorschaltung mit der in der Skizze angegebenen<br />
Ersatzschaltung wird am Ausgang mit einem 10Ω-Widerstand belastet. Geben Sie die<br />
Beziehung zwischen den Eingangsgrößen U1 und I1 an.<br />
Wir erstellen ein ESB (Die rechten drei Widerstände liegen parallel. Achtung: Einer ist als<br />
Leitwert angegeben):<br />
Ohmsches Gesetz:<br />
U1<br />
= 1kΩ<br />
⋅ I B + 7,<br />
66Ω<br />
⋅301⋅<br />
I<br />
U = 600Ω<br />
I − I<br />
1<br />
( )<br />
Wir setzen ein:<br />
U1 = 508Ω ⋅ I1<br />
1<br />
B<br />
B<br />
= 3,<br />
3kΩ<br />
⋅ I<br />
Die Schaltung verhält sich also am Eingang wie ein 508Ω Widerstand.<br />
B<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 76 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.44. Verstärkerschaltung<br />
Bei der Beschreibung des Kleinsignalverhaltens eines Transistorverstärkers ergibt sich die<br />
Ersatzschaltung nach der Skizze. Berechnen Sie für eine sinusförmige Wechselspannung US<br />
mit der Amplitude ˆ = 10mV<br />
die Amplituden von Ii, Ui, IA, UA.<br />
U S<br />
Wir erstellen eingangs- und ausgangsseitig ein ESB:<br />
Ri<br />
= 1k<br />
// 470k<br />
+ 1k6<br />
≈ 1k<br />
+ 1k6<br />
= 2,<br />
6kΩ<br />
R7<br />
= 50k<br />
// 4k7<br />
// 5k6<br />
= 2,<br />
43kΩ<br />
R2<br />
U′<br />
S = U S<br />
R + R<br />
≈ U S<br />
1<br />
Ohmsches Gesetz:<br />
U A = −R7β<br />
⋅ I B<br />
( U′<br />
S −αU<br />
A )<br />
I B =<br />
R<br />
i<br />
2<br />
einsetzen:<br />
αU<br />
A = U′<br />
S − RiI<br />
B = −αβR7I<br />
B<br />
U′<br />
S U S U S<br />
I B = ≈ ≈<br />
Ri<br />
−αβR7<br />
Ri<br />
R1<br />
+ R3<br />
R3<br />
Ui<br />
= R3I<br />
B −αU<br />
A = ( R3<br />
+ αβR7<br />
) I B ≈ U S<br />
R1<br />
+ R3<br />
U S −U<br />
i U S<br />
Ii<br />
= ≈<br />
R1<br />
R1<br />
+ R3<br />
βR7<br />
U A = −βR7<br />
I B ≈ − U S<br />
R1<br />
+ R3<br />
U A βR7<br />
I A = ≈ − U S<br />
R6<br />
R6(<br />
R1<br />
+ R3<br />
)<br />
Ergebnisse: ˆ = 3,<br />
9µA<br />
Uˆ<br />
= 6,<br />
15mV<br />
Iˆ<br />
= 0,<br />
18mA<br />
Uˆ<br />
= 1,<br />
03V<br />
Ii i<br />
A<br />
A<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 77 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.45. Zweitorparameter<br />
Eine Verstärkerschaltung (Skizze) lässt sich allgemein durch die Beziehungen<br />
U1<br />
= Z11I1<br />
+ Z12I<br />
2<br />
U 2 = Z21I1<br />
+ Z22I<br />
2<br />
beschreiben. Bestimmen Sei für den konkreten Fall die Werte der vier Parameter Zik.<br />
Ströme festlegen:<br />
Masche:<br />
1kΩ<br />
I3<br />
− I1<br />
+ 100Ω<br />
⋅ I<br />
201I<br />
= 100I<br />
− I<br />
( ) + 10Ω(<br />
I + 91I<br />
)<br />
3<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
= 0<br />
Wir eliminieren den Strom I3:<br />
⎛ I2<br />
−100I1<br />
⎞<br />
U1<br />
= 1kΩ(<br />
I1<br />
− I3<br />
) = 1kΩ⎜<br />
I1<br />
+ ⎟ = 502Ω<br />
⋅ I1<br />
+ 4,<br />
98Ω<br />
⋅ I2<br />
⎝ 201 ⎠<br />
⎛ 100I1<br />
− I2<br />
⎞<br />
U 2 = 10Ω<br />
I2<br />
+ 91I3<br />
= 10Ω⎜<br />
I2<br />
+ 91 ⎟ = 453Ω<br />
⋅ I1<br />
+ 5,<br />
47Ω<br />
⋅ I<br />
⎝ 201 ⎠<br />
( ) 2<br />
Koeffizientenvergleich:<br />
Z = Ω Z = 4,<br />
98Ω<br />
Z = 453Ω<br />
Z = 5,<br />
47Ω<br />
11<br />
502 12<br />
21<br />
22<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 78 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.46. Parameter einer Ersatzquelle<br />
Die Quellen im eingerahmten Schaltungsteil der Skizze sind linear gesteuert. Bestimmen Sie<br />
die Parameter Uq und Ri einer Ersatzspannungsquelle.<br />
Masche:<br />
U + αU<br />
− R I = 0<br />
U<br />
1<br />
2<br />
2<br />
= −R<br />
2<br />
2<br />
( I + βI<br />
) = −R<br />
I − β ( U + αU<br />
)<br />
2<br />
1 1<br />
⎛ R ⎞ 2<br />
R2<br />
⎜<br />
⎜1+<br />
αβ U 2 U1<br />
R2I<br />
2<br />
R ⎟ = − β −<br />
⎝ 1 ⎠ R1<br />
R2<br />
β<br />
R1<br />
R2<br />
U 2 = − U1<br />
− I<br />
R2<br />
R2<br />
1+<br />
αβ 1+<br />
αβ<br />
R<br />
R<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
R<br />
R<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
Koeffizientenvergleich mit Ersatzspannungsquellenformel U 2 U q − RiI<br />
2<br />
= −<br />
R2<br />
β<br />
R<br />
1+<br />
αβ<br />
R<br />
U<br />
1<br />
U q<br />
1 i R2<br />
1<br />
R2<br />
R =<br />
R2<br />
1+<br />
αβ<br />
R<br />
1<br />
2<br />
= :<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 79 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.47. Umsetzung und Übertragung einer Messgröße<br />
Das Sensorelement S aus der Skizze setzt eine Messgröße in die Widerstandsänderung ΔR<br />
um. In der Brücke entsteht daraus die Differenzspannung Du, die für eine möglichst<br />
störungsfreie Übertragung in ein Stromsignal umgewandelt wird. Geben Sie die Spannung UM<br />
als Funktion von ΔR an.<br />
Stromteilerregel:<br />
2R<br />
I1<br />
= Iq<br />
4R<br />
+ ΔR<br />
2R<br />
+ ΔR<br />
I2<br />
= Iq<br />
4R<br />
+ ΔR<br />
Daraus erhalten wir die Differenzspannung:<br />
ΔR<br />
U d = R(<br />
I2<br />
− I1)<br />
= Iq<br />
R<br />
4R<br />
+ ΔR<br />
Diese Spannung wird in den proportionalen Strom γ U d umgesetzt.<br />
U<br />
M<br />
= R γ U<br />
M<br />
d<br />
γRM<br />
I<br />
=<br />
4<br />
q<br />
ΔR<br />
ΔR<br />
1+<br />
4R<br />
Anmerkung:<br />
Diese Art von Übertragung wird dazu benutzt, um Signale über große Strecken zu übertragen,<br />
da der Spannungsabfall an der Leitung (am RL) keinen Einfluss hat.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 80 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.48. Nichtlineares Stromkreiselement<br />
Die Skizze zeigt die Spannungs-Strom-Kennlinie einer Tunneldiode (TD).<br />
i) Die TD liege in Reihe mit einem Widerstand von 100Ω. Bestimmen Sie<br />
graphisch die Spannungsaufteilung, wenn an der Reihenschaltung eine<br />
Gesamtspannung von 0,5V liegt.<br />
ii) Durch die Parallelschaltung der TD mit einem 100Ω-Widerstand fließt ein<br />
Gesamtstrom von 4mA. Bestimmen Sie graphisch die Stromaufteilung.<br />
iii) Konstruieren Sie die U-I-Kennlinien<br />
a. der Reihenschaltung der TD mit einem Widerstand von 100Ω<br />
b. der Parallelschaltung der TD mit einem Widerstand von 100Ω<br />
Wir erhalten drei Lösungen:<br />
U R = 0,<br />
45V<br />
→ U D = 0,<br />
05V<br />
U R = 0,<br />
40V<br />
→ U D = 0,<br />
10V<br />
U = 0,<br />
12V<br />
→ U = 0,<br />
38V<br />
R<br />
D<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 81 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
Wir erhalten wieder drei Lösungen:<br />
I D = 3,<br />
65mA<br />
→ I R = 0,<br />
35mA<br />
I D = 2,<br />
70mA<br />
→ I R = 1,<br />
30mA<br />
I = 0,<br />
65mA<br />
→ I = 3,<br />
35mA<br />
D<br />
„Gescherte“ Kennlinie:<br />
R<br />
(a) U-I-Zusammenhang für die Reihenschaltung U = UR + UD<br />
(b) U-I-Zusmamenhang für die Parallelschaltung I = IR + ID<br />
(c) Gegebener UD-ID-Zusammenhang für die Diode<br />
(d) UR-IR-Zusammenhang für den Widerstand UR = RIR<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 82 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.49. Ersatzschaltung für eine Diode<br />
Die U-I-Kennlinie einer „realen“ Diode lässt sich durch drei Geradenstücke annähern. Dazu<br />
gehört di ein der Skizze dargestellte Ersatzschaltung mit idealen Elementen und U Z > U S > 0 .<br />
i) Geben Sie den jeweiligen Ausdruck für die Funktion I(U) in den Bereichen<br />
U > U S , S und Z U U<br />
−U Z < U < U < − an.<br />
ii) Skizzieren Sie die Kennlinie I(U).<br />
1) DF leitet<br />
U = U S + I F ⋅ RF<br />
+ U<br />
RLI<br />
−U<br />
S<br />
I F = > 0<br />
RL<br />
+ RR<br />
RLI<br />
−U<br />
S > 0<br />
U S I ><br />
RL<br />
U U −U<br />
S U<br />
I = + ><br />
RL<br />
RF<br />
R<br />
U > U<br />
S<br />
DZ sperrt weil U > 0<br />
2) DZ leitet<br />
U<br />
I =<br />
R<br />
− IZ<br />
=<br />
L<br />
für IZ > 0<br />
U −U<br />
U<br />
R<br />
L<br />
DF<br />
< Z DF sperrt<br />
3) DZ und DF sperren<br />
− U < U < U<br />
Z<br />
U<br />
I =<br />
R<br />
L<br />
S<br />
S<br />
L<br />
= R<br />
IZ<br />
L<br />
( I − I )<br />
⎛ −U<br />
−U<br />
⎞ Z − ⎜ =<br />
R ⎟<br />
⎝ Z 14243⎠<br />
F<br />
U<br />
R<br />
L<br />
U + U<br />
+<br />
R<br />
Z<br />
Z<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 83 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.50. Schaltung mit Diode<br />
allgemeine Bedingungen:<br />
I ≥ 0 …kein negativer Strom durch die Diode<br />
≤ U = 0,<br />
7V<br />
…Diodenspannung nicht größer als 0,7V<br />
U D S<br />
I<br />
U<br />
U<br />
U<br />
U<br />
U<br />
=<br />
U E − U S + U A<br />
R 1 + R 2<br />
− U + U > 0<br />
E<br />
q<br />
1<br />
2<br />
A<br />
><br />
=<br />
−<br />
IR<br />
S<br />
= IR<br />
= U<br />
9 , 3V<br />
2<br />
2<br />
− U<br />
a) Uq = 5V<br />
10V<br />
− 0,<br />
7V<br />
+ 5V<br />
I =<br />
= 2,<br />
1mA<br />
6,<br />
8kΩ<br />
U1<br />
= 9,<br />
67V<br />
U 2 = 4,<br />
63V<br />
U = −0,<br />
37V<br />
A<br />
b) Uq = -5V<br />
10V<br />
− 0,<br />
7V<br />
− 5V<br />
I =<br />
= 0,<br />
63mA<br />
6,<br />
8kΩ<br />
U1<br />
= 2,<br />
91V<br />
U 2 = 1,<br />
39V<br />
U = 6,<br />
39V<br />
A<br />
c) Uq = -15V<br />
Die Diode sperrt.<br />
q<br />
q<br />
><br />
0<br />
Nehmen Sie für die Dioden in der Schaltung<br />
aus der Skizze die Schwellenspannung mit<br />
0,7V an und berechnen Sie die Werte von I,<br />
U1, U2 und UA für Uq = 5V; -5V und -15V.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 84 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.51. Diodenschaltung als UND-Gatter<br />
1) D1 und D2 leiten<br />
U D1<br />
= U D2<br />
= U S<br />
U q = RI + U S + U E1<br />
= RI + U S + U E<br />
( U q −U<br />
S −U<br />
E1)<br />
I =<br />
> 0 → U E1<br />
= U<br />
R<br />
U = U − RI = U + U < 10V<br />
A<br />
q<br />
E1,<br />
2<br />
2) D1 leitet, D2 sperrt<br />
U = U U < U<br />
U<br />
U<br />
U<br />
U<br />
D1<br />
q<br />
q<br />
E1<br />
E1<br />
S<br />
= RI + U<br />
= RI + U D<br />
< U E 2<br />
< U −U<br />
q<br />
S<br />
D2<br />
+ U<br />
S<br />
2<br />
E1<br />
+ U<br />
S<br />
= 9,<br />
3V<br />
S<br />
→ I =<br />
E 2<br />
→ U<br />
Zeigen Sie, dass die in der Skizze dargestellte<br />
Diodenschaltung eine logische UND-Verknüpfung<br />
realisiert. Wie groß sind die Pegel zu wählen und welche<br />
Werte der Ausgangsspannung ergeben sich<br />
damit?<br />
(Schwellenspannung 0,7V)<br />
Bedingungen: ≥ 0, U 1 ≤ U , U ≤ U , U = 0,<br />
7V<br />
2<br />
E 2<br />
→ U<br />
< U<br />
E1<br />
( U −U<br />
−U<br />
)<br />
D2<br />
q<br />
= U<br />
−U<br />
S<br />
I D S DS S S<br />
E 2<br />
= 9,<br />
3V<br />
q S<br />
R<br />
E1<br />
> 0<br />
= U S + U E1<br />
−U<br />
E 2 < U S<br />
U E 2 > U E1<br />
U = U + U < 10V<br />
3) D1 sperrt, D2 leitet (wie 2, nur D1 und D2 vertauscht)<br />
U E1<br />
> U E 2<br />
U E 2 < U q −U<br />
S = 9,<br />
3V<br />
U = U + U < 10V<br />
A<br />
E 2<br />
4) beide sperren<br />
I = 0<br />
U D1<br />
< U S U D2<br />
< U S<br />
U q = U D1<br />
+ U E1<br />
→ U D<br />
U q = U D2<br />
+ U E 2 → U<br />
U E1<br />
> U q −U<br />
S = 9,<br />
3V<br />
U E 2 > U q −U<br />
S = 9,<br />
3V<br />
U = U = 10V<br />
A<br />
q<br />
S<br />
1<br />
D2<br />
= U q −U<br />
E<br />
= U −U<br />
q<br />
1<br />
E 2<br />
A<br />
< U S<br />
< U<br />
S<br />
E1<br />
Die „Low“ Pegel sind < 9,3V, die „High“ Pegel > 9,3V. „High“ ist nur, wenn beide Eingänge<br />
„High“ sind. � bei positiver Logik UND-Gatter<br />
S<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 85 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.52. Schaltung mit Dioden<br />
In der Schaltung aus der Skizze kann für die Dioden eine Schwellenspannung von 0,7V und<br />
ein Bahnwiderstand von 10Ω angenommen werden. Bestimmen Sie die Werte der<br />
Spannungen U10, U20 und des Stromes ID1.<br />
Annahme, beide Dioden leiten:<br />
> I > 0 U = U = U<br />
I D1<br />
0 D2<br />
D1<br />
D2<br />
S<br />
U<br />
q<br />
= R I + U<br />
D1<br />
1<br />
0 = U S + RF<br />
I<br />
I = I + I<br />
D2<br />
S<br />
D1<br />
+ R<br />
−<br />
F<br />
I<br />
D1<br />
( R + R )<br />
Annahme einsetzen:<br />
R + R I + R I = U<br />
( 1 F ) D1<br />
1<br />
R I − ( R + R )<br />
I<br />
I<br />
F<br />
D1<br />
D2<br />
2<br />
D2<br />
F<br />
I<br />
D2<br />
−U<br />
−U<br />
S<br />
= 0,<br />
7V<br />
D1<br />
2 F I D2<br />
= 0<br />
U q −U<br />
S<br />
=<br />
= 19,<br />
1mA<br />
⎛ R ⎞ 1<br />
R1<br />
+ RF<br />
⎜<br />
⎜1+<br />
R R ⎟<br />
⎝ 2 + F ⎠<br />
U q −U<br />
S<br />
=<br />
= 0,<br />
034mA<br />
( R1<br />
+ RF<br />
)( R2<br />
+ RF<br />
)<br />
R1<br />
+<br />
R<br />
Was ergibt:<br />
U10<br />
= U S + RF<br />
I<br />
U = U + R I<br />
20<br />
S<br />
F<br />
D1<br />
D2<br />
F<br />
q<br />
S<br />
= 0,<br />
7V<br />
+ 0,<br />
19V<br />
= 0,<br />
89V<br />
= 0,<br />
7V<br />
+ 0,<br />
0003V<br />
= 0,<br />
70V<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 86 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.53. Gleichrichter<br />
Am Eingang des Gleichrichters aus der Skizze liegt eine sinusförmige Wechselspannung mit<br />
der Amplitude Uˆ E = 10V<br />
. Vernachlässigen Sie die Schwellenspannung der Dioden und<br />
bestimmen Sie<br />
i) den Zeitverlauf und den Maximalwert der Ausgangsspannung UA<br />
ii) die Maximalwerte der an den Dioden in Sperrrichtung auftretenden<br />
Spannungen (Spitzensperrspannung)<br />
i) Zeitverlauf und Maximalwert von UA<br />
a) UE > 0<br />
U E 3 U E<br />
I D = = − > 0<br />
R // ( 2R)<br />
2 R<br />
RI D U E<br />
U A = RI = =<br />
3 2<br />
U E<br />
U sp = U E −U<br />
A =<br />
2<br />
b) UE < 0<br />
U E 3 U E<br />
I D = − = − > 0<br />
R // ( 2R)<br />
2 R<br />
RI D U E<br />
U A = RI = = −<br />
3 2<br />
U E<br />
U sp = −U<br />
E −U<br />
A = −<br />
2<br />
Insgesamt:<br />
U E<br />
U A =<br />
2<br />
= 5V<br />
sin ω t<br />
Uˆ<br />
= 5V<br />
A<br />
( )<br />
ii) Spitzensperrspannung Uˆ RA<br />
sp = 5V<br />
für allgemeine RA U A = U E<br />
R + R<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 87 / 205<br />
A
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.54. Gleichrichterschaltung<br />
An den beiden Eingängen der Schaltung aus der Skizze liegen die sinusförmigen<br />
Wechselspannungen UE1 und UE2 = UE1. Geben Sie den Zeitverlauf der Ausgangspannung UA<br />
an.<br />
a) UE > 0 D1 leitet, D2 sperrt<br />
U A = U E<br />
U = −U<br />
−U<br />
= −2U<br />
< 0<br />
D2<br />
E<br />
b) UE < 0 D1 sperrt, D2 leitet<br />
U A = −U<br />
E<br />
U = U −U<br />
= 2U<br />
< 0<br />
D1<br />
E<br />
insgesamt:<br />
= U = Uˆ<br />
sin ωt<br />
U A E<br />
U<br />
U<br />
E<br />
A<br />
A<br />
A<br />
E<br />
( )<br />
E<br />
8.55. Gleichrichter mit Zusatzspannung<br />
= U<br />
q<br />
+ U<br />
= RI ≥ 0<br />
D<br />
+ U<br />
A<br />
Diode leitet: U D = 0 U A = U E −U<br />
q > 0<br />
Diode sperrt: I 0 U = 0 U = U −U<br />
< 0<br />
= A<br />
D E q<br />
Am Eingang der Schaltung aus der Skizze liegt eine<br />
sinusförmige Wechselspannung mit der Amplitude U E .<br />
Skizzieren Sie den Zeitverlauf der Ausgangsspannung<br />
für und für q . Die<br />
Schwellenspannung der Diode kann vernachlässigt<br />
werden.<br />
ˆ<br />
Uˆ E > U q > 0 U ˆ<br />
E < U<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 88 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.56. Abschneiden einer positiven Spitze<br />
Bestimmen Sie in der Schaltung aus der Skizze den Zeitverlauf der Ausgangsspannung UA für<br />
eine sinusförmige Eingangsspannung UE der Amplitude U E , und zwar für und für<br />
. Vernachlässigen Sie dazu die Schwellenspannung der Diode.<br />
ˆ<br />
U ˆ<br />
E > U q<br />
U ˆ < U<br />
U<br />
U<br />
E<br />
E<br />
A<br />
= U<br />
q<br />
= RI + U<br />
D<br />
D<br />
+ U<br />
Diode leitet:<br />
U D = 0<br />
U E −U<br />
I =<br />
R<br />
U > U<br />
U<br />
E<br />
A<br />
q<br />
( )<br />
= U<br />
q<br />
q<br />
q<br />
Diode sperrt:<br />
I = 0<br />
U = U −U<br />
U<br />
U<br />
D<br />
E<br />
A<br />
< U<br />
= U<br />
E<br />
q<br />
E<br />
q<br />
+ U<br />
> 0<br />
< 0<br />
q<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 89 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.57. Schaltung mit Dioden und Spannungsquellen<br />
Am Eingang der Schaltung aus der Skizze liegt eine dreieckförmige Wechselspannung der<br />
Amplitude 10V. Die Schwellenspannung der Dioden sind in den Spannungsquellen bereits<br />
enthalten, brauchen also nicht berücksichtigt zu werden. Bestimmen Sie die Zeitverläufe der<br />
Ausgangsspannung UA und des Eingangsstromes I.<br />
R = 10kΩ<br />
U<br />
E<br />
= RI + U<br />
U<br />
A<br />
q1<br />
= 6V<br />
U<br />
D1 leitet, D2 sperrt<br />
U = U<br />
A<br />
I =<br />
U<br />
D2<br />
q1<br />
( U −U<br />
)<br />
E<br />
R<br />
= −U<br />
A<br />
q1<br />
−U<br />
A<br />
= U<br />
> 0 → U<br />
q2<br />
= −<br />
D1 und D2 sperren<br />
I = 0 U A = U E<br />
U = U −U<br />
< 0<br />
U<br />
D1<br />
D2<br />
E<br />
= −U<br />
E<br />
q1<br />
−U<br />
q2<br />
D1 sperrt, D2 leitet<br />
U = −U<br />
A<br />
D1<br />
q2<br />
( U + U )<br />
q1<br />
U<br />
D1<br />
E<br />
q2<br />
= 8V<br />
+ U<br />
q1<br />
= −U<br />
( U + U ) < 0<br />
q1<br />
> U<br />
< 0 → −U<br />
I =<br />
E<br />
R<br />
q2<br />
< 0 → U<br />
U = U −U<br />
= −<br />
A<br />
q2<br />
q1<br />
q2<br />
< U<br />
( U + U ) < 0<br />
q1<br />
E<br />
< −U<br />
q2<br />
q2<br />
E<br />
D2<br />
< U<br />
−U<br />
q2<br />
q2<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 90 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.58. Einfache Spannungsstabilisierung<br />
Die Eingangsspannung U1 der Schaltung aus der Skizze schwankt im Bereich von 2,5V bis<br />
3,7V. In welchem Bereich schwankt dabei die Ausgangsspannung U2, wenn Sie jede der<br />
beiden Dioden durch die Schwellenspannung 0,7V und den Ersatzwiderstand 70mΩ<br />
darstellen können?<br />
ESB:<br />
Dioden leiten, weil U1 > 2US<br />
⎛U 2 U 2 − 2U<br />
⎞ S<br />
U1<br />
= R1<br />
⎜ +<br />
U<br />
R 2R<br />
⎟ + 2<br />
⎝ 2<br />
F ⎠<br />
R1<br />
U1<br />
+ U S<br />
RF<br />
R1<br />
R1<br />
= U 2 + U 2 + U 2<br />
R2<br />
2RF<br />
R1<br />
U1<br />
+ U S<br />
RF<br />
U 2 =<br />
R1<br />
R1<br />
1+<br />
+<br />
R 2R<br />
= 1,<br />
44V<br />
... 1,<br />
48V<br />
2<br />
F<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 91 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.59. Spannungsquelle<br />
Wie groß ist für die Schaltung aus der Skizze die an den Ausgangsklemmen maximal<br />
abgebbare Leistung? Nehmen Sie für jede Diode eine Schwellenspannung von 0,7V an.<br />
q<br />
( I I )<br />
U = U − R +<br />
Dioden leiten:<br />
U = 2U<br />
S = 1,<br />
4V<br />
I D =<br />
U q − 2U<br />
S<br />
R<br />
− I > 0 → I <<br />
D<br />
( ) ( U − 2U<br />
)<br />
Dioden sperren:<br />
U = U − RI<br />
I<br />
K<br />
q<br />
U q<br />
= =<br />
R<br />
U = 2U<br />
D<br />
0,<br />
4<br />
= U<br />
q<br />
A<br />
− RI ≤ 2U<br />
S<br />
→ I ≥<br />
q<br />
R<br />
S<br />
=<br />
( U − 2U<br />
)<br />
q<br />
R<br />
S<br />
0,<br />
26<br />
Die maximale Leistung tritt im Knickpunkt auf:<br />
P = 1,<br />
4V<br />
⋅0,<br />
26A<br />
= 0,<br />
36W<br />
max<br />
=<br />
A<br />
0,<br />
26<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 92 / 205<br />
A
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
8.60. Stromquelle<br />
Für hinreichend kleine Werte von U leitet D1 und sperrt Db.<br />
ESB:<br />
10V<br />
=<br />
1kΩ<br />
⋅1<br />
( I2<br />
−1,<br />
11I<br />
) 5kΩ<br />
+ ( I 2 − I ) 5kΩ<br />
= 10<br />
, 11I<br />
= 5kΩ(<br />
I −1,<br />
11I<br />
) → I = 1,<br />
33I<br />
2<br />
2<br />
kΩI<br />
