Partikel- und Schüttgutmechanik - Lehrstuhl Mechanische ...

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Mittels Nutzung der Additionstheoreme für die Winkelfunktionen sin( α± β) = sin α⋅ cosβ ± cos α⋅ sin β cos( α± β = cos α⋅ cosβ � sin α⋅ sin β Schüttec_3 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Kontakt- und Kontinuumsmechanik Prof. Dr. Jürgen Tomas, 16.04.2012 ( 3.258) und einer geeigneten Transformation mit einer dimensionslosen Spannung S S 1 2 tan ϕ M Z = ⋅ ln , ( 3.259) i σ σ M, 0 + σ + σ Z, 0 wobei für einen Rand, auf dem [ M + σZ ] ( x, y) = σM, 0+ σZ, 0 87 σ ist, auch gilt ln(1) = 0 = S, lassen sich diese beiden Differentialgleichungen in eine für die Lö- sung günstige Form bringen (s. MOLERUS 1985): ⎛ ϕi π⎞ exp( − 2 tan ϕi ⋅S) ⋅ sin⎜ψ + − ⎟ ⎛ ϕ π⎞ ∂(S + ψ) ∂(S + ψ) ⎝ ⎠ i 2 4 ρb g tan⎜ ψ − + ⎟ ⋅ + = − ⋅ ⎝ 2 4⎠ ∂x ∂y ⎛ ϕi π⎞ σ + σ 2 sin ϕi ⋅ cos⎜ ψ − + ⎟ ⎝ 2 4⎠ M, 0 Z, 0 ⎛ ϕi π⎞ exp( − 2 tan ϕi ⋅S) ⋅ sin⎜ψ − + ⎟ ⎛ ϕ π⎞ ∂(S − ψ) ∂(S − ψ) ⎝ ⎠ i 2 4 ρb g tan⎜ ψ + − ⎟ ⋅ + = − ⋅ ⎝ 2 4⎠ ∂x ∂y ⎛ ϕi π⎞ σ + σ 2 sin ϕi ⋅ ⎜ψ + − ⎟ ⎝ 2 4⎠ Diese ist vom Typ M, 0 Z, 0 cos ( 3.260) ∂u ∂u a ⋅ + b ⋅ = c ( 3.261) ∂x ∂y mit a(x, y, u), b(x, y, u) sowie c(x, y, u) und läßt sich mit Hilfe der Charakteristikenmethode lösen, siehe JENIKE (1961) und MOLERUS S.111 (1985). In Zylinderkoordinaten lauten die Gleichungen für das ebene Spannungsfeld, siehe auch vereinfacht ( 3.262): ∂σr 1 ∂τrθ σr −σθ r − Richtung : + ⋅ + + ρb⋅g ⋅ cos θ = 0 ∂r r ∂θ r ∂τrθ 1 ∂σθ τrθ θ − Richtung : + ⋅ + 2 ⋅ − ρb⋅g ⋅ sin θ = 0 ∂r r ∂θ r ( 3.262) • Die z-Richtung aus der Zeichenebene heraus = Schlitzlängenkoordinate wird hier nicht betrachtet. • Der differentielle Spannungszuwachs lautet z.B. in x-Richtung: dx x ⋅ ∂σ ∆ σ = ( 3.263) ∂ • Dabei ist dr ⋅ sin dθ ≈ dr⋅ dθ für kleine θ. • Die Terme dr⋅ dθ ≈ 0 werden vernachlässigt.
Zusätzlich lassen sich auch die Gleichungen für das axialsymmetrische Spannungsfeld in Kugelkoordinaten aufschreiben. Dabei muß neben dem vertikalen Drehwinkel θ auch noch der Drehwinkel β in horizontaler Ebene berücksichtigt werden, siehe MOLERUS S.121 (1985). Für beide Spannungsfelder läßt sich deshalb gemeinsam formulieren: ∂σr 1 ∂τrθ 1 r − Richtung : ´ + ⋅ + ⋅ ∂r r ∂θ r ∂τrθ 1 ∂σθ 1 θ − Richtung : + ⋅ + ⋅ ∂r r ∂θ r [ σ − σ + m ⋅ ( σ − σ ) ] r Schüttec_3 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Kontakt- und Kontinuumsmechanik Prof. Dr. Jürgen Tomas, 16.04.2012 r + ρ ⋅g ⋅ cos θ = 0 88 [ m⋅ ( σ − σ ) ⋅ cot θ + ( m + 2) ⋅ τ ] − ρ ⋅g⋅ sin θ = 0 θ θ β β b rθ b ( 3.264) wobei für die geometrischen Formfaktoren des Spannungsfeldes bzw. des Trichters zu schreiben ist: m = 0 ebenes Spannungsfeld und m = 1 axialsymmetrisches Spannungsfeld. σθ + ∆σθ τθ + ∆τθ r sindθ ≈ r dθ ρb g τθ dr σθ r (r + dr) dθ σr + ∆σr dθ τrθ + ∆τrθ θ σr τ rθ Bild 3.32: Ebener Spannungszustand im fließenden Schüttgut in Zylinderkoordinaten τrθ τrθ dθ ∂τ rθ + ⋅ dθ ∂θ dθ σ σθ θ ∂σ θ + ⋅ d θ ∂θ τrθ σθ dθ dθ
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3 Einführung in die Partikel- und
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• Zur Beschreibung des Fließverh
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M W ⋅ AS, m X W, m = A W ⋅ N A
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c) Brücken durch Sintervorgänge
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des Torsionsmomentes Mto,CH eines c
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3.2 Kontinuumsmechanische Grundlage
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→ Mechanische Grundmodelle für e
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* π α = α0 ± ( 3.28) 4 und somi
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Es ist = −ν ⋅ε ε q mit ν -
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enes Material durch die Einhüllend
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⇒ folgt notwendiger Weise aus der
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� Wesentlich für die Haftkraftve
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