2<br />
Die Schaltung aus der Skizze soll<br />
bezüglich der Ausgangsklemmen<br />
1,2 eine<br />
Konstantstromquelle darstellen (Der<br />
strichliert eingegrenzte Bereich ist eine<br />
Bauelement-Ersatzschaltung). Wie groß ist<br />
die gelieferte Stromstärke I, und bis zu<br />
welchem Spannungswert U ist der<br />
Konstantstrombetrieb möglich?<br />
Vernachlässigen Sie die<br />
Schwellenspannung.<br />
− 5kΩ<br />
⋅ 2,<br />
11I<br />
→ I<br />
Aus den beiden Beziehungen für I2 folgt 1,33I – 1,056I = 1mA<br />
I = 3,<br />
6mA<br />
Aus U D = U −10V<br />
+ 1kΩ<br />
⋅1,<br />
11I<br />
= U − 6V<br />
≤ 0 folgt U ≤ 6V<br />
2<br />
2<br />
−1056I<br />
= 1mA<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 93 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
9. Das elektrische Feld<br />
9.1. Elektrostatisches Feld<br />
Der Körper 1 aus der Skizze wird durch kurzzeitigen Kontakt mit einer Spannungsquelle<br />
gegenüber Erde (2) elektrisch aufgeladen und anschließend in eine leitfähige, ungeladene,<br />
isoliert aufgestellte Hülle (3) gebracht.<br />
i)<br />
i) Skizzieren Sie, qualitativ richtig,<br />
Potentialflächen und Flussröhren<br />
innerhalb und außerhalb der Hülle.<br />
ii) Die Hülle wird nun über einen Draht mit<br />
Erde verbunden („geerdet“). Wie ändert<br />
sich das elektrische Feld?<br />
ii) Abgesehen von Störungen in der Umgebung der Öffnung bleibt das elektrostatische Feld<br />
im Innenraum unverändert, der Außenraum wird dagegen feldfrei.<br />
9.2. Elektrostatische Abschirmung<br />
Das Paar entgegengesetzt gleich groß geladener Körper aus der 1. Skizze befinden sich (a)<br />
außerhalb, (b) innerhalb einer metallenen Hülle F (Faraday-Käfig). Skizzieren Sie, qualitativ<br />
richtig, das elektrische Feld (Potentialflächen und Flussröhren) für beide Fälle innerhalb und<br />
außerhalb der Hülle.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 94 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
9.3. Tropfengenerator<br />
Tropfen pro Stunde: N = 5⋅ 3600 = 1,<br />
8⋅10<br />
−7<br />
Gesamtladung: Q = NQT<br />
= 1,<br />
8⋅10<br />
C<br />
ε 0 ε r A<br />
Kapazität: C ≈ = 17,<br />
7 pF<br />
l<br />
Q<br />
Spannung: U = = 10,<br />
2kV<br />
C<br />
9.4. Streifenleitung<br />
In dem in der Skizze dargestellten<br />
elektrostatischen Generator werden Wassertropfen<br />
vor dem Abreißen durch Influenz auf<br />
etwa<br />
QT = 10 pC elektrisch geladen und in einem<br />
flachen, isoliert aufgestellten Metallbehälter<br />
aufgefangen. Wie groß ist die Spannung U<br />
zwischen dem Behälter und Erde nach einer<br />
Stunde, wenn je Sekunde 5 Tropfen fallen?<br />
4<br />
Ein dielektrischer Streifen laut Skizze ist beidseitig metallische beschichtet („Sandwich“).<br />
Berechnen Sie die längenbezogene Kapazität.<br />
Weil d
C<br />
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
9.5. Bauvolumen eines Kondensators<br />
nC<br />
= 0<br />
εA<br />
= n<br />
d<br />
Mit Dicke der Metallschicht:<br />
k<br />
−7<br />
3<br />
3<br />
( d + d ) = d ( d + d ) = 1, 4⋅10<br />
m = 140mm<br />
V = nA M K<br />
K M K<br />
ε 0ε<br />
r<br />
C<br />
Nach dem in der Abbildung skizzierten Aufbauprinzip<br />
von Kondensatoren werden einseitig metallisierte<br />
Kunststoffschichten gestapelt. Wie groß ist für einen so<br />
ausgeführten Kondensator mit C = 1,5µF das mindestens<br />
erforderliche Bauvolumen?<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 96 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
9.6. Metallpapier-Kondensator<br />
Durch Aufwickeln zweier Metallfolienstreifen mit einer aktiven Breite von 15mm wird ein<br />
Wickelkondensator hergestellt. Als Dielektrikum werden imprägnierte Papierstreifen mit<br />
einer effektiven Dicke von 8µm und einer Dielektrizitätszahl von ε R = 5 verwendet.<br />
i) Wie groß ist für die Kapazität von 220nF die erforderliche Streifenlänge?<br />
ii) Wie groß ist die zulässige Betriebsspannung, wenn das Dielektrikum die maximale<br />
Feldstärke E 200kV<br />
/ cm sicher aufnehmen kann?<br />
max =<br />
Der Leiter auf der linken und der rechten Seite der Folie in der Mitte ist der gleiche! (Linie<br />
folgen) � Parallelschaltung<br />
ε 0ε<br />
r A<br />
C = allgemeine Formel<br />
d<br />
2εA<br />
bl<br />
C = = 2ε<br />
d d<br />
−9<br />
−6<br />
Cd 220 ⋅10<br />
⋅8<br />
⋅10<br />
l = =<br />
−12<br />
2bε<br />
2 ⋅ 5⋅<br />
8,<br />
85⋅10<br />
⋅15⋅10<br />
−3<br />
m = 1,<br />
33m<br />
Man benötigt also 1,33m pro Streifen (2 Metallfolienstreifen + 2 Papierstreifen)<br />
3<br />
220 ⋅10<br />
V −6<br />
U max = Emaxd<br />
= ⋅8<br />
⋅10<br />
m = 160V<br />
− 2<br />
10 m<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 97 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
9.7. Drehkondensator<br />
Berechnen Sie für den in der Skizze angegebenen Kreisplatten-Drehkondensator die Kapazität<br />
als Funktion des Drehwinkels α zuerst allgemein, dann für r = 5mm, R = 20mm, d = 0,2mm<br />
und n = 10.<br />
ESB:<br />
Kapazität pro Rotorplatte:<br />
C<br />
A<br />
0<br />
0<br />
ε 0A<br />
=<br />
d<br />
=<br />
0<br />
C = 2C0<br />
2 2 α 2 2<br />
( πR<br />
−πr<br />
) = ( R − r )<br />
2π<br />
2 2<br />
nε<br />
( R − r ) α<br />
C = 2C0n<br />
= 0<br />
d<br />
10⋅<br />
8,<br />
8 pF / m ⋅<br />
C =<br />
0,<br />
2⋅10<br />
α<br />
2<br />
2 2 −6<br />
2<br />
( 20 − 5 ) ⋅10<br />
m / rad pF<br />
⋅α<br />
= 1,<br />
66 ⋅α<br />
−3<br />
m<br />
1 1<br />
= → C = 2,<br />
89<br />
rad 57,<br />
7Grad<br />
pF<br />
Grad<br />
⋅α<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 98 / 205<br />
rad
ESB:<br />
C<br />
12<br />
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
9.8. Kapazitive Anordnung mit verschiebbarer Platte<br />
In der skizzierten Plattenanordnung aus der Abbildung mit der<br />
wirksamen Plattenfläche A ist die mittlere Platte parallel zu sich selbst<br />
aus der Mittellage verschiebbar (Lagekoordinate x). Berechnen und<br />
skizzieren Sie den Verlauf der Kapazität C12 als Funktion von x/a ohne<br />
Berücksichtigung von Randstörungen.<br />
ε 0A<br />
ε 0A<br />
2ε<br />
0Aa<br />
2ε<br />
0A<br />
1<br />
= + = = 2<br />
a + x a − x 2⎛<br />
x ⎞ a x<br />
a ⎜<br />
⎜1−<br />
1−<br />
2 C0<br />
a ⎟ 12<br />
3<br />
⎝ ⎠ a<br />
2<br />
2<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 99 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
9.9. Plattenanordnung<br />
Die Plattenanordnung aus der Skizze wird zunächst wie angegeben geladen. Nach Trennung<br />
von den Spannungsquellen wird dann die mittlere Platte zur oberen hin verschoben (2.<br />
Skizze). Wie groß sind die sich jetzt einstellenden Spannungen U′ 1 und U′ 2 ?<br />
nachher (Achtung: U1 und U2 wurden vertauscht � Schreibfehler, der ignoriert wird)<br />
ESB:<br />
Q Q ≠<br />
1<br />
2<br />
oben ist Fall A, unten Fall B:<br />
A:<br />
Q1<br />
= C1U<br />
1<br />
Q = C U<br />
Q<br />
C<br />
2<br />
C U<br />
U′<br />
= U<br />
2<br />
B:<br />
Q = C′<br />
U′<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
= C′<br />
2<br />
( U′<br />
−U<br />
′ )<br />
( U −U<br />
) = C′<br />
( U′<br />
−U<br />
′ )<br />
C<br />
U′<br />
=<br />
2<br />
1<br />
= C′<br />
U′<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
C1<br />
ε A/<br />
l l′<br />
0 1 1<br />
= U1<br />
= U1<br />
= 9U1<br />
= 900V<br />
C′<br />
ε A/<br />
l′<br />
l<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( U −U<br />
)<br />
2<br />
C′<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
C1<br />
+ U 9<br />
1 =<br />
C′<br />
1 1<br />
1<br />
( U −U<br />
) + U ⋅9<br />
= 911V<br />
2<br />
1<br />
1<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 100 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
9.10. Elektromechanischer Wandler<br />
Die Skizze zeigt das Prinzip eines elektromechanischen Wandlers. Wird der Plattenabstand<br />
zwischen den Werten x1 und x3 periodisch vergrößert und verkleinert, so wird, wie die<br />
Analyse zeigt, bei vernachlässigter Streuung sowie ideal angenommenen Dioden und<br />
Spannungsquellen in einem vollständigen Zyklus der rechts angegebene Kreisprozess<br />
durchlaufen. Bestimmen Sie für gegebene Werte U1, U2, x1, x3, A und einen vollständigen<br />
Zyklus<br />
i) die von der Quelle 1 gelieferte Arbeit<br />
ii) die der Quelle 2 zugeführte Arbeit<br />
iii) die an dem System durch die Plattenverschiebung verrichtete mechanische Arbeit.<br />
1 � 2: D1 und D2 sperren, keine Ladung verschoben.<br />
2 � 3: D1 sperrt, D2 leitet; U = U2, Ladung Q2 = 0A(<br />
U1<br />
/ x1<br />
−U<br />
2 / x3<br />
)<br />
Δ ε durch Quelle 2 gegen<br />
U2 verschoben, Energie W23 = U 2ΔQ2<br />
an Quelle 2 abgegeben.<br />
3 � 4: D1 und D2 sperren; keine Ladungen verschoben.<br />
4 � 1: D1 leitet, D2 sperrt; U = U1, Ladung Q1 = 0A(<br />
U 2 / x3<br />
−U1<br />
/ x1<br />
) = −ΔQ2<br />
1 mit U1 verschoben, Energie 1 1 Q U − W41 = − Δ von Quelle 1 geliefert.<br />
Damit werden die Energiebeträge<br />
i) − W41 = ε 0A(<br />
U1<br />
/ x1<br />
−U<br />
2 / x3<br />
) U1<br />
von Quelle 1 geliefert<br />
W = ε A U / x −U<br />
/ x ) U an Quelle 2 abgegeben<br />
ii) 23 0 ( 1 1 2 3 2<br />
Die zugeführte mechanische Arbeit ist (Energieerhaltung):<br />
= W + W = ε A U / x −U<br />
/ x U −U<br />
W mech<br />
iii) ( )( )<br />
23<br />
41<br />
0<br />
1<br />
1<br />
2<br />
3<br />
Δ ε durch Quelle<br />
2<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 101 / 205<br />
1
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
10. Schaltungen mit Kondensatoren<br />
10.1. Anfangsstrom über einen Schalter<br />
An der RC-Kombination aus der Skizze liegt über lange Zeit bei geöffnetem Schalter S die<br />
Gleichspannung 10V. Zum Zeitpunkt t = 0 wird S geschlossen.<br />
i) Wie groß ist der Strom IS, über den Schalter unmittelbar nach dem Schließen von S?<br />
ii) Welchen Wert nimmt IS, lange Zeit nach dem Schließen von S an?<br />
Zustand bei t = 0 - 180Ω fällt weg (100nF Unterbrechung)<br />
Wir erstellen ein ESB für diesen Zeitpunkt: 180Ω fällt weg, weil 100nF = Unterbrechung<br />
U<br />
I<br />
S<br />
C<br />
( 0 −)<br />
= 10V<br />
= 9,<br />
7V<br />
= U ( 0 + )<br />
( 0 + )<br />
4,<br />
7 + 220<br />
2 + 150 + 220 + 4,<br />
7<br />
UC<br />
( 0 + )<br />
= = 44mA<br />
220<br />
Zustand bei t = ∞<br />
C<br />
I S<br />
10V<br />
372Ω<br />
( t = ∞)<br />
= = 27mA<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 102 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
10.2. Umladevorgang<br />
Eine Stromquelle speist die in der Skizze dargestellte RC-Kombination mit dem Gleichstrom<br />
Iq.<br />
i) Der Schalter S ist über lange Zeit<br />
geöffnet. Wie groß ist die<br />
Kondensatorspannung UC?<br />
ii) Zum Zeitpunkt t = 0 wird der<br />
Schalter S geschlossen. Welche<br />
Werte nehmen die<br />
Kondensatorspannung UC, ihre<br />
Änderungsrate UC & und der Strom I2<br />
unmittelbar danach an?<br />
iii) Wie groß sind UC und I2 lange Zeit nach dem Schließen von S?<br />
iv) Skizzieren Sie den Zeitverlauf von UC während des Umladevorganges.<br />
i)<br />
Schalter S über lange Zeit bis t = 0- geöffnet: UC(0-) = R1Iq<br />
ii)<br />
Schalter bei t = 0 geschlossen. Keine sprunghaften Änderungen<br />
von Kondensatorladungen über Kreise mit Widerständen<br />
U<br />
I<br />
U&<br />
C ( 0 + ) = UC<br />
( 0 −)<br />
UC<br />
( )<br />
( 0 + )<br />
0 + =<br />
2<br />
C<br />
1<br />
C<br />
R<br />
( 0 + ) = I ( 0 + )<br />
2<br />
C<br />
= R I<br />
1<br />
q<br />
R1<br />
= Iq<br />
R2<br />
1 ⎛ U ( ) U ( ) R I<br />
C 0 + C 0 + ⎞ 1 q<br />
= Iq<br />
C ⎜ − − = −<br />
R1<br />
R ⎟<br />
⎝<br />
2 ⎠ R2C<br />
iii)<br />
Lange Zeit nach dem Schließen von S (t � ∞) ist<br />
U<br />
I<br />
2<br />
C<br />
( ∞)<br />
= ( R R )<br />
R<br />
R + R<br />
1 ( ∞)<br />
= Iq<br />
1<br />
1 //<br />
2<br />
2<br />
I<br />
q<br />
iv)<br />
Zeitverlauf von UC mit ( R )C = τ<br />
R1 2 //<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 103 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
10.3. Spannungsaufteilung in einer RC-Schaltung<br />
t � ∞ � IC = 0 � unbelasteter Spannungsteiler<br />
Relativ lange Zeit nach dem Anlegen einer<br />
Gleichspannung U soll sich in der Schaltung aus der<br />
Skizze die Spannung UC = 10V einstellen. Berechnen<br />
Sie den dazu erforderlichen Wert von U.<br />
Am Knoten in der Mitte ist die Summe der Ladungen gleich Null:<br />
− Q1<br />
+ Q2<br />
+ Q3<br />
= 0<br />
− C1U<br />
1 + C2U<br />
2 + C3U<br />
3 = 0<br />
1<br />
U = UC<br />
+ U3<br />
3<br />
2<br />
U = U 2 −U<br />
3<br />
3<br />
U<br />
U<br />
3<br />
2<br />
− C U<br />
1<br />
= U −U<br />
3<br />
= U −U<br />
1<br />
C<br />
U = U<br />
C<br />
+ C<br />
C<br />
2<br />
C<br />
( U −U<br />
)<br />
C<br />
C1<br />
+ C2<br />
+ C<br />
C3<br />
C2<br />
+<br />
2<br />
3<br />
⎛ 1<br />
+ C3⎜<br />
U −U<br />
⎝ 3<br />
= 19,<br />
3V<br />
C<br />
⎞<br />
⎟ = 0<br />
⎠<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 104 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
10.4. Spannungssprung an RC-Schaltung<br />
An den Eingang der RC-Schaltung aus der Skizze wird eine Gleichspannung von 10V gelegt.<br />
Berechnen Sie den Anfangswert und den Endwert der Ausgangsspannung<br />
(Ausgangsstrom = 0) und skizzieren Sie, maßstäblich richtig, ihren Zeitverlauf.<br />
U<br />
U<br />
U<br />
U<br />
U<br />
A<br />
C<br />
C<br />
A<br />
A<br />
( 0 −)<br />
= 0<br />
( 0 −)<br />
= 0<br />
( 0 + ) = 0<br />
( 0 + ) = U E = 10V<br />
( t → ∞)<br />
= U<br />
2,<br />
5k<br />
= 2V<br />
E<br />
12,<br />
5k<br />
Wir berechnen noch die Zeitkonstante:<br />
τ = C ⋅10<br />
k // 2,<br />
5k<br />
= 0,<br />
2ms<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 105 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
10.5. Brückenschaltung mit Kondensator<br />
Der Schalter S in der Skizze ist zunächst lange Zeit geöffnet und wird zum Zeitpunkt t = 0<br />
geschlossen.<br />
i) Berechnen Sie den Wert der Spannung UA am leer laufenden Ausgang unmittelbar<br />
vor, unmittelbar nach und lange Zeit nach dem Schließen des Schalters.<br />
ii) Skizzieren Sie, maßstäblich richtig, den Zeitverlauf von UA. Berechnen Sie die<br />
zugehörige Zeitkonstante.<br />
t = 0-: UC = 0 UA = 0<br />
t = 0+: UC = 0 U2 = U<br />
100<br />
U3 = U = 2,<br />
5V<br />
400<br />
U A = UC<br />
−U<br />
3 = −2,<br />
5V<br />
t � ∞: IC = 0 U 2 = R2I<br />
C = 0 UC = U<br />
300<br />
U A = −<br />
{<br />
U 2 + U1<br />
= U1<br />
= U = 7,<br />
5V<br />
400<br />
τ =<br />
C ⋅ R = 200Ω<br />
⋅50µF<br />
= 10ms<br />
2<br />
ESB dafür:<br />
Wir zeichnen den Ladevorgang:<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 106 / 205<br />
= 0
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
10.6. Umladung<br />
In dem in der Skizze dargestellten elektrischen Ersatzkreis einer Zellmembran ist der Schalter<br />
S relativ lang geöffnet und wird dann geschlossen. Berechnen Sie den Wert der Spannung U12<br />
vor, unmittelbar nach und lange Zeit nach dem Schalten. Berechnen Sie die für den<br />
Ausgleichsvorgang maßgebende Zeitkonstante uns skizzieren Sie den Zeitverlauf von U12.<br />
t = 0-<br />
U = U q = 70mV<br />
12<br />
1<br />
t = 0+<br />
0 − = U 0 + = 70mV<br />
= U<br />
( ) ( ) 12<br />
UC C<br />
t � ∞ Strom durch Kondensator Null<br />
U q2<br />
−U<br />
q1<br />
80mV<br />
− 70mV<br />
10mV<br />
I = =<br />
= = 5,<br />
26µA<br />
6<br />
R1<br />
+ R2<br />
1,<br />
2 ⋅10<br />
Ω + 700kΩ<br />
1,<br />
9MΩ<br />
U = U − IR = 80mV<br />
− 5,<br />
26µA<br />
⋅ 700kΩ<br />
= 76,<br />
32mV<br />
12<br />
q2<br />
2<br />
oder über Superpositionsprinzip (Helmholz):<br />
R1<br />
R2<br />
U12 = U q2<br />
+ U q1<br />
R + R R + R<br />
τ =<br />
1<br />
C ⋅ R R = 1,<br />
11ms<br />
1 // 2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 107 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
10.7. Kondensator-Reihenschaltung<br />
Zwei Kondensatoren mit den Kapazitäten 0,1µF und 2,2µF sind jeweils für die<br />
Betriebsspannung 100V zugelassen. An welcher maximalen Spannung kann ihre<br />
Reihenschaltung betrieben werden?<br />
Q Q =<br />
1<br />
2<br />
Achtung: Es gilt: C < C → U > U<br />
1<br />
2<br />
C1U<br />
1 = C2U<br />
2<br />
U = U1<br />
+ U 2 → U1<br />
= U −U<br />
2,<br />
U 2 = U −U1<br />
C1(<br />
U −U<br />
2 ) = C2U<br />
2<br />
C1U<br />
− C1U<br />
2 = C2U<br />
2<br />
U 2 1 2<br />
2<br />
U =<br />
= U 2 + U 2 =<br />
C1<br />
C1<br />
0,<br />
1µF<br />
C1U<br />
1 = C2(<br />
U −U1<br />
)<br />
U1(<br />
C1<br />
+ C2<br />
) 100V<br />
( 0,<br />
1µF<br />
+ 2,<br />
2µF<br />
)<br />
U =<br />
=<br />
= 104,<br />
5V<br />
C<br />
2,<br />
2µF<br />
1<br />
( C + C ) C 100V<br />
( 0,<br />
1µF<br />
+ 2,<br />
2µF<br />
)<br />
2<br />
Das Ergebnis ist natürlich die kleinere Spannung.<br />
2<br />
= 2300V<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 108 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
10.8. Rechteckimpuls an RC-Kombination<br />
Skizzieren Sie, maßstäblich richtig, den Zeitverlauf der Ausgangsspannung UA für die<br />
Schaltung in der Skizze.<br />
U = U + U<br />
q<br />
C<br />
t = 0-<br />
U 0 = U 0 − =<br />
A<br />
( ) ( ) 0<br />
t = 0+<br />
UC<br />
= 0<br />
U = U<br />
A<br />
− C<br />
q<br />
A<br />
= 10V<br />
U A I = = IC<br />
= 10mA<br />
R2<br />
IC<br />
V V<br />
U&<br />
10<br />
C = = 100 =<br />
C ms 0,<br />
1ms<br />
t > 0<br />
τ = C ⋅ R1<br />
// R2<br />
= 0,<br />
1ms<br />
Umladevorgang 5τ<br />
5 τ = 0,<br />
5ms<br />
0,5ms < 1ms<br />
1k<br />
U A = U q = 10mV<br />
1k<br />
+ 1M<br />
U ≈ U = 10V<br />
C<br />
t = 1ms<br />
U = 0<br />
U<br />
U<br />
q<br />
C<br />
A<br />
q<br />
= 10V<br />
= U −U<br />
q<br />
C<br />
t > 1ms<br />
I, U gegen 0 mit τ<br />
= −10V<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 109 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
10.9. Wechselanteil einer Spannung<br />
Am Eingang des RC-Gliedes aus der Skizze liegt die angegebene Spannung UE. Geben Sie<br />
den Zeitverlauf der Ausgangsspannung UA unter der Voraussetzung T/2
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
10.10. Ausfiltern des Mittelwertes<br />
An der RC-Kombination aus der Skizze liegt die angegebene rechteckförmige Spannung UE.<br />
i) Prüfen Sie, ob die Bedingung f >> 1/(10τ) erfüllt ist.<br />
ii) Geben Sie den Zeitverlauf der Ausgangsspannung UA zuerst allgemein, dann für<br />
U1 = 5V und die Werte k = 0; 1/3; 1/2; 2/3 und 1 an.<br />
1 1 1<br />
f >> = 1Hz<br />
→ Bedingung erfüllt<br />
10τ<br />
UC<br />
≈ UC<br />
→ U A = U E −U<br />
E<br />
1<br />
U E = ( U 1kT<br />
−U1(<br />
1−<br />
k)<br />
T ) = U1(<br />
2k<br />
−1)<br />
T<br />
0 < t < kT<br />
kT < t < T<br />
+<br />
U A<br />
−<br />
U A<br />
= U1<br />
−<br />
= −U<br />
T ⎛ ⎞<br />
A ⎜ ⎟<br />
1 = A2<br />
⎜∫U<br />
Adt = 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠<br />
1<br />
( 2k −1)<br />
U1<br />
− ( 2k −1)<br />
U1<br />
0 1/3 1/2 2/3 1<br />
0 < t < kT 10 6,6 5 3,3 0<br />
kT < t < T 0 -3,3 -5 -6,6 -10<br />
Die 10V und -10V liegen jedoch nur 0s an � Rechnung richtig.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 111 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
10.11. Differentiation durch RC-Glied<br />
Am Eingang des RC-Gliedes aus der Skizze liegt die angegebene periodische Spannung UE.<br />
Bestimmen Sie den Zeitverlauf der Ausgangsspannung UA für die Grenzfälle hoher und<br />
niedriger Frequenz, d.h.<br />
i) f >> 1/(10τ)<br />
ii) f 10τ<br />
UC ≈ U E …schnelles System<br />
C wird vollständig aufgeladen<br />
U A = RI = RCU&<br />
C ≈ τU&<br />
E<br />
0 < t < kT<br />
U1<br />
U A = τ<br />
kT<br />
kT < t < T<br />
U1<br />
U A = τ<br />
( 1−<br />
k)<br />
T<br />
Problem: Je besser der Differenzierer ist, je kleiner wird die Ausgangsamplitude.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 112 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
10.12. Integration durch RC-Glied<br />
Bestimmen Sie für die rechteckförmige Wechselspannung UE am Eingang des RC-Gliedes<br />
aus der Skizze den Zeitverlauf der Ausgangsspannung UA unter der Voraussetzung<br />
f >> 1/(10τ)<br />
T
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
Zusammenfassung:<br />
T > 10τ<br />
U = τU&<br />
…Differenzierer<br />
A<br />
E<br />
T > 10τ<br />
U U ≈<br />
10.<strong>13</strong>. Operationsverstärker<br />
A<br />
E<br />
Eine gesteuerte Spannungsquelle nach dem in der Skizze dargestellten Muster kann als<br />
vereinfachtest Modell für einen Differenzverstärker dienen. Der Grenzfall Rd � ∞, v � ∞<br />
definiert, für einen bestimmten Bereich der Ausgangsspannung, einen idealen<br />
Operationsverstärker.<br />
i) Geben Sie für den mit den zwei Widerständen R1 und R2 nach der Skizze<br />
beschalteten Verstärker die Beziehung zwischen UA und UE an, zuerst für endliche<br />
Werte Rd und v, dann für den Grenzfall des idealen Operationsverstärkers.<br />
ii) Geben Sie für die beiden RC-Beschaltungen aus den Skizzen eines idealen<br />
Operationsverstärkers die Beziehungen zwischen Eingangsspannung und<br />
Ausgangsspannung an.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 114 / 205
i)<br />
I<br />
I<br />
I<br />
2<br />
E<br />
2<br />
U A −U<br />
=<br />
R<br />
U<br />
=<br />
+ I<br />
E<br />
E<br />
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
2<br />
U<br />
=<br />
R<br />
d<br />
d<br />
d<br />
−U<br />
R<br />
1<br />
d<br />
⎛ 1 ⎞U<br />
= ⎜1+<br />
⎟<br />
⎝ v ⎠ R<br />
U E U A = +<br />
R vR<br />
1<br />
U<br />
= −<br />
vR<br />
Daraus folgt:<br />
R2<br />
U E<br />
U A = −<br />
R1<br />
1 ⎛ R<br />
1+<br />
⎜<br />
⎜1+<br />
v ⎝ R<br />
A<br />
d<br />
2<br />
1<br />
1<br />
A<br />
2<br />
R<br />
+<br />
R<br />
für v � ∞:<br />
R2<br />
U A = − U E …invertierender Verstärker<br />
R<br />
ii)<br />
1<br />
U<br />
CU&<br />
A<br />
E +<br />
R<br />
= 0<br />
τ = RC<br />
U = −τU&<br />
…invertierender Differentiator<br />
A<br />
E<br />
U&<br />
1<br />
A = − U E …invertierender Integrator<br />
τ<br />
2<br />
d<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 115 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
10.14. Periodisches Rechtecksignal an RCD-Kombination<br />
Am Eingang der in der Skizze dargestellten RCD-Kombination mit einer zusätzlichen<br />
Spannungsquelle liegt die angegebene periodische Rechteckspannung UE. Wie verläuft die<br />
Ausgangsspannung UA? Vernachlässigen Sie die Schwellenspannung der Diode.<br />
Diode leitet: τ = 0<br />
Diode sperrt: τ = RC = 0,1s<br />
1<br />
10τ = 1s<br />
>> = 1ms<br />
→ T
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
10.15. Laden eines Kondensators mit Spannungsbegrenzung<br />
Am Eingang der Schaltung aus der Skizze wird, beginnend mit t = 0, ein konstanter Strom<br />
eingeprägt. Berechnen und skizzieren Sie den Verlauf der Spannung UA am leer laufenden<br />
Ausgang. Nehmen Sie dazu für die Diode eine Schwellenspannung von 0,7V an und<br />
vernachlässigen Sie deren Bahnwiderstand.<br />
Der Diodezweig sperrt für U D = U A −U<br />
q < U s , d.h. für U A < U q + U s = 5,<br />
7V<br />
und leitet für<br />
U A = 5,<br />
7V<br />
. Selbst bei der Größtspannung U A = 5,<br />
7V<br />
am Widerstand ist<br />
I R = U A / R = 11,<br />
4µA<br />
gegen I = 10mA<br />
vernachlässigbar, sodass IC ≈ I . Daraus folgt wegen<br />
I = const<br />
U<br />
U<br />
A<br />
A<br />
Q I<br />
= = t<br />
C C<br />
C ⋅5,<br />
7V<br />
100µF<br />
⋅5,<br />
7V<br />
für 0 ≤ t ≤ t1<br />
= =<br />
= 57ms<br />
I 10mA<br />
= 5,<br />
7V<br />
für t ≥ t<br />
1<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 117 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
10.16. Laden eines Kondensators mit Parallelzweig<br />
Am Eingang der Schaltung der Skizze wird zur Zeit t = 0 sprungartig ein konstanter<br />
Gleichstrom von 1,5mA eingeprägt. Skizzieren Sie, maßstäblich richtig, den Zeitverlauf der<br />
Spannung am leer laufenden Ausgang. Nehmen Sie für die Diode eine Schwellenspannung<br />
von 0,7V an.<br />
Der Diodenzweig ist für U A < U s = 0,<br />
7V<br />
gesperrt, d.h. der Kondensator wird zunächst mit<br />
konstanter Stromstärke I geladen.<br />
I<br />
0 ≤ t ≤ t1<br />
: U A = t<br />
C<br />
U sC<br />
0,<br />
7V<br />
⋅10µF<br />
t1<br />
= =<br />
= 4,<br />
67ms<br />
I 1,<br />
5mA<br />
Dann übernimmt der Diodenzweig einen Strom der Stärke<br />
I<br />
R<br />
U A −U<br />
s = .<br />
R<br />
t ≥ t1<br />
: Der Kondensator wird mit der Zeitkonstanten τ = RC = 330 Ω⋅10µF<br />
= 3,<br />
3ms<br />
bis zur<br />
Spannung = U + RI = 1, 195V<br />
≈ 1,<br />
2V<br />
weiter aufgeladen.<br />
U A S<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 118 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
10.17. Ladungspumpe<br />
Die Kapazität des Kondensators C1 aus der Skizze wird wie angegeben periodische geändert.<br />
Berechnen Sie den stationären Wert der Ausgangsspannung dieser „Ladungspumpe“ für<br />
T
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
10.18. Schaltung mit veränderlicher Kapazität<br />
Die Kapazität C des Kondensators aus der Skizze wird wie angegeben periodische geändert.<br />
Berechnen und skizzieren Sie den Zeitverlauf der Ausgangsspannung UA für den Fall<br />
T2
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
10.19. Kondensatormikrophon<br />
Berechnen Sie für das in der Abbildung skizzierte Modell eines Kondensatormikrophons den<br />
Zeitverlauf der Spannung UR für relativ große Frequenzen, d.h. Ω > 1/(RC). (Hinweis: Die<br />
Kondensatorladung ist für relativ große Frequenzen konstant = C0U, wenn C0 Kapazität für<br />
xˆ<br />
= 0 bedeutet.)<br />
( xˆ<br />
= 0)<br />
Q = const = C0U<br />
= C ⋅U<br />
ε 0A<br />
ε 0A<br />
C = =<br />
x x + xˆ<br />
0 cos(<br />
Ωt)<br />
Q = CUC<br />
= C(<br />
U R + U ) ≈ C0U<br />
C0U<br />
⎛ C0<br />
⎞<br />
U R = UC<br />
−U<br />
= −U<br />
= U⎜<br />
−1⎟<br />
C ⎝ C ⎠<br />
xˆ<br />
V<br />
U R = cos<br />
x<br />
µm<br />
0<br />
( Ωt)<br />
⋅U<br />
= 2,<br />
5 ⋅ xˆ<br />
cos(<br />
Ωt)<br />
ab welcher Frequenz gilt das?<br />
1 1<br />
>><br />
T τ<br />
T ><br />
RC0<br />
1<br />
f >><br />
2πRC<br />
0<br />
= 29Hz<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 121 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
10.20. Influenz<br />
Das Dreileitersystem aus der Skizze ist zunächst ungeladen und durch die Teilkapazitäten<br />
C10 = 80pF C20 = 70pF C12 = 50pF<br />
gekennzeichnet. Wenn zwischen die Leiter 1 und 0 die elektrische Spannung U10 = 3kV<br />
gelegt wird, wie groß ist dann die durch Influenz sich einstellende Spannung U20 zwischen<br />
den Leitern 2 und 0?<br />
C10 = 80pF<br />
C20 = 70pF<br />
C12 = 50pF<br />
U10 = 3kV<br />
U20 = ?<br />
Influenz = Ladungsverschiebung<br />
Q2<br />
= 0 = ψ 20 −ψ<br />
12<br />
ψ 20 = ψ 12<br />
C20U<br />
20 = C12U12<br />
= C12<br />
10<br />
C12<br />
U 20 = U10<br />
C + C<br />
= 125kV<br />
20<br />
12<br />
( U −U<br />
)<br />
20<br />
∑<br />
→ = Q const Q<br />
Ist leichter aus dem ESB zu berechnen (kapazitiver Spannungsteiler):<br />
U<br />
2<br />
C1<br />
= U<br />
C + C<br />
1<br />
2<br />
C10 spielt hat auf den Spannungsteiler keinen Einfluss.<br />
Wir berechnen noch Q1:<br />
Q = Q + Q ≠ 0 (beim ESB rechts oben)<br />
1<br />
12<br />
10<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 122 / 205<br />
2 =<br />
0
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
11. Ergänzendes zum elektrischen Feld<br />
keine Beispiele…<br />
12. Verteilte elektrische Ströme<br />
12.1. Kupferdraht mit Silberüberzug<br />
Leitwert ohne Überzug:<br />
γ Cu ACu<br />
G1<br />
=<br />
l<br />
Leitwert mit Überzug:<br />
γ Cu ACu<br />
+ γ Ag AAg<br />
G2<br />
=<br />
= 2G<br />
l<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
A<br />
Cu<br />
Cu<br />
Ag<br />
Ag<br />
A<br />
A<br />
A<br />
Cu<br />
Cu<br />
Ag<br />
+ γ<br />
l<br />
+ γ<br />
⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞ γ<br />
⎜ + δ ⎟ π − ⎜ ⎟ π =<br />
⎝1<br />
42<br />
2<br />
43 ⎠ ⎝ 2 ⎠ γ<br />
2<br />
d<br />
2<br />
+ dδ<br />
+ δ<br />
4<br />
Cu<br />
Ag<br />
2 ( dδ<br />
+ δ )<br />
δ<br />
1,<br />
2<br />
γ<br />
=<br />
γ<br />
= γ<br />
2<br />
Ag<br />
Ag<br />
Cu<br />
A<br />
d<br />
= − ±<br />
2<br />
A<br />
A<br />
Cu<br />
A<br />
Ag<br />
Ag<br />
Cu<br />
A<br />
γ<br />
π =<br />
γ<br />
Cu<br />
Ag<br />
γ Cu A<br />
= 2<br />
l<br />
= 2γ<br />
A<br />
Ag<br />
2<br />
2<br />
d π<br />
⋅<br />
4<br />
2<br />
d γ<br />
+<br />
4 γ<br />
Cu<br />
γ<br />
=<br />
γ<br />
Cu<br />
Ag<br />
Cu<br />
Ag<br />
Cu<br />
A<br />
Cu<br />
Ag<br />
Cu<br />
6<br />
Ein dünner Kupferdraht ( γ = 56⋅10<br />
S / m ) wird mit einer<br />
6<br />
Silberschicht ( γ = 60⋅10<br />
S / m ) der Dicke δ überzogen (Skizze).<br />
Wie groß muss δ sein, damit sich der ursprüngliche<br />
Gleichstromwiderstand halbiert?<br />
1<br />
Cu<br />
2<br />
d π<br />
⋅<br />
4<br />
→<br />
2 γ<br />
δ + dδ<br />
−<br />
γ<br />
2<br />
d d ⎛ d<br />
⋅ = − ± ⎜<br />
4 2 ⎜<br />
⎝<br />
2<br />
Cu<br />
Ag<br />
γ<br />
γ<br />
Cu<br />
Ag<br />
2<br />
d<br />
⋅ = 0<br />
4<br />
⎞<br />
+ 1⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
= {<br />
negative<br />
Lösung<br />
egal<br />
d ⎛<br />
⎜<br />
2 ⎜<br />
⎝<br />
γ<br />
γ<br />
Cu<br />
Ag<br />
⎞<br />
+ 1 −1⎟<br />
= 39µm<br />
⎟<br />
⎠<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 123 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
12.2. Erforderlicher Leitungsquerschnitt<br />
6<br />
Für eine Gleichstrom-Doppelleitung, bestehend aus zwei Kupferleitern ( γ = 56⋅10<br />
S / m ), ist<br />
eine längenbezogene Verlustleistung von maximal 2,5W/m zulässig. Die Leitung soll einen<br />
Verbraucher mit 200V versorgen, der dabei die Leistung 4,6kW aufnimmt. Wie groß muss die<br />
Querschnittsfläche jedes der beiden Leiter mindestens sein?<br />
2<br />
1<br />
2 2I<br />
Bedeutet R ′ = den Widerstandsbelag der Einzelleitung, so ist P′ V = 2 R′<br />
I = der<br />
γΑ<br />
γA<br />
P 4,<br />
6kW<br />
Verlustbelag der Doppelleitung. Daraus folgt mit der Stromstärke I = = = 20,<br />
91A<br />
U 220V<br />
die erforderliche Querschnittsfläche<br />
2<br />
2<br />
2I<br />
2(<br />
20,<br />
91A)<br />
2<br />
A = =<br />
= 6,<br />
25mm<br />
γP′<br />
Am VA<br />
V 56 ⋅2,<br />
5 2<br />
Vmm m<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 124 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
12.3. Überspannungsableiter<br />
Aus einem nichtlinear elektrisch leitfähigen Material,<br />
beschrieben durch die Gleichungen<br />
J = γ E E<br />
γ<br />
( E)<br />
E =<br />
E<br />
( )<br />
⎛<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
E<br />
E<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2,<br />
57<br />
S<br />
m<br />
E1<br />
= 356kV<br />
/ m<br />
wird ein Überspannungsableiter in Form einer Kreisscheibe mit den angegebenen<br />
Abmessungen hergestellt (Skizze). Geben Sie die Spannungsabhängigkeit des elektrischen<br />
R<br />
⎛ U ⎞<br />
=<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎝U<br />
1 ⎠<br />
an und zeichnen Sie diesen Verlauf, maßstäblich<br />
richtig, für den Bereich 0 < U ≤ 10kV<br />
.<br />
Widerstandes in der Form ( U ) Ω<br />
Randstörungen vernachlässigt:<br />
l ⎛ E1<br />
⎞<br />
R = = ⎜ ⎟<br />
γA<br />
⎝ E ⎠<br />
2<br />
, 57<br />
Ωm<br />
l<br />
A<br />
⎛ ⎞<br />
⎜<br />
E1l<br />
= ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ U ⎠<br />
2,<br />
57<br />
Ωm<br />
Wir setzen ein (Zahlenwertgleichung):<br />
α&<br />
0,<br />
005m<br />
⎛ ⎞<br />
⎜<br />
U1<br />
= ⎟<br />
2<br />
π ⎜ ⎟<br />
⎝ U ⎠<br />
4<br />
( 0,<br />
02m)<br />
R<br />
⎛ U ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 5,<br />
225 ⎟<br />
⎝ kV ⎠<br />
2,<br />
57<br />
Ω<br />
−2,<br />
58<br />
Ω =<br />
−2,<br />
57<br />
= 79,<br />
05 kV U<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 125 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
12.4. Stromeinspeisung in Platte<br />
In eine große Metallplatte der Dicke δ und der Konduktivität γ wird laut Skizze ein<br />
elektrischer Strom der Stärke I eingespeist. Wie groß ist dann die zwischen den Punkten 1 und<br />
2 zu messende elektrische Spannung?<br />
Radialsymmetrische Stromverteilung,<br />
radialsymmetrische Spannungsverteilung<br />
ρ<br />
πρδ e<br />
I I<br />
J = =<br />
2π weil voller Kreis<br />
A 2<br />
J Ι<br />
E = = eρ<br />
= Eρ<br />
eρ<br />
γ 2πρδγ<br />
U<br />
=<br />
ρ<br />
I<br />
2πδγ<br />
2<br />
∫<br />
ρ<br />
1<br />
E dρ<br />
=<br />
ρ<br />
2<br />
∫<br />
ρ<br />
1<br />
ρ<br />
I 1<br />
⋅ dρ<br />
=<br />
2πδγ<br />
ρ<br />
1 I<br />
dρ<br />
= ⋅ln<br />
ρ<br />
ρ 2πδγ<br />
I<br />
= ( ln ρ2<br />
− ln ρ1)<br />
=<br />
2πδγ<br />
I ⎛ ρ ⎞ 2 ln = −0,<br />
883mV<br />
2 ⎜<br />
⎟<br />
πδγ ⎝ ρ1<br />
⎠<br />
ρ<br />
2<br />
∫<br />
ρ<br />
1<br />
ρ<br />
ρ<br />
2<br />
1<br />
=<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 126 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
12.5. Widerstand eines keilförmigen Leiters<br />
Radial gerichtetes Feld, unabhängig von der Axialkoordinate.<br />
Winkel β in Radiant!<br />
I = J<br />
( ρ)<br />
J I<br />
E = = e<br />
γ βlργ<br />
U<br />
=<br />
R =<br />
ρ<br />
ρ<br />
2<br />
∫<br />
1<br />
U<br />
I<br />
E<br />
I<br />
ρβl<br />
→ J = e<br />
βlρ<br />
( ρ)<br />
ρ<br />
dρ<br />
=<br />
ρ<br />
= E<br />
∫<br />
ρ<br />
2<br />
1<br />
( ρ )<br />
e<br />
ρ<br />
ρ<br />
I 1 I<br />
⋅ dρ<br />
=<br />
βlγ<br />
ρ βlγ<br />
⎛ ρ ⎞ ⎛ ρ ⎞<br />
2<br />
2<br />
I ln ⎜<br />
ρ ⎟ ln ⎜<br />
ρ ⎟<br />
⎝ 1 ⎠<br />
=<br />
⎝ 1<br />
=<br />
⎠<br />
Iβlγ<br />
βlγ<br />
ρ<br />
∫<br />
ρ<br />
2<br />
1<br />
Berechnen Sie allgemein den elektrischen<br />
Widerstand des in der Abbildung skizzieren,<br />
keilförmigen Blockes bei annähernd radialer<br />
Durchströmung (Leitfähigkeit γ des Blockes
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
12.6. Widerstand einer Scheibenhälfte<br />
Bei der in der Abbildung skizzierten,<br />
halben Kreisringscheibe aus schwach<br />
leitfähigem Material wird über<br />
metallische Elektrodenflächen E Strom<br />
zu- bzw. abgeführt. Berechnen Sie den<br />
zugehörigen elektrischen Widerstand.<br />
Hinweis: Nehmen Sie die Stromlinien<br />
halbkreisförmig an.<br />
Mit Annahme der kreisförmigen Stromlinien und den Bezeichnung aus der folgenden Skizze<br />
gilt:<br />
J = J<br />
E = E<br />
( ρ)<br />
( ρ )<br />
J = γ E<br />
e<br />
α<br />
e<br />
α<br />
Weiters:<br />
π<br />
π<br />
U U 0<br />
E = U = ρdα<br />
= U 0 dα<br />
=<br />
ρ ∫ ρ ∫<br />
U = ρπE<br />
D<br />
0 U 0<br />
0<br />
0<br />
ρπ<br />
γ<br />
( ρ)<br />
= J ( ρ )<br />
2<br />
2<br />
γhU<br />
dρ<br />
γhU<br />
⎛ D ⎞<br />
I = h∫<br />
J ( ρ ) dρ<br />
= ∫ = ln⎜<br />
⎟<br />
d π d ρ π ⎝ d ⎠<br />
2 { 2<br />
D<br />
D d<br />
ln −ln<br />
2 2<br />
Der Wirksame Widerstand ist:<br />
U Uπ<br />
π<br />
R = = =<br />
= 1,<br />
364kΩ<br />
I ⎛ D ⎞ S −3<br />
Uγ<br />
ln⎜<br />
⎟ 0,<br />
2 ⋅5<br />
⋅10<br />
m⋅<br />
ln(<br />
10)<br />
⎝ d ⎠ m<br />
π<br />
D d<br />
und sind die Radien<br />
2 2<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 128 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
12.7. Umlenkung<br />
Wir nehmen kreisbogenförmige Stromlinien<br />
an und führen folgende Bezeichnungen ein:<br />
J = J<br />
( ρ)<br />
( ρ)<br />
e<br />
α<br />
E = E e<br />
J = γ ( ρ)E<br />
α<br />
In einer Strombahn liegt die in der<br />
Abbildung skizzierte Umlenkung, die<br />
aus<br />
zwei Werkstoffen der (gegenüber den<br />
Metallleitern relativ kleinen) Leitfähigkeit<br />
γ1<br />
bzw. γ2 besteht. Berechnen Sie allgemein<br />
den<br />
Widerstand, den die Umlenkung in der<br />
Strombahn darstellt.<br />
Weiters sind mit den Voraussetzungen über die Leitfähigkeiten die Flächen α = 0 und<br />
Potentialflächen für das innere elektrische Feld, sodass<br />
U<br />
E(<br />
ρ)<br />
= ,<br />
π<br />
ρ<br />
2<br />
ρ1<br />
< ρ < ρ3<br />
γ1U<br />
J ( ρ ) = ,<br />
π<br />
ρ<br />
2<br />
ρ1<br />
< ρ < ρ2<br />
π<br />
weil Viertelkreis (Winkel in Radiant)<br />
2<br />
γ 2U<br />
J ( ρ ) = ,<br />
π<br />
ρ<br />
2<br />
ρ2<br />
< ρ < ρ3<br />
Die Verknüpfung mit dem Gesamtstrom wird hergestellt:<br />
ρ<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2<br />
U 2 U 2<br />
I = b∫<br />
J ( ρ)<br />
dρ<br />
= b∫<br />
Jα<br />
, 1dρ<br />
+ b∫<br />
Jα<br />
, 2dρ<br />
= b∫<br />
γ1<br />
dρ<br />
+ b∫<br />
γ 2 dρ<br />
ρ π ρ π<br />
ρ<br />
1<br />
bU ⎡ ⎛ ρ ⎞ ⎛ ⎞⎤<br />
2 ρ3<br />
= ⎢γ<br />
1 ln ⎜<br />
⎟ + γ 2 ln ⎜<br />
⎟<br />
⎟⎥<br />
π / 2 ⎣ ⎝ ρ1<br />
⎠ ⎝ ρ2<br />
⎠⎦<br />
Der wirksame Widerstand:<br />
ρ<br />
ρ<br />
1<br />
ρ<br />
ρ<br />
2<br />
U<br />
R =<br />
I<br />
ρ<br />
ρ<br />
1<br />
π / 2<br />
=<br />
⎡ ⎛ ρ ⎞ ⎛ ⎞⎤<br />
2 ρ3<br />
b⎢γ<br />
⎜<br />
⎟ + ⎜<br />
⎟<br />
1 ln γ 2 ln ⎥<br />
⎣ ⎝ ρ1<br />
⎠ ⎝ ρ2<br />
⎠⎦<br />
ρ<br />
ρ<br />
1<br />
π<br />
α =<br />
2<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 129 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
12.8. Stromführung über einen Blechkegel<br />
Gemäß der Skizze ist ein Leiter mit<br />
Kreisquerschnitt über ein<br />
kreiskegelförmiges Zwischenstück aus<br />
Aluminiumblech mit einem Rohr<br />
elektrisch leitend verbunden. Berechnen<br />
Sie den elektrischen Widerstand des<br />
Zwischenstückes in der Strombahn.<br />
Ausgehend von Stromlinien entlang der Kegelerzeugenden gilt mit den Bezeichnungen aus<br />
der zweiten Skizze:<br />
J<br />
E<br />
s<br />
s<br />
I<br />
=<br />
2πδρ<br />
d<br />
ρ = + x tan<br />
2<br />
J s I<br />
= =<br />
γ 2πγδρ<br />
x<br />
s =<br />
cos<br />
( α ) tan(<br />
α )<br />
s<br />
=<br />
D − d<br />
=<br />
2H<br />
H<br />
1 ( α ) cos(<br />
α )<br />
Wir drücken die Spannung aus:<br />
s1<br />
H<br />
I dx<br />
U = ∫ Esds<br />
=<br />
2πγδ<br />
sin(<br />
α ) ∫ d<br />
0<br />
0 x +<br />
2 tan α<br />
( )<br />
Und errechnen daraus den Widerstand<br />
U I 1 dx<br />
R = =<br />
I I 2πγδ<br />
sin(<br />
α ) ∫ d<br />
0 x +<br />
2 tan<br />
R =<br />
2<br />
⎛ 4 ⎞<br />
1+<br />
⎜ ⎟ ln<br />
⎝ 3 ⎠<br />
3<br />
2π<br />
⋅34⋅10<br />
S<br />
( 4)<br />
H<br />
= 10,<br />
8µ<br />
Ω<br />
( α )<br />
⎡ 2H<br />
tan<br />
ln<br />
⎢<br />
1+<br />
=<br />
⎣ d<br />
2πγδ<br />
sin<br />
( α )<br />
( α )<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
⎡ 2H<br />
⎤ ⎛ D ⎞<br />
1+<br />
⎢ ⎥<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎣ D − d ⎦ ⎝ d ⎠<br />
2πγδ<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite <strong>13</strong>0 / 205<br />
2
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
12.9. Flächenstromdichte<br />
Aus der Drehsymmetrie folgen folgende Bezeichnungen:<br />
K = K<br />
I = 2πρ<br />
( ρ) eρ<br />
K(<br />
ρ)<br />
2π weil Kreis<br />
also für die Flächenstromdichte:<br />
ρ<br />
πρ e<br />
I<br />
K =<br />
2<br />
12.10. Flächenstromverteilung<br />
In eine dünne, leitfähige Schicht wird ein<br />
elektrischer Strom der Stärke I eingespeist<br />
(Skizze). Leiten Sie eine Formel für die<br />
Flächenstromdichte in der Umgebung der<br />
Einspeisestelle ab.<br />
Am Rand einer dünnen, leitfähigen Platte wird ein elektrischer<br />
Strom der Stärke I eingespeist (Skizze). Leiten Sie eine Formel für<br />
die Flächenstromdichte in der Umgebung der Einspeisestelle ab.<br />
K = K<br />
I =<br />
∫<br />
K<br />
( ρ )<br />
I<br />
K = e<br />
πρ<br />
( ρ)<br />
ρdα<br />
= K(<br />
ρ)<br />
ρdα<br />
= πρK(<br />
ρ )<br />
ρ<br />
e<br />
ρ<br />
π<br />
∫<br />
0<br />
gleichförmige Verteilung des<br />
Flächenstroms über den<br />
Winkelbereich 0 < α < π<br />
π weil Halbkreis<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite <strong>13</strong>1 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>. Elementare Methoden der Berechnung elektrischer<br />
Felder<br />
<strong>13</strong>.1. Elektrisches Moment eines Moleküls<br />
Berechnen Sie das elektrische Moment („elektrisches<br />
Dipolmoment“) des in der Skizze dargestellten,<br />
gleichschenkligen (hypothetischen) Moleküls.<br />
Die Gesamtladung des betrachteten Systems (Molekül) = 0 � Elektrisches Moment<br />
unabhängig vom Bezugspunkt. Bezeichnungen festlegen:<br />
⎛α<br />
⎞<br />
p = el1<br />
+ el2<br />
= eacot⎜<br />
⎟e<br />
⎝ 2 ⎠<br />
−19<br />
−10<br />
= 1,<br />
60⋅10<br />
C ⋅1,<br />
53⋅10<br />
m⋅<br />
cot<br />
−29<br />
( 50°<br />
) e = 1,<br />
91⋅10<br />
Cme<br />
<strong>13</strong>.2. Elektrsiches Moment einer Ladungsanordnung<br />
Gegen ist eine Punkladungsverteilung laut Skizze<br />
i) Wählen Sie die Ladung im Ursprung so, dass<br />
das elektrische Moment der ganzen<br />
Ladungsanordnung unabhängig von einem<br />
Bezugspunkt ist.<br />
ii) Berechnen Sie dieses elektrische Moment.<br />
p<br />
=<br />
i) Das elektrische Moment p ist unabhängig vom Bezugspunkt, wenn die<br />
Gesamtladung verschwindet:<br />
Q0<br />
+ 2e<br />
+ 2e<br />
− e = 0 → Q0<br />
−19<br />
= −3e<br />
= −4,<br />
806⋅10<br />
C<br />
ii) Bezugspunkt im Ursprung<br />
3<br />
= ∑ dkQk<br />
= 0,<br />
4µmex<br />
⋅ 2e<br />
+ 0,<br />
6µmey<br />
⋅ 2e<br />
− ( 0,<br />
4µmex<br />
+ 0,<br />
6µmey<br />
+ 0,<br />
5µmez<br />
)<br />
k=<br />
1<br />
( 0,<br />
4µme<br />
+ 0,<br />
6µme<br />
− 0,<br />
5µme<br />
) e = ( 6,<br />
408e<br />
+ 9,<br />
612e<br />
−26<br />
− 8,<br />
010e<br />
) ⋅10<br />
Cm<br />
p = pe<br />
p = 1,<br />
406⋅10<br />
x<br />
e = 0,<br />
456e<br />
x<br />
−25<br />
Cm<br />
+ 0,<br />
684e<br />
y<br />
y<br />
− 0,<br />
570e<br />
z<br />
z<br />
x<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite <strong>13</strong>2 / 205<br />
y<br />
z<br />
e
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.3. Dipolantenne<br />
Berechnen Sie für die in der Skizze angegebene Linienladungsverteilung mit τ = const<br />
allgemein das elektrische Moment bezüglich des Ursprungs.<br />
Nach Definition ist das elektrische Moment das Ladungsmoment erster Ordnung also<br />
bezüglich des Ursprungs:<br />
k<br />
l<br />
2<br />
1<br />
1<br />
p = ∑ rkQk<br />
= ∫ zez<br />
τ<br />
2 ⎝ 0 −l<br />
/ 2 ⎠ 4<br />
0<br />
2<br />
l / 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
( −τ<br />
) dz = ⎜⎛<br />
z − z ⎟⎞<br />
τ ez<br />
= l ez<br />
Da die Gesamtladung der Verteilung verschwindet, ist das elektrische Moment unabhängig<br />
vom Bezugspunkt.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite <strong>13</strong>3 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.4. Drei Punktladungen<br />
Berechnen Sie für die in der Skizze gegebene Anordnung von Punktladungen das Potential<br />
und die elektrische Feldstärke in der Näherung r >> l, d.h. für große Abstände vom Ursprung.<br />
Die Gesamtladung ist gleich Null, r >> l bedeutet Dipolnäherung mit dem elektrischem<br />
Moment p = −Qlex<br />
− Qley<br />
= −Ql(<br />
ex<br />
+ ey<br />
) , d.h. p = pe<br />
mit p = Ql<br />
− ex<br />
+ e<br />
2 und e =<br />
2<br />
( )<br />
Bedeutet r = rer<br />
= xex<br />
+ yey<br />
+ zez<br />
den Ortsvektor, so ist die Komponente von p in Richtung<br />
x + y<br />
e r : pr = pr<br />
er;<br />
pr<br />
= p cos(<br />
α ) = − p , wobei α den Winkel zwischen e und e r angibt.<br />
2r<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1<br />
⎤ ⎡1<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣r<br />
genaue Rechnung: cosα = ⋅e<br />
= − ( e + e ) ⋅ ( xe<br />
+ ye<br />
+ ze<br />
) = ( x + y)<br />
Damit folgt für das elektrostatische Potential:<br />
1 pr p x + y Ql x + y<br />
ϕ = = − ⋅ = − ⋅<br />
2<br />
2<br />
3<br />
4πε<br />
r 4πε<br />
r 2r<br />
4πε<br />
r<br />
0<br />
und für die elektrische Feldstärke:<br />
3p<br />
− p<br />
E = = 3<br />
4πε<br />
r<br />
Ql 2<br />
3<br />
4πε<br />
r<br />
3cos(<br />
α ) er<br />
0<br />
[ e]<br />
r −<br />
wobei<br />
x + y<br />
cos(<br />
α ) = −<br />
2r<br />
1<br />
er<br />
= x y<br />
r<br />
ex<br />
+ ey<br />
e = −<br />
2<br />
0<br />
( xe<br />
+ ye<br />
+ ze<br />
)<br />
0<br />
z<br />
e r<br />
x y<br />
x y z<br />
0<br />
2<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite <strong>13</strong>4 / 205<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
−1<br />
2r<br />
y
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.5. Quadrupol<br />
Berechnen Sie für die in der Skizze gegebene Anordnung von Punktladungen im leeren Raum<br />
das Potential an Orten in Abständen r >> l vom Ursprung.<br />
Mit den eingeführten Bezeichnungen lässt sich der reziproke Abstand<br />
1<br />
= ∑ rP1 n 0<br />
∞<br />
=<br />
1 ⎛ ∂ ⎞<br />
⎜−<br />
l ⎟<br />
n!<br />
⎝ ∂z<br />
⎠<br />
n<br />
1<br />
;<br />
r<br />
r =<br />
x<br />
2<br />
+ y<br />
2<br />
+ z<br />
2<br />
2<br />
1 1 lz l ⎡ ⎛ z ⎞ ⎤<br />
zu = + + ⎢3⎜<br />
⎟ −1⎥<br />
+ K<br />
3 3<br />
rP1 r r 2r<br />
⎢⎣<br />
⎝ r ⎠ ⎥⎦<br />
( l → −l)<br />
Analog ist<br />
2<br />
2<br />
1 1 lz l ⎡ ⎛ z ⎞ ⎤<br />
= − + ⎢3⎜<br />
⎟ −1⎥<br />
−K<br />
3 3<br />
rP 2 r r 2r<br />
⎢⎣<br />
⎝ r ⎠ ⎥⎦<br />
2<br />
entwickeln.<br />
Für das elektrostatische Potential der Ladungsanordnung gilt daher:<br />
⎪⎧<br />
2 2<br />
4<br />
Q ⎛ 2 1 1 ⎞ Q l ⎡ ⎛ z ⎞ ⎤ 1 ⎡⎛<br />
l ⎞ ⎤⎪⎫<br />
ϕ ( P)<br />
= ⎜<br />
⎜−<br />
+ + ⎟ = ⎨ ⎢3⎜<br />
⎟ −1⎥<br />
+ O<br />
3<br />
⎢⎜<br />
⎟ ⎥⎬<br />
4πε0 ⎝ r rP1<br />
rP<br />
2 ⎠ 4πε0<br />
⎪⎩<br />
r ⎢⎣<br />
⎝ r ⎠ ⎥⎦<br />
r ⎢⎣<br />
⎝ r ⎠ ⎥⎦<br />
⎪⎭<br />
Mit Berücksichtigung von l/r
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.6. Elektrisches Feld zweier Linienleiter<br />
Die Überlagerung der Teilfelder der beiden Linienleiter gemäß Skizze.<br />
τ e1<br />
τ ρ1<br />
E1<br />
= =<br />
2<br />
2πε<br />
ρ 2πε<br />
ρ<br />
τ e2<br />
E2<br />
= −<br />
2πε<br />
ρ<br />
0<br />
0<br />
liefert mit<br />
ρ = a e + e<br />
1<br />
ρ = a<br />
2<br />
1<br />
2<br />
0<br />
= − −<br />
1<br />
τ ρ<br />
2πε<br />
ρ<br />
2 2<br />
( x y ) , ρ1<br />
= 2a<br />
2 2<br />
( 3e<br />
+ e ) , ρ = 10a<br />
x<br />
y<br />
2<br />
den Ausdruck<br />
τ ⎡ e<br />
⎤<br />
x + ey<br />
3ex<br />
+ ey<br />
τ ⎛ 1<br />
E ⎢ − ⎥ = ⎜ e<br />
2πε0a ⎢ 2 10<br />
⎣<br />
⎥ 2πε<br />
a<br />
⎦ 0 ⎝ 5<br />
0<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+ e<br />
5<br />
= x y<br />
oder E = Ee<br />
mit<br />
τ<br />
E =<br />
π 5ε<br />
a<br />
e<br />
e =<br />
2 0<br />
x<br />
+ 2e<br />
5<br />
y<br />
Parallel zur z-Achse verlaufen, wie in der<br />
Skizze dargestellt, zwei entgegengesetzt<br />
gleichförmig geladene Linienleiter.<br />
Berechnen Sie für τ > 0 allgemein den Betrag<br />
und die Richtung (Einsvektor) der<br />
elektrischen Feldstärke im Punkt P,<br />
gekennzeichnet durch die kartesischen<br />
Koordinaten (x,y,z) = (2a,a,0).<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite <strong>13</strong>6 / 205<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.7. Bündelleiter<br />
Eine Doppelleitung bestehe aus je zwei miteinander elektrisch verbundenen Teilleitern<br />
(Skizze). Geben Sei eine Formel für die längenbezogene Kapazität in der Näherung<br />
d
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
1 ⎡ ⎛ ρ ⎞ ⎛<br />
01 ρ<br />
ϕ(<br />
P)<br />
= ⎢τ<br />
⎜<br />
⎟ + ⎜<br />
1 ln τ 2 ln<br />
2πε0<br />
⎣ ⎝ ρP1<br />
⎠ ⎝ ρP<br />
τ = −τ<br />
, τ = −τ<br />
3<br />
2<br />
1 ⎡ ⎛ ρP<br />
= ⎢τ<br />
⎜ 1 ln<br />
2πε0<br />
⎣ ⎝ ρP<br />
4<br />
1<br />
4<br />
1<br />
⎞ ⎛ ρP<br />
⎟ + τ ⎜ 2 ln<br />
⎠ ⎝ ρP<br />
3<br />
2<br />
⎞⎤<br />
⎟<br />
⎟⎥<br />
⎠⎦<br />
02<br />
2<br />
Bezeichnungen laut Skizze. Bezugspunkt 0,<br />
Teilleiter 1 und 2 und Teilleiter 3 und 4<br />
miteinander elektrisch verbunden:<br />
ϕ 0 = 0, ϕ1<br />
= ϕ2,<br />
ϕ3<br />
= ϕ4<br />
. Aus<br />
Symmetriegründen gilt ϕ 4 = −ϕ1,<br />
U = 2ϕ1<br />
und für die Ersatz-Linienladungen<br />
τ 3 = −τ<br />
2,<br />
τ 4 = −τ<br />
1.<br />
Das Potential in einem<br />
allgemeinen Punkt P folgt durch<br />
Überlagerung der Beiträge aller Teilleiter zu<br />
⎞ ⎛ ρ ⎞ ⎛ ⎞⎤<br />
03 ρ04<br />
⎟ + τ ⎜<br />
⎟ + ⎜<br />
⎟<br />
3 ln τ 4 ln ⎥<br />
⎠ ⎝ ρP<br />
3 ⎠ ⎝ ρP<br />
4 ⎠⎦<br />
Punkt P speziell an Teilleiter 1 gelegt, d
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.8. Dreileiteranordnung<br />
Gemäß der Skizze verlaufen drei Leitungen mit<br />
Kreisquerschnitt (Durchmesser d) parallel zueinander im<br />
leeren Raum mit dem gegenseitigen Abstand a >> d.<br />
i) Berechnen Sie die längenbezogenen<br />
Teilkapazitäten<br />
ii) Zwischen den Leitern liegen die<br />
phasenverschobenen Sinusspannungen<br />
U 12 = Uˆ<br />
cos(<br />
ωt + 2π<br />
/ 3)<br />
U ˆ<br />
23 = U cos(<br />
ωt)<br />
U ˆ<br />
31 = U cos(<br />
ωt<br />
− 2π<br />
/ 3)<br />
Stellen Sie die elektrische Feldstärke an der z-Achse durch den<br />
Dreiecksmittelpunkt nach Betrag und Richtung als Zeitfunktion dar.<br />
i)<br />
a<br />
Mit dem Bezugspunkt im Ursprung, dem Umkreisradius ρ 0 = und τ 1 + τ 2 + τ 3 = 0 ist das<br />
3<br />
Potential in einem allgemeinen Punkt P<br />
1 ⎡ ⎛ ρ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤<br />
0 ρ0<br />
ρ0<br />
ϕ ( P)<br />
= ⎢τ<br />
⎜<br />
⎟ + ⎜<br />
⎟ + ⎜<br />
⎟<br />
1 ln τ 2 ln τ 3 ln ⎥<br />
2πε0<br />
⎣ ⎝ ρP1<br />
⎠ ⎝ ρP<br />
2 ⎠ ⎝ ρP<br />
3 ⎠⎦<br />
⎛ d<br />
und speziell für P am Leiter 1 ⎜ ρ P1 = ,<br />
⎝ 2<br />
ρP<br />
2 ≈ 2,<br />
⎞<br />
ρP<br />
3 ≈ a⎟<br />
⎠<br />
1 ⎡ ⎛<br />
ϕ 1 = ⎢τ<br />
1⎜<br />
2πε0<br />
⎣ ⎝<br />
2a<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ + ( τ 2 + τ 3)<br />
ln⎜<br />
3d<br />
⎠ ⎝<br />
1 ⎞⎤<br />
τ1<br />
⎛ 2a<br />
⎞<br />
⎟⎥<br />
= ln⎜<br />
⎟<br />
3 ⎠⎦<br />
2πε0<br />
⎝ d ⎠<br />
Analoge Ausdrücke gelten für φ2 und φ3. Aus τ 1 = C ′ 12U12<br />
+ C′<br />
<strong>13</strong>U<strong>13</strong><br />
und wegen der Symmetrie<br />
C ′ C′<br />
C′<br />
= C′<br />
12 = 23 + <strong>13</strong> : t folgt weiters<br />
⎛1a<br />
⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
τ1 ( 12 <strong>13</strong>)<br />
( 2ϕ1 ϕ2<br />
ϕ3<br />
) ⎝ d<br />
= C′ ′<br />
′ ⎠<br />
t U + U = Ct<br />
− − = Ct<br />
( 2τ<br />
1 −τ<br />
2 −τ<br />
3)<br />
2πε<br />
mit 2τ 1 τ 2 −τ<br />
3 = 3τ<br />
1<br />
C′ t =<br />
2 πε0<br />
− also für die Teilkapazitätsbeläge<br />
3 ⎛ 2a<br />
⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
0<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite <strong>13</strong>9 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
ii) Richtungen laut Skizze<br />
1<br />
( 3e<br />
+ e ) , e = ( − e e )<br />
1<br />
e 1 = −ey<br />
, e2<br />
=<br />
x y 3 3 x +<br />
2<br />
2<br />
Für die elektrische Feldstärke an der z-Achse gilt<br />
1<br />
3<br />
= ( τ1e1<br />
+ τ 2 e2<br />
+ τ 3e3<br />
) = ( τ 2 −τ<br />
3)<br />
ex<br />
−<br />
2πε<br />
ρ<br />
4πε<br />
a<br />
y<br />
[ 3τ<br />
ey<br />
]<br />
E 1<br />
0 0<br />
0<br />
Nun ist<br />
τ −τ = ′ U + U −U<br />
−U<br />
= 3C′ U , τ = C′<br />
U −U<br />
2<br />
3<br />
( ) ( )<br />
Ct 21 23 31 32 t 23 1 t<br />
somit<br />
3C′<br />
E = 3U<br />
23ex<br />
−<br />
4πε<br />
a<br />
3(<br />
U12<br />
−U<br />
31)<br />
ey<br />
9C′<br />
tUˆ<br />
= cos ωt<br />
ex<br />
− sin ωt<br />
4πε<br />
a<br />
[ ] [ ( ) ( ) y ]<br />
t e<br />
0<br />
oder E = Ee()<br />
t mit<br />
9C′<br />
Uˆ<br />
E = ,<br />
4πε<br />
a<br />
e t = cos ωt<br />
ex<br />
− sin ωt<br />
() ( ) ( ) y<br />
t e<br />
0<br />
0<br />
Die elektrische Feldstärke besitzt demnach an der z-Achse einen zeitlich konstanten Betrag<br />
und eine Richtung senkrecht zur z-Achse, die mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotiert.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 140 / 205<br />
12<br />
31
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.9. Geladene Kreislinie<br />
Eine Kreislinie im leeren Raum (Skizze) ist gleichförmig mit der Linienladungsdichte τ<br />
belegt. Berechnen und skizzieren Sie die Verläufe des Potentials und der Feldstärke entlang<br />
der z-Achse.<br />
Aus dem Überlagerungsprinzip folgt mit den Bezeichnungen aus der Skizze für das Potential<br />
1 τds<br />
ϕ ( P)<br />
= ∫ ,<br />
4πε<br />
r<br />
τ = const<br />
1 τ<br />
E( P)<br />
= ∫ ds 2<br />
4πε<br />
r<br />
0 C<br />
wobei für jeden festen Punkt P auf der z-Achse<br />
r =<br />
2 2<br />
a + z = const,<br />
∫ ds = 2πa<br />
also<br />
ϕ<br />
τ<br />
2ε<br />
( z)<br />
=<br />
2<br />
0<br />
1<br />
⎛ z ⎞<br />
1+<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
C<br />
Dass der Vektor e im Punkt P nicht auf die z-Achse fällt<br />
ist egal. Es hebt sich nämlich auf, weil das Feld in P aus<br />
jeder Richtung des Kreises wirkt.<br />
Genau:<br />
s = a ⋅α<br />
ds = a ⋅ dα<br />
ϕ<br />
1<br />
4πε<br />
2π<br />
( z,<br />
ρ = 0)<br />
=<br />
dα<br />
= ⋅<br />
2 =<br />
2 2<br />
2<br />
∫<br />
0 α = 0<br />
τ ⋅ a<br />
a<br />
+ z<br />
τ<br />
4πε<br />
0<br />
α<br />
⎛ z ⎞<br />
1+<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
2π<br />
0 C<br />
α = 0<br />
2ε<br />
( ϑ) ez<br />
+ sin(<br />
ϑ)<br />
eρ<br />
= cos(<br />
ϑ)<br />
ez<br />
+ sin(<br />
ϑ)<br />
cos(<br />
α ) ey<br />
sin(<br />
ϑ)<br />
sin(<br />
) ez<br />
e = cos + α<br />
0<br />
τ<br />
⎛ z ⎞<br />
1+<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 141 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
Verlauf von φ entlang der z-Achse.<br />
Ähnlich gilt für die elektrische Feldstärke<br />
1 eτds<br />
E = ,<br />
4ε<br />
∫ 2<br />
r<br />
τ = const,<br />
e = cos ϑ ez<br />
+ sin ϑ e<br />
0 C<br />
wegen<br />
cos<br />
z<br />
=<br />
r ∫ =<br />
also<br />
E<br />
( ϑ) , eds<br />
2πa<br />
ez<br />
C<br />
z<br />
r<br />
( ) ( ) ρ<br />
2π<br />
τ a ⋅ dα<br />
τ<br />
= E<br />
2 2<br />
4πε<br />
∫<br />
0 a + z<br />
2ε<br />
0<br />
0<br />
( z)<br />
ez<br />
=<br />
( cosϑez<br />
+ sinϑ<br />
cosα<br />
ey<br />
+ sinϑ<br />
sinα<br />
ez<br />
) =<br />
ez<br />
a<br />
⎡ ⎛<br />
⎢1+<br />
⎜<br />
⎢⎣<br />
⎝<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 142 / 205<br />
z<br />
a<br />
z<br />
a<br />
3<br />
2<br />
2<br />
⎞ ⎤<br />
⎟ ⎥<br />
⎠ ⎥⎦
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.10. Elektronenoptische Anordnung<br />
In einer elektronenoptischen Anordnung gemäß der Skizze sind zwei gleichgroße, koaxiale,<br />
dünne Kreisringe mit dem Radius a entgegengesetzt elektrisch geladen. Wie ist das Verhältnis<br />
b/a zu wählen, damit der Betrag der elektrischen Feldstärke im Mittelpunkt P maximal wird?<br />
Wie groß ist dieser Betrag und wie ist die Richtung der Feldstärke in P?<br />
E<br />
( P)<br />
also<br />
( P)<br />
τ<br />
[ cos(<br />
α ) ez<br />
+ sin(<br />
α ) e ] ds<br />
τ eds<br />
ρ<br />
= 2∫<br />
= 2 2<br />
r ∫<br />
2<br />
4πε<br />
r<br />
C 0<br />
4πε<br />
C<br />
0<br />
Q cos<br />
( α )<br />
e<br />
Qb<br />
⎛ b ⎞<br />
f e<br />
E = z =<br />
z =<br />
2<br />
2<br />
2 ⎜ ⎟<br />
2πε0r<br />
2πε0r<br />
2πε0a<br />
⎝ a ⎠<br />
mit<br />
( ) = ζ ( + ζ )<br />
3<br />
−<br />
f ζ 1 2 , ζ =<br />
f ( ζ ) besitzt für<br />
Q<br />
( P)<br />
= ez<br />
E 2<br />
3 3πa<br />
b<br />
a<br />
e<br />
Q<br />
b 1<br />
2<br />
ζ = = den Maximalwert . In diesem Fall ist<br />
a 2<br />
3 3<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 143 / 205<br />
z
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.11. Maximalfeldstärke an Doppelleitung<br />
Wo tritt im Feldraum der Doppelleitung laut Skizze der Maximalwert des Betrages der<br />
elektrischen Feldstärke auf und wie groß ist dieser unter Berücksichtigung von d
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.12. Kugelkondensator<br />
Das Dielektrikum des in der Abbildung skizzierten<br />
Kugelkondensators kann maximal die elektrische Feldstärke<br />
Emax aufnehmen. Wie groß muss bei gegebenem<br />
Außendurchmesser D der Innendurchmesser d gewählt<br />
werden, damit eine möglichst große Spannung U angelegt<br />
werden kann? Wie groß ist dann die Kapazität?<br />
Der maximale Feldstärkebetrag r r e E E E E max = ,<br />
max<br />
= tritt an der inneren Kugel auf, wobei<br />
(Satz vom elektrischen Hüllenfluss, Kugelsymmetrie)<br />
( ) ( ) ⎟ 2<br />
Q = π d εEr<br />
d / 2 ,<br />
Die Funktion<br />
2<br />
Q ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎛ d ⎞<br />
U = ⎜ − ⎟ = Er<br />
d / 2 ⎜ − d<br />
4πε<br />
⎝ D / s d / 2 ⎠ 2 ⎝ D ⎠<br />
U<br />
2<br />
1 ⎛ d ⎞<br />
= Emax<br />
⎜<br />
⎜d<br />
−<br />
D ⎟<br />
⎟,<br />
2 ⎝ ⎠<br />
0 < d < D<br />
D<br />
nimmt für feste Werte Emax und D bei d = ein Maximum an. Die zugehörige Kapazität<br />
2<br />
Q Q<br />
folgt aus U = − = − zu C = 2πεD<br />
mit ε = ε 0ε<br />
r .<br />
2πεD<br />
C<br />
<strong>13</strong>.<strong>13</strong>. Halbgefüllter Kugelkondensator<br />
Der Raum zwischen den beiden leitfähigen Kugelschalen<br />
in der Skizze ist zur Hälfte mit einem Dielektrikum der<br />
Permitivitätszahl ε r = 5 gefüllt. Zwischen den Elektroden<br />
liegt die Spannung U = 4kV. Berechnen Sie die<br />
Ladungsverteilung auf der inneren Schale.<br />
Die Spannungsverteilung ist kugelsymmetrisch, d.h. mit der Radialkoordinate r, a ≤ r ≤ b gilt<br />
K<br />
⎛ 1 1 ⎞<br />
ϕ () r = . Die Konstante K ist aus U = ϕ ( b)<br />
−ϕ<br />
( a)<br />
= K⎜<br />
− ⎟ zu bestimmen. Daraus folgt<br />
r<br />
⎝ b a ⎠<br />
ba 1<br />
ba er<br />
Uab Uab<br />
ϕ () r = −U<br />
, E()<br />
r = −U<br />
, K = = −<br />
2<br />
b − a r<br />
b − a r a − b b − a<br />
Flächenladungsdichte an der inneren Schicht ist im nicht gefüllten Bereich<br />
b µC<br />
σ 0 = ε 0Er<br />
( a)<br />
= −ε<br />
0U<br />
= −3,<br />
54 2<br />
a(<br />
b − a)<br />
m<br />
und im gefüllten Bereich<br />
µC<br />
σ 1 = ε rε<br />
0Er<br />
( a)<br />
= ε rσ<br />
0 = −17,<br />
7 2<br />
m<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 145 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.14. Überschusselektronen<br />
Eine Kupfer-Vollkugel, Durchmesser d = 1cm, kann in Luft höchstens so stark negativ<br />
geladen werden, dass sich an der Oberfläche die Durchbruchsfeldstärke ED ≈ 3MV<br />
/ m<br />
ausbildet. Berechnen Sie für diesen Zustand das Verhältnis N eü / Ne<br />
der Anzahl der<br />
Überschusselektronen zur Gesamtzahl der Leitungselektronen (Jedes Kupferatom stellt im<br />
3<br />
Mittel ein Leitungselektron zur Verfügung, ρ = 8,<br />
9g<br />
/ cm , M = 64g<br />
/ mol ).<br />
Kugelsymmetrisches elektrisches Feld, konstante (negative) Flächenladungsdichte σ an der<br />
Kugeloberfläche: σ = −ε<br />
0 ED, Q = σA<br />
. Damit ist die Anzahl der Überschusselektronen<br />
Neü Q ε 0 2<br />
9<br />
= = πd<br />
ED<br />
= 52, 1⋅10<br />
− e e<br />
MN<br />
Andererseits folgt aus m = ρ V = Mn = , N ≈ Ne<br />
die Gesamtzahl der<br />
N A<br />
Leitungselektronen zu<br />
ρN<br />
A ρN<br />
A π 3<br />
22<br />
Ne<br />
= V = d = 4,<br />
38⋅10<br />
M M 6<br />
Das gesuchte Verhältnis ist demnach<br />
Neü 6ε 0 ED<br />
M<br />
−12<br />
=<br />
= 1,<br />
19⋅10<br />
N eN d ρ<br />
e<br />
A<br />
<strong>13</strong>.15. Widerstand in einer Flüssigkeit<br />
Eine metallische Kugelelektrode mit isolierter Zuleitung befindet<br />
sich laut Skizze in einem Metallbehälter, der mit einer Flüssigkeit<br />
der relativ kleinen Konduktivität γ gefüllt ist. Die Abstände von den<br />
Behälterwänden sind groß gegenüber dem Kugeldurchmesser.<br />
Leiten Sie eine Formel für den elektrischen Widerstand zwischen<br />
den Anschlüssen ab.<br />
In der Umgebung der Kugelelektrode bildet sich ein kugelsymmetrische Strömungsfeld mit<br />
der Stromdichte, der Feldstärke und dem Potential<br />
I<br />
I dϕ<br />
1<br />
J = er<br />
, E = er<br />
= − er<br />
, ϕ =<br />
2<br />
2<br />
4πr<br />
4πγr<br />
dr 4πγr<br />
aus. Da die Behälterwände weit entfernt sind, spielt die Abweichung von der Kugelsymmetrie<br />
in relativ großen Abstand keine Rolle, d.h., die elektrische Spannung zwischen der<br />
Kugelelektrode und dem Behälter wird nahezu vollständig in der Umgebung der Kugel<br />
aufgebracht:<br />
I U 1<br />
U ≈ , R = ≈<br />
ϕ Behälter = 0<br />
d<br />
4πγ<br />
I 2πγd<br />
2<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 146 / 205
ϕ<br />
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.16. Kapazität zweier Metallkugeln<br />
Q ⎛ 1 1 ⎞<br />
⎜ −<br />
4πε0 ⎝ r1<br />
r2<br />
⎠<br />
( ) ⎟ P = ⎜<br />
Berechnen Sie die Kapazität der beiden in Luft befindlichen<br />
Metallkugeln aus der Skizze. Berücksichtigen Sie dabei D >><br />
d1, d2.<br />
⎛<br />
⎞<br />
Q<br />
⎜<br />
1 1 1 1<br />
⎟<br />
Q ⎛ 1 1 ⎞<br />
U = ϕ − ≈ ⎜ − − + ⎟ ≈ ⎜ + ⎟<br />
1 ϕ2<br />
4πε ⎜ d 0 1 d1<br />
d2<br />
d2<br />
⎟<br />
⎜ D − D −<br />
2πε0<br />
⎟ ⎝ d1<br />
d2<br />
⎠<br />
⎝ 2 2 2 2 ⎠<br />
Q = CU liefert dann<br />
2πε0<br />
C ≈<br />
1 1<br />
+<br />
d d<br />
1<br />
2<br />
<strong>13</strong>.17. Störung eines Homogenfeldes<br />
Unter der Voraussetzung a
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.18. Abschätzung der Leitfähigkeit<br />
Zur Abschätzung der elektrischen Leitfähigkeit eines Materials werden gemäß Skizze zwei<br />
metallische Prüfspitzen mit dem Spitzenradius r0 = 0,1mm aufgesetzt. Zwischen diesen<br />
beiden Elektroden wird der Widerstand R = 20kΩ gemessen, und zwar unabhängig vom<br />
Abstand L, solange L >> r0 gilt. Wie groß ist die so ermittelte Leitfähigkeit?<br />
Überlagerung zweier kugelsymmetrischer Strömungsfelder laut Skizze, wobei nur die<br />
Nahbereiche der Kontaktstellen maßgebend sind:<br />
I ⎛ 1 1 ⎞ I<br />
U () r = ⎜ − ≈ = const<br />
r r ⎟<br />
für r >> r0<br />
2πγ ⎝ 0 ⎠ 2πγ<br />
r0<br />
U 1<br />
R∞<br />
= =<br />
I 2πγr<br />
0<br />
Im vorliegenden Fall ist R = 2R∞<br />
also<br />
1<br />
γ = = 0,<br />
159S<br />
/ m<br />
πr<br />
R<br />
0<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 148 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.19. Ohmsche Beeinflussung<br />
Zwischen den in der Skizze markierten Erdungspunkten 1 und 2 einer energietechnischen<br />
Anlage fließt ein elektrischer Gleichstrom der Stärke I. Die Punkte 3 und 4 sind als<br />
Erdungspunkte einer Signalleitung vorgesehen. Berechnen Sie für die Abschätzung der<br />
möglichen ohmschen Beeinflussung die Spannung U34.<br />
Eine Überlagerung der kugelsymmetrischen Felder laut Skizze 2.<br />
I<br />
J = e 2 r<br />
2πr<br />
1 I<br />
E = J = e 2 r<br />
γ 2πγr<br />
I<br />
ϕ(<br />
P)<br />
=<br />
2πγr<br />
liefert für die Potentiale in den Punkten 3 und 4<br />
I<br />
ϕ3 =<br />
2πγr I<br />
−<br />
2πγr<br />
I<br />
ϕ4<br />
=<br />
2πγr<br />
I<br />
−<br />
2πγr<br />
<strong>13</strong><br />
23<br />
14<br />
und damit für die gesuchte Spannung<br />
I ⎛ 1 1 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1<br />
U34 = ϕ 3 −ϕ<br />
4 =<br />
2 ⎜ − − +<br />
r<strong>13</strong><br />
r23<br />
r14<br />
r ⎟ = ⎜<br />
−<br />
πγ ⎝<br />
24 ⎠ πγ ⎝ a<br />
1<br />
2 2<br />
a + l<br />
⎞<br />
⎟<br />
= 71,<br />
66V<br />
≈ 70V<br />
⎠<br />
24<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 149 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.20. Zählrohr<br />
Die Intensität ionisierender Strahlung lässt sich über Stoßionisation z.B. mit<br />
kreiszylindrischen Zählrohren nach dem in der Skizze angegebenen Prinzip messen.<br />
Berechnen Sie für die skizzierte Anordnung die Werte der elektrischen Feldstärke am Draht<br />
und an der Innenseite des Metallrohrs.<br />
Mit den Bezeichnungen aus der Skizze 2, Q = CU und dem Ausdruck<br />
2πε0l<br />
C =<br />
⎛ D ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
für die Kapazität (ohne Randstörungen) gilt für die Radialprojektion der Feldstärke in dem<br />
kreiszylindrischen elektrischen Feld<br />
Q<br />
U<br />
E = l<br />
ρ =<br />
2πε ⎛ D<br />
0ρ ⎞<br />
ρ ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
speziell also<br />
d<br />
ρ = :<br />
2<br />
2U<br />
V<br />
Eρ<br />
= = 3,<br />
47M<br />
⎛ D ⎞ m<br />
d ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
D<br />
ρ = :<br />
2<br />
2U<br />
V<br />
Eρ<br />
= = 0,<br />
046M<br />
⎛ D ⎞ m<br />
Dln⎜<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 150 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.21. Entwurf eines Hochspannungskondensators<br />
Entwerfen Sie einen Hochspannungs-Zylinderkondensator der Kapazität 30pF für eine<br />
Maximalspannung von 140kV. Für die wirksame axiale Länge stehen 450mm zur Verfügung.<br />
Als Dielektrikum ist SF6-Gas ( ε r ≈ 1,<br />
maximal zulässige Feldstärke 60kV/cm) vorgesehen.<br />
Geben Sie die kleinstmöglichen Elektrodendurchmesser an.<br />
Mit den Bezeichnungen aus der Skizze folgt unter<br />
Vernachlässigung von Randstörungen aus<br />
C =<br />
2πε0l ⎛ D ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
zunächst<br />
⎛ D ⎞ 2πε0<br />
l 2π<br />
⋅8,<br />
854 pF / m⋅<br />
0,<br />
45m<br />
ln⎜ ⎟ = =<br />
=<br />
⎝ d ⎠ C<br />
30 pF<br />
0,<br />
834<br />
Der Feldstärkebetrag ist maximal am Innenzylinder<br />
E<br />
max<br />
=<br />
Q UC<br />
l = l 2U<br />
=<br />
d d ⎛ D<br />
πε<br />
⎞<br />
0 2πε<br />
d ln⎜<br />
⎟<br />
2 2 ⎝ d ⎠<br />
2 0<br />
Daraus ergibt sich<br />
2U<br />
2⋅140kV<br />
d =<br />
=<br />
= 55,<br />
9mm<br />
⎛ D ⎞ 60kV<br />
/ cm⋅<br />
0,<br />
834<br />
Emax<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
D = 2,<br />
304d<br />
= 128,<br />
8mm<br />
D<br />
also = 2,<br />
304<br />
d<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 151 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.22. Größtspannung eines Kabels<br />
Die Polyäthylenisolierung ( ε r ≈ 2,<br />
26 ) des in der Skizze<br />
angegebenen Koaxialkabels kann eine elektrische Feldstärke von<br />
höchsten 18,1MV/m aufnehmen. Wie groß ist die zugehörige<br />
Maximalspannung?<br />
Der Maximalbetrag Ei der Radialfeldstärke Eρ tritt an der Kontur<br />
des Innenleiters (Durchmesser d) auf. Die längenbezogene<br />
Ladung folgt aus σ i = εEi<br />
zu Q′ = dπεEi<br />
.<br />
ρ0 …Bezugsradius im Dielektrikum<br />
Q′ …längenbezogener Ladungsbetrag<br />
Q′<br />
1 d D<br />
E(<br />
ρ ) = eρ<br />
< ρ <<br />
2πε<br />
ρ 2 2<br />
[ Dn ] = σ i<br />
⎛ d ⎞<br />
i = εE⎜<br />
ρ = ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
d<br />
d<br />
Q′<br />
⎛ ⎞<br />
= σ i 2π<br />
= επd<br />
E⎜<br />
ρ = ⎟<br />
{ 2<br />
1⎝<br />
4243<br />
2 ⎠<br />
σ …maximales Feld bei maximaler Krümmung Ei = Emax<br />
Umfang des<br />
Innenleiters<br />
= Emax<br />
= 18,<br />
1MV<br />
/ m<br />
Zu dem kreiszylindrischen elektrischen Feld gehört der logarithmische Potentialverlauf<br />
ϕ<br />
Q′ ⎛ ρ ⎞ επdE<br />
⎛ ρ ⎞ Eid<br />
⎛ ρ ⎞<br />
0 i 0<br />
0<br />
( ρ ) = ln⎜<br />
⎟ = ln⎜<br />
⎟ = ln⎜<br />
⎟<br />
2πε<br />
⎝ ρ ⎠ 2πε<br />
⎝ ρ ⎠ 2 ⎝ ρ ⎠<br />
und daraus folgt für die Spannung<br />
⎛ d ⎞ ⎛ D ⎞ Eid<br />
⎛ D ⎞<br />
U = ϕ ⎜ ⎟ −ϕ<br />
⎜ ⎟ = ln⎜<br />
⎟ = 188kV<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ d ⎠<br />
Wie erwartet muss der Bezugsradius ρ 0 wegfallen.<br />
d<br />
2<br />
< ρ <<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 152 / 205<br />
D<br />
2<br />
d =<br />
D =
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.23. Querleitwerte eines Koaxialkabels<br />
In einem Koaxialkabel mit dem Durchmesser d und D des Innen- bzw. Außenleiters besitzt<br />
das Dielektrikum die (kleine) Leitfähigkeit γ. Leiten Sie die Formel für den längenbezogenen<br />
Querleitwert ab.<br />
Bedeutet I′ den längenbezogenen, radial nach außen fließenden Strom, so sind mit den<br />
Bezeichnungen aus der Skizze die Stromdichte und die zugehörige Feldstärke<br />
I′<br />
1 I′<br />
J = eρ<br />
E = J = eρ<br />
2πρ<br />
γ 2πγρ<br />
Über die Spannung<br />
D / 2<br />
I′<br />
⎛ D ⎞<br />
U = ∫ Eρ<br />
dρ<br />
= ln⎜<br />
⎟<br />
2πγ<br />
⎝ d ⎠<br />
d / 2<br />
folgt dann der Querleitwertbelag zu<br />
I′<br />
2πγ<br />
G′<br />
= =<br />
U ⎛ D ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 153 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.24. Auslegung eines Koaxialkabels<br />
Ein Koaxialkabel (Außendurchmesser D, Innendurchmesser d) mit Polyäthylenisolierung<br />
( ε r ≈ 2,<br />
26 ) soll so ausgelegt werden, dass für eine gegebene Betriebsspannung die<br />
Maximalfeldstärke möglichst klein wird. Wie groß ist das Verhältnis D/d zu wählen? Wie<br />
groß ist dann die längenbezogene Kapazität?<br />
Mit den Bezeichnungen aus der Skizze gilt zunächst für den<br />
Kapazitätsbelag<br />
2πε<br />
C′<br />
=<br />
⎛ D ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
Die Maximalfeldstärke tritt am Innenleiter auf und beträgt<br />
Q′<br />
C′<br />
U 2U<br />
Ei = = =<br />
d d ⎛ D<br />
2πε<br />
πε ⎞<br />
d ln⎜<br />
⎟<br />
2<br />
⎝ d ⎠<br />
Ihr Verlauf Ei =<br />
2U<br />
als Funktion von d für feste Werte U und D, in der unteren Abbildung<br />
f ( d )<br />
skizziert, besitzt ein Minimum (f(d) ein Maximum) im Intervall 0 < d < D:<br />
f<br />
D<br />
d<br />
( d ) = d ln f ′ ( d )<br />
= e =<br />
⎛ D ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
2,<br />
718<br />
Somit ist der Kapazitätsbelag<br />
2πε<br />
C ′ = = 2πε<br />
= 125,<br />
7 pF / m<br />
⎛ D ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
⎛ D ⎞ ⎛ D ⎞<br />
= ln⎜<br />
⎟ −1<br />
= 0 → ln⎜<br />
⎟ = 1<br />
⎝ d ⎠ ⎝ d ⎠<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 154 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.25. Hochspanungsdurchführung<br />
Das Dielektrikum der kreiszylindrischen Hochspannungsdurchführung aus der Skizze<br />
(Längenmaße in mm) besteht aus zwei koaxialen Schichten. Berechnen und skizzieren Sie,<br />
quantitativ richtig, den Verlauf der elektrischen Feldstärke über der Radialkoordinate.<br />
Der Satz vom elektrischen Hüllenfluss liefert in Verbindung mit der Kreiszylindersymmetrie<br />
und den Bezeichnungen aus der zweiten Skizze<br />
d<br />
< ρ < 2d<br />
:<br />
2<br />
D = D(<br />
ρ ) eρ<br />
,<br />
Q′<br />
D(<br />
ρ)<br />
=<br />
2πρ<br />
d<br />
< ρ < d :<br />
2<br />
E = E1(<br />
ρ) eρ<br />
,<br />
Q′<br />
E1(<br />
ρ)<br />
=<br />
2πε1ρ<br />
d < ρ < 2d : E = E2(<br />
ρ ) eρ<br />
,<br />
Q′<br />
E2(<br />
ρ)<br />
=<br />
2πε<br />
ρ<br />
wobei ε 1 2ε , ε 2 = ε,<br />
ε = 2,<br />
5ε<br />
0<br />
= . Über die Spannung<br />
D / 2<br />
Q′<br />
⎡1<br />
⎤<br />
U = ∫ E(<br />
ρ)<br />
dρ<br />
=<br />
⎢<br />
ln(<br />
2)<br />
+ ln(<br />
2)<br />
2πε<br />
⎣2<br />
⎥⎦<br />
d / 2<br />
Q′<br />
U<br />
folgt dann = = 96,<br />
2kV<br />
, insgesamt also<br />
2πε<br />
ln 8<br />
10mm<br />
< ρ < 20mm<br />
: E ρ = 48,<br />
1kV<br />
/ ρ<br />
20mm<br />
< ρ < 40mm<br />
: E<br />
1<br />
( )<br />
( ρ)<br />
= 96,<br />
2kV<br />
/ ρ<br />
2<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 155 / 205<br />
2
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.26. Kabel mit geschichtetem Dielektrikum<br />
Das Dielektrikum des in der Abbildung skizzierten<br />
Koaxialkabels besteht aus zwei Schichten<br />
unterschiedlicher Permitivität. Zwischen dem Innenleiter<br />
und dem Außenleiter liegt die elektrische Spannung U =<br />
5kV. Wo tritt in dem Querschnitt der größte Betrag der<br />
elektrischen Feldstärke auf und wie groß ist dieser?<br />
Der Satz vom elektrischen Hüllenfluss liefert in Verbindung mit der Kreiszylindersymmetrie<br />
Q′<br />
Dρ<br />
=<br />
2πρ<br />
d0<br />
d1<br />
< ρ < : E<br />
2 2<br />
d1<br />
d2<br />
< ρ < : E<br />
2 2<br />
ρ<br />
ρ<br />
Q′<br />
=<br />
2πε1ρ<br />
Q′<br />
=<br />
2πε<br />
ρ<br />
wobei<br />
d = mm,<br />
d = 30mm.<br />
d = 40mm<br />
0<br />
20 1<br />
2<br />
Aus<br />
d2<br />
/ 2<br />
Q′<br />
⎡ 1 ⎛ d<br />
U = ∫ E = ⎢ ln ⎜<br />
ρ dρ<br />
2πε<br />
0 / 2<br />
0 ⎣ε<br />
r1<br />
⎝ d<br />
d<br />
2<br />
1<br />
0<br />
⎞ 1<br />
⎟ +<br />
⎠ ε r<br />
2<br />
⎛ d<br />
ln ⎜<br />
⎝ d<br />
Q′<br />
folgt mit dem angegebenen Spannungswert = 25,<br />
489kV<br />
2πε0 ⎛ d0<br />
⎞ Q′<br />
25,<br />
489kV<br />
Eρ<br />
⎜ ⎟ = = = 5,<br />
10kV<br />
/ cm<br />
⎝ 2 ⎠ d0<br />
2πε<br />
5 1cm<br />
0ε<br />
⋅<br />
r<br />
2<br />
⎛ d1<br />
⎞ Q′<br />
25,<br />
489kV<br />
Eρ<br />
⎜ + ⎟ = = = 6,<br />
80kV<br />
/ cm<br />
⎝ 2 ⎠ d1<br />
2πε<br />
2,<br />
5⋅1,<br />
5cm<br />
0ε<br />
r<br />
2<br />
Der Größtwert des Betrages der elektrischen Feldstärke tritt am Innenrand des äußeren<br />
Dielektrikums auf und ist 6,80kV/cm.<br />
2<br />
1<br />
⎞⎤<br />
⎟<br />
⎟⎥<br />
⎠⎦<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 156 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.27. Koaxialkabel mit Führungsscheiben<br />
Das in der Skizze im Längsschnitt dargestellte Koaxialkabel besitzt in regelmäßigen<br />
Abständen dielektrische Führungsscheiben. Um wie viel Prozent wird dadurch der mittlere<br />
Kapazitätsbelag gegenüber einem leeren Kabel erhöht?<br />
Die Kapazität einer Teilung der Länge D ist<br />
2πε0 ⎛ D 4 ⎞<br />
C = ⎜ε<br />
r + D⎟<br />
⎛ D ⎞ ⎝ 5 5<br />
ln<br />
⎠<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
längenbezogen also<br />
⎛ ε r 4 ⎞ 2πε0<br />
C′<br />
= C′<br />
⎜ + ⎟ ′<br />
0 , C0<br />
=<br />
⎝ 5 5 ⎠ ⎛ D ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
wobei C′ 0 den Kapazitätsbelag des leeren Kabels angibt. Die relative Erhöhung beträgt<br />
demnach<br />
C′ − C′<br />
0 ε r −1<br />
= = 90%<br />
C′<br />
5<br />
0<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 157 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.28. Zylindrische Anordnung<br />
Entlang der Achse des kreiszylindrischen Metallrohres M aus<br />
der Skizze verläuft der kreiszylindrische Metallstab S. Das<br />
dazwischen liegende Dielektrikum ist axial zweigeteilt<br />
(Konduktivität γ1 und γ2 deutlich kleiner als die Konduktivität<br />
der Metallteile) und ist innen und außen gut kontaktiert.<br />
Berechnen Sie allgemein für gegebene Materialwerte,<br />
Abmessungen und die Spannung<br />
i) die elektrische Feldstärke E ( ρ , z)<br />
ii) die elektrische Stromdichte J ( ρ , z)<br />
iii) die elektrische Stromstärke I<br />
Randstörungen sind zu vernachlässigen.<br />
i) Die elektrische Feldstärke (Kreiszylindersymmetrie)<br />
ρ<br />
ρ e<br />
K<br />
E =<br />
ist stetig an der Grenzfläche z = l. Die Konstante K bestimmt sich aus der gegebenen<br />
Spannung über<br />
D / 2<br />
⎛ D ⎞<br />
U = − ∫ Eρ<br />
dρ<br />
= −K<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ d<br />
d / 2<br />
⎠<br />
somit<br />
U eρ<br />
d D<br />
E ( ρ,<br />
z)<br />
= − , < ρ < , 0 < z < L<br />
⎛ D ⎞ ρ 2 2<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
wobei Randstörungen bei z = 0 und z = L nicht berücksichtigt werden.<br />
ii)<br />
J = γ E<br />
J<br />
J<br />
( ρ,<br />
z)<br />
γ e 1U<br />
ρ<br />
= − ,<br />
⎛ D ⎞ ρ<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
γ U e<br />
⎛ D ⎞ ρ<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
d D<br />
< ρ < ,<br />
2 2<br />
D<br />
2<br />
2 ρ<br />
( ρ,<br />
z)<br />
= − , < ρ , l < z < L<br />
d<br />
2<br />
0 < z < l<br />
iii)<br />
U 1<br />
I = 2πρ ⎛ D ⎞ ρ<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
1 2<br />
2πU<br />
⎛ D ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
1 γ 2 −<br />
[ γ l + γ ( L − l)<br />
] = [ γ l + ( L l)<br />
]<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 158 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.29. Geschwindigkeitsverteilung<br />
Der Raum zwischen den beiden konzentrischen metallenen<br />
Kreiszylinderelektroden aus der Skizze ist evakuiert. Elektronen<br />
werden an der inneren Elektrode (Kathode K) mit vernachlässigbar<br />
kleiner Geschwindigkeit emittiert und laufen, beschleunigt durch das<br />
elektrische Feld zufolge der anliegenden Spannung U zur äußeren<br />
Elektrode (Anode A). Berechnen Sie die Geschwindigkeitsverteilung<br />
v(ρ) unter Vernachlässigung der Raumladung.<br />
Aus der allgemeinen Form des Potentialverlaufs für die vorliegende Symmetrie<br />
⎛ ρ ⎞<br />
ϕ ( ρ ) = K ln ⎜<br />
⎟<br />
⎟,<br />
K = const<br />
⎝ ρ0<br />
⎠<br />
folgt mit ϕ ( a)<br />
= 0 und ϕ ( b ) = U zunächst<br />
ϕ<br />
( ρ )<br />
⎛ ⎞<br />
ln⎜ ⎟<br />
⎝ a<br />
= U<br />
⎠<br />
⎛ b ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
ρ<br />
Die Elektronen bewegen sich radial nach außen. Die Energieerhaltung liefert<br />
(nichtrelativistisch), wegen v ( a)<br />
≈ 0 und ϕ ( a)<br />
= 0<br />
1 2<br />
1 2<br />
mev ( ρ ) − eϕ(<br />
ρ)<br />
= mev<br />
( a)<br />
− eϕ(<br />
a)<br />
= 0<br />
2<br />
2<br />
also<br />
v<br />
e<br />
⎛ ρ ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
⎛ ρ ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
me<br />
⎛ b ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
⎛ b ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
( ρ ) = 2 U = v(<br />
b)<br />
mit der Endgeschwindigkeit<br />
v<br />
e<br />
m<br />
( b)<br />
= 2 U<br />
e<br />
Eine grafische Darstellung des bezogenen<br />
Geschwindigkeitsverlaufs für unterschiedliche<br />
Radienverhältnisse a/b zeigt die folgende<br />
Skizze.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 159 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.30. Elektronen auf Kreisbahn<br />
Im Raum zwischen den beiden konzentrischen metallenen Kreiszylindern aus der Skizze<br />
−31<br />
sollen Elektronen ( m = 9,<br />
110⋅10<br />
kg ) mit der Geschwindigkeit v 10 m / s auf Kreisbahnen<br />
gehalten werden. Wie groß ist die dazu erforderliche elektrische Spannung U?<br />
7<br />
=<br />
Aus der allgemeinen Form der elektrischen Feldstärke für die vorliegende Symmetrie<br />
K<br />
E = eρ<br />
, K = const<br />
ρ<br />
folgt zunächst über die Spannung<br />
b<br />
dρ<br />
⎛ b ⎞<br />
U = ∫ K = K ln⎜<br />
⎟<br />
ρ ⎝ a ⎠<br />
a<br />
der Ausdruck<br />
U eρ<br />
E =<br />
⎛ b ⎞ ρ<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
wobei a = 20mm, b = 60mm. Die Bewegungsgleichung<br />
2<br />
v<br />
eU eρ<br />
− m eρ<br />
= F = −eE<br />
= −<br />
ρ<br />
⎛ b ⎞ ρ<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
liefert dann<br />
−31<br />
2<br />
m 2 ⎛ b ⎞ 9,<br />
11⋅10<br />
kg 14 m<br />
U = v ln⎜ ⎟ =<br />
⋅10<br />
ln()<br />
3 = 624,<br />
7V<br />
−19<br />
2<br />
e ⎝ a ⎠ 1,<br />
602⋅10<br />
C s<br />
unabhängig vom Bahnradius.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 160 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.31. Potentialsteuerung<br />
Bei einer kreiszylindrischen Hochspannungsdurchführung laut Skizze wird zur Herabsetzung<br />
der elektrischen Feldstärke am Innenleiter in das Dielektrikum eine Metallfolie M koaxial<br />
eingelegt, deren Spannung gegenüber den beiden anderen Leitern durch einen<br />
(Ersatz-)Spannungsteiler fixiert ist („Potentialsteuerung“). Wie groß ist das Verhältnis R1/R2<br />
zu wählen, wenn der Feldstärkebetrag Ei am Innenleiter den Wert 20kV/cm nicht<br />
überschreiten soll?<br />
Unter Verwendung der Bezeichnungen aus der Skizze verläuft die radial gerichtete Feldstärke<br />
di<br />
dM<br />
im Bereich < ρ < gemäß<br />
2 2<br />
di<br />
( ρ)<br />
2<br />
⎛ di<br />
⎞<br />
E = Ei<br />
Ei = E⎜<br />
ρ = ⎟<br />
ρ<br />
⎝ 2 ⎠<br />
Draus folgt<br />
U<br />
1<br />
dM<br />
2<br />
= ∫ E<br />
di<br />
2<br />
d<br />
2<br />
⎛ d<br />
⎜<br />
⎝ d<br />
i M<br />
( ρ ) dρ<br />
= E ln⎜<br />
⎟ = 18,<br />
3897kV<br />
und, mit der Spannungsteilerregel<br />
R<br />
R<br />
U1<br />
U1<br />
= =<br />
U U −U<br />
18,<br />
4kV<br />
=<br />
50kV<br />
−18,<br />
4kV<br />
1 =<br />
2<br />
2<br />
1<br />
i<br />
i<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0,<br />
582<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 161 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.32. Teilkapazitäten dreier koaxialer Rohre<br />
Zwischen den drei koaxialen, dünnwandigen Metallrohren aus der Skizze befinden sich<br />
Dielektrika unterschiedlicher Permitivität. Berechnen Sie die längenbezogenen<br />
Teilkapazitäten dieses Dreileitersystems.<br />
Die längenbezogenen Teilkapazitäten C ′ ik = C′<br />
ki des Dreileitersystems sind durch<br />
( 1)<br />
Q′<br />
1 = C′<br />
12U12<br />
+ C′<br />
<strong>13</strong>U<strong>13</strong><br />
( 2)<br />
Q′<br />
2 = C′<br />
21U<br />
21 + C′<br />
23U<br />
23<br />
( 3)<br />
Q′<br />
3 = C′<br />
31U<br />
31 + C′<br />
32U<br />
32<br />
definiert. Sie lassen sich am bequemsten durch Herstellen spezieller Verbindungen<br />
berechnen:<br />
a)<br />
U12<br />
= U,<br />
U 23 = 0 ; Raum zwischen Rohren 2 und 3 feldfrei,<br />
d.h. Q′<br />
3 = 0 . Rohre 1 und 2 bilden ein Zweileitersystem,<br />
Q ′ 2 = −Q′<br />
1 . Aus Gleichung (2) und (3) folgt damit<br />
− Q′ 1 = −C′<br />
21U<br />
bzw. 0 = −C′<br />
31U<br />
, also<br />
2πε0<br />
C′<br />
12 = C′<br />
21 = = 80,<br />
3pF<br />
/ m<br />
⎛ D ⎞ 2 ln ⎜<br />
⎟<br />
⎝ D1<br />
⎠<br />
C′<br />
= C′<br />
= 0<br />
<strong>13</strong><br />
31<br />
b)<br />
U 0,<br />
U = U ; Raum zwischen Rohren 1 und 2 feldfrei,<br />
12 = 23<br />
1 0 = ′ Q<br />
d.h. . Rohre 2 und 3 bilden ein Zweileitersystem,<br />
Q ′ 3 = −Q′<br />
2 . Aus Gleichung (1) und (2) folgt damit 0 = C<strong>13</strong>U bzw. Q′ 2 = C′<br />
23U<br />
, also<br />
C′<br />
= C′<br />
= 0<br />
<strong>13</strong><br />
C′<br />
23<br />
31<br />
= C′<br />
32<br />
2πε0ε<br />
r = = 343,<br />
0 pF / m<br />
⎛ D ⎞ 3 ln ⎜<br />
D ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 162 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.33. Joule-Verluste in Blechteilen<br />
In den in der Abbildung skizzierten Anordnung wird elektrischer Strom der Stärke I über zwei<br />
sektorförmige Blechteile (Blechdicke δ, Kondunktivität γ) vom Innenleiter in den<br />
rohrförmigen Außenleiter geführt. Leiten Sie eine Formel ab für die gesamten Joule-Verluste<br />
in diesen Blechteilen.<br />
Unter Annahme einer radialsymmetrischen Strömung in den Blechteilen (Skizze) mit der<br />
Stromdichte<br />
I<br />
I<br />
J ρ = 2 = = γEρ<br />
π<br />
δρ<br />
πδρ<br />
2<br />
folgt für die Spannung zwischen Innen- und Außenrand<br />
D / 2<br />
I ⎛ D ⎞<br />
U = ∫ Eρ<br />
dρ<br />
= ln⎜<br />
⎟<br />
πγδ ⎝ d ⎠<br />
d / 2<br />
Die gesamten Joule-Verluste (beide Teile) sind daher<br />
⎛ D ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
d 2<br />
P = UI =<br />
⎝ ⎠<br />
I<br />
πγδ<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 163 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.34. Stromführung über Metallplatte<br />
In zwei Kreisbohrungen einer großen, dünnen Metallplatte ist je ein Kontaktbolzen<br />
eingeschweißt (Skizze). Berechnen Sie allgemein den elektrischen Widerstand der Platte in<br />
der Strombahn.<br />
Aus dem Überlagerungsprinzip folgt mit den Bezeichnungen aus der Skizze für die<br />
Stromdichte in einem allgemeinen Plattenpunkt<br />
I ⎛ ⎞<br />
⎜<br />
e1<br />
e2<br />
J =<br />
⎟<br />
⎜<br />
−<br />
2πδ ⎟<br />
⎝ ρ1<br />
ρ2<br />
⎠<br />
und speziell entlang der Verbindungslinie C,<br />
⎛<br />
⎞<br />
I<br />
⎜<br />
1 1<br />
⎟<br />
a − d<br />
J ( x)<br />
= ⎜ + ⎟ex,<br />
x ≤<br />
2πδ<br />
⎜ a a<br />
x x ⎟ 2<br />
⎜ + − ⎟<br />
⎝ 2 2 ⎠<br />
Damit lässt sich über die Feldstärke<br />
a−d<br />
a−d<br />
⎛<br />
⎞<br />
2<br />
2<br />
I<br />
⎜<br />
1 1<br />
⎟<br />
I ⎛ 2a<br />
− d<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎞<br />
U = ∫ Exdx<br />
= ∫ + dx = ln⎜<br />
⎟<br />
−<br />
− ⎜ a a<br />
a d 2πγδ<br />
a d<br />
⎟<br />
⎜ + − ⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
−<br />
− x x<br />
πγδ<br />
2<br />
2 ⎝ 2 2 ⎠<br />
J<br />
E = die Spannung zwischen den Bolzen berechnen,<br />
γ<br />
R = U/I liefert schließlich unter Verwendung von d
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.35. Widerstand eines Engebereichs<br />
Berechnen Sie näherungsweise den Widerstand des Engebereichs der in der Abbildung<br />
(Längenmaße in mm) skizzierten Leiterbahn.<br />
Der Gesamtwiderstand setzt sich zusammen aus dem Widerstand des Engebereichs + zweimal<br />
dem Widerstand der Keilförmigen Leiterbahnen:<br />
Unter Verzicht auf die genauere Beschreibung der Strömung in den Übergangsbereichen folgt<br />
unter den Annahmen eines radialsymmetrischen Feldes und dem näherungsweisen Ersatz der<br />
Trapeze durch Kreissektoren laut Skizze<br />
I<br />
J ρ = ,<br />
αρd<br />
J ρ I<br />
Eρ<br />
= =<br />
γ γραd<br />
αρd …Querschnittsfläche<br />
tan α = 0,<br />
5 → α = 0,<br />
464;<br />
d = 0,<br />
1<br />
( ) mm<br />
für die Teilspannung U1 und den zugehörigen Teilwiderstand R1 also<br />
ρ 2<br />
ρ2<br />
I 1 I ⎛ ρ ⎞ 2<br />
U<br />
⎜<br />
⎟<br />
1 = ∫ Eρdρ<br />
= ∫ dρ<br />
= ln<br />
γαd<br />
ρ γαd<br />
⎝ ρ<br />
ρ1<br />
ρ1<br />
1 ⎠<br />
⎛ ρ ⎞ 2 ln ⎜<br />
⎟<br />
U1<br />
R = =<br />
⎝ ρ1<br />
⎠<br />
1<br />
= 0,<br />
619mΩ<br />
I γαd<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 165 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
Der Widerstand des rechteckförmigen Mittelstücks (Skizze), berechnet in der Näherung eines<br />
homogenen Strömungsfeldes, ist<br />
l<br />
R2 = = 0,<br />
357mΩ<br />
γbd<br />
Der Gesamtwiderstand des Engebereiches daher<br />
R ≈ R + R = 1,<br />
6mΩ<br />
2 1 2<br />
<strong>13</strong>.36. Joule-Verluste in einer Hülse<br />
In der in der Skizze gezeichneten Anordnung wird einer Platte über einen Bolzen und eine<br />
kreiszylindrische Hülse (Innendurchmesser d, Außendurchmesser D, Länge l, Konduktivität<br />
γ) Gleichstrom der Stärke I zugeführt. Leiten Sie eine Formel für den gesamten Joule-Verlust<br />
in der Hülse ab.<br />
Unter der Annahme einer radialsymmetrischen Stromverteilung in der Hülse unabhängig von<br />
der Axialkoordinate (gerechtfertigt, wenn die Konduktivität des Hülsenmaterials deutlich<br />
kleiner ist als die Konduktivität des Bolzenmaterials) folgt mit der Radialkoordinate ρ für die<br />
Stromdichte und die Feldstärke<br />
I<br />
J I<br />
J = eρ<br />
, E = = eρ<br />
2πρl<br />
γ 2πργl<br />
und damit für die Spannung<br />
D<br />
2<br />
I ⎛ D ⎞<br />
U = ∫ Eρ<br />
dρ<br />
= ln⎜<br />
⎟<br />
2πγl<br />
⎝ d ⎠<br />
d<br />
2<br />
Daher sind die Joule-Verluste<br />
⎛ D ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
d 2<br />
P = UI =<br />
⎝ ⎠<br />
I<br />
2πγl<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 166 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.37. Grabenkondensator<br />
In einer mikroelektronischen Grabenstruktur laut Skizze wird ein Kondensator wie angegeben<br />
realisiert. Wie groß ist die längenbezogene Kapazität?<br />
Die Kapazitätsbeläge der Grabenwände und des Grabenbodens sind<br />
εb 2πε<br />
C′ ′<br />
W ≈ , CB<br />
≈<br />
d ⎛ a + d ⎞<br />
n⎜<br />
⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
Zusammen ist<br />
⎡<br />
⎤<br />
⎢2b<br />
π ⎥<br />
C′ = 2C′<br />
W + C′<br />
B ≈ ε 0ε<br />
⎢ r + ⎥<br />
⎢ d ⎛ d ⎞<br />
ln 1<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎜ + ⎟<br />
⎣ ⎝ a ⎠⎥<br />
⎦<br />
⎡<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
2 3<br />
3<br />
8,<br />
854 pF / m 10⎢<br />
⋅ π<br />
≈<br />
⋅ + ⎥ = 5,<br />
998⋅10<br />
pF / m<br />
⎢ 0,<br />
1 ⎛ 0,<br />
1⎞<br />
⎥<br />
⎢ ln⎜1+<br />
⎟<br />
0,<br />
1<br />
⎥<br />
⎣ ⎝ ⎠⎦<br />
C′<br />
≈ 6 pF / m<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 167 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.38. Kapazitätsbeitrag einer Abschrägung<br />
In der mikroelektronischen Struktur laut Skizze (Querschnitt) verläuft eine seitlich<br />
abgeschrägte Leiterbahn parallel zu einem leitenden Halbraum (Modell). Der Beitrag C′ s der<br />
schrägen Seitenfläche zur längenbezogenen Kapazität ist näherungsweise zu berechnen.<br />
Nehmen Sie dazu kreisbogenförmige Feldlinien an und bestimmen Sie den längenbezogenen<br />
elektrischen Fluss Ψ′ s . Das Dielektrikum ist isotrop mit der Dielektrizitätszahl ε r .<br />
Mit der Annahme kreisbogenförmiger Feldlinien und den Bezeichnungen aus der Skizze folgt<br />
aus der Spannung U = Eααρ<br />
die Flussdichte<br />
εU<br />
Dα = εEα = , ε = ε 0ε<br />
r<br />
αρ<br />
und daraus der längenbezogene elektrische Fluss<br />
ρ2<br />
εU<br />
⎛ ρ ⎞ 2<br />
ψ ′ = ∫ = ln ⎜<br />
⎟<br />
s Dα<br />
dρ<br />
α ⎝ ρ<br />
ρ<br />
1 ⎠<br />
1<br />
Über ψ ′ = ′ = C′<br />
U ergibt sich dann der Kapazitätsbelag der Abschrägung zu<br />
s<br />
Qs s<br />
ε ⎛ h ⎞ 2<br />
′ = ln ⎜<br />
⎜1+<br />
⎟<br />
⎝ h1<br />
⎠<br />
C s α<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 168 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.39. Kreiszylinder im Transversalfeld<br />
Ein kreiszylindrisches Rohr aus leitfähigem Material wird in ein ursprünglich homogenes,<br />
transversales elektrisches Feld großer Ausdehnung gebracht (Skizze). Geben Sie die<br />
Ausdrücke für das resultierende Potential und die zugehörige Feldstärke an. Wo tritt der<br />
Maximalwert auf und wie groß ist er? (Hinweis: Überlagern Sie das Feld eines Liniendipols<br />
mit dem Homogenfeld.)<br />
Mit den Bezeichnungen aus der Skizze gilt für das Potential und die Feldstärke des<br />
Liniendipols<br />
cos(<br />
ϑ)<br />
2cos(<br />
ϑ)<br />
ρ y<br />
ϕ<br />
,<br />
2<br />
2πε ρ 2πε<br />
ρ<br />
e e<br />
p′<br />
p′<br />
−<br />
=<br />
E =<br />
0<br />
und des Homogenfelds<br />
ϕ = − y = −E<br />
ρ cos ϑ , E = E<br />
0<br />
( ) ey<br />
E0 0<br />
0<br />
Die Überlagerung der beiden Potentiale liefert zunächst<br />
⎛ p′<br />
1 ⎞<br />
ϕ = ⎜ − E0ρ<br />
cos(<br />
ϑ)<br />
2πε0<br />
ρ ⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
Soll das Potential an der Kontur ρ = a verschwinden, muss p′ gemäß<br />
gewählt werden. Damit wird<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎡ ⎛ a ⎞ ⎤ ⎪<br />
⎧ y ⎛ a ⎞ ⎡ ⎛ a ⎞ ⎤ ⎪<br />
⎫<br />
ϕ = −E0<br />
y⎢1<br />
− ⎜ ⎟ ⎥,<br />
E = E0⎨2<br />
⎜ ⎟ eρ<br />
+ ⎢1−<br />
⎜ ⎟ ⎥ey<br />
⎬<br />
⎢⎣<br />
⎝ ρ ⎠ ⎥⎦<br />
⎪⎩<br />
ρ ⎝ ρ ⎠ ⎢⎣<br />
⎝ ρ ⎠ ⎥⎦<br />
⎪⎭<br />
p′ = π ε<br />
2<br />
2 a 0E0<br />
Der Maximalwert des Feldstärkebetrages tritt an den Erzeugenden ϑ = 0 und ϑ = π des<br />
Zylinders = a E = 2 E .<br />
ρ auf, 0<br />
max<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 169 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.40. Influenzierte Ladungsverteilung<br />
Ein insgesamt ungeladenes, metallisches Kreiszylinderrohr wird in ein ursprünglich<br />
homogenes, transversales elektrisches Feld großer Ausdehnung gebracht (Skizze). Für ρ > A<br />
stellt sich dann die Feldstärke<br />
2<br />
2<br />
⎪<br />
⎧ y ⎛ a ⎞ ⎡ ⎛ a ⎞ ⎤ ⎪<br />
⎫<br />
E(<br />
P)<br />
= E0⎨2<br />
⎜ ⎟ eρ<br />
+ ⎢1−<br />
⎜ ⎟ ⎥ey<br />
⎬<br />
⎪⎩<br />
ρ ⎝ ρ ⎠ ⎢⎣<br />
⎝ ρ ⎠ ⎥⎦<br />
⎪⎭<br />
ein. Berechnen Sie die durch Influenz auf dem Rohr entstehenden Ladungsverteilungen.<br />
Es entsteht eine Flächenladungsverteilung an der äußeren Grenzfläche ρ = a . Der Rest des<br />
Rohrs bleibt ladungsfrei.<br />
ρ = a+ y = asin<br />
α , E = E 2sin<br />
α e<br />
( ) ( ) ρ<br />
: 0<br />
Die zugehörige Flächenladungsdichte ist<br />
σ = D ρ = 2ε 0E0<br />
sin(<br />
α )<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 170 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.41. Rotationsellipsoid<br />
Das elektrische Feld eines geladenen, gestreckten Rotationsellipsoids aus leitfähigem Material<br />
2 2<br />
(Halbachse a und b, Exzentrizität e = a − b / a ) im sonst leeren Raum lässt sich aus dem<br />
Feld eines geladenen Geradenstücks ableiten.<br />
iii) Wie groß ist die Kapazität des Ellipsoids im leeren Raum<br />
(Verallgemeinerung des Ausdrucks für eine Kugel)?<br />
iv) Das Ellipsoid besitze gegenüber dem weit entfernten Bezugsort φ = 0 die<br />
Spannung U. Wie groß ist die Gesamtladung und wie groß sind die<br />
Flächenladungsdichten in den Scheiteln und entlang des Gürtels?<br />
Für ein gestrecktes Rotationsellipsoid (Skizze) gilt<br />
r 1 + r2<br />
= L = const („Gärtnerkonstruktion“ einer<br />
Ellipse), wenn r1 und r2 die Abstände eines<br />
Punktes P von den Brennpunkten bedeuten. Liegt<br />
P im Scheitel, so ist speziell r1 = a − l / 2 ,<br />
r 2 = a + l / 2 , also L = 2a<br />
. Für P am Gürtel ist<br />
2 2<br />
2 2<br />
andererseits r = r = l / 2 + b , also<br />
L = 2r1 = 2<br />
2 2<br />
a − b =<br />
(<br />
1<br />
l / 2<br />
( / 2)<br />
2<br />
2<br />
( )<br />
b a<br />
2<br />
l + = 2 . Daraus folgt<br />
) 2<br />
oder, mit der Exzentrizität<br />
2 2<br />
e = a − b / a , die Beziehung l = 2ae<br />
.<br />
i)<br />
Die Potentialflächen eines gleichförmig geladenen, dünnen Stabes sind konfokale gestreckte<br />
Rotationsellipsoide. Somit lässt sich das elektrische Feld eines elektrische leitfähigen,<br />
geladenen gestreckten Rotationsellipsoids im Außenraum durch das Feld des geladenen<br />
Stabes beschreiben. Aus<br />
τ ⎛ L + l ⎞ Q Q<br />
Q<br />
ϕ ( P ) = ln⎜<br />
⎟,<br />
τ = = , ϕ(<br />
P)<br />
= U =<br />
πε ⎝ L − l ⎠ l 2ae<br />
C<br />
4 0<br />
folgt die gesuchte Kapazität<br />
Q τl<br />
4πε0<br />
⋅ 2ae<br />
C = = =<br />
=<br />
U ϕ(<br />
P)<br />
⎛ 2a<br />
+ 2ae<br />
⎞<br />
ln⎜<br />
⎟ ln<br />
⎝ 2a<br />
− 2ae<br />
⎠<br />
e<br />
1+<br />
e<br />
1−<br />
e<br />
wobei = 4πε a die Kapazität einer Kugel mit dem Radius a angibt.<br />
C K 0<br />
CK<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 171 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
ii)<br />
Die Gesamtladung beträgt Q = CU . Der Ausdruck<br />
E<br />
τ 2l<br />
( ) ( e1<br />
+ e2<br />
)<br />
P<br />
=<br />
4πε<br />
0<br />
2<br />
L − l<br />
2<br />
=<br />
U<br />
a<br />
2 ( 1−<br />
e )<br />
e<br />
ln<br />
e1<br />
+ e2<br />
1+<br />
e 2<br />
1−<br />
e<br />
für die elektrische Feldstärke am Ellipsoid liefert die Flächenladungsdichten im Scheitel<br />
wegen ( ) s e e e + 2 = / 1 2 zu<br />
ε 0U<br />
e<br />
σ S = ε 0Es<br />
=<br />
a 2 1+<br />
e<br />
( 1−<br />
e ) ln<br />
1−<br />
e<br />
und am Gürtel wegen ( ) ρ e e<br />
e e<br />
2<br />
1 2 / 2 = 1−<br />
2<br />
σ = ε E = 1− e σ<br />
G<br />
0<br />
G<br />
S<br />
+ zu<br />
<strong>13</strong>.42. Spiegelung einer Punktladung an einer Ebene<br />
Vor einer leitfähigen Ebene befindet sich im leeren Raum die<br />
Punktladung Q (Skizze).<br />
i) Bestimmen Sie die Verteilung der influenzierten<br />
Oberflächenladungen.<br />
ii) Wie groß ist die Kraft auf die Punktladung nach<br />
Betrag und Richtung („Spiegelkraft“)?<br />
Das elektrische Feld im betrachteten Halbraum lässt sich<br />
über die Anordnung von Ersatzladungen im leeren Raum<br />
laut Skizze berechen („Spiegelungsmethode“):<br />
Q ⎛ ⎞<br />
( ) ⎜<br />
eP1<br />
eP2<br />
⎟<br />
Q<br />
E P =<br />
( 1 2 )<br />
2 2<br />
2<br />
4πε<br />
⎜<br />
−<br />
⎟<br />
= eP<br />
− eP<br />
0 ⎝ rP1<br />
rP<br />
2 ⎠ 4πε0r<br />
1<br />
1<br />
eP1<br />
= ( − lez<br />
+ ρeρ<br />
) , eP2<br />
= ( lez<br />
+ ρeρ<br />
)<br />
r<br />
r<br />
l<br />
2 2<br />
eP1<br />
− eP2<br />
= −2<br />
ez<br />
, r = l + ρ<br />
r<br />
also ist in der Ersatzanordnung an der Ebene z = 0<br />
E( P)<br />
= Ez<br />
ez,<br />
Q<br />
Ez<br />
= − 2<br />
2πε0l<br />
1<br />
3<br />
2 ⎡ ⎤ 2<br />
⎛ ρ ⎞<br />
⎢1+<br />
⎜ ⎟ ⎥<br />
⎢⎣<br />
⎝ l ⎠ ⎥⎦<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 172 / 205
i)<br />
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
In der ursprünglichen Anordnung gilt damit für die Flächenladungsdichte (Skizze)<br />
σ 0<br />
Q<br />
σ = ε 0E<br />
z = −<br />
, σ 3 0 = 2<br />
2 2πl<br />
⎡<br />
2<br />
⎛ ρ ⎞ ⎤<br />
⎢1+<br />
⎜ ⎟ ⎥<br />
⎢⎣<br />
⎝ l ⎠ ⎥⎦<br />
ii)<br />
Wegen der Gleichwertigkeit der elektrischen Felder der ursprünglichen Anordnung und der<br />
Ersatzanordnung im Bereich z > 0 ist die gesuchte Kraft direkt über das Coulomb-Gesetz zu<br />
berechen:<br />
2<br />
Q1Q2<br />
Q<br />
F1 = e 2 z = −F1<br />
ez,<br />
F1<br />
=<br />
4πε 2l<br />
16πε<br />
l<br />
0<br />
( ) 2<br />
0<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 173 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.43. Spiegelung einer Punktladung an einer Kugel<br />
An den Orten 1 und 2 im leeren Raum befinden sich Punktladungen Q1 bzw. Q2 (Skizze).<br />
i) Zeigen Sie, dass die Kugel K eine Potentialfläche (φ = 0) darstellt, falls die<br />
Beziehungen a = bc Q1<br />
= − c / bQ2<br />
gelten.<br />
ii) Setzen Sie nun eine dritte Punktladung Q3 = -Q1 in den Kugelmittelpunkt 0.<br />
Außerhalb von K ergibt sich dann das elektrische Feld einer Punktladung (Q2) vor<br />
einer leitfähigen, insgesamt ungeladenen Kugel. Geben Sie die Verteilung der auf<br />
der Leiterkugel influenzierten Flächenladung für den Fall b = 2a an (Rechnung<br />
und Skizze).<br />
iii) Bestimmen Sie die Kraft zwischen der ungeladenen Leiterkugel und der<br />
Punktladung als Funktion des Abstandes d = b – a (Skizze, Vergleich mit<br />
Coulomb-Kraft).<br />
i)<br />
Aus der Skizze folgt<br />
1 ⎛ Q1<br />
Q<br />
ϕ P = ⎜ +<br />
4πε0<br />
⎝ rP1<br />
rP<br />
( ) ⎟ 2<br />
( P)<br />
= 0<br />
ϕ bedeutet demnach<br />
Q Q ⎛ 2 c 1 1 ⎞<br />
+ = ⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
− +<br />
⎟<br />
Q<br />
r rP<br />
2 ⎝ b rP1<br />
rP<br />
2 ⎠<br />
1<br />
2 =<br />
P1<br />
2<br />
⎞<br />
⎠<br />
0<br />
rP<br />
1 Die Beziehung =<br />
rP<br />
2<br />
c<br />
= const definiert nun als geometrischen Ort der Punkt in der Ebene<br />
b<br />
einen Kreis, im Raum eine Kugel. Aus der speziellen Lage P = P0,<br />
rP<br />
1 a − c<br />
= =<br />
r b − a<br />
c<br />
b<br />
P2<br />
folgt schließlich die Beziehung a = bc<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 174 / 205
ii)<br />
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
Ohne Zusatzladung Q3 in 0 (Skizze) gilt mit<br />
a<br />
Q 1 = −Q<br />
,<br />
b<br />
Q2<br />
= 0 für die Feldstärke<br />
E( P)<br />
= Er<br />
er<br />
,<br />
Q ⎡a<br />
cos α1<br />
Er<br />
= − ⎢ 2<br />
4πε0<br />
⎣b<br />
r1<br />
cos α 2 − 2<br />
r2<br />
( ) ( ) ⎤<br />
⎥⎦<br />
Aus den geometrischen Beziehungen<br />
2 2 2<br />
2 2 2<br />
r1<br />
= a + c + 2accos(<br />
ϑ)<br />
⎪⎫<br />
c = r1<br />
+ a − 2r1a<br />
cos α1<br />
2 2 2<br />
⎬ 2 2 2<br />
r2<br />
= a + b + 2abcos(<br />
ϑ)<br />
⎪⎭ b = r2<br />
+ a − 2r2a<br />
cos α 2<br />
folgt<br />
2<br />
a = r1<br />
cos(<br />
α1)<br />
− c cos(<br />
ϑ)<br />
⎫ a a<br />
⎬c<br />
= , r1<br />
= r2<br />
a = r2<br />
cos(<br />
α 2 ) − bcos(<br />
ϑ)<br />
⎭ b b<br />
und damit<br />
2 2<br />
Q b − a<br />
Er = −<br />
3<br />
4πε ar<br />
0<br />
2<br />
( )<br />
( )<br />
a<br />
Mit Zusatzladung Q 3 = −Q1<br />
= Q in 0 ist dann<br />
b<br />
2 2<br />
Q ⎛ a 1 b − a ⎞ Q ⎡ b − a b b + a<br />
E = ⎜ − ⎟<br />
r<br />
= ⎢1<br />
−<br />
2 3<br />
3<br />
4πε0 ⎝ b a ar2<br />
⎠ 4πε0ab<br />
⎣ r2<br />
wobei<br />
2 2<br />
r = a + b + 2abcos<br />
2<br />
Für b = 2a<br />
gilt speziell<br />
r = a 5 + 4<br />
2<br />
cos(<br />
ϑ)<br />
( ϑ)<br />
( ) ( ) ⎤<br />
⎥⎦<br />
Die gesuchte Flächenladungsdichte auf der Kugel folgt dann aus σ = ε 0Er<br />
zu<br />
1<br />
⎡<br />
6<br />
⎤<br />
5 Q<br />
σ = σ ⎢ 0<br />
−1⎥,<br />
σ<br />
3<br />
0 = − 2<br />
5 ⎢[<br />
5 4cos(<br />
ϑ)<br />
]<br />
8 πa<br />
2 ⎥<br />
⎣ +<br />
⎦<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 175 / 205
iii)<br />
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
Die Kraft z z e F F 2 = an der Ladung im Punkt 2 lässt sich aus der Coulomb-Wechselwirkung<br />
des Ersatzladungssystems berechnen. Aus<br />
1 ⎡ Q1Q2<br />
Fz = ⎢−<br />
2<br />
4πε0<br />
⎣ ( b − c)<br />
2<br />
Q ⎤ ⎡<br />
2Q3<br />
Q a 1<br />
− ⎥ = 2<br />
⎢ 2<br />
b ⎦ 4πε0<br />
b ⎣(<br />
b − c)<br />
1 ⎤<br />
− 2 ⎥<br />
b ⎦<br />
folgt<br />
2 3<br />
2<br />
Q a [ ( a + d ) + d(<br />
2a<br />
+ d ) ]<br />
Fz = ,<br />
3<br />
2 2<br />
4πε0<br />
( a + d ) ( 2a<br />
+ d ) d<br />
oder<br />
d = b − a<br />
2 ( 1+<br />
δ ) + ( 2 + δ ) δ<br />
Fz = F0<br />
,<br />
3 2 2<br />
1+<br />
δ 2 + δ δ<br />
Q<br />
F0<br />
= , 2<br />
4πε<br />
a<br />
d<br />
δ =<br />
( ) ( ) a<br />
Bei kleinen und großen Abständen gilt<br />
1<br />
d > 1:<br />
Fz<br />
≈ F0<br />
5<br />
δ<br />
0<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 176 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.44. Maximalspannung einer Metallkugel<br />
Auf einer Isolatorsäule sitzt eine Metallkugel (Skizze), die gegenüber Erde die Spannung U =<br />
2MV aufnehmen soll. Wie groß muss der Kugeldurchmesser mindestens sein?<br />
(Durchschlagsfeldstärke der Luft ca. 30kV/cm)<br />
Annahme: Die Kugel ist so weit vom Boden (und anderen leitenden Körpern) entfernt, dass<br />
sich die Ladung annähernd gleichförmig über die Kugeloberfläche verteilt. Ist die<br />
U<br />
d<br />
Isolatorsäule elektrische nicht polarisiert, so folgt aus Er = mit dem Kugelradius a =<br />
a<br />
2<br />
2U<br />
2⋅<br />
2MV<br />
dmin<br />
= = = 1,<br />
33m<br />
E 30kV<br />
/ cm<br />
r<br />
max<br />
Überprüfung der Annahme (Skizze):<br />
E r<br />
( P)<br />
Q Q Q ⎡ ⎛ a ⎞<br />
≈ +<br />
= ⎢1+<br />
2<br />
⎜ ⎟<br />
4πa 4π<br />
⎢⎣<br />
⎝ a ⎠<br />
( ) ⎥ ⎥<br />
2 2<br />
2h<br />
+ a 4πa<br />
2h<br />
+<br />
Die Abweichung von der Kugelsymmetrie durch den zweiten<br />
Term in der eckigen Klammen beträgt nur etwa 1%. Die<br />
Näherung ist daher gerechtfertigt.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 177 / 205<br />
2<br />
⎤<br />
⎦
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.45. Schrittspannung<br />
Wie tief muss der isoliert gespeiste Kugelerder K aus der Skizze mindestens eingegraben sein,<br />
damit die Schrittspannung US im Abstand h / 2 (Ort der größten Tangentialfeldstärke ES)<br />
für den angegebenen Fall den Wert 30V nicht übersteigt?<br />
Ersatzordnung nach Skizze: Zwei Punktquellen gleicher Stärke im ganzen Raum konstanter<br />
Leitfähigkeit γ. Aus der Stromdichte und der Feldstärke im betrachteten Punkt<br />
I 1 I<br />
J s = , E 2 s = J s =<br />
2<br />
3 3πh<br />
γ 3 3πγh<br />
ergibt sich mit<br />
U 30V<br />
Es ≈ = = 37,<br />
5V<br />
/ m<br />
Δs<br />
0,<br />
8m<br />
die erforderliche Tiefe<br />
I<br />
h = ≈ 18,<br />
1m<br />
3 3πγE<br />
s<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 178 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.46. Kräfte an Punktladungen<br />
Vor einer leitfähigen Schicht befinden sich gemäß der Skizze zwei entgegengesetzt gleiche<br />
Punktladungen. Berechnen Sie allgemein die Kräfte auf die beiden Ladungen nach Betrag und<br />
Richtung.<br />
Die gesuchten Kräfte lassen sich über die Ersatzanordnung (Skizze) im leeren Raum aus dem<br />
Coulomb-Gesetz berechnen. Es gilt<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟<br />
2<br />
Q ⎡ ex<br />
F1<br />
= ⎢−<br />
2<br />
4πε0<br />
⎢⎣<br />
2a<br />
also<br />
ey<br />
− 2<br />
2a<br />
+<br />
+ ⎤<br />
2<br />
ex<br />
ey<br />
Q<br />
⎥ = 2<br />
2<br />
2 2 ⋅ 2a<br />
⎥⎦<br />
4πε0<br />
2a<br />
2 2 −1⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
ex<br />
+ ey<br />
−<br />
2 ⎜<br />
⎝<br />
2<br />
⎠<br />
F 1 = Fe1<br />
, F2<br />
= Fe2<br />
mit dem Betrag<br />
2<br />
Q<br />
F =<br />
2<br />
4πε0<br />
( 2a)<br />
2 2 −1<br />
2<br />
und den Richtungen (Einsvektoren)<br />
ex<br />
+ ey<br />
e1<br />
= − ,<br />
2<br />
ex<br />
+ ey<br />
2<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 179 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.47. Draht vor Metallplatte<br />
In der Anordnung laut Skizze verläuft ein gerader Metalldraht parallel zu einer Metallplatte.<br />
Zwischen diesen beiden Leitern liegt eine elektrische Spannung von 5kV. Berechnen Sie den<br />
Maximalwert des Betrages der elektrischen Feldstärke an der Platte.<br />
Ersatzanordnung laut Skizze: Zwei dünne,<br />
parallele Drähte im leeren Raum. Daraus folgt<br />
Q′<br />
E0 = −E0<br />
ez,<br />
E0<br />
= 2<br />
2πε<br />
h<br />
Der Ladungsbelag ist aus<br />
2πε0<br />
Q′<br />
= C′<br />
U,<br />
C′<br />
=<br />
⎛ 4h<br />
⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
zu berechnen, also<br />
2U<br />
2⋅<br />
5kV<br />
E 0 = = = 1,<br />
36kV<br />
/ cm<br />
⎛ 4h<br />
⎞ 2cmln(<br />
40)<br />
hln⎜<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
0<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 180 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.48. Feldstärke an einem Erdseil<br />
Die Grafik zeigt ein parallel zur Erdoberfläche verlaufendes, geerdetes Leiterseil, d.h. die<br />
Spannung zwischen der Leitung und Erde ist Null. Nehmen Sie das ungestörte elektrische<br />
Erdfeld mit <strong>13</strong>0V/m an und berechnen Sie näherungsweise die elektrische Feldstärke an der<br />
Oberfläche des Erdseils.<br />
Ersatzanordnung laut Skizze: Zwei parallele, längenbezogen<br />
mit ± Q′ 1 geladene Leiterseile im leeren Raum. Die<br />
Spannung 2U1 zwischen den Seilen wird so gewählt, dass<br />
sich nach Überlagerung des ursprünglichen Homogenfeldes<br />
die Spannung Null ergibt, also 2U1 = E0<br />
2h<br />
. Für die<br />
Ersatzanordnung gilt dann<br />
πε0<br />
− Q′ 1 = C′<br />
⋅ 2U1 = E02h<br />
⎛ 4h<br />
⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
und somit für die Feldstärke am oberen Leiterseil (d > E0<br />
ist dies bereits die gesuchte Feldstärke an der Oberfläche des Erdseils.<br />
Obwohl das Seil geerdet ist, stellt sich demnach an seiner Oberfläche ein erheblicher<br />
Feldstärkebetrag ein.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 181 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.49. Doppelleitung über dem Erdboden<br />
Zwei Leitungen mit Kreisquerschnitt (Durchmesser d = 20mm) verlaufen laut Abbildung<br />
parallel zueinander im Abstand D = 2m in einer Höhe h = 4m über dem Erdboden.<br />
i) Wie groß sind die Teilkapazitäten?<br />
ii) Zwischen den Leitern liegen die Spannungen U12 = U = 30kV, U10 = -U20 = U/2.<br />
Berechnen und skizzieren Sie den Verlauf der elektrischen Feldstärke am Boden.<br />
Ersatzanordnung im leeren Raum laut Skizze mit den Ersatz-Linienladungen τ1 und τ2.<br />
i)<br />
Wir der Feldpunkt P an die Leiter 1 bzw. 2 gelegt, so liefert dies die Potentialwerte<br />
⎡<br />
⎛ 2 2<br />
1<br />
( ) ⎤<br />
⎢<br />
⎛ 4h<br />
⎞<br />
⎞<br />
⎜ 2h<br />
+ D<br />
ϕ<br />
⎜ ⎟ +<br />
⎟⎥<br />
1,<br />
2 = τ1,<br />
2 ln τ 2,<br />
1 ln<br />
2πε<br />
⎢ ⎝ d ⎠ ⎜ D ⎟<br />
0<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎝<br />
⎠⎦<br />
Aus der Definition der längenbezogenen Teilkapazitäten<br />
τ 1 = C ′ 10U10<br />
+ C′<br />
12U12,<br />
τ 2 = C′<br />
20U<br />
20 + C′<br />
21U<br />
21<br />
folgen mit C ′ 10 = C′<br />
20,<br />
C′<br />
12 = C′<br />
21 die Ausdrücke<br />
τ1<br />
+ τ 2<br />
τ1<br />
−τ<br />
2<br />
C ′ 10 = , C′<br />
10 + 2C′<br />
12 =<br />
ϕ1<br />
+ ϕ2<br />
ϕ1<br />
−ϕ<br />
2<br />
und daraus mit obigen Potentialwerten<br />
2πε0<br />
C′<br />
10 = C′<br />
20 =<br />
= 6,<br />
87 pF / m<br />
⎡<br />
2<br />
4h<br />
2h<br />
⎤<br />
ln⎢<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟ + 1⎥<br />
⎢ d D ⎥<br />
⎣<br />
⎝ ⎠<br />
⎦<br />
C′<br />
12<br />
= C′<br />
21<br />
=<br />
⎡<br />
4h<br />
ln⎢<br />
⎢ d<br />
⎣<br />
⎡ 2<br />
2h<br />
⎤<br />
2 ln⎢<br />
⎛ ⎞<br />
πε0<br />
⎜ ⎟ + 1⎥<br />
⎢ D ⎥<br />
⎣<br />
⎝ ⎠<br />
⎦<br />
= 1,<br />
85pF<br />
/ m<br />
⎡ ⎤<br />
4h<br />
2 ⎢ ⎥<br />
⎛ 2h<br />
⎞<br />
⎤<br />
⎢<br />
1 ln d ⎥<br />
⎜ ⎟ + ⎥<br />
D ⎢<br />
2<br />
⎝ ⎠ ⎥<br />
⎥<br />
⎦ ⎢ ⎛ 2h<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ + 1⎥<br />
⎢<br />
⎣ ⎝ D ⎠ ⎥<br />
⎦<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 182 / 205
ii)<br />
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
Die Ersatzanordnung liefert mit den<br />
Bezeichnungen aus der Skizze<br />
τ1 2h<br />
τ 2 2h<br />
E( P)<br />
= Ez<br />
ez,<br />
Ez<br />
= − − 2<br />
2<br />
2πε<br />
ρ 2πε<br />
ρ<br />
wobei τ 2 = −τ<br />
1 und<br />
2<br />
2 2 ⎛ D ⎞ 2<br />
ρ 1 = h + ⎜ x + ⎟ , ρ2<br />
⎝<br />
also<br />
⎡<br />
⎢<br />
τ12h<br />
E = ⎢<br />
z<br />
2πε<br />
⎢ 0<br />
⎢h<br />
⎣<br />
2<br />
2 ⎠<br />
0<br />
= h<br />
1<br />
− 2<br />
⎛ D ⎞<br />
+ ⎜ x − ⎟ h<br />
⎝ 2 ⎠<br />
1<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
⎛ D ⎞<br />
+ ⎜ x − ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
1 ⎥ τ1<br />
4hDx<br />
= 2<br />
2<br />
2<br />
⎛ D ⎞ ⎥ 2πε0<br />
⎡⎛<br />
D ⎞ ⎤⎡⎛<br />
⎞ ⎤<br />
2 D 2<br />
+ ⎜ x + ⎟ ⎥ ⎢⎜<br />
x + ⎟ + h ⎥⎢⎜<br />
x − ⎟ + h ⎥<br />
⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎢⎣<br />
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦<br />
Nach Einführung der bezogenen Koordinate ξ und der bezogenen Höhe η<br />
x h<br />
ξ = , η =<br />
D / 2 D / 2<br />
lässt sich das Ergebnis in der Form<br />
Ez = E0<br />
16ηξ<br />
2 2 2 2<br />
ξ + 1 + η ξ −1<br />
+ η<br />
,<br />
[ ( ) ]( )<br />
1 E0<br />
=<br />
[ ] 2πε0D<br />
schreiben. Im vorliegenden Beispiel ist η = 4<br />
C′<br />
10U<br />
⎛ C′<br />
10 ⎞<br />
τ 1 = + C′<br />
12U<br />
= ⎜ + C′<br />
12 ⎟U<br />
= 0,<br />
159µC<br />
/ m<br />
2 ⎝ 2 ⎠<br />
und damit E 1,<br />
43kV<br />
/ m .<br />
0 =<br />
τ<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 183 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>13</strong>.50. Drahtring vor Platte<br />
Parallel zur einer leitfähigen Platte liegt eine kreisförmige Drahtschleife (Skizze). Die<br />
Kapazität der Anordnung ist C = 1,5pF. Berechnen Sie die elektrische Feldstärke in P nach<br />
Betrag und Richtung.<br />
Die Ersatzanordnung im leeren Raum (Skizze) – zwei koaxiale entgegengesetzt gleichförmig<br />
geladene Kreisschleifen – liefert für die gesuchte Feldstärke zunächst<br />
τ − ez<br />
cos(<br />
α ) + eρ<br />
sin(<br />
α ) τ cos<br />
( )<br />
( α )<br />
E P = 2 Dπ<br />
e<br />
2<br />
2<br />
z<br />
4πε<br />
∫<br />
= −<br />
r<br />
2πε<br />
r<br />
Mit<br />
0 C<br />
Q = τDπ = CU,<br />
folgt dann<br />
r =<br />
2 ⎛ D ⎞<br />
h + ⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
= 21,<br />
2mm,<br />
cos(<br />
α ) =<br />
CU h<br />
E ( P)<br />
= − e 3 z<br />
2πε<br />
r<br />
= −339kV<br />
/ mez<br />
0<br />
2<br />
0<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 184 / 205<br />
h<br />
r
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
14. Globale und lokale Eigenschaften elektrischer Felder<br />
14.1. Flächenladungsdichte<br />
An der Grenzfläche eines stromfreien Leiters zu<br />
einem Dielektrikum mit ε r = 2,<br />
3 herrscht die<br />
elektrische Feldstärke<br />
E = ( − 30ex + 40ey<br />
− 20ez<br />
) kV / m Wie groß ist dort<br />
der Betrag der Flächenladungsdichte?<br />
An einem stromfreien Leiter liegt die elektrische Feldstärke notwendig senkrecht zur<br />
Oberfläche (Skizze), E = 0 . Daraus folgt<br />
E<br />
n<br />
= ±<br />
E<br />
2<br />
x<br />
+ E<br />
2<br />
y<br />
+ E<br />
2<br />
z<br />
t<br />
= ± 53,<br />
85kV<br />
/ m<br />
σ = Dn<br />
= ε 0ε<br />
rEn<br />
−6<br />
= ± 1,<br />
097 ⋅10<br />
C / m<br />
2<br />
also σ = 1, 10µC<br />
/ m<br />
14.2. Elektrisches Feld an einer Grenzfläche<br />
2<br />
Der Halbrum z < 0 sei von einem Dielektrkum<br />
mit ε r = 2 ausgefüllt; er herrsche dort die<br />
elektrische Feldstärke<br />
E = ( − 30ex<br />
+ 40ey − 20ez<br />
) kV / m . Bestimmen Sie<br />
die Feldstärke im angrenzenden Halbraum z > 0,<br />
wenn sich dort ein Dielektrikum mit ε r = 6,<br />
5<br />
befindet und die Grenzfläche Ladungsfrei ist.<br />
An der Grenzfläche z = 0 (Skizze) liefert die Sprungbedingung E = 0<br />
+<br />
( − 30 e + 40e<br />
) kV m = E<br />
−<br />
E t = x y / t<br />
Aus der Sprungbedingung D = 0 folgt weiters, zusammen mit den Materialgleichungen<br />
±<br />
=<br />
±<br />
±<br />
E<br />
−<br />
n<br />
− −<br />
= ε En<br />
+<br />
= Dn<br />
=<br />
+ +<br />
En<br />
D ε<br />
D ε<br />
wegen e n = ez<br />
also<br />
−<br />
+ ε −<br />
Ez = E + z<br />
ε<br />
2<br />
= − 20kV<br />
/ m = −6,<br />
15kV<br />
/ m<br />
6,<br />
5<br />
Insgesamt ist demnach<br />
+<br />
= − 30e + 40e<br />
− 6,<br />
15e<br />
kV /<br />
( ) m<br />
E x y<br />
z<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 185 / 205<br />
t
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
14.3. Stromübertritt zwischen Metallen<br />
2<br />
Durch eine Kontaktfläche zwischen Kupfer ( = 58m / ( Ωmm<br />
)<br />
2<br />
Messing ( = 14m / ( Ωmm<br />
)<br />
γ und<br />
2<br />
γ tritt elektrischer Strom der Dichte 200A / cm .<br />
Wie groß ist die sich einstellende Flächenladungsdichte? Nehmen Sie die<br />
Permitivitätszahlen beider Metalle zu 1 an und machen Sie den<br />
Zusammenhang zwischen der Stromrichtung und dem Vorzeichen der<br />
Flächenladungsdichte deutlich.<br />
Mit den Bezeichnungen aus der Skizze folgt aus der Sprungbedingung zum Satz von der<br />
Erhaltung der elektrischen Ladung (stationärer Fall, σ& = 0),<br />
aus dem lokalen Ohmschen<br />
Gesetz und aus der Sprungbedingung zum Satz vom elektrischen Hüllenfluss<br />
e J = 0 : J = J = J<br />
n<br />
J = γ E : J<br />
σ = e<br />
n<br />
D<br />
n<br />
n1<br />
= γ E<br />
= ε<br />
0<br />
1<br />
n2<br />
n1<br />
n<br />
= γ E<br />
2<br />
n2<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
⎝ γ 2<br />
1 ⎞<br />
γ ⎟<br />
1 ⎠<br />
( En<br />
En<br />
) ⎜ ⎟<br />
2 − 1 = ε 0 − J n<br />
Bei Stromübertritt vom besser zum schlechter leitenden Metall ist die Flächenladungsdichte<br />
positiv. Ist im vorliegenden Kontakt (1) Kupfer und (2) Messing, so gilt<br />
2<br />
⎛ 1 1 ⎞ pF ⎛ 1 1 ⎞ Ωmm<br />
A C<br />
σ = ε 0 ⎜ − ⎟<br />
⎟J<br />
n = 8,<br />
854 ⎜ − ⎟ ⋅ 200 = 0,<br />
960 p<br />
2<br />
2<br />
⎝ γ 2 γ 2 ⎠ m ⎝14<br />
58 ⎠ m cm m<br />
14.4. Sprung der elektrischen Feldstärke<br />
Auf der einen Seite der Grenzfläche zwischen<br />
zwei schwach leitfähigen Dielektrika (Skizze)<br />
ist die elektrische Feldstärke<br />
E1 = E1x<br />
ex<br />
+ E1<br />
y ey<br />
+ E1z<br />
ez<br />
bekannt. Berechnen Sie daraus die Feldstärke<br />
E 2 auf der anderen Seite der Grenzfläche im<br />
stationären Zustand.<br />
Mit der Normalenrichtung n ey<br />
E<br />
t<br />
= 0 → E<br />
2x<br />
= E<br />
1x<br />
,<br />
E<br />
2z<br />
J n = J 2 y − J1y<br />
= γ 2E2<br />
y −γE<br />
insgesamt also<br />
γ 1<br />
E2 = E1x<br />
ex<br />
+ E1<br />
y ey<br />
+ E1z<br />
ez<br />
γ<br />
2<br />
e = gilt im stationären Fall ( σ& = 0)<br />
= E<br />
1y<br />
1z<br />
= 0<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 186 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
14.5. Metallkugel in Grenzfläche<br />
In der Grenzfläche zweier ausgedehnter dielektrischer Körper ist laut Skizze eine Metallkugel<br />
platziert. Berechnen Sie deren Kapazität gegenüber der weit entfernten zweiten Elektrode.<br />
Mit dem Ursprung im Kugelmittelpunkt gilt wegen der Radialsymmetrie und der Bedingung<br />
= 0<br />
E t<br />
E = Er<br />
er<br />
,<br />
K<br />
Er<br />
= 2<br />
r<br />
wobei K = const im ganzen Feldraum. Aus<br />
∞<br />
K<br />
= ∫ dr = 2<br />
r<br />
K<br />
d / 2<br />
U<br />
d<br />
2<br />
Ud<br />
folgt dann K = für die von der Kugel ausgehenden elektrischen Teilflüsse also<br />
2<br />
2<br />
x < 0 : ψ = 2πr<br />
D = 2πε<br />
Ud / 2<br />
1<br />
2<br />
x > 0 : ψ = 2πr<br />
D<br />
Damit ist<br />
Q = ψ + ψ = 2π<br />
1<br />
C = π ( ε + ε )d<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
r<br />
r<br />
1<br />
= 2πε<br />
Ud<br />
( ε + ε )<br />
1<br />
2<br />
2<br />
/ 2<br />
d<br />
U = CU<br />
2<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 187 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
14.6. Kondensator mit inhomogenen Dielektrikum<br />
Das Dielektrikum des in der Abbildung skizzierten Kondensators besteht aus zwei<br />
unterschiedlichen, schwach leitfähigen Schichten.<br />
i) Geben Sie eine Ersatzschaltung aus idealen Kondensatoren und Widerständen an.<br />
ii) Es liegt (über lange Zeit) eine Gleichspannung U = 220V an den Klemmen. Geben<br />
Sie die elektrischen Feldstärken in den beiden Schichten<br />
a. unter Vernachlässigung<br />
b. unter Berücksichtigung der Leitfähigkeit an.<br />
iii) Die lang anliegende Gleichspannungsquelle wird vom Kondensator getrennt und<br />
die Kondensatorklemmen werden kurzzeitig kurzgeschlossen. Wie ist der<br />
Zeitverlauf der Spannung zwischen den wieder offenen Klemmen?<br />
i)<br />
C<br />
C<br />
1<br />
2<br />
ε r1ε<br />
0A<br />
= = 3,<br />
54µF,<br />
l1<br />
l1<br />
R1<br />
= = 2,<br />
50MΩ<br />
γ 1A<br />
ε r 2ε<br />
0A<br />
5<br />
= = 8,<br />
85µF<br />
= C1,<br />
l<br />
2<br />
l2<br />
1<br />
R2<br />
= = 1,<br />
25MΩ<br />
= R<br />
γ A<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 188 / 205<br />
1
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
ii)<br />
a) Unter Vernachlässigung der Leitfähigkeiten<br />
C2<br />
ε r 2<br />
1 U V<br />
U1<br />
= U = U , E1<br />
= = 15,<br />
7M<br />
C1<br />
+ C2<br />
ε r1<br />
+ ε<br />
ε<br />
r 2<br />
r1<br />
1+<br />
l1<br />
m<br />
ε<br />
C1<br />
ε r1<br />
U 2 = U = U ,<br />
C1<br />
+ C2<br />
ε r1<br />
+ ε r 2<br />
1 U V<br />
E2<br />
= = 6,<br />
3M<br />
ε r 2 1+<br />
l2<br />
m<br />
ε r1<br />
b) Unter Berücksichtigung der Leitfähigkeiten<br />
R1<br />
γ 2<br />
U1<br />
= U = U,<br />
R1<br />
+ R2<br />
γ 1 + γ 2<br />
1 U V<br />
E1<br />
= = 14,<br />
7M<br />
γ 1 1+<br />
l1<br />
m<br />
γ<br />
U<br />
2<br />
R2<br />
γ 1<br />
= U = U,<br />
R + R γ + γ<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
E<br />
2<br />
2<br />
r 2<br />
1 U V<br />
= = 7,<br />
3M<br />
γ 2 1+<br />
l2<br />
m<br />
γ<br />
iii)<br />
Lange Zeit nach dem Anlegen der Gleichspannung U = 220V ist<br />
− R1<br />
− R2<br />
U1 = U = 147V<br />
, U 2 = U = 73V<br />
R + R<br />
R + R<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
Unmittelbar nach dem Kurzschluss bleibt 1 2 Q − Q + erhalten (Skizze), d.h., mit 1<br />
+ U U<br />
Q<br />
+ ( C + C ) U<br />
− − + +<br />
1 − Q2<br />
= C1U<br />
1 − C2U<br />
2 = C1U<br />
1 − C2U<br />
2 = 1 2 1<br />
Daraus folgt<br />
− −<br />
+ + C1U<br />
1 − C2U<br />
2 τ1<br />
−τ<br />
2<br />
U1 = −U<br />
2 =<br />
= U = −10,<br />
51V<br />
C1<br />
+ C2<br />
τ<br />
mit<br />
ε1<br />
τ1<br />
= R1C1<br />
= = 8,<br />
85s<br />
γ<br />
τ = R C<br />
2<br />
τ =<br />
2<br />
( R + R )( C + C ) = 46,<br />
46s<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
ε 2 = = 11,<br />
07s<br />
γ<br />
2<br />
1<br />
2<br />
+ 2<br />
+<br />
Skizze der Zeitverläufe: U1 und U2 klingen exponentiell mit den Zeitkonstanten τ1 bzw. τ2 ab.<br />
Nach dem Kurzschluss kann sich demnach für τ1 ≠ τ 2 zwischen den wieder offenen Klemmen<br />
des Kondensators eine nicht unerhebliche Spannung aufbauen, die allmählich wieder<br />
verschwindet.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 189 / 205<br />
0 =
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
14.7. Restspannung eines Kondensators<br />
Bei einem Kondensator laut Skizze (aktive Fläche A = 3,5m², Elektrodenabstand d = 1mm)<br />
−12<br />
befindet sich zwischen dem schwach leitfähigen Dielektrikum ( ε r = 10;<br />
γ ≈ 10 S / m)<br />
und<br />
einer Elektrode eine leere Schicht (Dicke δ = 0,1mm).<br />
i) Geben Sie eine Ersatzschaltung mit idealen Kondensatoren und Widerständen an.<br />
ii) An den ungeladenen Kondensator wird die Gleichspannung U =500V gelegt.<br />
Geben Sie den Zeitverlauf der elektrischen Feldstärke im Dielektrikum und in der<br />
leeren Schicht an.<br />
iii) Der Kondensator liegt lange Zeit an U = 500V. Dann werden die Klemmen von<br />
der Quelle getrennt und kurzzeitig miteinander verbunden (Kurschluss). Geben Sie<br />
den Zeitverlauf der Spannung zwischen den wieder offenen Klemmen an.<br />
i)<br />
ε rε<br />
0A<br />
C1<br />
= = 0,<br />
344µF<br />
d −δ<br />
d −δ<br />
R1<br />
= = 257MΩ<br />
γA<br />
ε 0A<br />
C2<br />
= = 0,<br />
310µF<br />
δ<br />
ii)<br />
Unmittelbar nach dem Anlegen der Spannung stellen sich Teilspannungen und damit<br />
Feldstärken ein gemäß<br />
C2<br />
U1<br />
= U = 237V<br />
,<br />
C1<br />
+ C2<br />
C1<br />
U 2 = U = 263V<br />
,<br />
C + C<br />
1<br />
2<br />
U1<br />
V<br />
E1<br />
= = 0,<br />
263M<br />
d −δ<br />
m<br />
U 2 V<br />
E2<br />
= = 2,<br />
63M<br />
= 10E1<br />
δ m<br />
Lange Zeit nach dem Anlegen der Spannung findet keine Umladung mehr statt<br />
U1<br />
= 0,<br />
E1<br />
= 0<br />
U 2 = 500V<br />
,<br />
U 2 V<br />
E2<br />
= = 5,<br />
0M<br />
δ m<br />
Der Übergang zwischen dem Anfangszustand und dem Endzustand erfolgt nach<br />
τ = R C + C = 168<br />
Exponentialfunktionen mit der Zeitkonstanten ( ) s<br />
1<br />
1<br />
2<br />
I R<br />
= 0 →<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 190 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
iii)<br />
Vor dem Kurzschluss ist<br />
−<br />
−<br />
U = , U = U = 500V<br />
1<br />
0 2<br />
Während des (kurzzeitigen) Kurzschlusses ändert sich 1 2 Q Q − nicht. Somit gilt, wegen<br />
1 + 2 = 0<br />
+ + U U<br />
− −<br />
Q1<br />
− Q2<br />
= C1U<br />
1 − C2U<br />
2<br />
+ +<br />
+<br />
= C1U<br />
1 − C1U<br />
2 = ( C1<br />
+ C2<br />
) U1<br />
+ − C2<br />
U1<br />
= −U<br />
2 = −<br />
C + C<br />
U = −237V<br />
1<br />
2<br />
Anschließend bleibt der Wert von Q2 und damit U 2 = U 2 = 237V<br />
erhalten, während U1 mit<br />
der Zeitkonstanten<br />
+<br />
τ = R C = 88,<br />
4s<br />
verschwindet (Skizze)<br />
1<br />
1<br />
1<br />
Kommentar: Kurzzeitiges „Entladen“ des Kondensators reicht nicht aus. Die Spannung an<br />
den Klemmen kehrt wieder!<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 191 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
14.8. Halbleiterübergang<br />
An der Grenze zwischen zwei unterschiedlich dotierten Halbleitern bildet sich eine<br />
Raumladungszone, vereinfacht durch den in der Skizze angegebenen Verlauf der<br />
+ + − −<br />
Ladungsdichte ρ(x). Die Raumladungszone ist insgesamt neutral, d.h. ρ l + ρ l = 0 .<br />
Skizzieren Sie den dazugehörigen Verlauf der Feldstärke und des Potentials (für konstante<br />
Permitivität).<br />
In den raumladungsfreien Bereichen – sie entsprechen stromfreien Leitern – ist E = 0 , D = 0 .<br />
Anwenden des Satzes vom elektrischen Hüllenfluss liefert<br />
−<br />
− −<br />
− l < x < 0 : D = ρ l + x<br />
0 < x < l<br />
+<br />
:<br />
und es gilt<br />
dD<br />
= ρ,<br />
dx<br />
dϕ<br />
dx<br />
x<br />
D<br />
x<br />
−<br />
= ρ l<br />
x = −Ex<br />
( )<br />
−<br />
+ +<br />
+ ρ x = −ρ<br />
Dx<br />
Verlauf der Feldstärke E x = und des<br />
ε<br />
Potentials laut Diagramm.<br />
+ + − −<br />
ρ l ρ l<br />
E0<br />
= = −<br />
ε ε<br />
+ +<br />
ρ l<br />
ϕ1<br />
=<br />
2ε<br />
2ε<br />
− < < 0<br />
−<br />
l x<br />
−<br />
ρ −<br />
Ex = ( l + x)<br />
ε<br />
+<br />
< x < l<br />
[ D x ] = σ = 0<br />
+<br />
ρ<br />
Ex = −<br />
ε<br />
+<br />
l − x<br />
Potential:<br />
dϕ<br />
= −Ex<br />
dx<br />
− −<br />
+ − ρ l + −<br />
( l + l ) = − ( l + l )<br />
0 ( )<br />
+ ( l − x)<br />
( = ) = 0<br />
−<br />
ϕ x l<br />
ϕ ( = ) = ϕ1<br />
+<br />
x l<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 192 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
14.9. Dielektrische Schicht mit Raumladungszone<br />
Eine dielektrische Schicht der Dicke l ist laut Skizze beidseitig mit<br />
metallischen Elektroden belegt, zwischen denen die elektrische<br />
Spannung U angelegt wird. Vor einer der beiden Elektroden stellt sich<br />
einen Raumladungszone der Dicke lR ein. Die Anordnung ist insgesamt<br />
ungeladen.<br />
i) Berechnen Sie allgemein die Werte der Flächenladungsdichte<br />
an den beiden Elektroden.<br />
ii) Berechnen und skizzieren Sie die Verläufe der Flussdichte<br />
D(x), der Feldstärke E(x) und des Potentials φ(x) für ρR < 0.<br />
i)<br />
Anwenden des Satzes vom elektrischen Hüllenfluss (Skizze)<br />
liefert mit D = Dxe<br />
x,<br />
E = Ex<br />
ex<br />
für die beiden Bereiche<br />
0 < x < lR<br />
: Dx<br />
= σ1<br />
+ ρR<br />
x<br />
l < x < l : D = σ + ρ l<br />
R<br />
x<br />
1<br />
R R<br />
l<br />
Dx<br />
1 ⎡ ⎛ lR<br />
⎞⎤<br />
Aus E x = und U =<br />
ε ∫ Exdx<br />
= ⎢σ<br />
1l<br />
+ ρRl<br />
R⎜<br />
l − ⎟⎥<br />
folgt<br />
ε ⎣ ⎝ 2<br />
0<br />
⎠⎦<br />
ε ⎛ lR<br />
⎞<br />
σ1 = − ⎜1−<br />
⎟lRρ R<br />
l ⎝ 2l<br />
⎠<br />
und über die Neutralitätsbedingung σ1 + ρR<br />
R + σ 2 = 0 l<br />
εU<br />
lR<br />
σ 2 = − − lRρ<br />
R<br />
l 2l<br />
ii)<br />
Verläufe für ρ < 0 in der Skizze<br />
R<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 193 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
14.10. Kondensator mit verschiebbarem Dielektrikum<br />
Zwischen den Elektroden eines Plattenkondensators laut Skizze ist eine Platte aus isotropem,<br />
nichtlinear dielektrischem Material verschiebbar angeordnet. Geben Sie die Ladung an als<br />
Funktion der Verschiebung x, 0 ≤ x < b , und der Spannung U. Vernachlässigen Sie<br />
Randeffekte.<br />
Unter Vernachlässigung der Randstörungen ist im ganzen Feldraum zwischen den Platten<br />
U<br />
(Skizze) E = und damit<br />
d<br />
D = ε E = σ<br />
D<br />
1<br />
2<br />
0<br />
= ε ε<br />
0<br />
r<br />
1<br />
2 ( 1+ αE<br />
) E = σ 2<br />
Die Gesamtladung ergibt sich daraus zu<br />
2<br />
ε ab ⎪⎧<br />
x ⎡ U ⎤ x ⎪⎫<br />
0<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
Q = axσ<br />
1 + a b − x σ 2 = ⎨ + ε r ⎢1<br />
+ α⎜<br />
⎟ ⎥⎜1−<br />
⎟⎬U<br />
, 0 ≤ x <<br />
d ⎪⎩<br />
b ⎢⎣<br />
⎝ d ⎠ ⎥⎦<br />
⎝ b ⎠⎪⎭<br />
( ) b<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 194 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
14.11. Kapazitive Dickenkontrolle<br />
Zur Kontrolle der Dicke einer Papierbahn wird ein Plattenkondensator (Elektrodenfläche<br />
0,4m², Elektrodenabstand 1mm) verwendet. Dazu wird die Papierbahn ( ε r = 2,<br />
3)<br />
durch den<br />
Feldraum gezogen. In welchem Intervall bewegt sich die Kapazität, wenn die Papierdicke mit<br />
± 10% um den Nennwert d = 0,2mm schwankt?<br />
Mit den Bezeichnungen aus der Skizze ist ohne Berücksichtigung von Randstörungen<br />
ε 0A<br />
C1<br />
=<br />
l −δ<br />
ε 0ε<br />
r A<br />
C2<br />
=<br />
δ<br />
C0<br />
C =<br />
⎛ 1 ⎞ δ<br />
1−<br />
⎜<br />
⎜1−<br />
ε ⎟<br />
⎝ r ⎠ l<br />
A<br />
wobei C0 = ε 0 = 3,<br />
54nF<br />
. Weiters gilt für<br />
l<br />
⎛ 1 ⎞ δ<br />
δ = 1,<br />
1d<br />
= 0,<br />
22mm<br />
: 1−<br />
⎜<br />
⎜1−<br />
⎟ = 0,<br />
876<br />
⎝ ε r ⎠ l<br />
δ = 0,<br />
9d<br />
= 0,<br />
18mm<br />
:<br />
⎛ 1 ⎞ δ<br />
1−<br />
⎜<br />
⎜1−<br />
⎟ =<br />
⎝ ε r ⎠ l<br />
0,<br />
898<br />
Die Kapazität schwankt daher zwischen den Werten<br />
Cmin<br />
= 3,<br />
94nF<br />
C = 4,<br />
04nF<br />
max<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 195 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
14.12. Feldstärke in Raumladungsschicht<br />
Zwischen zwei kurzgeschlossenen, elektrisch sehr gut leitfähigen Elektroden befinde sich<br />
gemäß Skizze eine isolierende Schicht, die eine konstante Raumladungsdichte trägt.<br />
Berechnen und skizzieren Sie den Verlauf der elektrischen Feldstärke im Bereich 0 < x < 3l.<br />
Anwenden des Satzes vom elektrischen Hüllenfluss (Skizze) liefert mit D = Dxe<br />
x,<br />
E = Ex<br />
ex<br />
Dx<br />
= σ x′<br />
1 + ρ<br />
1<br />
Ex<br />
= ( σ + ρx′<br />
1 )<br />
ε<br />
Aus der Sprungbedingung<br />
l<br />
1 ⎛ 1 2 ⎞<br />
U = ∫ E ′ xdx<br />
= ⎜σ1l<br />
+ ρl<br />
⎟ = 0<br />
ε 2<br />
0 ⎝ ⎠<br />
lassen sich zusammen mit der Neutralitätsbedingung σ1 + ρl<br />
+ σ 2 = 0 die<br />
Flächenladungsdichten berechnen:<br />
1<br />
σ1<br />
= σ 2 = − ρl<br />
2<br />
Somit ist<br />
ρl<br />
⎛ x′<br />
⎞<br />
Ex = ⎜2<br />
−1⎟<br />
2ε ⎝ l ⎠<br />
oder, unter Verwendung der ursprünglichen Längenkoordinate x,<br />
⎛ 2x<br />
⎞<br />
Ex = E0<br />
⎜ − 3⎟,<br />
⎝ l ⎠<br />
wobei<br />
l < x < 2l<br />
E0 =<br />
ρl<br />
V V<br />
= 11,<br />
29k<br />
= 11,<br />
29M<br />
ε m µm<br />
2 0<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 196 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
14.<strong>13</strong>. Ladungsaufteilung<br />
Das in der Anordnung laut Skizze zwischen den beiden Metallbelägen befindliche<br />
Dielektrikum besteht aus zwei Schichten. Die eine Schicht ist schwach leitfähig, die andere<br />
sehr gut isolierend. An die Elektrode wird eine Gleichspannung U gelegt. Wie groß sind<br />
jeweils die Ladungen, die sich nach langer Zeit auf den Metallbelägen einstellen? Was<br />
bedeutet hier „nach langer Zeit“?<br />
Bezeichnungen laut Skizze. Lange Zeit nach dem Anlegen der Spannung ist<br />
I R = 0<br />
U 2 = RI R = 0<br />
U1<br />
= U<br />
und damit<br />
Q2<br />
= C2U<br />
2 = 0<br />
ε 0ε<br />
r1A Q1<br />
= C1U<br />
= U = 0,<br />
44µC<br />
l<br />
1<br />
„lange Zeit“ bedeutet hier<br />
t > 5τ = 5R<br />
1 2<br />
ε ⎛<br />
γ ⎜<br />
2 ⎝<br />
l<br />
r1<br />
l1<br />
⎞<br />
r 2 ⎟<br />
⎠<br />
s<br />
0 2<br />
( C + C ) = 5 ⎜ε<br />
+ ε ⎟ = 719 = 12min<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 197 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
14.14. Raumladungswolke<br />
Vor einer negativ geladenen Leiteroberfläche befinde sich eine Wolke positiv geladener Ionen<br />
− x / λD<br />
(Skizze). Der Verlauf des Potentials werde durch ϕ(<br />
x)<br />
= ϕ0e<br />
mit ϕ 0 = −100V<br />
und einer<br />
Debye-Länge λ D = 10µm<br />
beschrieben.<br />
i) Skizzieren Sie maßstabgerecht den Verlauf des Potentials und der Feldstärke als<br />
Funktion von x.<br />
ii) Geben Sie Betrag, Richtung und ort der maximalen Feldstärke an.<br />
iii) Wie groß ist die Flächenladungsdichte auf der Leiteroberfläche?<br />
i)<br />
E = E e<br />
E<br />
ii)<br />
x<br />
x<br />
x<br />
dϕ<br />
ϕ0<br />
= − = e<br />
dx λ<br />
D<br />
x<br />
−<br />
λD<br />
Die Feldstärke nimmt ihren maximalen Betrag<br />
dort die Richtung x e −<br />
iii)<br />
Die Flächenladungsdichte an x = 0 berechnet sich zu<br />
−12<br />
As 7 V C<br />
σ = Dx = ε 0Ex<br />
= −8,<br />
85⋅10<br />
⋅10<br />
= −88,<br />
5µ<br />
2<br />
Vm m m<br />
E<br />
max<br />
ϕ0<br />
=<br />
λ<br />
D<br />
= 10<br />
7<br />
V<br />
m<br />
bei x = 0 an und besitzt<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 198 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
14.15. Vakuumröhre<br />
Die Skizze zeigt das stark vereinfachte, eindimensionale Modell einer Vakuumröhre. Eine der<br />
Elektroden, die Glühkathode, emittiert Elektronen, sodass sich eine Raumladungswolke<br />
4<br />
einstellt. Die Rechnung liefert für das elektrostatische Potential ( )3<br />
daraus Ausdrücke für die elektrische Feldstärke ( x)<br />
ab. Wie hängt ρ von φ ab?<br />
ϕ ( x ) = U x / a . Leiten Sie<br />
E und für die Raumladungsdichte ρ (x)<br />
Mit dem gegebenen Ausdruck für das Potential folgt für die Feldstärke<br />
dϕ<br />
U 4 ⎛ x ⎞<br />
E = Ex<br />
ex,<br />
Ex<br />
= − = − ⎜ ⎟<br />
dx a 3 ⎝ a ⎠<br />
und für die Raumladungsdichte<br />
ρ =<br />
dDx dEx<br />
= ε 0<br />
dx<br />
dx<br />
2<br />
3<br />
ε 0U<br />
4 ⎛ a ⎞<br />
= − 2 ⎜ ⎟<br />
a 9 ⎝ x ⎠<br />
Elimination von x mit Hilfe von<br />
vom Potential zu<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
3<br />
4<br />
x ⎛ ϕ ⎞<br />
= ⎜ ⎟<br />
a ⎝U<br />
⎠<br />
3<br />
2<br />
0U<br />
2<br />
ε 0U<br />
4 ⎛U<br />
⎞ K 4 ε<br />
ρ = − ⎜ ⎟ = , K = −<br />
2<br />
a 9 ⎝ ϕ ⎠ ϕ 9 a<br />
liefert die Abhängigkeit der Raumladungsdichte<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 199 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
14.16. Inhomogene Leitfähigkeit<br />
Zwischen zwei ebenen Metallelektroden befinde sich laut Skizze ein<br />
l = 5mm dicke Schicht eines Materials, dessen elektrische<br />
Leitfähigkeit angenähert durch<br />
γ 0 γ ( x)<br />
=<br />
x<br />
1+<br />
a<br />
mit γ 0 = 1S<br />
/ m,<br />
a = 20mm<br />
erfasst wird. Durch die Schicht fließt ein<br />
elektrischer Strom der Dichte J = 10A/cm². Die elektrische<br />
Feldstärke in den Metallelektroden kann vernachlässigt werden.<br />
Berechnen und skizzieren Sie<br />
i) den Verlauf des Potentials ϕ (x)<br />
und den Wert der elektrischen Spannung U.<br />
ii) den Verlauf der Dichte der Joule-Verluste p(x).<br />
iii) die Verteilung der elektrischen Ladung (Raumladungsdichte ρ(x) in der Schicht<br />
und Flächenladungsdichten an den Elektroden).<br />
i)<br />
Mit J J ex<br />
E = E(<br />
x)<br />
ex<br />
J ⎛ x ⎞ J<br />
E(<br />
x)<br />
= = ⎜1+<br />
⎟<br />
γ ( x)<br />
a γ<br />
= , ergibt sich für die Feldstärke und daraus für die Spannung<br />
⎝ ⎠ 0<br />
V<br />
E(<br />
0)<br />
= 1,<br />
00 ,<br />
cm<br />
E()<br />
l = 1,<br />
25kV<br />
/ cm<br />
l<br />
U = ∫ E<br />
⎛ l ⎞ J<br />
⎜ + ⎟<br />
⎝ 2a<br />
⎠ γ<br />
0<br />
( x)<br />
dx = l 1 = 562,<br />
5V<br />
dϕ<br />
Der Zusammenhang = −E(<br />
x)<br />
dx<br />
⎛ l + x ⎞ J<br />
( ) ( )<br />
( l − x)(<br />
2a<br />
+ l + x)<br />
ϕ x = l − x ⎜1+<br />
⎟ =<br />
2a<br />
γ l(<br />
2a<br />
+ l)<br />
⎝<br />
⎠<br />
0<br />
0<br />
liefert dann das zugehörige Potential<br />
U<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 200 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
ii)<br />
Die Dichte der Joule-Verluste<br />
2<br />
2<br />
J ⎛ x ⎞ J<br />
p(<br />
x)<br />
= = ⎜1+<br />
⎟<br />
γ ( x)<br />
⎝ a ⎠ γ 0<br />
W<br />
W<br />
p 0 = 10,<br />
0k<br />
, p l = 12,<br />
5k<br />
3<br />
cm<br />
cm<br />
( ) () 3<br />
iii)<br />
Für die Ladungsverteilung ergibt sich<br />
dD dE ε 0J<br />
C<br />
ρ = = ε 0 = = 44,<br />
3p<br />
3<br />
dx dx aγ<br />
cm<br />
σ = ε E<br />
1<br />
2<br />
0<br />
0<br />
( 0)<br />
σ = −ε<br />
E<br />
ε 0J<br />
= =<br />
γ<br />
0<br />
0<br />
88,<br />
5<br />
C<br />
p<br />
cm<br />
⎛ 1 ⎞ ε J<br />
+<br />
0<br />
() l = −⎜1<br />
⎟ = −110,<br />
7 p 2<br />
⎝ a ⎠ γ 0<br />
cm<br />
Die Neutralitätsbedingung σ + ρl<br />
+ σ = 0 ist damit erfüllt.<br />
1<br />
2<br />
2<br />
C<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 201 / 205
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
14.17. Elektretmikrophon<br />
In einem Elektretmikrophon nach dem Prinzip der Skizze ist die elektrische Platte auf der<br />
einen Seite metallisch beschichtet und trägt auf der anderen Seite die gebundene<br />
Flächenladung σ. Berechnen Sie für den Ruhezustand die elektrische Feldstärke im<br />
Dielektrikum ( = 5,<br />
2<br />
ε = 1 .<br />
ε ) und im Zwischenraum ( )<br />
r<br />
Im Ruhezustand ist mit den Bezeichnungen aus der Skizze<br />
I = 0<br />
U = RI = 0<br />
U = E l + E l = 0<br />
1 1<br />
2 2<br />
Weiters folgt aus = 2 − 1 = σ D D Dn σ<br />
ε r E1<br />
− E2<br />
= −<br />
ε<br />
Somit gilt<br />
σ<br />
ε 0<br />
V<br />
E1<br />
= − = −2,<br />
35M<br />
l1<br />
ε<br />
m<br />
r +<br />
l2<br />
l1<br />
V<br />
E2<br />
= − E1<br />
= 4,<br />
71M<br />
l<br />
m<br />
2<br />
0<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 202 / 205<br />
r
Nach <strong>Prechtl</strong>, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
14.18. Grenzflächenladung<br />
Zwischen den beiden in der Skizze dargestellten parallelen Plattenelektroden (Fläche A)<br />
befindet sich eine Flüssigkeit (Leitfähigkeit γ, Permitivität ε) und darüber eine Luftschicht.<br />
Das System ist zunächst ungeladen, und zum Zeitpunkt t = 0 wird durch Schließen des<br />
Schalters S eine Gleichspannung U angelegt. Berechnen und skizzieren Sie den Zeitverlauf<br />
der Flächenladungsdichte σ an der Flüssigkeit-Luft-Grenzfläche.<br />
Ersatzschaltung laut Skizze mit<br />
ε 0A<br />
C1<br />
= ,<br />
a<br />
εA<br />
C2<br />
= ,<br />
b<br />
b<br />
R =<br />
γA<br />
Dann ist zu den Zeiten<br />
t = 0− : Q2<br />
− Q1<br />
= 0,<br />
σ = 0<br />
t = 0+ : Noch kein merkbarer Ladungstransport über R2, Q 2 − Q1<br />
= 0,<br />
σ = 0<br />
t → ∞ : U 2 = 0,<br />
U1<br />
= U,<br />
Q2<br />
− Q1<br />
= −Q1<br />
= −C1U<br />
= σ ∞ A,<br />
C1U<br />
ε 0U<br />
σ ∞ = − = − t<br />
A a<br />
Mit der Zeitkonstanten<br />
b ⎛ ε 0A<br />
εA<br />
⎞ 1 ⎛ b ⎞<br />
τ = R2( C1<br />
+ C2<br />
) = ⎜ + ⎟ = ⎜ε<br />
0 + ε ⎟<br />
γA<br />
⎝ a b ⎠ γ ⎝ a ⎠<br />
ergibt sich der Zeitverlauf der Flächenladungsdichte<br />
t ⎛ − ⎞<br />
⎜ τ<br />
σ = σ ⎟<br />
∞⎜<br />
1 − e<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 203 / 205
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14.19. Durchschlagspannung<br />
Zwischen zwei ebenen Metallelektroden befinden sich laut Skizze eine Glasplatte und Luft.<br />
Wie groß darf die anliegende Spannung höchstens sein, wenn kein Durchschlag auftreten<br />
soll? (Durchschlagfeldstärken: Luft ca. 30kV/cm, Glas ca.290kV/cm).<br />
Aus der Sprungantwort D n = 0 folgt mit den Bezeichnungen aus der Skizze<br />
EL = ε rEG<br />
= 6,<br />
5EG<br />
d.h., die Durchschlagsfeldstärke der Luft ist maßgebend. Die anliegende Spannung darf<br />
demnach höchstens<br />
⎛ l ⎞ G<br />
U = ELlL<br />
+ EGlG<br />
= ⎜<br />
⎜lL<br />
+ ⎟<br />
⎟EL<br />
= 17,<br />
3kV<br />
⎝ ε r ⎠<br />
betragen.<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 204 / 205
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14.20. Strom durch Oxidschicht<br />
An einem Stromübergang laut Skizze tritt wegen einer dünnen Oxidschicht zwischen den<br />
Kontaktstücken eine Kontaktspannung Uc auf, die im betrachteten Stromdichtebereich als<br />
angenähert konstant mit 1,4V angenommen werden kann. Berechnen und skizzieren Sie den<br />
Verlauf der Verlustleistung an der Kontaktstelle in Abhängigkeit vom übertragenen Strom.<br />
Bei annähernd gleichförmiger Stromverteilung ist<br />
I = JA =<br />
2 2<br />
5 bis 15 A/<br />
cm ⋅1,<br />
5cm<br />
= 7,<br />
5 bis 22,<br />
5)<br />
( ) ( A<br />
und damit die Verlustleistung<br />
P =<br />
U cI = 1 , 4V<br />
⋅<br />
= 5<br />
( 7,<br />
5 bis 22,<br />
5)<br />
A ( 10,<br />
5 bis 31,<br />
) W<br />
<strong>Elektrotechnik</strong> ausgearbeitete Beispiele Seite 205 / 205